材料力学(II)第三章ppt课件.ppt

第3章能量方法,3-1外力功与杆件的应变能,构件在外力作用下将发生变形，其各点也将产生位移。在外力作用点处产生的沿外力作用方向的位移，称为相应位移，外力在其相应位移上所做的功称为外力功。杆件因弹性变形而贮存的能量称为应变能，也称为变形能。,根据能量守恒定律，当外力由零开始缓慢增加时，构件始终处于平衡状态，动能的变化及其他能量的损失可以忽略，此时功能原理成立：,(a)轴向拉（压）杆,(b)扭转,(c)弯曲,纯弯曲,横力弯曲,可以把应变能统一写成,式中，F为广义力，可以代表一个力，一个力偶，一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移，一个角位移，一对线位移或一对角位移等。,Fi为广义力，Di为Fi的作用点沿Fi方向的广义位移，它是由所有广义力共同产生的。,有n个广义力同时作用时,组合变形（用内力形式表示的应变能）,小变形时不计FS产生的应变能，,杆的应变能为,(a)由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。,应变能的特点:,(b)应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）,(c)应变能恒为正值,例,解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左),产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和！,例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算外力所做之总功。弯曲刚度为EI。,F,Me,A,功能原理的适用范围：当杆件上只作用一个集中荷载，且所求位移就是该荷载作用点处的相应位移时，方可利用功能原理直接求解。若杆件上作用多个荷载，或者虽只有一个荷载，但是是分布荷载，再或者只有一个集中荷载，但所求位移并不是该荷载作用点处的相应位移时，就不能利用功能原理直接求解。,C,例:试计算图示水平面内直角刚架的应变能以及自由端的挠度。刚架截面为圆形，直径为d，材料弹性模量和剪切模量分别为E和G。,解：对于图示刚架，弯矩和扭矩方程分别为：,AB段：,BC段：,图示梁的材料为非线性弹性体，Fi为广义力，Di为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。,.卡氏第一定理,3-2卡氏定理,它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。在推导中并没有涉及到梁的具体性质，故上式适用于一切受力状态的弹性体。,卡氏第一定理,适用于线弹性体和非线性弹性体,卡氏第二定理,仅适用于线弹性体,它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一荷载的变化率，等于与该荷载相应的位移。它将是研究的重点。,弯曲状态下，卡氏第二定理可写作：,如果在欲求广义位移的点处，没有与之相对应的广义力作用时，则需在该点处虚设一个与所求位移相应的作用力Fi，然后列出包括Fi在内的所有外力作用下的弯矩方程，将弯矩方程对虚设力Fi求偏导后，再令Fi为零，一起代入上式计算。,用该式计算时，可减少计算工作量。,轴向拉伸（压缩）状态下，卡氏第二定理可写作：,扭转状态下，卡氏第二定理可写作：,解：,例：用卡氏定理求A点挠度,结果为正，位移方向与集中力的指向相同,例：用卡氏定理求图示梁自由端转角，。,解：在自由端附加一逆时针方向的集中力偶,结果为正，转角方向与集中力偶的转向相同,图a所示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求A截面的铅垂位移DAy。,例题3-10,由于刚架上A、C截面的外力均为F，求A截面的铅垂位移时，应将A处的力F和C处的力F区别开(图b)，在应用卡氏第二定理后，令FA=F。,即,解:1.分析,AB段M(x)=FAx,BC段M(y1)=FAl,2.求DAy,CD段M(y2)=FAlFy2,令以上各弯矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得,图示各杆的直径均为d，材料的弹性常数G=0.4E。试用卡氏第二定理求A端的铅垂位移DAz（不计剪力对位移的影响）。,例题3-11,解:1.分段列弯矩方程及扭矩方程，并分别对力F求偏导数,AB段的弯矩方程及其对F的偏导数分别为,（0xl）,BC段的弯矩和扭矩方程及其对F的偏导数分别为,例题3-11,A端的铅垂位移为,2.求DAz,例题3-11,3-3莫尔定理（单位力法）,回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法,直接计算法(画变形图、积分法等),利用功能原理,利用卡氏定理,不适宜解决复杂问题,只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移,只适用于线弹性体,单位力法：更一般的方法，应用更广泛，更方便。,若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移D，可在该处施加一个相应的单位力，并以此作为单位荷载。即以虚设单位力作为荷载。由单位力引起的内力记为。,对于组合变形杆件，略去剪力对变形的影响，莫尔定理（单位力法）的一般表达式为：,由实际荷载引起的内力记为。,弯曲变形：,轴向拉伸（压缩）变形：,扭转变形：,图示梁受均布荷载q的作用，梁的弯曲刚度为EI，不计剪力对位移的影响。试用单位力法求梁跨截面的挠度wC和qA。,例题3-17,在C截面处施加单位力（图b），由荷载及单位力引起的弯矩方程分别为,(0xl)(a),(0xl/2)(b),解:1.求wC,因为均关于C截面对称，故C截面的挠度为,（和单位力方向一致）,A截面处的转角为,在A截面处加单位力偶（图c），单位力偶引起的弯矩方程为,(0xl)(c),2.求qA,例：用莫尔定理求图示梁自由端转角，。,解：在自由端附加一逆时针方向的单位集中力偶,结果为正，转角方向与集中力偶的转向相同,3-4余能与余能定理,对于一般的弹性体（比如非线性弹性体），应变能在数值上等于外力功，即Ve=W，但必须注意F-D以及s-e的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。,因为F-D，为非线性关系，上式积分后得不到1/2的系数，只能根据F=f(D)的函数关系进行积分。,式中，Me为扭转力偶矩，j为扭转角。,注意：,2.扭转,应变能,3.梁,应变能,式中，Me为外力偶矩，q为弯曲转角。,余能,图a为非线性体弹性体的受拉杆，其F-D如图b所示。,(1)余功的定义为,其大小为曲面OF1a的面积如图d所示。Wc和外力功W具有相同的量纲，且Wc为矩形OF1aD1的面积与曲面OaD1的面积（W）之差（图d）,故称Wc为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc。,(3)线弹性体(图e),Ve和Vc数值相等，但概念和计算方法不同，即Ve=f(D)，Vc=f(F)。,(2)余能,图示为非线性弹性杆，Fi为广义力，Di为广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。设加载过程中各位移和相应力的瞬时值分别为di、fi。,梁的余能为,表明,(4)余能定理,上式称为余能定理。可用于求解非线性弹性结构与Fi相应的位移。,可推导出,卡氏第一定理和余能定理的比较,当结构为线弹性体时，由于力F和位移D成正比，Vc在数值上等于应变能Ve（如图）。,余能定理可改写成,即卡氏第二定理，它是余能定理在线弹性情况下的特殊情况。仅适用于线弹性体。,3-5用能量法解超静定系统,设某一n次超静定结构，去掉n个多余约束，代之以n个多余约束反力X1、X2Xn，得到内力、变形与原结构相同的静定结构体系。对于该静定体系，可以用荷载及多余约束反力表示其内力，进而求得用荷载和多余约束反力表示的应变能。在一般情况下，各多余约束反力处的相应位移等于零，于是有变形协调条件：，从而可解出各未知力。,例：一次超静定梁如图所示，梁的弯曲刚度为EI。试作其内力图。,解:(1)用卡氏第二定理求解。将B支座的约束解除，代之以多余未知力X1，得到超静定的相当系统，如下图。,(2)用莫尔定理求解。仍取同样的静定基本体系，其弯矩方程不变。,根据莫尔定理，在B点施加一个竖向单位力。,作剪力图