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波函数和薛定谔波函数和薛定谔波函数和薛定谔波函数和薛定谔 方程方程方程方程 申梓刚申梓刚 郑州师范学院郑州师范学院 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程 波函数的统计解释波函数的统计解释1. 态叠加原理态叠加原理2. 薛定谔方程薛定谔方程3. 粒子流密度和粒子流守恒定律粒子流密度和粒子流守恒定律4. 定态薛定谔方程定态薛定谔方程5. 一维无限深方势阱一维无限深方势阱6. 线性谐振子线性谐振子7. 势垒贯穿势垒贯穿8. 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释波函数的统计解释波函数的统计解释 2.1.1 微观粒子的波粒二象性 与能量为E及动量为与能量为E及动量为p p 的粒子相联系的波（物质波） 的频率及波长为 的粒子相联系的波（物质波） 的频率及波长为E h = h p = 自由粒子平面波函数自由粒子平面波函数 () i ( , )e p r Et r tA = r r h r 2.1.2 概率波 问题：波动性和粒子性是怎么统一在一起的？ 电子是电子是“物质波包”。“物质波包”。 ?通过电子衍射可以在空间不同方向上观测到波包的一部 分，如果波代表实体，那就意味着能观测到电子的一部分， 这与显示电子具有整体性的实验结果矛盾。 通过电子衍射可以在空间不同方向上观测到波包的一部 分，如果波代表实体，那就意味着能观测到电子的一部分， 这与显示电子具有整体性的实验结果矛盾。 夸大了波动性，抹煞了粒子性。夸大了波动性，抹煞了粒子性。 薛定谔：薛定谔： 波是基本的，波是基本的， ?波包总要扩散，而电子是稳定的。波包总要扩散，而电子是稳定的。 德布罗意：德布罗意： 物质波是引导粒子运动的物质波是引导粒子运动的“导波”。“导波”。 本质是什么，不明确。本质是什么，不明确。 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释波函数的统计解释波函数的统计解释 另一种理解：另一种理解：粒子是基本的，电子的波动性是大量电子之 间 粒子是基本的，电子的波动性是大量电子之 间相互作用的结果相互作用的结果。 为防止电子间 发生作用，让 电子一个一个 地入射，发现 时间足够长后 的干涉图样和 大量电子同时 入射时完全相 同。（ 。 为防止电子间 发生作用，让 电子一个一个 地入射，发现 时间足够长后 的干涉图样和 大量电子同时 入射时完全相 同。（1989） 70000 300020000 7个电子个电子100个电子个电子 单个亮点说明电子的粒子性， 电子一个个增多而形成衍射图 案，说明单个电子有波动性。 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释波函数的统计解释波函数的统计解释 2.1.2.1 波函数的本质 ：概率波 玻恩（玻恩（M.Born)：在某一时刻：在某一时刻, 空间空间 r 处粒子出现的概率正比于 该处波函数的模方。粒子在空间出现的概率具有波动性的分 布，它是一种概率波。（ 处粒子出现的概率正比于 该处波函数的模方。粒子在空间出现的概率具有波动性的分 布，它是一种概率波。（1926年）年） 经典物理：有确定的力学量值。 量子力学：力学量值有多个。 波函数是概率波，因此波函数乘以常数不改变粒子的状态。 2.1.2.2 概率密度 设波函数()设波函数()tzyx, t 时刻处于时刻处于 xx+dx，yy+dy，zz+dz内的概率内的概率 ()() 2 , , , , ,d d ddW x y x tCx y z tx y z= 概率密度：概率密度： ()() 2d , , , , , d W w x y z tCx y z t V = 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释波函数的统计解释波函数的统计解释 2.1.3 波函数的性质 2.1.3.1 波函数应该是连续、单值和有界的 2.1.3.2 (r,t)和c(r,t)描述同一状态 和c在t时刻，在r1和r2处找到粒子的相对几率为 2 2 1 ),( ),( tr tr r r 2 2 1 ),( ),( trC trC r r = 因此(r,t)和c(r,t)描述同一状态 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代 表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释波函数的统计解释波函数的统计解释 2.1.3.3 波函数的归一性 波函数既然是描述微观粒子在空间中出现的概率，就应有： 1),( 2 =dtr 若有一个波函数(r,t)，1),( 2 dtr 令),(),(trctr= 且1),(),( 2 2 2 = dtrcdtr ),(),( 则 trctr= 就是归一化后的波函数 ?相因子不定:相因子不定: ?对归一化波函数仍有一个对归一化波函数仍有一个模为一的相因子不定性模为一的相因子不定性。 若 (r , t )是归一化波函数，那末， 。 若 (r , t )是归一化波函数，那末， e ei i (r , t )(r , t )也是归一化波函数（其中是实数），也是归一化波函数（其中是实数）， ?两者描述同一几率波。两者描述同一几率波。 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释波函数的统计解释波函数的统计解释 例1 .)24(,3, , /2 6 /)2( 5 /2 4 /3 3 /2 2 /2 1 1 hhhh hhh xixixi xixixi eiee eee += = + 描写同一状态？些与请问下列波函数中，哪 例2 有一波函数是 =),(tx .3 , 2 , 1)0()sin(= 求其归一化波函数。 =),(tx .3 , 2 , 1)0()sin( 2 = + 0 )(2 2 0 2 2 h 2.6 2.6 一维无限深方势阱一维无限深方势阱一维无限深方势阱一维无限深方势阱 阱内阱内 ( )sincosxAxBx=+ 解得解得 2 2 2 () mE = h 由波函数连续性条件由波函数连续性条件 sincos0 sincos0 AaBa AaBa += += sin0 cos0 Aa Ba 由此得到由此得到 = = A与与B不能同时为零，因 此得两组解 不能同时为零，因 此得两组解 (1)0,cos0 (2)0,sin0 Aa Ba = = (1,2,) 2 n an=L 由此可得由此可得 ax mE dx d =+ 0 2 22 2 h n为什么不能为零？ 2.6 2.6 一维无限深方势阱一维无限深方势阱一维无限深方势阱一维无限深方势阱 两组解可合并为两组解可合并为 ( ) 对于第一组解对于第一组解, n为奇数为奇数 cos() 2 0() n n n Bxxa xa xa = ( ) 对于第二组解对于第二组解, n为偶数为偶数 sin() 2 0() n n n Axxa xa xa = ( ) sin()() 2 0() n n n Axaxa xa xa + = 体系的能量体系的能量 22 2 2 (1,2,) 8 n Enn ma = h L 归一化：归一化： *2 1 1d, 2 a nnnn a a xAA a = ( ) 所以所以, 波函数波函数 1 sin()() 2 0() n n xaxa xaa xa + = 2.6 2.6 一维无限深方势阱一维无限深方势阱一维无限深方势阱一维无限深方势阱 定态波函数定态波函数 tE i n n eax a n a tx h +=)( 2 sin 1 ),( 讨论讨论 1、描述的是束缚态描述的是束缚态 n 所谓束缚态是当时，。 即粒子被约束在有限的区域内运动。 本例中粒子运动被约束于势阱中。 所谓束缚态是当时，。 即粒子被约束在有限的区域内运动。 本例中粒子运动被约束于势阱中。 x 0)(=x n 2、2、E正比于正比于n平方,能级越高, 能级间隔越大。平方,能级越高, 能级间隔越大。 22 2 4 n En ma h2 0 n n E En 当当n时时 能量可认为是连续的。能量可认为是连续的。 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子线性谐振子线性谐振子 2.7.1 线性谐振子的重要性线性谐振子的重要性 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振 动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振 动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还 是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子，两原子间的势 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振 动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振 动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还 是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离是二者相对距离x的函 数，如图所示。在 的函 数，如图所示。在 x = a 处，处，V 有一极小值有一极小值V0。在。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：附近势可以展开成泰勒级数： L+ + +=+ + += = = = = 2 2 2 )( !2 1 )( !1 1 )()(ax x V ax x V aVxV ax ax ax V(x) 0 V0 0)( 0 = = = = =ax x V VaV 2 2 2 0 )( !2 1 ax x V V ax + + = = 2 0 )( 2 1 axkV+=+= ax x V k = = = = 2 2 其中：其中： 取新坐标原点为(a, V取新坐标原点为(a, V0 0)，则势可表示为标准谐振子势的形式： 可见，一些复杂的势场下粒子在平衡位置附近的小运动往往可以用线性谐振动来近 似描述。 )，则势可表示为标准谐振子势的形式： 可见，一些复杂的势场下粒子在平衡位置附近的小运动往往可以用线性谐振动来近 似描述。 222 2 1 2 1 )(xmkxxV= 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子线性谐振子线性谐振子 2.7.2 线性谐振子线性谐振子 222 2 1 2 1 )(xmkxxU= 粒子势能为粒子势能为 22 22 2 d1 2d2 mxE mx += h 222 2 222 d2 0 d mEm x x += hh () 2 2 2 d 0 d += , m xx = h 2 E = h 根据定态薛定谔方程： 其中: 根据定态薛定谔方程： 其中:k或或 是常数的体系称为线性谐振子。 考察的 是常数的体系称为线性谐振子。 考察的 渐近形式,设 渐近形式,设 ( )( ) 令令 2 1 2 He = 且当且当 时，时，H()()有限有限 2 2 dd 2(1)0 dd HH H += 利用级数解法，为使当利用级数解法，为使当 时时 有限，有限， 应取奇数应取奇数()21(0,1,2,)nn=+=L （1）（1）线性谐振子的能级线性谐振子的能级,.2 , 1 , 0) 2 1 (=+=nnEnh 0 1 ( 2 E=h零 点 能 ） 基态：基态： 光的晶体散射实验和不确定性原理 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子线性谐振子线性谐振子 ( ) 能量本征波函数能量本征波函数 () 22 1 2 eH x nnn xNx = 由归一化条件：由归一化条件： ( )( ) * d1 nn xxx = ( ) 2 2 *2 1deHd 2 n nnn N x = ( )( ) 2 2 0 eHHd 2! mn mn nmn = = 1 2 2! n n N n = 利用厄米多项式的正交条件 得归一化常数 利用厄米多项式的正交条件 得归一化常数 （2）（2）n的奇偶性决定了谐振子波函数的奇偶性的奇偶性决定了谐振子波函数的奇偶性 ()( ) nn xx= n 偶数具有偶数具有偶宇称偶宇称 ()( ) nn xx= n 奇数具有奇数具有奇宇称奇宇称 ()()( )1 n nn xx= 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子线性谐振子线性谐振子 ( ) （3）（3）递推公式递推公式 ( )( ) 11 11 22 nnn nn xxxx + + =+ ( ) 11 d1 ( )( ) d22 nnn nn xxx x + + = （4）（4）波函数波函数 n = 0 n = 1 n = 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 E0 E1 E2 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子线性谐振子线性谐振子 （5）（5）概率密度概率密度 -22-44 | 10|2 经典谐振子：在振幅之内，都能找到粒子；振幅之外，粒子出现 概率为零。 量子力学的谐振子：有n个节点，在节点处找到粒子概率为零； 在经典运动范围之外不为零。 n()2 n=2 n=1 n=0 -11 随着n的取值越大，两种情况差别越小。 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿势垒贯穿势垒贯穿 0 U )(xU aox 体系势能在无穷远是无限大，波函数在无穷远为零，能级是分立的，处于束缚态 体系势能在无穷远是有限的，波函数在无穷远为不为零，能量可以是任意值 2.8.1 势垒贯穿 ( ) 0, 0 0,0 , Uxa Ux xxa = () 2 0 22 d2 0,0 d m EUxa x += h 2 22 d2 0 , d m E x += h 其他 根据定态薛定谔方程：根据定态薛定谔方程： 1 21 2 120 22 22 (),() mEm kkEU= hh 11 ii 1 ee(0) k xk x AAx =+ 22 ii 2 ee(0) k xk x BBx a =+ 此区域中没有向左的波，因此C为零 )( 1 3 axCe xik 解得解得 = 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿势垒贯穿势垒贯穿 利用波函数连续条件：利用波函数连续条件： 12 (0)(0),= 12 d(0)d(0) ddxx = 12 ( )( ),aa=12 d( )d( ) dd aa xx = AABB+=+ 1122 k Ak Ak Bk B= 221 iii eee k ak ak a BBC += 221 iii 221 eee k ak ak a k Bk Bk C = 1 22 i 12 ii22 1212 4e () e() e k a k ak a k k CA kkkk = + 22 22 122 ii22 1212 2i()sin () e() e k ak a kkk a AA kkkk = + 入射波的概率流密度入射波的概率流密度 联立解得联立解得 * i 2 J m = h2 1 k A m = h 透射波的概率流密度透射波的概率流密度 2 1 D k JC m = h 反射波的概率流密度反射波的概率流密度 2 1 R k JA m = h 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿势垒贯穿势垒贯穿 D = 透射波概率流密度入射波概率流密度= 透射波概率流密度入射波概率流密度 2 D 2 CJ D J A = 透射系数透射系数透射系数透射系数 D D 22 12 222222 12122 4 4() sin k k k kkkk a = + 反射系数反射系数反射系数反射系数 R R 2 2222 R122 2222222 12212 () sin () sin4 AJkkk a R Jkkk ak k A = + R = 反射波概率流密度入射波概率流密度= 反射波概率流密度入射波概率流密度 容易证明：容易证明：1DR+= 由以上二式显然有由以上二式显然有 D+R=1，说明入射粒子一部分贯穿势 垒到 ，说明入射粒子一部分贯穿势 垒到 x a 的区，另一部分则被势垒反射回来。的区，另一部分则被势垒反射回来。 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿势垒贯穿势垒贯穿 （2）当时，令（2）当时，令 0U E 1成立（相当于成立（相当于E很小）很小）,则则ak 3 akak ee 33 ak eaksh 3 2 3 2 4 1 4)( 4 1 4 3 22 1 3 3 1 + = ak e k k k k D 41 3 2 321 ak eakkk时，同数量级，和因为 ak eDD 3 2 0 = aEUm eD )(2 2 0 0 = h 透射系数透射系数 D 随势垒的加高、加宽和粒子质量增加而 急剧减小。 随势垒的加高、加宽和粒子质量增加而 急剧减小。 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿势垒贯穿势垒贯穿 例1: 入射粒子为电子。例1: 入射粒子为电子。 设设 E=1eV, V0= 2eV, a = 2 10-8cm = 2， 算得 ， 算得 D 0.51。 若若a=5 10-8cm = 5 ， 则 ， 则 D 0.024，可见 透射系数迅速减小。 ，可见 透射系数迅速减小。 质子与电子质量比 质子与电子质量比 p/e 1840。 对于 。 对于a = 2 则则 D 2 10-38。 可见透射系数明显的依赖于 粒子的质量和势垒的宽度。 例2: 入射粒子换成质子。 。 可见透射系数明显的依赖于 粒子的质量和势垒的宽度。 例2: 入射粒子换成质子。 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿势垒贯穿势垒贯穿 2.8.2 任意形状势垒任意形状势垒 0 a dxb x U(x) E 右图所示为一任意形状的势垒，我们可以把 这个势垒看作是许多方形势垒组成的，每个 方形势垒宽为 右图所示为一任意形状的势垒，我们可以把 这个势垒看作是许多方形势垒组成的，每个 方形势垒宽为dx,高为高为U(x)。能量为。能量为E的粒子 在 的粒子 在x=a处射入势垒处射入势垒U(x),在在x=b处射出处射出,即即 U(a)=U(b)=E。 aEU eDD )(2 2 0 0 = = h由式可得粒子贯穿每个方形势垒的透射系 数为： 式可得粒子贯穿每个方形势垒的透射系 数为： dxExU eDD )(2 2 0 = = h 贯穿势垒贯穿势垒U(x