由正难则反切入

1 / 5 由正难则反切入 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址文 章来源 m 人们习惯的思维方式是正向思维，即从条件手，进行正面的推导和论证，使问题得到解决但有些数学问题，若直接从正面求解，则思维较易受阻，而 “ 正难则反，顺难则逆，直难则曲 ” 是突破思维障碍的重要策略 数学中存在着大量的正难则反的切入点数学中的定义、公式、法则和等价关系都是双向的，具有可逆性；对数学方法而言，特殊与一般、具体与抽象、分析与综合、归纳与演绎，其思考方向也是可逆的；作为解题策略，当正向思考困难时可逆向 思考，直接证明受阻时可间接证明，探索可能性失败时转向考察不可能性由正难则反切入的具体途径有： 1定义、公式、法则的逆用； 2常量与变量的换位； 3反客为主； 4反证法等 【例题求解】 【例 1】已知满足，那么的值为 (河南省竞赛题 ) 思路点拨视为整体，避免解高次方程求的值 2 / 5 【例 2】已知实数、满足，且求的值 (第四届学习报公开赛试题 ) 思路点拨显然求、的值或寻求、的关系是困难的，令，则2002=，原等式就可变形为关于的一元二次方程，运用根与系数关系求 解 注：（ 1）人们总习惯于用凝固的眼光看待常量与变量，认为它们泾渭分明，更换不得，实际上将常量设为变量，或将变量暂时看作常量，都会给人以有益的启示 （ 2）人的思维活动既有 “ 求同 ” 和 “ 定势 ” 的方面，又有“ 求异 ” 和 “ 变通 ” 的方面求同与求异，定势与变通是人的思维个性的两极，充分利用知识和方法的双向性，是培养思维能力的重要途径 正难则反在具体的解题中，还表现为下列各种形式： (1)不通分母通分子； (2)不求局部求整体； (3)不先开方先平方； (4)不用直接挖隐含； (5)不算 相等算不等； (6)不求动态求静态等 【例 3】设、为非零实数，且，试问：、满足什么条件3 / 5 时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根 思路点拨如从正面考虑，条件 “ 三个方程中至少有一个方程有不等的实数根 ” 所涉及的情况比较复杂，但从其反面考虑情况却十分简单，只有一种可能，即三个方程都没有实数根，然后从全体实数中排除三个方程都无实数根的、的取值即可 注：受思维定势的消极影响，人们在解决有几个变量的问题时，总抓住 主元不放，使有些问题的解决较为复杂，此时若变换主元，反客为主，问题常常能获得简解 【例 4】已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于 45? 请证明你的结论 (江苏省竞赛题 ) 思路点拨结论是以疑问形式出现的，不妨先假定是肯定的，然后推理若推出矛盾，则说明结论是否定的；若推不出矛盾，则可考虑去证明结论是肯定的 【例 5】能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与 2002的和都是完全平方数吗 ?若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由 (北京市竞赛题 ) 思路点拨先假设存在正整数，满足 (， =1， 2， 3， 4， m 为正整数 )运用完全平方数性质、奇偶性分析、分类讨论综4 / 5 合推理，若推出矛盾，则原假设不成立 注：反证法是从待证命题的结论的反面出发，进行推理，通过导出矛盾来判断待证命题成立的方法，其证明的基本步骤是：否定待证命题的结论、推理导出矛盾、肯定原命题的结论 宜用反证法的三题特征是： (1)结论涉及无限； (2)结论涉及唯一性； (3)结论为否定形式； (4)结论涉 及 “ 至多，至少 ” ； (5)结论以疑问形式出现等 学力训练 1由小到大排列各分数：，是 2分解因式 = 3解关于的方程： () 得 = 4的结果是 5若关于的三个方程，中至少有一个方程有实根，则 m的取值范围是 6有甲、乙两堆小球，如果第一次从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆，第二次从乙堆拿出和甲堆剩下的同样多的小球放到甲堆，如此挪动 4 次后，甲、乙两堆小球恰好都5 / 5 是 16个，那么，甲、乙两堆最初各有多少个小球 ? (重庆市竞赛题 ) 7求这样的正整数，使得方程至少有 一个整数解 (上海市竞赛题 ) 8某班参加运动会的 19名运动员的运动服号码恰是 1 19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的3 名运动员，他们运动服号码之和不小于 32，请说明理由 9如正整数和之