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文档简介

1,例1.求由摆线,的一拱与x轴所围平面图形的面积.,解:,2,例2.计算心形线,与圆,所围图形的面积.,解:利用对称性,所求面积,3,例3.求双纽线,所围图形面积.,解:利用对称性,则所求面积为,思考:用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积.,答案:,二、体积,7,特别,当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有,8,例2计算由椭圆,所围图形绕x轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解:方法1利用直角坐标方程,则,(利用对称性),9,方法2利用椭圆参数方程,则,特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积,14,例5.计算摆线,的一拱与y0,所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.,解:绕x轴旋转而成的体积为,利用对称性,15,绕y轴旋转而成的体积为,注意上下限!,注,16,分部积分,注,(利用“偶倍奇零”),17,柱壳体积,说明:,柱面面积,18,偶函数,奇函数,21,例7设,在x0时为连续的非负函数,且,形绕直线xt旋转一周所成旋转体体积,证明:,证:,利用柱壳法,则,故,22,设平面图形A由,与,所确定,求,图形A绕直线x2旋转一周所得旋转体的体积.,提示：,选x为积分变量.,旋转体的体积为,例8.,若选y为积分变量,则,23,设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.,取侧面积元素:,24,侧面积元素,的线性主部.,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积S的,注意:,侧面积为,25,例9.计算圆,x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.,解:对曲线弧,应用公式得,当球台高h2R时,得球的表面积公式,26,例10.求由星形线,一周所得的旋转体的表面积S.,解:利用对称性,绕x轴旋转,27,星形线,星形线是内摆线的一种.,点击图片任意处播放开始或暂停,大圆半径Ra,小圆半径,参数的几何意义,(当小圆在圆内沿圆周滚动,时,
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