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2019年六年级奥数专题：抽屉原理 一、填空题1.一个联欢会有100人参加,每个人在这个会上至少有一个朋友.那么这100人中至少有 个人的朋友数目相同.2.在明年(即年)出生的1000个孩子中,请你预测:(1)同在某月某日生的孩子至少有 个.(2)至少有 个孩子将来不单独过生日.3.一个口袋里有四种不同颜色的小球.每次摸出2个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸 次.4.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取 颗.如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出 颗.5.从1,2,3,12这十二个数字中,任意取出7个数,其中两个数之差是6的至少有 对.6.某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有 人的头发根数一样多.7.在一行九个方格的图中,把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种,那么涂色相同的小方格至少有 个.8.一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取 张牌,才能保证其中必有3种花色.9.五个同学在一起练习投蓝,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了 个球.10.某班有37名小学生,他们都订阅了小朋友、儿童时代、少年报中的一种或几种,那么其中至少有 名学生订的报刊种类完全相同.二、解答题11.任给7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和或差是10的倍数.12.在边长为1的正方形内任取51个点,求证:一定可以从中找出3点,以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50.13.某幼儿园有50个小朋友,现在拿出420本连环画分给他们,试证明:至少有4个小朋友分到连环画一样多(每个小朋友都要分到连环画).14.能否在88的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1,或2,或3,要使每行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?请说明理由.答 案 1. 2因为每个人至少有1个朋友,至多有99个朋友,将有1个朋友的人,2个朋友的人,99个朋友的人分成99类，在100个人中,总有两个人属于同一类,他们的朋友个数相同.2. (1)3;(2)636因为年有365天,故在年出生的孩子至少有(个)孩子的生日相同;又因为1000-(365-1)=363,即至少有363个孩子将来不单独过生日.3. 91当摸出的2个球颜色相同时,可以有4种不同的结果;当摸出的2个球颜色不同时,最多可以有3+2+1=6(种)不同结果.一共有10种不同结果.将这10种不同结果看作10个抽屉,因为要求10次摸出结果相同,故至少要摸910+1=91(次).4. 4;7将三种不同颜色看作3个抽屉,对于第一问中为保证一次取到2颗相同颜色的珠子,一次至少要取13+1=4(颗)珠子.对于第二问为了保证一次取到两种不同颜色珠子各2颗,一次至少要取4+(12+1)=7(颗)珠子.5. 1将112这十二个数组成这六对两数差为6的数组.任取7个数,必定有两个数差在同一组中,这一对数的差为6.6. 267将4千万人按头发的根数进行分类:0根,1根,2根,150000根共150001类.因为40000000=(266150001)+99743266150001,故至少有一类中的人数不少于266+1=267(个),即该省至少有267个人的头发根数一样多.7. 7将每10块颜色相同的木块算作一类,共3类.把这三类看作三个抽屉,而现在要保证至少有三块同色木块在同一抽屉中,那么至少要有23+1=7(块).8. 29将4种花色看作4个抽屉,为了保证取出3张同色花,那么应取尽2个抽屉由的213张牌及大、小王与一张另一种花色牌.计共取213+2+1=29(张)才行.9. 9将5个同学投进的球作为抽屉,将41个球放入抽屉中,至少有一个抽屉中放了9个球,(否则最多只能进58=40个球).10. 6订阅报刊的种类共有7种:单订一份3种,订二份3种,订三分1种.将37名学生依他们订的报刊分成7类,至少有6人属于同一类,否则最多只有66=36(人).11. 将整数的末位数字(09)分成6类:在所给的7个整数中,若存在两个数,其末位数字相同,则其差是10的倍数;若此7数末位数字不同,则它们中必有两个属于上述6类中的某一类,其和是10的倍数.ABCEFGH12. 将边长为1的正方形分成25个边条为的正方形,在51个点中,一定有(个)点属于同一个小正方形.不妨设A、B、C三点边长为的小正方形EFGH内,由于三角形ABC的面积不大于小正方形面积EFGH的,又EFGH的面积为.故三角形ABC的面积不大于.13. 考虑最极端的情况,有3个小朋友分到1本,有3个小朋友分到2本,有3个小朋友分到16本,最后两个小朋友分到17本,那么一共至少要3(1+2+3+16)+217=442(本),而442420,故一定有4个小朋友分了同样多的书.14. 注意到8行、8列及两对角线共有18条“线”,每条线上有8个数字,要使每条线上的数字和不同,也就是需要每条线上的数字和有18种以上的可能.但我们填入的数只有1、2、3三种,因此在每条线上的8个数字中,其和最小是8,最大是24,只有24-8+1=17(种).故不可能使得每行,每列及两条对角线上的各个数字之和互不相等.十八 抽屉原理(2) 年级 班 姓名 得分 一、填空题1.半步桥小学六年级(一)班有42人开展读书活动.他们从学校图书馆借了212本图书,那么其中至少有一人借 本书.2.今天参加数学竞赛的210名同学中至少有 名同学是同一个月出生的.3.学校五(一)班40名学生中,年龄最大的是13岁,最小的是11岁,那么其中必有 名学生是同年同月出生的.4.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒里,一次至少摸出_ 个,才能保证有2个小球是同色的.5.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒中,一次至少摸出_个,才能保证有6个小球是同色的.6.布袋中有60个形状、大小相同的木块,每6块编上相同的号码,那么一次至少取出 块,才能保证其中至少有三块号码相同.7.某商店有126箱苹果,每箱至少有120个苹果,至多有144个苹果.现将苹果个数相同的箱子算作一类.设其中箱子数最多的一类有n个箱子,则n的最小值为 .8.有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各4双,混杂在一起,要求闭着眼睛,保证从中摸出不同颜色的2双筷子,则至少要摸出 根.9.袋子里装有红色球80只,蓝色球70只,黄色球60只,白色球50只.它们的大小与质量都一样,不许看只许用手摸取,要保证摸出10对同色球,至少应摸出_只.10.有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各2支,让一位小朋友随便抓2支,这位小朋友至少抓 次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同.(每抓一次后又放回再抓另一次)二、解答题11.某游旅团一行50人,随意游览甲、乙、丙三地,问至少有多少人浏览的地方完全相同.12.从一列数1,5,9,13,93,97中,任取14个数.证明:其中必有两个数的和等于102.13.在一个边长为1的正三角形内,任给5个点,证明:其中必有两个点之间的距离不大于1/2.14.设,是任意互异的12个整数,试证明其中一定存在8个整数,使得:恰是1155的倍数.答 案1. 6将42名同学看成42个抽屉,因为212=542+1,故至少有一个抽屉中有6本或6本以上的书.2. 18因210=1712+16,故一定有18个或18个以上同学在同一月出生.3. 2这40名同学的年龄最多相差36个月(三年)因40=136+4,故必有2人是同年、同月出生的.4. 5从极端考虑:即使先取走取的4个球都是不同色的,那么取第5个球时就必有二球同色了.5. 21将球按颜色分成4类,每次各取5个时,也无6球同色,故应取(6-1)4+1=21(个)球,才能保证一定有6球同色. 6. 21将布袋中的木块按编号分成606=10(类)要保证其中某一类至少有三个,至少应拿出(3-1)10+1=21(块).7. 6每箱数目是120144,共有25种可能.因126=525+1,故至少有5+1=6(个)装相同苹果数的箱子,即n最小为6.8. 11当摸出10根时,可能是8根黑筷,白筷,红筷各一根,没有“不同颜色的二双”.当摸出11根时,至多有8根属于同一颜色,那么另3根中至少有二根是同色的.9. 23当摸出22只球时,可能有9对同色球,但剩余四球分别为红、蓝、黄、白各一只,达不到10对,另一方面,每摸出5个球,就会出现一对同色球,将这一对挪开,再摸出两个球,就必然会又出现一对红色球,如此下去,摸出23只球就能保证有10对同色球.10. 11两支笔的种类可分为同色与异色.同色的有4种,异色的有3+2+1=6种,为了保证至少有两次抓到笔的种类完全相同,至少要抓110+1=11(次).11. 浏览一个地方的,有3种,浏览二个地方的,有3种,浏览三个地方的,有1种,一个地方也不去的,有1种,共有8种方式.故至少有(人).浏览的地方是完全相同的.12. 给出的数是一个等差数列,它一共有25个数,将这25个组分成13组:.在这25个数中任取14个数来,必有二数属于上述13组中的同一组,故这一组二数之和是102.13. 如图,将三角形三边中点连结起来,就将原三角形分成了四个小三角形, 其边长均为,在原三角形内,任意给5个点,其中至少有两点在同一个小三角形内,这两点的距离小于小三角形的边长.ABCPQ. 14. 对1155分解质因数得1155=35711.在所给的12数中,必有2数除以11,余数相同,设这2数为x1,x2,则(x1-x2)是11的倍数.在剩下的数中,必有2数除以7,余数相同,设这2数为x3,x4,则(x3-x4)是7的倍数.在剩下的8数中,必有2数除以5,余数相同,设这2数为x5,x6,则(x5-x6)是5的倍数.在剩下的6数中,必有2数除以3,余数相同,设这二数为x7,x8,则(x7-x8)是3的倍数.故存在8个数x1,x2,x8,使(x1-x2) (x3-x4) (x5-x6) (x7-x8)是1155的倍数.附送：2019年六年级奥数专题：枚举法我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。例1 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。分析与解：将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用ab表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。出现7的情况共有6种，它们是：16，25，34，43，52，61。出现8的情况共有5种，它们是：26，35，44，53，62。所以，小明获胜的可能性大。注意，本题中若认为出现7的情况有16，25，34三种，出现8的情况有26，35，44也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。例2 数一数，右图中有多少个三角形。分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的再一类一类地列举出来。单个的三角形有6个：1 ，2，3，5，6，8。由两部分组成的三角形有4个：（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。由四部分组成的三角形有2个：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。由八部分组成的三角形有1个：（1，2，3，4，5，6，7，8）。总共有64121=14（个）。对于这类图形的计数问题，分类型数是常用的方法。例3 在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？分析与解：上珠一个表示5，下珠一个表示1。分三类枚举：（1）两颗珠都是上珠时，可表示5005，5050，5500三个数；（2）两颗珠都是下珠时，可表示1001，1010，1100，xx四个数；（3）一颗上珠、一颗下珠时，可表示5001，5010，5100，1005，1050，1500，6000七个数。一共可以表示 347=14（个）四位数。由例13看出，当可能的结果较少时，可以直接枚举，即将所有结果一一列举出来；当可能的结果较多时，就需要分类枚举，分类枚举是我们需重点学习掌握的内容。分类一定要包括所有可能的结果，这样才能不遗漏，并且类与类之间不重叠，这样才能不重复。例4 有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。那么，共有多少种不同的展开图？分析与解：我们将展开图按最长一行有多少个正方形（纸箱的面）来分类，可以分为三类：最长一行有4个正方形的有2种，见图（1）（2）；最长一行有3个正方形的有5种，见图（3）（7）；最长一行有2个正方形的有1种，见图（8）。不同的展开图共有2518（种）。例5 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？分析与解：本题是分步进行一项工作，每步有若干种选择，求不同安排的种数（有一步差异即为不同的安排）。这类问题简单一些的可用乘法原理与加法原理来计算，而本题中由于限定条件较多，很难列出算式计算。但是，我们可以根据实际的安排，对每一步可能的选择画出一个树枝状的图，非常直观地得到结果。这样的图不妨称为“枚举树”。由上图可知，共有6种不同的安排。例6 一次数学课堂练习有3道题，老师先写出一个，然后每隔5分钟又写出一个。规定：（1）每个学生在老师写出一个新题时，如果原有题还没有做完，那么必须立即停下来转做新题；（2）做完一道题时，如果老师没有写出新题，那么就转做前面相邻未解出的题。解完各题的不同顺序共有多少种可能？分析与解：与例5类似，也是分步完成一项工作，每步有若干种可能，因此可以通过画枚举树的方法来求解。但必须考虑到所有可能的情形。由上图可知，共有5种不同的顺序。说明：必须正确理解图示顺序的实际过程。如左上图的下一个过程，表示在第一个5分钟内做完了第1题，在第二个5分钟内没做完第2题，这时老师写出第3题，只好转做第3题，做完后再转做第2题。例7 是否存在自然数n，使得n2n2能被3整除？分析与解：枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对象是所有自然数，自然数有无限多个，那么能否用枚举法呢？我们将自然数按照除以3的余数分类，有整除、余1和余2三类，这样只要按类一一枚举就可以了。当n能被3整除时，因为n2，n都能被3整除，所以（n2n2）3余2； 当n除以3余1时，因为n2，n除以3都余1，所以（n2n2）3余1； 当n除以 3余 2时，因为n23余1，n3余2，所以（n2n2）3余2。因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，（n2n2）都不能被3整除。练习1.将6拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？2.小明有10块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？3.用五个12的小矩形纸片