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高级微观经济学微观经济理论基本原理与扩展,Contents,包络定理单变量与多变量情形条件极值拉格朗日乘数法,包络定理(envelopetheorem),研究当函数中某一参数变化时，最优值如何变化。,e.g.假设y是单一变量(x)与参数(a)的函数对于参数的不同值a，这个方程表示一簇反向的抛物线，请计算当参数a变化时最优值y*是怎样变化的。,通过求解单变量最大化问题的方法，求出x*，然后代入方程,2.包络捷径：对于a的很小变化可以在x的最优值点上令x为常数，对目标函数直接计算,直观解释：,多变量情形对于y是多变量的函数，类似的包络定理仍然成立。假设y取决于一组x(x1,xn)与特殊常数a，通过求解n个一阶方程,得出这些x(x1*,，xn*)的最优值。假设方程满足二阶条件，每一个能够表示为参数a的显函数，即,包络定理结论：,e.g.在斜边长为L的直角三角形中求周长最大的直角三角形。设两直角边长为x,y，则求周长z=L+x+y在条件L2=x2+y2下的最大值。,条件极值：自变量附加条件的极值问题称为条件极值。,传统解法：可从约束条件g（x,y）=0中解出y=y(x)，代入z=f(x,y(x)转化为一元函数的无条件极值。若从g（x,y）=0中解不出y=y(x)？,拉格朗日乘数法：问题：,构造拉格朗日函数：,一阶条件：,经济学中的绝大多数最大化问题都是限制条件下的最大化问题。效用最大化有预算限制社会福利最大化受资源限制利润最大化受技术限制分析经济学中限制条件下的最大化问题，拉格朗日乘数法非常有用。,拉格朗日乘数法：问题：,构造拉格朗日函数：,一阶条件：,拉格朗日乘数（）的解释：e.g.最佳的篱笆尺度：给定篱笆的周长p，求它所能围的最大面积（假定这个区域必须是矩形）。这个问题可概括为：,引入拉格朗日函数为：结论：最佳方法是围一个正方形（x=y）,这里f1表示x每增加一单位目标函数的边际增加；g1表示随x的增加y的取值范围的减少。这里，表明周长增加一单位，面积的增量。这里说明放松限制一单位，最大面积就会增加。,检验如下：取再取可见这个式子很接近于限制条件增加一单位时，A的变化量。,的经济学解释（影子价格）：,的边际收益的边际成本（多获取一点点x需承担的预算负担）,的边际收益,的边际成本,对偶性,每一个限制条件下的最大化问题都有一个相应的对偶问题，那就是在目标函数取最大值时把限制条件函数最小化。,原问题：,对偶问题：,e.g.最优篱笆的对偶：对于给定面积为A的矩形土地，农场主要以最短长度的篱笆围住它。数学表达为：建立拉格朗日函数：,在经济学中的意义
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