初二 第8讲 平行与比例(思维拓展班).pdf

第 8 讲 平行与比例 1 / 4 第第 8 8 讲讲 平行平行与与比例 平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成 等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要 理论 利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图 形中分解或构造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本图形： 【例 1】如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 为 AB 的三等分点，DM、DN 分别交 AC 于 P、Q 两点，则 AP：PQ：QC= 【例 2】如图， ABC 中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD 与 CE 相交于 F， 则 的值为（ ） A、 B、 C、 D、2 【例 3】如图，BD、BE 分别是ABC 与它的邻补角ABP 的平分线，AEBE，ADBD，E、D 为垂足 （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）若 =3，F、G 分别为 AE、AD 上的点，FG 交 AB 于点 H，且 =3，求证： AHG 是等腰三角形 【例 4】如图所示，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC （1）P，E，F 分别是 BC，AC，BD 的中点，求证：AB=PE+PF； （2）如果 P 是 BC 上的任意一点（中点除外），PEAB，PFDC，那么 AB=PE+PF，这个结论还成立吗？如果 成立，请证明；若不成立，请说明理由 第 8 讲 平行与比例 2 / 4 注 若题设条件无平行线，需作平行线而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得 的，其目的是构造基本图形 平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体 现在： (1)利用比例线段求线段的长度； (2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题 【例 5】如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，直线 l 平行于 BD，且与 AB、DC、BC、AD 及 AC 的 延长线分别相交于点 M、N、R、S 和 P，求证：PMPN=PRPS 【例 6】已知：如图，ABBD，CDBD，垂足分别为 B、D，AD 和 BC 相交于点 E，EFBD，垂足为 F，我们 可以证明 成立（不要求考生证明） 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC 相交于点 E，过点 E 作 EFAB 交 BD 于点 F，则： （1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出 S ABD，S BED和 S BDC间的关系式，并给出证明 【例 7】如图，已知在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 边的中点， = ，FE 与 AC 相交 于 G，求证：AG= AC 第 8 讲 平行与比例 3 / 4 训 练 题 一、填空题一、填空题 1、 如图， ABC 中有菱形 AMPN， 如果 ， 则 = 2、如图，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD上一点， CF的延长线交AB于点E， 若 ，则 = ；若 ，则 = 3、如图，已知点 D 为 ABC 中 AC 边的中点，AEBC，ED 交 AB 于点 G，交 BC 的延长线于 点 F， 若 ， BC=8， 则 AE 的 长为 4、 如图， 在平行四边形 ABCD 中， AB=4cm， BC=lcm， E 是 CD 边上 一动点，AE、BC 的延长线交于 点 F，设 DE=x （cm），BF= y （cm），用 x 的代数式表示 y 得 5、 如图， 在梯形 ABCD 中 ABCD， AB=3CD， E 是对角线 AC 的中点， BE 延长后交 AD 于 F，那么 = . 6、如图，平行四边形 ABCD 的对角 线交于O点， 过O任作一直线与CD、 BC 的延长线分别交于 F、E 点，设 BC=a，CD=b，CE =c，则 CF= 7、 如图， 在梯形 ABCD 中， ADBC， AD=a，BC=b，E、F 分别是 AD、 BC 的中点，且 AF 交 BE 于 P，CE 交 DF 于 Q ，则 PQ 的长为 8、如图，工地上竖立着两根电线杆 AB、CD，它们相距 15m，分 别自两杆上高出地面 4m、 6m 的 A、 C 处， 向两侧地面上的 E、D；B、F 点处，用钢丝绳 拉紧，以固定电线杆，那么 钢丝绳AD与BC交点P离地 面的高度为 m 二、选择题二、选择题 9、 如图， 在 ABC 中， M 是 AC 的中点， P，Q 是 BC 的三等分点AP、AQ 分别 交 BM 于 D、E 两点，则 BD：DE：EM= （ ） A、3：2；1 B、4：2：l C、5：2：1 D、5：3：2 10、如图，在梯形 ABCD 中， ADBC，AD=3，BC=9，AB=6， CD=4，若 EFBC，且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等，则 EF 的长为（ ） A、 B、 C、 D、 11、如图，在ABCD 中， E、 F 分别是边 AD、 BC 的中点，AC 分别交 BE、DF 于 G、H，试判 断下列结论： ABECDF； AG=GH=HC；EG= BG；S ABE=S AGE，其中正 确的结论是（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 12、 如图， 已知 ABC， ， ， AD、 BE交于F， 则 的值 （ ） A、 B、 C、 D、 13、 如图， 已知 DEBC， EFAB， 现 得 到 下 列 结 论 ： ； ； ； 其中正确比例式的个数有（ ） A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 14、如图，BD、CE 是 ABC 的中 线， P、 Q是BD、 CE的中点， 则 等于 （ ） A、 B、 C、 D、 15、如图，在平行四边形 ABCD 中，O1、O2、O3分别是对角线 BD 上的三点，且 BO1=O1O2=O2O3=O3D，连接 AO1 并延长交 BC 于点 E，连接 EO3并延长交 AD 于点 F， 则 AF：DF 等于（ ） A、19：2 B、9：1 C、8：1 D、 7： 1 第 8 讲 平行与比例 4 / 4 16、如图，在 ABC 中，AB=AC，D 在AB上， E在AC的延长线上， BD=3CE， DE 交 BC 于 F， 则 DF： FE 等于 （ ） A、5：2 B、2：l C、3：1 D、4：1 三、解答题三、解答题 17、 已知： 如图， 在梯形 ABCD 中， ABCD， AB= CD， E 是 AB 上一点，AE=2BE，M 是腰 BC 的中点，连接 EM 并延长交 DC 的延长线于点 F，连接 DB 交 EF 于点 N求证：BN：ND=1：10 18、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，EF 经过梯形对 角线的交点 O，且 EFAD （1）求证：OE=OF， （2）求 的值； （3）求证： 19、 如图， ABEFCD， 已知 AC+BD=240， BC=100， EC+ED=192，求 CF 20、如图，已知 M、N 为 ABC 的边 BC 上的两点，且 满足 BM=MN=NC， 一条平行于 AC 的直线分别交 AB、 AM 和 AN 的延长线于点 D、E 和 F，求证：EF=3DE 21、在 ABC 中，D 为 BC 边的中点，E 为 AC 边上的 任意一点，BE 交 AD 于点 O 某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实： （1）当 时，有 （如图） （2）当 时，有 （如图） （3）当 时，有 （如图） 在图中，当 时，参照上述研究结论，请你