（教育学专业论文）高中数学错题订正与收集的研究.pdf

上海师范大学硕士生毕业论文 摘要 数学解题教学在高中数学教学中占有很重要的地位，发挥着无可替代的教学 功能。在数学解题活动中，总是会出现学生的解题错误。出现错题是一种常见的 事情，学生如何面对这些错题将对提高他们的学习成绩有很大的关系。 如何才能减少或避免学生数学学习中的解题错误呢? 这是一个令广大一线 教师和学者所关注的问题。这也是学生渴望从老师那里得到答案的问题。因此， 研究高中数学错题的订正与收集极具现实意义与实际意义。 本文结合笔者在教学实践中收集的案例，依据多种教育理论和新课程理念， 从笔者所在学校及笔者个人的教学实际情况出发，在课程改革的背景下，按教师 的教和学生的学两个维度，对学生出现错误的原因及错误类型进行了归类整理， 将学生解题出错分为数学基础知识薄弱、数学认知策略有局限、顿悟思维受阻及 解题的习惯和训练方式存在缺陷四类。通过对错误原因及类型的研究，提出了四 项错题订正策略：分层订正、归纳订正、错因订正及题型订正策略，以期对高中 数学教学提供一定的参考。 教学试验的结果表明，通过有针对性的实施错题订正与整理策略，可以明显 降低学生解题时的出错几率，由此可以证明本文中提出的收集订正策略的正确性 和可行性。 关键词高中数学；错题；订正策略；收集策略； 上海师范大学硕士生毕业论文 a b s t r a c t m a t h e m a t i c a lp r o b l e m - s o l v i n gt e a c h i n gp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nh i g hs c h o o l m a t h e m a t i c st e a c h i n g ，a l s oh a sa ni n d i s p e n s a b l et e a c h i n gf u n c t i o n i nt h eu s u a l m a t h e m a t i c st e a c h i n g ，w eo f t e nf r e dt h a ts t u d e n t sm a k es o m ed i f f e r e n tk i n d so f m i s t a k e s m i s t a k e sa r ec o m m o n t h i n g sf o rs t u d e n t s ，h o w t ot r e a ta n du s eo fm i s t a k e s ， g e tag r e a tr e l a t i o n s h i pw i t ht h ef u r t h e ri m p r o v e m e n to f t h ea c a d e m i cp e r f o r m a n c e h o wt or e d u c eo re v e na v o i dt h ep r o b l e m - s o l v i n ge r r o r si ns t u d e n t s m a t h e m a t i c s l e a r n i n g ? t h a ti s aq u e s t i o na l lt h ef i r s t - l i n et e a c h e r sa n da c a d e m i cr e s e a r c h e r f o c u s i n go i lt h i si sa l s ot h es t u d e n t se a g e rt og e ta n s w e r sf r o mt e a c h e r s t h e r e f o r e ， t h em i s t a k ec o l l e c t i n ga n dr e s e a r c h i n gh a v eag r e a tp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e i nt h i sp a p e r , w i t ht h ec a s e sc o l l e c t e di nt e a c h i n gp r a c t i c e ，a u t h o ra r r a n g ea v a r i e t yo f e d u c a t i o n a lt h e o r ya n dp u tf o r w a r dap r o p o s a lt h a tc o l l e c ta n dc l a s s i f yt h e m i s t a k e st od i v i d ei n t of o u rt y p e s ：t h ew e a kb a s i ck n o w l e d g eo fm a t h e m a t i c s ，t h e l i m i t i n gc o g n i t i v es t r a t e g yo fm a t h e m a t i c s ，e n l i g h t e n m e n tt r a n k 迦i sb l o c k e d , t h e d e f e c t i v e l yp r o b l e m - s o l v i n gh a b i t sa n dt r a i n i n gm e t h o d s b a s eo nt h er e s e a r c ho f t h e m i s t a k e st y p e sa n dr e a s o n , a u t h o rp r o p o s e df o u rs t r a t e g i e s ：s t r a t i f i e dc o l l e c t i o n s t r a t e g y , i n d u c t i o nc o l l e c t i o ns t r a t e g y , r e a s o no fm i s t a k ec o l l e c t i o ns t r a t e g y , q u e s t i o n t y p e sc o l l e c t i o ns t r a t e g y a c c o r d i n gt ot h i sr e s e a r c ha n dt h er e s u l t s ，w eg a v eo u ra d v i c ea n ds t r a t e g i e sh a v e b e e ni n t r o d u c e dt os t u d e n t sa n dt e a c h e r so ne r r o rm a n a g e m e n t ，w h i c hc a np r o v et h e c o r r e c t n e s sa n dt h ef e a s i b i l i t yo ft h es t r a t e g y k e y w o r d s ：h i g hs c h o o lm a t h e m a t i c s ；m a t h e m a t i c sm i s t a k e s ；r e v i s i n gs t r a t e g y ； c o l l e c t i o ns t r a t e g y ； 上海师范大学硕士生毕业论文 第1 章：绪论 1 1 研究背景 当前教育模式下，许多家长对于教学质量的评价标准往往是以单一的分数来 评价，而许多学校本身也将此作为评价教学质量的唯一标准，这就导致了许多教 师迫于压力而片面追求分数，简化教学过程，难以兼顾到学生的全面素质的培养。 由此衍生出的“题海 现象也在许多学校普遍形成，老师们总认为“做得多 就 会“会得多或者“不吃亏”，甚至为考试而教学。这些不健康的教学模式已经 导致了许多不良现象，比如学生毫无主观能动性地被动学习。长此以往，使得学 生对于学习完全丧失兴趣，进而厌恶学习，最终成为失败教育下的牺牲品。 在这样的背景下，本文将着重探讨有关数学错题的问题。 很久以来，许多对于数学没有太大兴趣的学生常常会在错误的数学教学模式 下更加觉得数学枯燥无味，从而厌恶数学，换句话说，有一部分学生是人为因素 将他们催生成了“数学差生 ，而此环境下的数学教师也随波逐流地或是疲于应 付“题海”，或是无暇加强自身修养，或是无心深造学习，不去分析学生的独特 性和教学规律，最终导致学生在数学学习的过程中渐渐形成错误的认知，并且在 错误认知上不断被灌输新的数学知识，久而久之形成了恶性循环，最终导致学生 在错误的认知体系上偏离轨道，造成数学学习上越来越多的错误出现。 1 2 问题提出 笔者发现，在数学教学中常常出现这样一个问题，就是老师很认真地很系统 地讲授了新知识，学生也很认真地学习了，但是成绩还是不理想，总是出错。而 且，数学解题的过程中，学生经常出现各种各样的错误，而造成这些错误的原因 往往又很难解释清楚，排除掉学生的不良习惯，比如说粗心大意等等，有些解 题过程中学生出现的错误方式在常规教学经验看来完全是匪夷所思。这种现象不 但使老师伤脑筋，更使很多学生产生了困惑，而如果此时老师依旧在原来传统的 教学轨道上继续传授新知识的话，那些出错的学生可能根本没有时间也没有正确 的引导方式来帮助他们解决错误，即便有的学生很努力积极地想去解决问题，对 于数学基础本来就不好的自己来说，力量可能也是杯水车薪，而更多的学生在这 上海师范大学硕士生毕业论文 种情况下就会是消极的处理，这么一来，教与学的链条断的越来越开，直至造成 学生内心的恐惧、厌恶等负面情绪，最后对数学学习自暴自弃。 因此，不管是教师还是学生对数学学习中出现的( 解题) 错误的现状都是不 容乐观的。学生越来越害怕在数学学习中出现新的错误，他们希望得到教师的正 确引导与帮助，但是又不知道如何去做，只是单纯地有这种想法。而实际上很多 老师由于繁重的教学任务和压力，或者由于其他一些客观原因，会不经意地忽略 某些学生，难以做到完全平均地对每个学生因材施教，这看上去就成了一个难以 调和的矛盾。而严格说来，学生考题解答出现错误，对学生学习数学的兴趣、教 师的教学效果都有很大的影响，需要引起教师的关注，因此相当有必要对于上述 问题进行充分的分析和实验研究。 1 3 研究的价值 根据美国的著名心理学家和教育家布鲁姆所提出的“掌握学习 策略可以得 到：“只要有适当的现时与先前条件，大约9 5 的学生都能够的很好地掌握所学 的内容”。简而言之，形成学困生的原因，主要是由“知识缺陷的积累”所造成。 理论上来说，如能用科学的达标方案进行及时的反馈和矫正，就会在一定程度上 避免数学学困生的出现。同时，通过教育学和心理学的科学指导对高中生在学 习数学中的题目解答错误进行探究，不但帮助学生解疑释惑，提高学习效率，增 强学习信心与兴趣，也为老师的良性教学开辟了一个新的领域。 通过实际生活中的例子我们也能分析这方面的问题。比如说大家都会使用家 用电器，但是这并不代表大家都掌握了家用电器的原理和全部知识，而要通晓电 器知识，就必须对于电器有较强的动手实操能力，比如能清楚地发现坏了的家电 问题出在哪里，能动手拆卸维修家电。对于数学知识来说也一样，如果只能根据 课本上的例题进行练习，并不代表已经掌握了这部分数学知识。因此，要让学生 不仅仅只是能做题，还能自主判断错误，并且能够自己动手纠正这些错误，这才 能称之为已经很完善地掌握了这一部分的知识。因此在教学过程中老师如果能够 提出一些有错误的命题，让学生发挥主观能动性去辨别和讨论，不但可以帮助学 生进一步地理解该知识点，还可以发现在该知识点上学生存在的漏洞，从而及时 地对漏洞予以修补。 2 上海师范大学硕士生毕业论文 根据实际经验，我们可以知道，这种方法的确能够更加有效地提升学生的学 习积极性及学生的数学学习能力。老师如果能对学生在解题中出现的错误进行研 究，将解题出错变为“教师进一步把握教学规律以助学生更好地改正错误，在学 习中取得进步 的好事，才可能防患于未然，才能真正激发学生对数学的兴趣， 提高学生对数学学习的信心，培养学生认识错误、改正错误及反思错误的习惯， 提高学习数学的能力。 所以，把“学生出错”这件事情转化到教师的认识层面上来，引起教师的重 视与反思，才能真正促进中学数学课堂的有效教学。只有让广大一线教师从学生 的错误抓起，才能真正做到为学生“减负”，让我们的数学课堂充满生机与活力。 上海师范大学硕士生毕业论文 第2 章：文献综述 2 1 错题的价值与错题订正收集的意义 2 1 1 错题的价值 许多学生都有这样的经历：作业中出错的习题往往会被老师打上红叉叉，或 者被写上“订正之类的字眼，这种严厉的批判现象貌似很正常，实际上却无形 中让学生的心理有了畏惧，在知道自己做错的同时却又不知道错在哪里，有些学 生面对严厉的红叉叉又不好意思自己去问同学或问老师，摄于老师的权威只好偷 偷借正确答案来抄袭。这样做的结果是问题最终没有得到解决。积压的东西渐渐 多了，更是无所适从。长此下去，学生学习的信心全无，还会生成“学习困难 的自我暗示。 还有这样一种现象：出错的同学多了，老师不免会想怎么这么多学生不会做 这题? 于是第二天又重复强调。这种不明就里的炒冷饭行为，对于认知水平已经 完善的成年人来说尚无很大的影响，可是对于部分认知能力不够的中学生来说， 确实不胜其烦，很难被吸引到课堂教学中来。 以上两种现象都会导致教师费尽心力，学生收效甚微，且答题错误依然不断 出现，而教师年复一年的辛勤耕耘却缺失了新鲜感，增加了倦怠感。在当前课改 大潮下，面对一届届新的学生，只会觉得现在的学生越来越难教。 显然“错题改正 这样单一循环的教学模式已经不能适应当下的教育 环境，教师应该以积极的态度，让错题成为引导学生进行再度探究的学习资源， 更成为教师因势利导的载体。 以下是对学生的错题进行的双方面分析研究： 一、学生方面： 1 、逐渐减少直至最终杜绝关于知识点方面的错误。显然，通过有针对性的 讲解和练习，学生在知其所以然的基础上进行适度的强化后，知识点方面的错误 率会大大减少，这时如果再适当地进行间隔强化，大多数学生都能有效地、较牢 固地掌握知识点。 4 上海师范大学硕士生毕业论文 2 、适时确立学生的自信心和能动性。兴趣是最好的老师，老师需要让学生 自发地喜爱这门科目。老师通过引导学生共同分析，找到错题的症结所在，并且 进行正确的辅导和训练，学生的正确率会有较大的提高，面对自己的进步，加上 老师的激励性的评价，学生会渐渐产生自信心，从而对学习产生兴趣。 3 、及时消除盲点，为后续学习打好基础。数学知识，具有较强的逻辑性和 系统性，学生需要将环环相扣的知识点逐个掌握才能进行下一步新知识的学习。 而错题的及时分析与干预，恰如其分地起到了“亡羊补牢”的作用。 二、教师方面： 1 、防微杜渐。老师要整合错题资源，发挥错题资源的作用，将以往的错题 设计成“是非题”，让学生进行判断和对知识点的再强化，这种防患于未然的方 式既能达到强调的目的，又能避免在今后的教学过程中走远路、走歪路。 2 、将自己看做教学的研究者，提高自身分析解决问题的能力。学生出现的 错误有单一性也有群体性，老师要善于研究其中的规律，提出有效的对策，体 验到自身的教学价值。 3 、促进学生自我反思，以包容的态度对待学生。在研究错题的过程中，不 要习惯性归咎于学生自身的问题，而是要站在平等的角度来探寻问题，在健康互 动的状态下分析问题并采取纠正方法。在这种良性互动的过程中进一步了解学生 学习数学的心理特点和自己的课堂行为，宽容对待学生的问题，审视自身甚至教 材，有心地设计教学活动，让自己的教学更加适合学生的学。 4 、不断完善自我，调整自我，提高自我。老师需要不断学习和强化提高自 身才能适应不断变化的教学环境和各式各样的学生。心理学研究表明，要牢固掌 握所学习的新知识，需要强化卜8 次效果才佳。教师可以通过各种教学手段和 教学工具来完善自己的教学，通过心理学的引导和专业知识的不断更新来推进自 己的教学工作，最大限度地利用各种可以利用的条件来促进教学的和谐共进。 2 1 2 错题订正收集的意义 很多学习了多年数学的学生会问老师“为什么我明明数学基础很牢固，上课 时出现的问题也及时更正了，可是考试时还是会出错，而且一错再错? 笔者认 为，学生出现的这种现象暴露了以下几方面的问题。 一、长期的应试教育使师生都缺乏知识管理意识，教育本身也缺乏良好的管 上海师范大学硕士生毕业论文 理体系，导致错题被重视却不被正确处理。 二、许多数学成绩不错的学生长期受到表扬和肯定，自信心的膨胀使他们完 全不知道被贬低和挫败的心理压力，在错题管理态度和观念上有一定的优越感； 若学生长期得不到正确的错题管理的指导和帮助，问题会很严重。一方面是 由于教师知识结构的残缺和人事上的盲点，另一方面也是由于学生平时做习题没 养成良好的反思习惯，做错时只是就题改题，没有主动地对知识系统和数学方法 进行归纳。从无数个教学成功案例和教学实践结果来看，最有效的途径就是建立 数学错题集。 2 2 已有的订正策略的研究 一、理论性研究 随着世界范围内人们对数学教育重视程度的不断提高，对数学学习的研究也 逐渐成为热点。各国专家从各个方面对数学学习的规律和策略进行了分析和研 究。 1 9 7 1 年，英国的理查得斯根普出版专著学习数学的心理学( t h e p s y c h o l o g yo fl e a r n i n gm a t h e m a t i c s ) ，标志着现代数学学习理论研究的开始， 书中主要阐述了关于数学学习的概念，较之普通心理学更加贴近数学学习。心理 学家皮亚杰则在发生认知论原理( t h ep r i n c i p l e so fg e n e t i ce p i s t e m o l o g y ) 中从认知论角度阐述了数学学习的心理特点。而布鲁纳、加涅等心理学家也探索 过初级数学概念的学习规律。近年来，国际数学教育心理学组织( p m e ) 也逐渐成 为国际数学教育委员会( i c m i ) 最活跃的专门组织。该组织一直试图通过对数学学 习的研究，找出理论依据以便不断优化数学教学乜3 。 我国对数学学习理论的研究始于2 0 世纪8 0 年代末期。毛鸿翔、季素月的数 学学习心理学开国内数学研究之先河。此后，许多数学教育家将国外的先进数 学研究理念带回国内，结合我国数学教育现状开展了各种研究。如刘电芝作了“数 学解题策略的研究”，她通过长期的实践和探究，提出了解题的通性遥法一化 归，进而阐述和总结了数学解题中主要的化归方法一构造法、变化法、恒量法、 分类法。再如郑毓信先生的认知科学建构主义与数学教育，从哲学的角度对 数学教育进行研究和指导。而华师大的李士奇先生所著的熟能生巧吗以及姊 妹篇熟能生笨与熟能生厌则告诉我们在借鉴国外经验的同时更要立足国 6 上海师范大学硕士生毕业论文 内，结合国内环境对数学教育扬长避短嘲。 二、实践性研究 国内外学者在对数学教育理论进行研究的同时也在孜孜不倦地总结实践经 验。 l 、对学习优秀的学生进行研究的案例。在克莱门茨对数学天才儿童进行的 研究中发现，对数学学习有天赋的儿童擅长抽象、类比、形式化等策略。他还对 5 9 名擅长计算的人进行了访问，确认了优秀计算应具有的三个成分：转译、重 新表述和补偿。 2 、对比发现善学和不善学者的区别。专家研究发现我国儿童和国外儿童存 在很大的不一样，如我国儿童在解应用题时出现的问题往往是缺乏对题目中隐含 条件和中间状态的分析而非解题步骤有问题。 3 、研究学习的策略。研究者教给学生有效的学习策略以提高学习效率。研 究表明：有效的学习策略可以短期提高学习成绩并能对学习方式进行有效的迁 移。有的学者着重研究了不同的学习方式带来的不同效果。如方平等人采用“讨 论法、学生出声思维与交谈人员指导相结合、教师随堂渗透讲解 三种方法进行 训练，发现教师随堂渗透讲解的方式明显优于前两者。 4 、研究情感对数学策略的影响。哈尔滨师范大学的鲍曼教授就“数学学习 策略训练量对成就动机各因素的影响 这一研究目标进行了实验。研究结果显示， 与学习的效果有明显关联的策略有：创造性的学习策略、探索性的学习策略、数 学竞赛策略、兴趣学习的策略与及时反馈策略。 5 、研究新技术与数学策略的关系。专家通过分析注意、概括、联想等几方 面来建构数学陈述性知识的学习策略，同时也从掌握程序模式、练习、反馈等几 方面来建构数学程序性知识的学习策略h 1 。 2 3 相关理论 2 3 1 错题管理的起源 1 9 9 1 年，脑力作为财富中第一篇有关知识管理的文章被发表，由此 拉开了有关知识管理的研究和探讨，该方面的理论和实践也开始用于现实管理。 1 9 9 9 年英国剑桥大学学者发表的创造知识的学校( t h ek n o w l e d g ec r e a t i n g s c h 0 0 1 ) 开创了知识管理应用的先河。 7 上海师范大学硕士生毕业论文 知识管理研究正渐渐从企业延伸到教育领域。错题管理一词是由知识管理一 词衍生而来，北师大的刘儒德教授首先应用了该词。他认为，我国学生迫于升学 压力而用题海战术来训练和记忆，以至于他们经常要用到错题反馈的经验来进行 学习和加深印象。 由于教师在教育系统中占据了权威地位，以至于许多学者更多的倾向于研究 教师而忽略了学生。错题管理作为知识管理的一个方面，具有非同寻常的价值。 对其深入的研究将有助于学生对逻辑关系的理解，促进数学知识的系统化，提高 学生在学习上的自我监控，从而培养完善解决数学问题的能力嘲。 2 3 2 错题管理的涵义 不同的人对“错题 一词有不同的理解。错题特指学生在学习中出现错误的 题目。结合知识管理的理论和学生学习的实际情况，可以将错题管理定义为学生 自主整理并归类自己在日常学习中的错题，将其中的信息进行整合和收集，提高 并完善自己的监控能力和学习能力，从而提高学习效率。 以下两点可以帮助我们理解错题管理： 一、错题管理是一种自我监控的培养过程 这个过程主要可分为三大方面：一是事先安排学习计划和活动，二是自觉评 价反馈自己的学习活动，三是进一步调整和规划学习活动。 当老师在课堂上对学生的错题进行讲解和纠正时，其实是一种他控活动，即 由学生被动地学习和接收信息，而学生的错题管理，其实是开发学生自主补救的 潜能，这种活动是不需要外力协助的，可以说就是一种自我监控过程。 另一方面，在错题管理的过程中，学生的自我监控贯穿在其中：自我监控的 第一个环节是发现和搜集错题，是对学生的前面的学习活动的调节和反馈，它能 引起学生的思考：为什么题目做错了；第二个环节是整理和归类，其具体表现是 学生自己找出错因，然后对错题进行归类；第三个环节是对错题进行改，如果学 生最终还是不能解决问题，这时他们就会将注意力转向外界因素，譬如老师或者 成绩较好的同学，进而解决问题；第四个环节是针对解题错误进行变式训练，在 这一阶段制定学习计划，安排学习事宜等一系列的行为都是学生结合获取的信息 对错解题的学习进行监视及反馈，然后进行调节控制的结果1 。 自我监控作为错题管理中的一种内隐的过程，是解决问题方法的选定、寻求 上海师范大学硕士生毕业论文 和实施的指挥者和操纵者，不只是在某一项具体活动中起重要的作用，而且对于 个体发展与提高解决问题的能力也有着十分重要的意义。 二、错题管理实现知识的内化 德国著名的物理化学家p o l a n y i 将知识划分为两种：显性的知识与隐性的知 识。显性的知识指的是可以外在显示的，可以用文字、符号及语言等形式来表达 的，也值可以通过某种媒体介质存储的知识；隐性的知识则是指内隐的、不好表 达的、寄存于个体大脑、在个体行为中表现的知识，它在个人的行动与经验中深 植，同时，也在个体所持有的价值观与信念中存储。根据这种划分，在数学教科 书上所呈现的概念、定理、公理及知识可以归结为显性的知识的范畴，而思想方 法则能够归结为隐性的知识范畴口1 。 错题管理对于高中生学习中进行隐性的知识与显性的知识之间的相互转化 有很大的帮助。在解决问题的过程中，学生不仅仅会用到教科书上的定理、概念 等一些显性的知识，而且还能够对技巧方法、数学思想方法等有关的隐性的知识 进行运用。在某问题情境中，例如学生因为自我监视控制不力或者负迁移，便会 被激活某些在于学生脑海中存在的错误的认知模式，导致出现错误，根据错题管 理的帮助，学生在对错题进行反思的基础上，能够发现解题错误的原因。经过修 正后，得到的正确解题模式在以后解决的问题时可以加以运用。 同时，学生在反思解题错误的时候，可以把自己脑海中杂乱无章的知识条理 化。这种内化过程将会不断地修正和充实学生的个体认知系统。 2 3 3 错题管理的目标 对于学生个人来说，错题的有效管理不仅会使中学生明晰错题管理的意识， 掌握错题管理的方法与策略，而且还会加强他们驾驭知识的能力，以至于有效的 学习。 陈珍是厦门一中的老师，她指出学生学习数学低效主要表现之一就是：学生 的知识再现速率低，并且，对于知识点缺乏归纳整理，以至于所学的知识杂乱无 章。直接导致他们解决问题的时候，有用到的知识无法被快捷、准确地呈现。 由于知识的杂乱无章，这样显然对于学生的高效学习不利。错题管理可以让 学生意识到上述的弊端，从而形成“错题需要管理”和“错题必须管理 的意识， 通过错题管理的实践，可以逐渐强化成学生的一种经常性行为。 9 上海师范大学硕士生毕业论文 中学生在认识到错题管理的必要性之后，很有必要掌握必需的错题管理方法 与策略，知道“怎样进行错题管理”。独特的错题管理方法几乎是每一位优秀的 学生都有的，其中学习反思是最具代表性的方法之一。 中学生通过实施有效的错题管理，应该实现以下五种能力的增强：一是收获 知识的能力。二是知识储存能力，该能力是指学生能把获的知识及时分类整理， 或者用文本的形式记录成为自身的一种显性知识或主动将其内化至个人知识的 结构层次，成为自己的隐性知识。三是学生转化知识的能力，此能力是指学生能 对自身显性的知识和隐性的知识进行转化。四是知识应用的能力，该能力是指学 生能够将自身的显性与隐性知识在数学学习中进行运用。五是知识的创新能力。 此能力是指学生在反思过程中更新解题的方式方法，并最终形成解决问题的自身 智慧嘲。 2 3 4 错题管理研究现状 错题管理这一词汇由知识管理得来。在国外，对于解题错误研究比较多，经 典强化论认为应该有组织的训练，尽量“不犯错误”。这种方法的潜意识是犯错 是对时间的浪费，从而使学习数量降低。相反，美国的研究者f r e e s 认为错误有 积极的作用。因为借助错误提供的反馈，学习者能够看到错误的后果、学习正确 方法。刘儒德教授是最早在使用国内错题管理这一词的专家，他在2 0 0 4 年进行了 对1 1 0 名内蒙古的高一学生的调查，结果显示：高一学生大多认识到了对于学习， 错题有较大的影响，并不回避错题。但并没有认识到错题的价值，尤其缺乏良好 的错题管理意识与系统的错题管理策略；优秀生在错题管理的观念与态度上明显 优于普通生。南京师大的研究者孙桂珍曾对南京市的1 5 5 名初中学生进行调查， 调查发现：初中生大多重视错题，但欠缺具体的管理行为和管理策略。该研究者 在0 7 年对7 4 9 名山东省的初高中生进行了调查，调查表明：中学生在错题管理中， 存在着性别、学校、成绩的差异四1 。 策略、采取切实有效的解题步骤。在错误研究的基础上，美国研究者发现， 相对于错误管理的训练，错误避免训练能够产生更好的成绩n 们。 很多其他的研究者也对错题的管理及应用进行了研究。上海市五三中学的周 鹰老师提出学生需要建立“错题集”，并提出了操作关键点：对原题进行记录； 对正确、错误解答进行标注；对错误的根源进行分析；不要形式主义；学生应该 1 0 上海师范大学硕士生毕业论文 学会总结、发散。湖南省衡南第五中学的周厚忠老师提出了两大步骤：建立错题 集、使用错题集。不少省份的高考状元在提及其成功的经验时，也肯定了错题集 的作用。从研究得来的结果看，这些文献的探究和研讨只是浮于单一的理论层次， 其结果只能反映个人的思维模式，并没有基于实验得出结论，因此实践方面的研 究尚缺1 1 。 上海师范大学硕士生毕业论文 第3 章错题类型分析及订正策略 多年以来，高中数学教学进入新授，考试，订正，再考，再订正的常态现象， 笔者在教学中向笔者的学生大力倡导订正错误学习法。也常向学生强调该法的重 要性并要求笔者的学生必须要对作业、课堂练习、考试中错误的题进行订正，进 一步掌握相关知识点。而且笔者对每一个学生都进行有关作业、试卷订正情况检 查，对于订正任务完成得好的学生及时表扬，对于忘记订正错误的学生则及时督 促订正，最终培养学生形成订正错误的好习惯。这样的方式能够促使中等偏下学 生在错题订正中进一步提高的自身解题能力的策略，以避免题海战术。 以下是学生的访谈简录： 师：在数学学习中，你经常犯什么样的错误? 学生l ：在计算过程中算错，公式记错，看错题目 学生2 ：在有些题目中考虑不够全面，忽略其它的可能性 学生3 ：在练习中，不能理解题意，导致题目做错 学生4 ：审题不清，对题意理解不透 师：你是如何避免错误? 学生1 ：做好题后要验证 学生2 ：仔细审题，细心计算。 学生3 ：做好错题，时常复习巩固 师：你最刻骨铭心的错是什么? 学生l ：抄写错误( 1 ) 在做题时，由于字写得不好，做题过程中的数字抄 错。 ( 2 ) 将答案填到答题卷上时抄错 ( 3 ) 题目中的符号抄错 学生2 ：忘记自变量的定义域 n - 你们平时有订正错题并收集的习惯吗? 学生1 ：我只订正错误，但没有时间收集错题 学生2 ：我每次都订正并把题誊写在错题本上 师：高中的学生要经历很多大大小小的练习与测试，错题本是必不可少的好 帮手。在学习中，把自己做过的作业、习题、试卷中的典型错题记录下 1 2 上海师范大学硕士生毕业论文 来以备日后随时查找自己的知识漏洞。错题本可使学习更有针对性，有 助于提高学习效率。 3 1 分析“错”、“误”的原因 根据笔者的个人教学实践及同事的教学研究的积累以及问卷调查( 第四章) 和访谈，我们可以从中看到，有很多的原因可以导致错误，下面结合笔者的个人 教学实践，从教师与学生这两方面因素分析这些导致错误的主要原因。 3 1 1 教师因素 教师们习惯认为，学生在解题中出现错误，是学生自己的事，与教师本身没 有太多的关系。“课堂上我已经讲得很清楚了，是他们自己不细心，“现在的 学生啊，平常上课都不知道在想些什么，讲过的题照样做错 不难听到老师这样 的抱怨。但是，光抱怨有什么用，根本就解决不了问题，我们应该找找自己的原 因。通过仔细分析他们犯的错误，不难得出，在我们的教学中存在的问题。笔者 通过跟学生们的交谈，以及同事们之间的沟通，发现其实学生的某些错误与我们 做老师的并不是一点关系都没有。当然，这也只是导致学生解题错误诸多因素中 的一部分，在这里将它提出来，希望广大一线教师及教学工作者能对其予以重视。 俗话说的好：“金无足赤，人无完人。我们做教师的在教学中也是会出错的。 从学生访谈中，我们不难看出，学生已经提出了这一现象，他们对老师的态度还 是比较宽容的因为他们理解老师的难处。即使如此，我们也应该进行反思，比如 说是否在讲解新课时，偶然讲错啦；或是在课程回顾时，忽视了犯的错误。尽管 我们不是有意的，但它却能给学生带来很大的负面影响：如在面对部分学生的解 题格式及数学表达能力等方面的问题都与我们的这些“无意 有一定的关系。如 果我们能及时发现学生出现的解题错误，及时予以纠正，那么就不会出现类似的 错误：但是，如果我们未能及时和学生交流，那么这样的错误会一直延续下去， 直至影响到学生的数学学习。因此，我们作为教师一定要给予足够的重视，治学 需严谨，精益还需求精，不能因为我们这些的“无意”而给学生带来一些没有必 要的困惑h 别。 1 3 上海师范大学硕士生毕业论文 3 1 2 学生因素 在认知心理学中，通常认为获得知识的过程不但受个体的先天性的倾向影 响，而且还受到个体已经获得的知识的影响。对知识的学习，是在已经获得的知 识的基础上进行的，数学的学习也是如此。 一、数学基础知识薄弱 新知识的获取与个体的原有知识的相似性相关联，也与个体的原有知识的丰 熟练、富度度等因素相关联。学生数学知识的认知结构，是学生通过学习，逐渐 形成的数学知识网络，数学概念通过这个网络进行联系，当学生遇到新的学习情 境或者使用所学的知识来对问题进行解决时，所需要的知识就容易被提取，并与 新的知识之间建立富有意义的联系。然而，在学生进行学习或者解决问题的时候， 他们欠缺一定的数学认知，或者是这个知识点存在于学生的脑海中，但是没有建 立与同类知识的联系，也将阻碍该类知识的获取，进而使学生的对知识理解和掌 握的难度增加。众所周知，数学是一门系统性、逻辑性非常强的学科，对新知识 的学习必须在已经有的知识的基础上建立。如果对先前的数学基本知识的掌握不 好，必定会给学习新知识带来困难，这样一来，知识没有了迁移的基础，这个时 候，解题错误不可避免的在学习中出现了。 根据问卷调查( 一) 结果分析，以函数这一概念为例，学生的掌握程度直接影 响解题的成功与否，具体表现在： 1 、不重视概念定义的学习 有的学生对于概念不够重视，对相关概念的理解不透彻，对基本概念本质属 性不能如其掌握，特别是在考察概念的定义，错误率马上就会出现。通过对问卷 调查( 一) 结果分析可知：选择题的第4 题的正确率仅为0 2 4 6 ，这说明学生对函数 的定义的本质理解的不透彻：第5 题解答题是考查学生对概念理解运用及其创新， 居然没有一个学生能够解答出来；第2 题选择题的正确率也仅为0 1 0 8 ，这表明函 数的奇偶性定义理解，学生还是出于表层的熟悉，对本质的理解不透彻，其实函 数的奇偶性是在定义域对称的基础上，比较f 【x ) 与f ( - x ) 关系。由于函数有定义域 优先原则，要求f ( 一x ) 有意义，必定要求f ( x ) 的定义域关于原点对称，很多学生 在定义域这点上出现错误。对于第2 题，大部分学生能给出具体定义是：一次函 数、一元二次函数、对数函数、指数函数；极少数同学能给出函数( 奇) 偶性、增 1 4 上海师范大学硕士生毕业论文 ( 减) 函数的定义；映射、数列、函数、反函数定义几乎没有给出。其实学生在平 时的作业中也常常出现此类情况：如： 例l 口= 0 是复数z = a + b i ( a , b r ) 为纯虚数的() 条件 很多学生答案：充要，没有考虑至i 。一。 6 a = 吕 这类问题易错，老师讲解时，一点就通，学生当时懊恼不已。但这类错误容 易犯，“一而再，再而三 2 、抽象概括能力不强 数学为什么抽象? 实质上与数学是一门符号语言学科有关，有的学生在解决问题 时题目看不懂，如碰到不认识的符号，马上无心解题；如： 例2 设口，为互不重合的平面，掰，行为互不重合的直线，给出下列四个命题： ( d 若m l o t ，力c 口，则m 上疗； 若m c o t ，刀c 口，聊卢，刀卢，则口卢； ( 多若口上p ，口r 、卢= m ，刀co t ，力上m ，则玎_ l 卢；( d 若m _ l 口，口上p ，m n ，贝u p 其中所有正确命题的序号是 学生答案五花八门，如选的同学，没有注意平面内两条直线需要是相交直 线。错误根由主要是有的学生对定理理解不透彻，概括能力不强，从而导致出错。 本题注重训练学生准确表达数学符号语言，加强数学符号语言、文字语言 及图形语言的互译。有的学生在解题时不能把符号语言转化自己认知结构中内部 语言。从而导致出错。如问卷调查( 一) 中解答题的第l 题就有学生因为不理解题 中符号的含义而无法解题。 3 、概念间联系贫乏 在很多学生的认知结构中，他们学习的知识点都是各自孤立的，特别当教师 将知识点逐次教给学生的时候，学生很难将各个知识点串联起来，再加上函数的 知识点本身就比较抽象，各个定义、性质之间的联系更难以掌握。如： 例3 设f 为抛物线y 2 = 4 x f a + f b + f c = o ，则网+ 同+ p l 的焦点，彳，b ，c 为该抛物线上三点，若 = 一 学生对此题束手无策， 很多学生空着，另有学生胡乱写个答案。这是向量与圆锥曲线的一个综合题，学 生对向量比较陌生，望而却步。由于学生对知识点间缺乏联系思考，总是顾此失 彼，造成解题困难。 上海师范大学硕士生毕业论文 数学中有很多知识是相互联系的，现行新教材特别注意用联系的观点处理问 题，课本中例、习题常为我们提供了充足的素材和广阔的空间因此，我们应该 充分利用课本例、习题之间相互联系、相互作用、相互影响这一规律，串通教材， 做到融会贯通，开阔视野，增强思维的灵活性 从问卷调查( 一) 结果分析可知：选择题的第6 题的正确率是0 3 8 5 ，选择题 的第7 题的正确率是0 3 0 8 ，这表明学生对函数运用不熟练，并由于这一原因，导 致解答题的第( 4 ) 题，第( 6 ) 题解不出来。问卷调查( 二) 结果分析可知：选择 题的第2 题的正确率是0 2 7 3 ，这表明学生没有掌握复合函数，没有把它及其单调 性联系起来。另外我们对学生的访谈也表明，学生对概念间的联系是比较少的， 他们很难把函数内容与其他知识联系在一起。 4 、概念运用能力不强 学习数学的目的在于运用，运用函数的所有性质进行创新，是综合运用概念 的实质，对学生的能力要求比较高，从两问卷调查可以看出，学生的应用能力非 常低，正确率通常只有3 0 - 4 0 左右，这与自身班级的实际情况相符，并且很 多学生出现这样的错误。如： 例4 已知训饿2 一饿+ l 0 三是思维广阔性不好，学习时容易顾此失彼，不能够将有关信息联系起来建 立问题中心图式去多角度思考问题，对算法多样化和解决问题策略多样化的体验 与同龄的其他同学相比存在较显著的差异。 在高中解题过程中经常会碰到一题多解，一题多变的现象，如： 例8 设函数m ) = s i n ( 等一l 一2 c o s 27 r x 8 + 1 qo舀 ( 1 ) 求f ( x ) 的最小正周期 ( 2 ) 若函数y = g ) 与y = 厂( x ) 的图像关于直线x = 1 对称，求当x 【0 ，i a i 】时 y = g ( x ) 的最大值 解：( 1 ) 厂 ) 2 s i i l 署x c o s 詈一c o s 三x s i i l 詈一c o s 三x =了,fisl。11三x一三cos至x=压sm。仁x4244 一刍3 2 一s x 2 v j l 一一一 2 、 故厂( x ) 的最小正周期为t = i 2 1 r = 8 4 ( 2 ) 启竿法一。 在y = g ( x ) 的图像上任取一点o ，g ( x ) ) ，它关于x = 1 的对称点 ( 2 - x ，g ( x ) ) 由题设条件，点( 2 一x ，g ( x ) ) 在y = ( x ) 的图像上，从而 g ( x ) = f ( 2 x ) = , f i s i n 4 ( 2 一x ) 一詈】 = 压咖呼一号z 一争2 压c 。s ( 三x + 争 当o x 三时，互三x + 三2 n ，i 因l j t y = g ) 在区间【o ，i 4 】上的最大 。4。3 4 33 。3 。 信为 1 9 上海师范大学硕士生毕业论文 = 争鱼2 解法二： 因区间 o ，j 4 】关于x = 1 的对称区间为哼2 ，2 】，且少= g o ) 与y = 厂 ) 的 图像关于 x = l 对称，故y ：g ( x ) 在 o ，二】4 上的最大值为y ：厂 ) 在吒2 ，2 】上的最大 值 由( i ) 知m ) = 届n ( 三x 一争当詈娜2 时，一詈詈詈 因此y = g ) 在 o ，尹4 上的最大值为g 一= ；s i n 詈= 鱼2 有的学生公式错误，导致“全盘皆输 。很多学生对于第二小题束手无策， 既不会求g ( x ) 的解析式，更想不到用对称思想转换到f ( x ) 上求对应最值。对一 些典型的练习题进行多解处理，可以在演变多解过程中，使得学生在知识及方法 的纵横方向分别得以拓广和延伸，培养学生的发散性思维。一题多解，一题多 变的训练有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。 四是受到认知结构的结构性、清晰度、及系统性的影响，由于思维敏捷性差， 在解题的过程中不能较快地提取可利用的知识。 五是思维创新性差，在学习和解题的过程中，具有创新性的方法不能被找到， 不能运用已学到的知识进行创新性学习，对根据某种情境而提出的数学问题感到 解答困难。如： 例9 ( 2 。6 年四川卷) 如图，把椭圆兰2 5 + 害：l 的长 a b 分成8 等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于鼻，只，只，只，只，只，弓七个点，f 是椭圆的一个焦点， 则l 置f i + i f i + i b f i + 1 只f j + 1 只f i + 1 只f i + i 与，i = 考查本意：本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用 上海师范大学硕士生毕业论文 解：由椭圆2 5 + y a l 6 = 1 的方程知口2 = 2 5 ，口= 5 i 毋f i + l 尸| + l 忍f | + 1 只f i + l f l + i 忍f i + i 弓f i ：三每翌= 7 口= 7 5 = 3 5 因此填3 5 很多学生看不出此题考查什么，乱做一气，最后无功而返。 六是思维的批判性差，学习时不善于对自己的思维过程进行自我反思、自我 调控，不习惯分析、纠正自己解题或作业中的错误。如： 例l o 求下列函数的值域 ( 1 ) y = x + 2 历 令t = 而进行换元解题。 ( 2 ) y = x + 4 1 一x 2 此题与上题有较大区别，得用三角换元，令x = c o s 口即可。 例1 1 求函数厂( x ) = s i l l 孚+ c 。s ( 等一詈) 的振幅、周期、单调区间及最大值与 最小值 解：利用和差化积公式可化为厂( x ) = ；c o s ( 等一詈) ，从而可求出所要的结 论 变式1 ：求函数厂( x ) =