空间直线与直线之间的位置关系

1 / 9 空间直线与直线之间的位置关系 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第二课时空间中直线与直线之间的位置关系 （一）教学目标 1知识与技能 （ 1）了解空间中两条直线的位置关系； （ 2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （ 3）理解并掌握公理 4； （ 4）理解并掌握等角公理； （ 5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2过程与方法 让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识 . 3情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣 . （二）教学重点、难点 重点： 1、异面直线的概念； 2、公理 4 及等角定理 . 难点：异面直线所成角的计算 . （三）教学方法 师生的共同讨论与讲授法相结合； 教学过程教学内容师生互动设计意图 2 / 9 新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答 生 1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交 . 生 2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线 师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线， 这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系 .以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性 . 探索新知 1空间的两条直线位置关系： 共面直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 . 师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种： 相交直线 有且仅有一个公共点 平行直线 在同一平面内，没有公共点 . 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 . 随堂练习： 如图所示 P50-16 是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么 AB， cD， EF， GH 这四条 线段所在直线是异面直线的有对 . 答案： 4 对，分别是 HG与 EF， AB与 cD， AB与 EF， AB与 HG.3 / 9 现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类 生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线 .一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内 . 师（肯定）所以异面直线的特征可说成 “ 既不平行，也不相交 ” 那么 “ 不同在任何一个平面内 ” 是否可改为 “ 不在一个平面内呢 ” 学生讨论发现不能去掉 “ 任何 ” 师： “ 不同在任何一个平面内 ” 可以理解为 “ 不存在一个平面，使两异面直线在该平 面内 ” 培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解 （ 1）公理 4，平行于同一条直线的两条直线互相平行 （ 2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 例 2 如图所示，空间四边形 ABcD中， E、 F、 G、 H 分别是 AB、Bc、 cD、 DA的中点 .求证：四边形 EFGH是平行四边形 . 证明：连接 BD， 因为 EH是 ABD 的中位线， 所以 EHBD ，且 . 同理 FGBD ，且 . 因为 EHFG ，且 EH=FG， 所以四边形 EFGH为平行四边形 .师：现在请大家看一看我们4 / 9 的教 室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的 . 师：我们把上述规律作为本章的第 4 个公理 . 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 . 师：现在请大家思考公理 4 是否可以推广，它有什么作用 . 生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行 .它可以用来证明两条直线平行 . 师（肯定）下面我们来看一个例子 观察图，在长方体 ABcD ABcD 中， ADc 与ADc ， ADc 与 ABc 的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：从图中可以看出， ADc=ADc ， ADc+ABc=180 师：一般地，有以下定理： 这个定理可以用公理 4 证明，是公理 4 的一个推广，我们把它称为等角定理 . 师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明 . 师：在图中 EH、 FG 有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路 . 培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识 . 通过分析和引导，培养学生解题能力 . 探索新知 3异面直线所成的角 5 / 9 （ 1）异面直线所成角的概念 . 已知两条异面直线 a、 b，经过空间任一点 o 作直线 a a，bb ，我们把 a 与 b 所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角 ). （ 2）异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直 .两条互相垂直的异面直线 a、 b，记作 ab. 例 3 如图，已知正方体 ABcD ABcD. （ 1）哪些棱所在直线与直线 BA 是异面直线？ （ 2）直线 BA 和 cc 的夹角是多少？ （ 3）哪此棱所在的直线与直线 AA 垂直？ 解：（ 1）由异面直线的定义可知，棱 AD、 Dc、 cc 、 DD 、Dc 、 Bc 所在直线分别与直线 BA 是异面直线 . （ 2）由 BBcc 可知， BBA 为异面直线 BA 与 cc的夹角， BBA=45. （ 3）直线 AB、 Bc、 cD、 DA、 AB 、 Bc 、 cD 、 DA分别与直线 AA 垂直 .师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论 . 两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点 o 的位置选取无关； 两条异面直线所成的角 ； 6 / 9 因为点 o 可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以 把点o 选在两条异面直线的某一条上； 找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角； 当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线 a 和 b 互相垂直，也记作 ab ； 以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形 . 然后师生共同分析例题加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力 . 随堂练习 1填空题： （ 1）如图， AA 是长方体 的一条棱，长方体中与 AA 平行的棱共有条 . （ 2）如果 oAoA ， oBoB ，那么 AoB 和AoB. 答案：（ 1） 3 条 .分别是 BB ， cc ， DD ；（ 2）相等或互补 . 2如图，已知长方体 ABcD ABcD 中， AB=， AD=，7 / 9 AA=2. （ 1） Bc和 Ac 所成的角是多少度？ （ 2） AA 和 Bc 所成的角是多少度？学生独立完成 答案： . 2（ 1）因为 BcBc ，所以 BcA 是异面直线Ac 与 Bc 所成的角 .在 RtABc 中， AB= ，Bc =，所以 BcA=45. （ 2）因为 AABB ，所以 BBc 是异面直线 AA 和BB 所成的角 . 在 RtBBc 中， Bc=AD= ， BB=AA=2 ， 所以 Bc=4 ， BBc=60. 因此，异面直线 AA 与 Bc 所成的角为 60. 归纳总结 1空间中两条直线的位置关系 . 2平行公理及等角定理 . 3异面直线所成的角 .学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构 . 作业第二课时习案学生独立完成固化知识 提升能力 附加例 题 例 1“a 、 b 为异面直线 ” 是指： ab= ，且 ab ； a 面， b 面，且 ab= ； 8 / 9 a 面， b 面，且 = ； a 面， b 面； 不存在面，使 a 面， b 面成立 . 上述结论中，正确的是（） A 正确 B 正确 c仅 正确 D仅 正确 【解析】 等价于 a 和 b 既不相交，又不平行，故 a、 b 是异面直线； 等价于 a、 b 不同在同一平面内，故 a、 b 是异面直线 .故选 D 例 2 如果异面直线 a 与 b 所成角为 50 ， P 为空间一定点，则过点 P 与 a、 b 所成的角都是 30 的直线有且仅有条 . 【解析】如图 所示，过定点 P 作 a、 b 的平行线 a 、 b ，因 a、 b 成 50 角， a 与 b 也成 50 角 .过P 作 APB 的平分线，取较小的角有 APo=BPo=25. APA APo ， 过 P 作直线 l 与 a 、 b 成 30 角的直线有 2 条 . 例 3 空间四边形 ABcD，已知 AD=1， BD=，且 ADBc ，对角线 BD=， Ac=，求 Ac和 BD所成的角。 【解析】取 AB