数学建模作业-商品房还贷方案设计.docx

商品房还贷方案设计摘要由于现在房子的升值潜力巨大，所以不少人愿意投资房产，又由于房价不断高涨，越来越多的人们不得不向银行贷款，本文就是针对不同情况下如何合理地向银行贷款的问题进行了建模讨论。对于问题一，我们首先从网上查阅了相关资料，大体了解关于银行贷款方面的基本规则，对题目中所提出的等额本息还款方式进行深入理解。我们把各个月所欠银行的贷款作为突破口，把每个月所欠的银行贷款一一表示出来，从中可以看出规律， 最后我们表示出第个月所欠的银行贷款，由于第个月刚好还完银行的所有贷款，所以我们利用来求出关于求的公式，即每月还款金额。用每月的还款金额乘以还款的月数就是向银行的还款总额。每月被银行拿走的利息钱我们用王先生每月所欠银行的贷款数乘上月利率即可得到。向银行还款的总额和每月分别被银行拿走的利息钱我们运用vc+6.0编程计算得到结果。 问题二，通常银行贷款还款方式有等额本金和等额本息两种，考虑到王先生的家庭收入稳定我们决定采取等额本息的还款方式。为此，我们建立了两个模型，第一个，极端化方法，我们把王先生手头的15万全都用来首付，并且每个月王先生的开销为最低的1500元，在这个前提下，我们逐步计算每个阶段的还款金额，直到最后的还款金额为0，求出此时的还款总额和还款时长。模型二，在较一般的情况下讨论最优解，我们把满足题目中的约束条件都表示出来，求得最优的首付金额和贷款金额，在此基础上，我们再逐个阶段计算还款的金额，直到最后还款金额为0时，我们求得所对应的还款总数和时长。将两个模型进行对比，得出最佳方案。问题三，我们将王先生和他的外甥看作一个整体，把他们手头的现金先集中付清外甥的房价，再将剩余的手头现金全部用于王先生的提前还款，两人集中还王先生的贷款，据此，计算出王先生最后所还的金额总数和还款时长，我们发现由于支付外甥的房价导致所还的利息增多，时间增长，所以让外甥将买房省下的利息一半分给王先生得最佳方案关键词：等额本息 vc+6.0 极端化 问题重述1.1问题背景：近些年来，我国商品房销售火爆。由于升值潜力大，不少人愿意投资于房产。但是，高位在房价又迫使大多数人不得不向银行贷款。然后，用按揭的方式逐月偿还银行贷款额，又要考虑到偿还的年限问题，因为银行在还贷利息是根据偿还的年限而定。我们在还贷的过程中既要考虑到自己每个月的还贷能力，又要使我们总的还款金额尽可能的少。注意：向银行借贷时间必须以年为单位，如1年、2年、3年.等。所以我们要寻求一个基本公式满足上述的要求。1.2问题提出：第一问：2007年9月1号，武汉市某高校教师王先生到武汉某商品房去看房，销售小姐向他推荐等额本息还款方式，并给他一个银行还贷明细表。这个明细表给出了若向银行借了1万元钱、不同年限的等额房贷还款额。王先生不知还款公式怎样写，请你给出等额本息房贷还款公式，帮王先生解惑。如果向银行借1万元，借10年。请详细计算逐月还完1万元后，总共向银行还款的总额以及逐月被银行拿走的利息钱。第二问：王先生看中了一套135、单价为3230的房子，准备9月10号前成交。他们家每月收入5600元，每月家庭开销在1500-3000元之间服从均匀分布，每年还有3万元的年终奖金。这时候王先生手头有15万元的可支配的现金，现在请你建立一套详细的购房与商贷快速计算还贷数学模型，并为王先生设计还贷方案而且要指出每月的家庭开销上限（注：首付不得低于20%）。第三问：但事情有变：2008年3月10号，王先生经多方筹措，借到了无息的款项20万（包括年终奖金3万），准备提前还款，但其外甥此时在本地购买了总房价为20万的房子，但首付不得低于40%，但外甥手头只有可支配现金5万元，每月全家收入3500元，每月家庭开销在1500-2000元之间也服从均匀分布。她来向王先生借钱买房，王先生很为难，但此时，聪明的王夫人给出了一套新方案，使两家人购房均欢欣鼓舞，你能给出这个新方案吗？第四问：但这事还未开始实施就被王先生其他五个外甥知道了，均想加入这一方案，并准备在3月份都购买房子，他们购买房子的总价以及他们的经济情况见表2。那么，王夫人怎样设计这7套房子的购房还贷及每个家庭的每月开销上限呢？请你帮她拿出详细的方案。即每套房子向银行贷款多少年、多少钱、是否提前还款及还款多少、总共向银行交了多少利息钱、这种方案总共节约了多少钱等等。第五问：王先生拿到方案后，觉得应该多向银行借钱，想把尽量多的钱拿出来投资三个项目，但遭到其他人的反对，你支持王先生的观点吗？请说明理由。如果你支持王先生的观点，问最多可拿出多少钱投资这三个项目，各投资多少？ 问题分析2.1问题一的分析：通过上网查阅资料，我们大体了解了银行还贷款的基本规则，并对等额本息还款方式进行进一步的理解。据此，我们通过逐步推导，写出了等额本息还款公式，即每月王先生应该还的本金和，再用等额本息还款公式乘上还款的月数即可求得总共向银行还款的总额。而每个月应该向银行所交的利息，用每个月所欠银行贷款乘月利率即可得到。2.2问题二的分析：考虑到王先生的家庭月收入比较固定，所以我们采用等额本息还款方式，据此，我们提出两种模型，一种是采取极端化假设，将王先生手头的钱都用于首付，且每月开销达到最小1500，然后逐个阶段计算所应还的贷款，直到所应还的贷款数为0，看看此时所还的总共的贷款金额和所用时长。另一种是讨论较一般的情况，将所有的约束条件都列出来，求最优解，得到最优的首付、贷款金额，从而求得此时对应的总的还款金额和还款时长，以及王先生每月的开销。将两种模型进行比较即可得到最佳方案。2.3问题三的分析：王先生在采取问题二提供的最佳方案的基础上，我们来讨论借给王先生外甥的金额，同样我们用极端化方法，王先生只借给外甥3万元，剩余的钱都由外甥来贷款，通过计算，我们可知，外甥所还的利息太多。于是我们采用把王先生和他外甥看作一个整体的办法，把他们手头的现金先全部用来支付外甥的房价，再将手头剩余的现金用于提前还王先生的贷款，计算出王先生剩余欠款，再逐期计算所应还的金额，直到最后所要还的金额为0时，得到最后还的总的金额和还款时长，通过计算我们可以看到由于支付外甥的房价所花金额太多导致利息增多，还款时间增长，所以我们让外甥节省下来的一半利息分给王先生得到最佳方案。2.4问题四的分析：王先生在采取问题三的基础上，采用王先生和他的六个外甥看作一个整体的办法，把七家人看成一家人，七套房子看成一套房子。讲手头剩余的现金全部用来支付房款，并每次得到奖金就提前还款，以减少贷款金额，然后计算出王先生剩余欠款，再逐期计算所应还的金额，直到最后所要还的金额为0时，得到最后还的总的利息和还款时长。用此模型与没进行提前还款的模型作对比，验证模型的成功，最终确定贷款期限和方案。2.5问题五的分析：王先生认为应该多向银行借钱，至于这是否合理，我们只需讨论用于投资项目所获得的收益是否比银行的利息要多即可。针对这点，对以往数据进行分析，预测赚取收益及各项目所占比例，确定投资组合模型。 模型假设1.假设还款期限不受外界因素的影响。2. 假设货币价值在贷款期限内不受外界因素影响，即不会发生升值或贬值。3. 假设在贷款期限内利率固定不变，不受经济危机、通货膨胀等因素的影响。4. 假设每个月的收入只用于月开销与还款，不用于其他方面。5.假设王先生以及各个外甥的年终奖金都在每年3月10号发放。6. 假设年终奖金在每年3月10日发。7假设采用等额本息还款方式，每月还款金额不变。8假设每发一次奖金，就立即提前还款，且提前还款不影响每月还款金额。 符号说明每期还款金额本金（贷款数）利率（月利率）贷款期数（按月计算）向银行还款的总额预期收益第种项目投资权重投资风险第种投资与第种投资之间的关联程度各月末所欠银行贷款各个月末需还利息 模型建立与求解5.1问题一的模型建立与求解5.1.1等额本息房贷的还款公式：先给出等额本息房贷的还款的计算原则： 银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；利息在月供款中的比例中随着剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因而升高，但月供总额保持不变。各个月末所欠银行贷款为：第一个月末：第二个月末：第三个月末：由此可得第个月末所欠银行贷款为：由于还款总期数为，也即第月末刚好还完银行所有贷款，因此有：求得，等本息法：式中，为每期还款金额 ，为本金（贷款数），为利率（月利率），为贷款期数（按月计算）。其中：计算公式：5.1.2等额本息房贷的还款向银行还款的总额与逐月被银行拿走的利息钱：由于等额本息还款法，银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金，每月还款的金额必然多于每月产生的利息，否则将永远无法还清债务。所以，逐月被银行拿走的利息钱就是这个月产生的利息。向银行还款的总额为：根据题意，其中。各个月末需还利息为：第一个月末：第二个月末：第三个月末：第四个月末：由此可得第n个月末所还利息为：由题意知，此处运用vc+6.0计算（程序见附录1.1）可知：向银行还款的总额为13164.82元，每月所还的利息如表5.1所示，解题结果见附录1.2：表5.1每月所还的利息月份年份月份年份123456789101112147.8147.5247.2246.9246.6246.3246.0245.7145.1044.7944.4844.17244.1743.8543.5443.2242.9042.5842.2641.9441.6241.2940.9640.64340.3139.9739.6439.3138.9738.6338.2937.9537.6137.2636.9136.57436.2235.8735.5135.1634.8034.4434.0833.7433.3632.9932.6332.26531.8931.5231.1430.9930.3930.0129.6229.2528.8628.4728.0727.70627.3026.9126.5126.1225.9225.3224.9124.5124.1023.6923.2822.86722.4522.0321.6121.1920.7720.3419.9219.4919.0618.6218.1917.75817.3116.8716.4215.9815.5315.0814.6314.1713.7213.2612.8012.33911.8711.4010.9310.469.989.519.038.548.067.587.096.60106.105.615.114.614.113.603.105.592.091.561.040.525.2问题二的模型建立与求解王先生欲购买135，单价为3230的房子，需要支付的总价为436050元。房子的首付至少为元，至多为王先生手中可支配的15万元。构建以下模型：模型一：我们先将问题极端化，购买房子时支付首付15万元，贷款期限定为10年，贷款金额为29万，每月开销为1500元，假设年终奖金每年3月10日发放，每年一拿到年终奖金就马上提前还款，每提前还款一次后还款计划将会改变一次，每改变一次后下一年的每个月还款金额减小，直到当年每月还款小于3350元时，每个月就一定可以预留一部分资金，到年终和年终奖金一起作为提前还款的金额这样我们可以粗略的计算一下：第一阶段：可知，所以每个月应还款3181.5元，六个月末所欠银行贷款为：其中算得向银行还款金额为54600元第二阶段：可知，每个月应还款2672.4元，十八个月末所欠银行贷款为：其中算得向银行还款金额为79200元第三阶段：可知，每个月应还款1951.5元，三十个月末所欠银行贷款为：其中算得向银行还款金额为79200元第四阶段：由可知，每个月应还款1190.7元，四十二个月末所欠银行贷款为：其中算得向银行还款金额为79200元第五阶段：由可知，每个月应还款387.8元，五十四个月末所欠银行贷款为：其中算得即不用等到年终奖金，不到54个月就可以还清贷款，由，解得，向银行还款金额约为41000元即第五个阶段十个月就可以还清贷款，共用时52个月，即5年之内就可以还清贷款。总共向银行还贷327800元由模型一可以看出：（1）十年的贷款，仅用了不到五年的时间就还完了，贷款时间长，利息就增加，是不适当的，应考虑将换做五年的贷款。（2）仅改变贷款年限为5年，其他条件不变，由上述模型可以算的，所需还款的总额小于贷款年限为10年时。（3）若选取贷款年限为4年，由上述模型可以算的，所需还款的总额大于贷款年限为5年时。（4）题目中给出，家庭开销在1500-3000元之间服从均匀分布，限制家庭开销，显然有些不合情理，如果使家庭开销在1500-3000元之间且服从均匀分布，又会增加还款时间，导致利息增多。（5）由题目可知，王先生家的月消费在1500元到3000元之间呈均匀分布，将月消费限制在1500元是不合理的。综上所述：选择5年的贷款年限较为合理。模型二：我们以五年为期限还清贷款，且首付不低于20%，即首付不得低于87210元，又因为王先生手头有15万元的可支配现金，所以首付介于87210与150000元之间。因为我们假设每年的年终奖在3月10号发，所以首付后到发年终奖有六个月的间隔。头六个月至少每个月要还款元，最大还款额元，由于家庭收入5600元，家庭开销1500到3000服从均匀分布，这样一来我们可以先把所有的月家庭开销相加，除以月数，就得到了每月家庭开销的平均值，但每月家庭开销是不确定的，且月数也是不确定的，知道家庭开销服从均匀分布，所以，先将家庭开销定为2250即均匀分布的期望值，而将15万分为两个部分：首付、可临时调配资金。我们将第一阶段还款设为六个月，以后以每年计数（即12个月），直到还清贷款。假设每年一拿到年终奖金就马上顺利提前还款，这样一来每提前还款一次后还款计划将会改变一次，每改变一次后下一年的每个月还款金额减小，直到当年每月还款小于3350元时，每个月就一定可以预留一部分资金，到年终和年终奖金一起作为提前还款的金额；这样，在五年之内就可以还清所有欠款，我们有理由认为这是一个较优方案。首付在106050至110000元之内都较为合理，所以将106050元作为首付，剩余现金作为用来填补以后每个月不够的还款差额，贷款330000元。具体数据如下：第一阶段：（2013年9月10日至2014年3月10日）还款金额：剩余金额：提前还款 ：30000元提前还款后剩余金额：241047.691元第二阶段：（2014年3月10日至2015年3月10日）还款金额：剩余金额：提前还款 ：30000元提前还款后剩余金额：167985.69157元第三阶段：（2015年3月10日至2016年3月10日）还款金额：元剩余金额：提前还款 ：提前还款后剩余金额：106288.262元第四阶段：（2016年3月10日至2017年3月10日）还款金额：剩余金额：提前还款 ：提前还款后剩余金额：41468.026第五阶段：（2017年3月10日至2018年3月10日）还款金额：剩余金额：提前还款 ：提前还款后剩余金额：0在第五阶段的一次性还完所有贷款后，还有可支配资金32071.57元，也就表明，王先生在还款期间，还有32071.57元的可调配资金。综上：此方案首付106050元，贷款33万元，用54个月还清，总还款342778.43元。其中2013年9月10日志2017年3月10日月消费上限为2250元。5.3问题三的模型建立与求解基于问题二设计的最优还贷方案（首付106050元，贷款33万元，月还款6304.6元），此时（2014年3月10号）王先生已还款元，月消费取中位数（即期望值）来算，剩余可支配现金为：元我们依旧将问题极端化，倘若王先生开始只借3万元给外甥，则外甥必须贷款12万元，考虑到外甥的还款能力只能按照十年期限还贷，则总共还款157977.84元，支付银行的利息为37977.84元。显然由于贷款期限过长导致利息太多。我们把王先生及其外甥看作一个整体，用手上可支配现金将外甥房款一次性付完，此时剩余可支配现金总共为76222.4元，全部用于王先生提前还款，剩余欠款为：元。2014年3月10日 2015年3月10日:每月还款额: 4293.016元每月收入：元每月消费：3000至5000元，取其中位数4000元则至2015年3月10日剩余欠款为：元可支配现金为：元全部用于提前还款后，则剩余欠款为144879.87元。2015年3月10日 2016年3月10日:每月还款额: 2767.93元每月收入：3500+5600=9100元每月消费：3000至5000元，取其中位数4000元则至2016年3月10日剩余欠款为：元可支配现金为：元全部用于提前还款后，则剩余欠款为61012.94元。2016年3月10日 2017年3月10日:每月还款额:1165.65元每月收入：3500+5600=9100元每月消费：3000至5000元，取其中位数4000元则至2017年3月10日剩余欠款为：元可支配现金为：元至此可将欠款一次性还清。此方案为外甥节省了37977.84元的利息，但是由于王先生将大部分可支配现金用于支付外甥的房款，导致自己提前还款数额减少，相应还款期限就会有所加长，随之带来利息增多的结果。因此，我们将外甥节省的利息一半分配给王先生，及外甥还款时多还约19000元，已达到是两家都满意的效果。5.4问题四的模型建立与求解在问题三的基础上，我们可以把七家人看成一家人，七套房子看成一套房子。（首付106050元，贷款33万元，月还款6304.6元），此时（2014年3月10号）王先生已还款元，现在王先生手上还有余额26222.4元，另外王先生借到无息款20万元（包括年终奖3万元），全家人现在有可支配现金：房子总价为：元首付至少：每月总收入：元每月总开销:、元之间服从均匀分布。年终奖总额：万元我们仍采用等额本息还款，还款期限为5年2014年3月10日至 2015年3月10日:每月还款额: 16265.4元每月收入：29100元每月消费：8700到13000元，取其中位数10850元则至2015年3月10日剩余欠款为： 元可支配现金为：元全部用于提前还款后，则剩余欠款为548980.0元。2015年3月10日至 2016年3月10日:每月还款额: 10402元每月收入：29100元每月消费：8700至13000元，取其中位数10850元则至2016年3月10日剩余欠款为：元可支配现金为：元全部用于提前还款后，则剩余欠款为227793.1元。2016年3月10日至 2017年3月10日:每月还款额: 4261元每月收入：29100元每月消费：8700至13000元，取其中位数10850元则至2017年3月10日剩余欠款为：元可支配现金为：元年终奖金和可支配现金可将欠款一次性还清。每套房子向银行贷款：元总共向银行交了利息钱：82650.9元现在这一家向银行贷款5年，首付的钱按照最少支付，并且年底奖金不提前付款，则总共向银行交了利息钱：183975.9元，可见这种方案向银行交了利息钱多，因此上一种方案比这种方案节约元则每套房子向银行贷款期限为3年、各贷款122100.8元、并且提前还款，总共向银行交了利息钱为82650.9元、这种方案总共节约了101325元。5.5问题五的模型建立与求解按照王先生的提议应该尽量多的向银行贷款拿出来投资下面三个项目。在问题四中已知贷款方式下，已知他们初定的贷款方案是向银行提出5年期利息，他们每多向银行贷款10000元，则每个月要多向银行支付191.05元，相应的总共多支付利息为：。因此，我们只要比较将这10000元用于投资项目赚取的利益是否大于1463元即可。首先我们通过对以往几年数据的分析，使用每个项目的均值来表示他的增长率，以求得预期的最大收益。将表中数据用SAS软件加以处理（程序见附录1.3）：为了便于对给出的方案进行风险性分析，我们给出三组数据间的相关系数：建立如下模型：在对以往数据进行分析时，即使承受较大风险以期望获得最高利益从而赚取收益差价的情况下最大能收益差价现在只考虑王先生所能承受的风险程度决定一个投资组合：假设王先生所能承受的风险为0.05，他通过对甲乙丙的投资组合购买甲10.7%、乙66.9%、丙22.4%可以获得1.205031的增长率，这样他每10000元就可以赚取的利润为元。综上，因为即使承受较大风险以期望获得最高利益从而赚取收益差价的情况下最大能收益差价仍大于零，所以我们应支持王先生的观点。王先生投资时，组合购买甲10.7%、乙66.9%、丙22.4%可以获得1.205031的增长率，视具体情况可拿出尽量多的钱来进行投资。 模型评价与改进对于第一问，运用等额本息的公式求解，思路清晰易懂，并借助vc+6.0编程求解，减少运算量，结果精确用，但vc+6.0较为繁琐，可以考虑选择MATLAB，或者LINGO；对于第二问，从极端化出发，逐步精确，以两个模型为例子，对多个模型的付款总额进行比较，最终得到的模型较精确，但涉及大量计算，较为繁锁；对于第三问，继续沿用第二问的模型，减少了构建模型的时间，将外甥与王先生的房子和资产当做一个整体进行计算，并从极端化出发，逐步找到最优模型，但是与第二问相同，涉及大量计算，较为繁锁； 对于第四问，巧妙的将七套房子看作一个整体，通过整体计算确定个体，大大简化了问题的难度，为计算提供了便利。 对于问题五，参考文献1百度文库，按揭贷款等额本息还款计算公式/link?url=K-CPXwiiQu4xuWwZZMq02RPWAezSynBrHYhEkXqSZy7lvT2vrV9SBMHpMKoCyVnEYRnEDtf3yTWE56AGTH5ezeCLnAT7rEh9uHXw5h-H3sq ，2015.9.3。2百度百科，等额本息还款法/link?url=I8ae_HZcRg-jXRlQJM1wTcK_2keZ7pL2KqyKqpxEr_GJZxUJ25Nz3lORcm8rR_3GJayviI9ME5e7E8TodB9H5K#22015.9.3。3道客巴巴，商品房还贷方案优化设计/p-708991499452.html 2015.9.4附录1.1：#include #include int main() FILE *fp = fopen(fulu1_1,w);int i;double lilv=0.00478125,a120,lixi120,x;a0=10000;x=a0*lilv*pow(1+lilv),120)/(pow(1+lilv),120)-1); lixi0=a0*lilv; printf(第1月的利息为t%lfn,lixi0);fprintf(fp,第1月的利息为t%lfn,lixi0);for(i=1;i120;i+) lixii=(a0*pow(1+lilv),i)-x*(pow(1+lilv),i)-1)/lilv)*lilv; /计算每月利息 printf(第%d月的利息为t%lfn,i+1,lixii); /输出每月利息fprintf(fp,第%d月的利息为t%lfn,i+1,lixii);ai=(ai-1*pow(1+lilv),i)-x*(pow(1+lilv),i)-1)/lilv); /计算每月月末欠款 printf(向银行还款的总额为t%lfn,x*120);fprintf(fp,向银行还款的总额为t%lfn,x*120); fclose(fp);return 0;附录1.2第1月的利息为47.812500第2月的利息为47.516568第3月的利息为47.219220第4月的利息为46.920451第5月的利息为46.620253第6月的利息为46.318621第7月的利息为46.015545第8月的利息为45.711021第9月的利息为45.405041第10月的利息为45.097598第11月的利息为44.788685第12月的利息为44.478295第13月的利息为44.166421第14月的利息为43.853055第15月的利息为43.538192第16月的利息为43.221823第17月的利息为42.903941第18月的利息为42.584540第19月的利息为42.263611第20月的利息为41.941148第21月的利息为41.617143第22月的利息为41.291589第23月的利息为40.964478第24月的利息为40.635804第25月的利息为40.305558第26月的利息为39.973733第27月的利息为39.640321第28月的利息为39.305315第29月的利息为38.968708第30月的利息为38.630491第31月的利息为38.290657第32月的利息为37.949198第33月的利息为37.606107第34月的利息为37.261375第35月的利息为36.914995第36月的利息为36.566959第37月的利息为36.217259第38月的利息为35.865886第39月的利息为35.512834第40月的利息为35.158094第41月的利息为34.801658第42月的利息为34.443517第43月的利息为34.083664第44月的利息为33.722091第45月的利息为33.358788第46月的利息为32.993749第47月的利息为32.626964第48月的利息为32.258426第49月的利息为31.888126第50月的利息为31.516055第51月的利息为31.142205第52月的利息为30.766568第53月的利息为30.389134第54月的利息为30.009896第55月的利息为29.628845第56月的利息为29.245972第57月的利息为28.861268第58月的利息为28.474725第59月的利息为28.086334第60月的利息为27.696086第61月的利息为27.303972第62月的利息为26.909983第63月的利息为26.514110第64月的利息为26.11