（无线电物理专业论文）形状因子法在光纤传输理论中的应用.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 尽管光波导理论早已基本形成，但是限于当时的条件，很多问题的处理仍然 比较粗略，尚有若干问题未能圆满解决，一些方面尚有待于进一步研究，光波导 理论目前还没有完整、完善起来。本论文应用由余寿绵先生、余恬教授引入的形 状因子法针对光波导理论中的光纤端面上的场分布对光纤内场分布的影响问题 展开工作，解决了目前光纤理论不能处理的入射光问题。本论文证明了形状因子 的物理意义形状因子是描述入射光斑的光强分布特性的物理参量。给出了形 状因子的确定方法，导出面光源形状因子的一般计算公式 ( e ( q ) ：2 万掣，j o ( p r ) d r ) ，和匀强光斑、高斯分布光斑、平方分布 ；叩7 光斑等常用光斑的形状因子表达式。理论应用中把形状因子应用于光纤问题，可 以方便的解决入射光的衍射问题，使光纤入射端面的分析得以进行，同时解释了 光纤中的电磁场分布与外来入射光强度的径向分布之间的关系，把光纤端面的源 强分布包含到定解条件中，求解了光纤波导的严格的定解问题，解得了点光源下 轴对称模式( 即t 模和t e 模) 以及非轴对称模式( 即脏模和e h 模) 的电磁 场表达式以及传输功率表达式，并对其特性进行了分析；进而运用形状因子法推 导出了纤芯端面上有圆斑面光源的情况下电场和磁场、面光源所激励的各导模的 场分布的表达式；讨论了轴对称光源的形状对各导模场分布的影响，得到了阶跃 光纤纤芯内外传输功率表达式和传输功率比的解析表达式及各个模式问传输功 率的比值随频率的变化曲线、功率一波长特性及辐射模功率角分布的频率特性； 对这些曲线的特点进行了讨论和分析，并分析了各模式功率以及模式问功率比的 频率特性。另外，本论文还应用了一种新的、比较完善的弱导近似方法：一阶弱 导近似。该弱导近似方法是合理的最低阶弱导近似，也是完善目前光波导理论的 一部分工作。论文得到了相应的结论。光斑的大小和光的频率对辐射模的方向性 有明显的影响，对导波传输功率有复杂的影响，衍射效应使传输功率的波长特性 曲线出现极值和零点。纤芯内、外功率随频率的变化不是单调的，每一模式的功 率都有一个极大值，模式越高，极大值越小。 些鉴查兰堡：兰兰些兰茎 ： 总之，本论文所采用的方法对目前的光纤理论而言是一种全新的方法、是一 种全新的尝试，是前人所没有尝试过的。形状因子法的确立，使我们能够方便的 解决许多以前无法圆满解决的问题，为光波导理论工作者提供了一种有力的工 具。本论文所推导、总结得到的结果、结论在国内、外文献中是从未见到的，具 有定的刨新性、领先性。这些内容丰富了光波导理论体系，加深了人们对光纤 中电磁场分布的认识。 岩鳝衄光纤导波形状因子光功率 a b s t r a c t a l t h o u g ht h e o r yo fo p t i c a lf i b e rw a v e g u i d e dh a sa l r e a d yc o n s t r u c t e dl a t el a s t c e n t u r y ，t h em a n a g e m e n to fm a n yp r o b l e m sa r es t i l io m i t t e db e c a u s eo f 血e c o n d i t i o ni dt h a tt i m e ，a n dt h e r ea r es o m e q u e s t i o n sw h i c h h a sn o tf i n i s hp e r f e c t l y s e v e r a la s p e c t sm a yb es t u d i e dd e e p l nt h e o r yo f o p t i c a lf i b e rw a v e g u i d e dh a sf a r n o tp e r f e c t e da n dc o m p l e t e d u s i n gt h em e t h o do ff o r mf a c t o rw h i c hi s i n t r o d u c e d b ym r y us h o u m i a nm a dp r o f e s s o ry ut i a n ，t h i sp a p e rd i s c u s s e st h eq u e s t i o nh o w d o e st h ep o t e n t i a ld i s t r i b u t i n gi n s i d eb ea f f e c t e db y t h a to nt 1 et o ds u r f a c eo f o p t i c a l f i b e ri nt h et h e o r yo fo p t i c a lf i b e rw a v e g u i d e d t h i sp a p e rs o l v e dt h eq u e s t i o no f t h i sp a p e rs o l v e dt h ep r o b l e mo fi n c i d e n tr a y sw h i c hi sn o tm a n a g e ds t i l l ay e a r b e f o r e t h i sp a p e rp r o v e dt h ep h y s i c sm e a n i n go ff o r mf a c t o rw h i c hi sap h y s i c s p a r a m e t e rd e s c r i b i n gt h es t r e n g t hp r o p e r t i e so fai n c i d e n tr a y s s o u r c e nd i s c u s s e s t h em e t h o d g e t t i n gaf o r mf a c t o r , a n dg i v e so u tt h ef o r mf a c t o r sg e n e r a lf o r m u j at o ”，p ，、 o f a l i g h ts p o t ( f t ( q ) = 2 r ei 掣，j o ( p r ) d r ) i ta l s og i v e st h ef o r mf a c t o r s ；强 f o r m u l a eo fs u r f a c es o u r c ew h i c ha r eo f t e nu s e di np r a c t i c es u c ha sa h o m o g e n e o u s 】i 曲ts p o t , ag a u s sd i s t r i b u f i n gl i g h ts p o t as q u a r ed i s t r i b u t i n gl i g h ts p o t a p p l y i n g f o r mf a c t o ri nt h e o r yo n o p t i c a lf i b e r ，w ec a ne a s i l ys o l v et h ed i f f r a c t i o no fi n c i d e n t r a y sa n dm a k ei tp o s s i b l et oa n a l y s et h et o pi n c i d e n ts u r f a c eo f o p t i c a lf i b e ri nt h e s a m e t i m e ，t h i sp a p e re x p l n n st h em l a t i o nb e t w e e n e l e c t r o m a g n e t i cp o t e n t i a l i j 山东大学硕：l 学位论文 总之，本论文所采用的方法对目前的光纤理论而言是一种全新的方法、是一 种全新的尝试，是前人所没有尝试过的。形状因子法的确立，使我们能够方便的 解决许多以前无法圆满解决的问题，为光波导理论工作者提供了一种有力的工 具。本论文所推导、总结得到的结果、结论在国内、外文献中是从未见到的，具 有一定的创新性、领先性。这些内容丰富了光波导理论体系，加深了人们对光纤 中电磁场分布的认识。 差鳝觑光纤导波形状因子光功率 a b s t r a c t a l t h o u g ht h e o r yo fo p t i c a lf i b e rw a v e g u i d e dh a sa l r e a d yc o n s t r u c t e dl a t e i a s t c e n t u r y ，t h em a n a g e m e n to fm a n yp r o b l e m s a l es t i l lo m i t t e db e c a u s eo ft h e c o n d i t i o ni nt h a tt i m e ，a n dt h e r ea r es o m e q u e s t i o n sw h i c h h a sn o tf i n i s hp e r f e c t l y ， s e v e r a la s p e c t sm a yb es t u d i e dd e e p l mt h e o r yo f o p t i c a lf i b e rw a v e g u i d e dh a sf a r n o tp e r f e c t e da n d c o m p l e t e d u s i n gt h em e t h o do f f o r mf a c t o rw h i c hi si n t r o d u c e d b ym r y us h o u m i a na n dp r o f e s s o ry ut i a n ，t h i sp a p e rd i s c u s s e st h eq u e s t i o nh o w d o e st h ep o t e n t i a ld i s t r i b u t i n gi n s i d eb ea f f e c t e db yt h a to nt h et o ps u r f a c eo f o p t i c a l f i b e ri nt h et h e o r yo f o p t i c a lf i b e rw a v e g u i d e d t h i sp a p e rs o l v e dt h eq u e s t i o no f t h i sp a p e rs o l v e dt h ep r o b l e mo fi n c i d e n tr a y sw h i c hi sn o tm a n a g e ds t i l lay e a r b e f o r e t h i sp a p e rp r o v e dt h ep h y s i c sm e a n i n go ff o r mf a c t o rw h i c hi sap h y s i c s p a r a m e t e rd e s c r i b i n gt h es t r e n g t hp r o p e r t i e so f ai n c i d e n tr a y s s o u r c e i td i s c u s s e s t h em e t h o dg e t t i n gaf o r mf a c t o r , a n dg i v e so u tt h ef o r mf a c t o r sg e n e r a lf o r m u l at o o f a l 逗h ts p o t ( z ( g ) ：2 石掣r j o ( p r ) d r ) i ta l s og i v e st h e f o r m f a c t o r s f o r m u l a eo fs u r f a c es o u r c ew h i c ha r eo f t e nu s e di np r a c t i c es u c ha sah o m o g e n e o u s l i g h ts p o t ，ag a u s sd i s t r i b u t i n gl i g h ts p o t ，as q u a r ed i s t r i b u t i n gl i g h ts p o t a p p l y i n g f o r mf a c t o ri nt h e o r yo no p t i c a lf i b e r ，w ec a r le a s i l ys o l v et h ed i f f r a c t i o no fi n c i d e n t r a y sa n dm a k e i tp o s s i b l et oa n a l y s et h et o pi n c i d e n ts u r f a c eo f o p t i c a lf i b e r i nt h e s a m et i m e ，t h i sp a p e r e x p l m n s t h er e l m i o nb e t w e e n e l e c t r o m a g n e t i cp o t e n t i a l 山东人学硕f ：学位论文 d i s t r i b u t i n g i n o p t i c a lf i b e ra n dr a d i a l l yd i s t r i b u t i n g o fi n c i d e n tr a y s s t r e n g t h c o m e sf r o mo u t s i d e i n c l u d i n gt h es t r e n p hd i s t r i b u t i o no f s o u r c eo nt h et o ps u r f a c e o fo p t i c a lf i b e ri n t oc o n d i t i o no fs o l u t i o n ，w ec a l l g e tr i g o r o u s s o l u t i o no f w a v e g u i d e d o fo p t i c a lf i b e r u n d e rd o tl i g h ts p o t ，e l e c t r o m a g n e t i cf o r m u l a ea n d p o w e rt r a n s m i t f o r m u l ao f a x i s y m m e t r i c a lm o d e ( t em o d e a n dt mm o d e ) a n d u n a x i s y m m e t r i c a lm o d e ( h em o d ea n de hm o d e ) i sg i v e no u t ，t h e i rp r o p e x i e si s a l l a l y s e da l s oh e r e m o r e o v e r , w i m f o r n lf a c t o rm e t h o d f i e l dd i s t r i b u t i n gf o r m u l a eo f g u i d e dm o d e si n s p i r i t e db yar o u n ds t e pl i g h ts p o ta n de l e c t r o m a g n e t i cf o r m u l a eo nt h e c o n d i t i o no fa na x i s y m m e t r i c a lr o u n ds t e pl i g h t s p o t a r eo b t a i n e d e f i e c to ff o n l lo fa n a x i s y m m e t r i c a ll i g h ts p o tt og u i d e dm o d e s i sd i s c u s s e d ，a n dc u r v e so ft h ep o v v e rp r o p e r t yo f g u i d e dm o d e sa n dr a d i a t i o nm o d e si na no p t i cf i b e rd e p e n d i n go r w a v e l e n g t h ( a n dn o r m a l i z e d f r e q u e n c y ) a n dr a d i u so fl i g h ts p o t a r eo b t a i n e d i na d d i t i o n ，t h i sp a p e rd i s c u s s e san e w w e a k l y g u i d e da p p r o x i m a t i o n - t h ef i r s to r d e rw e a k l yg u i d e da p p r o x i m a t i o nw h i c h i st h el o w e s to n e r e a s o n a b l ei np h y s i c sw eh a v ed o w n c o n c l u s i o n sa r eg i v eo u ti ne v e r ys e c t i o n ，s u c ha st h a tt h e s h a p ea n df r e q u e n c ya r ea f f e c tt h ed i r e c t i o no f r a d i a t i o nm o d e ；t h ep o w e ri n s i d ea n do u t s i d e c q r eo f f i b e rh a v em a x i m u m v a l u ea l o n gw i t hi t sf f e q u e n c y ，t h eh i g h e ro f t h em o d e ，t h el i t t e ro f t h em a x i m u mv a l u e i nc o n c l u s i o n ，t h em e t h o du s e di nt h i s p a p e ri s an e wo n ea ta l lf o rt h e p r e s e n t l yt h e o r yo fo p t i c a lf i b e r , a n dal a t e s ta t t e m p tw h i c hh a sn o tt r i e db e f o r eb y 0 t l l e r s t h ee s t a b l i s h m e n to ff o r n lf a c t o rm a k e si t e a s i l yf o ru s t os o l v es o m e p r o b l e m sw h i c h c a nn o tb es o l v ep e r f e c t l yb e f o r e t h e r ei sas t r o n gt o o lf o rs c h o l a r w o r k i n g a to p t i c a lf i b e rw a v e g u i d e dt h e o r y t h er e s u l ta n d c o n c l u s i o ni nt h i sp a p e r a r en o ts e e ni no t h e rp a p e r sn e i t h e ri nc h i n an o ra b r o a d s ot h e yh a v es o m e a d v a n c e da n df a s h i o n a b l e t h ec o n t e n do ft h i sp a d e ri se n r i c ht h et h e o r yo f 0 p t i c a i f i b e rw a v eg u i d e da n dd e e dk n o w l e d g eo ne l e c t r o m a g n e t i cd i s t r i b u t i o ni n0 p t i c a l f i b e r k e yw o r d s ：f i b e r ；g u i d e dw a v e ；f o r mf a c t o r ；o p t i c st r a n s m i t t e dp o w e r 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：置燃日期：塑。丝 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：龇导师签名：! 氛妻 日 期：竺! ：竺：汐 山东人学硕上学位论文 折射率n 二、n ， 磁感应强度 电流密度芦 相对介电系数s ， 相对磁导率 ， 电导率仃 坡印廷矢量s 传播常数 纤芯半径 单位矢量 9 r ? jj 苌 符号说明 电场矢量 u j 磁场矢量 h w 电位移矢量d 真空中的介电系数 氏 真空中的磁导率 风 电荷密度 归一化频率 折射率差 真空中光速 角频率 ，阶的贝塞尔函数一( x )虚宗量贝塞尔函数局( x ) 哈密顿算符 形状因子 光斑的半径 波长 日 f ( q ) b 2 多极矩的升、降算符 二+ 、二 圆柱坐标系 时间因子 功率 ( r ，妒，：) 8 r 只， n v c 酣 山东大学硕士掌位论文 前言 迄今为止，关于光波导和光纤的传输理论已经有大量的著述。文献 1 【1 0 一总结 了到上世纪末为止的经典的光波导理论。这些文献各有特点、各有侧重，涉及平板波 导、介质波导、圆波导、均匀波导、非均匀波导等各种波导和光纤。但这些文献大都 没能讨论光纤受照端面上光强分布对传输模式的影响，这是由于衍射效应的存在使场 在入射端面的连接条件无法应用。文献f 7 中介绍了传输函数法，其基本思想是利用本 征函数系的完全性和正交性，由入射端内侧的波函数推求光纤内部的波场。文献【7 用 传输函数法讨论光纤入射端面的影响，得到了高斯型入射光束在半径无限大的抛物型 剖面光纤中激发的场。然而半径无限大对光纤来说是个不好的近似。此外，该方法的 前提是己知光纤入射端面内侧的入射波，而在芯径有限，衍射效应不可忽略的情况下， 如何确定光纤入射端面内侧的波场，传输函数法没有解决。因此传输函数法不能完整 地解决一般情况下光纤的定解问题。 文献 1 3 】针对声波导提出了求解轴对称声源激发的场分布的形状因子方法，并在 声波测井技术中得到了成功的应用。尽管这篇文献不属于光波导范围，但对于光波导 中的形状因子法的建立具有重要的意义。文献【1 1 ，【1 2 】在利用索末菲球面波公式的协 变形式求解光纤定解问题的时候，沿用文献 1 3 】的做法，引入了光纤端面光斑的形状因 子，这实际上已经提出了求解光纤中场分布的形状因子法，只是该论文重点不在形状 因子，故没有进行深入、完整的讨论。我们延续了这一工作。文献：1 4 1 6 是我们 近阶段已完成的工作，其中包括提出了光斑形状因子的定义，讨论了形状因子及其物 理意义，给出了几种不同强度分布光斑的形状因子，讨论了入射光源的形状对光纤内 场分布的影响问题，其中部分内容列入了本论文。文献 1 7 【2 0 讨论了渐变折射率光 纤波导的分析方法( 分层积分) 和光纤传感器的理论及应用，文献 1 8 中曾经接触到 了g l o g e 对弱导阶跃光纤特征方程所做的简单的近似处理( 取= ，z ，) 的不完善性， 但没有把工作进行下去。我们完成了这部分工作，推导出了一阶弱导近似下的场表达 山东大学硕，j ：学位论文 式，并对一阶近似的合理性和精确度进行了讨论，见文献 2 1 。文献 2 2 2 6 】几篇文 章由不同侧面讨论了光波导内的特征方程、特征值和传输模式，但均未涉及光纤入射 端面。文献 2 7 3 8 是在学习光纤波导时的参考资料。 本论文着重报告我们在光纤形状因子方面做的工作，重点在于介绍形状因子理论 的建立，形状因子的导出，以及用形状因子讨论端面光斑的强度对传导模式和辐射模 式的影响等。此外，在第一章关于基础理论的回顾中，也顺便对我们在文献 2 1 中提 出的一阶弱导近似法做了介绍。 山东大学硕士学位论文 第一章光纤传输的基本理论 光纤是光导纤维的简称，它是工作在光波波段的一种介质波导，所传能量的波长 位于电磁频谱的红外区域和可见光区域。 通常是圆柱形，其传输特性由其结构和材 料决定，基本结构是两层圆柱状媒质，内 层为纤芯( 直径2 a ) ，外层是包层( 直径 2 b ) ，纤芯的折射率n 。比包层的折射率n 。 略大；在满足一定的入射条件时，光波就 能沿纤芯向前传播。 光波导可分为两类：多模光波导( 纡芯 较粗) 和单模光波导( 纤芯较细) 。多模光 波导是指在一定的工作波长下，有多个模式 在光波导中传输，单模光波导是指只能传输 一个模式。当归一化频率矿2 4 0 4 8 时，导 波工作在单模状态，其主要优点是具有较高 雷岔 阶跃型光纤渐变型光纤 的信息传输速率，缺点是数值孔径较小。根据纤芯内折射率的分布情况，光波导纤维 有又可分为两种基本的结构类型：阶跃型和变折射率型。变折射率型光波导纤维在具 有较高的信息传输速率的同时数值孔径也比较大，其中的抛物线型光纤还可以制成微 透镜等微型光学器件，是最典型的变折射率型光波导结构。无论那种光纤，纤芯内折 射率的分布剖面”可以是均匀的或者是渐变的，而包层的折射率分布一般都是均匀的。 这两种情况分别对应于右图中的阶跃折射率分布剖面和渐变折射率分布剖面。 光波是超高频率电磁波，因此我们可以从麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组出发，推导 出光波在光纤中传播的基本性质和特征方程，讨论圆柱光波导中的传输问题，这也就 是光波导的电磁场理论。 山东大学顽士学位论文 第节电磁场理论基础 一、麦克斯韦方程组 介质空间中的电磁场遵守经典的麦克斯韦方程组，其微分形式是 v x e 句：一挈 ( 11 ) o | vx 嚣：曼望+ 了 o t ( 1 2 ) v 方= p ( 1 3 ) v ：0( i 4 ) v a 一挈 ( 1 5 ) 其中，为电场强度，拶为磁感应强度，芦为电流密度，拶为电位移，拶为磁场强度， p 为电荷密度。 考虑简谐波，则场随时间的变化可以用e x p ( i c o t ) 摇写，为角频率。因此，l j j 算符为 善：f ( 1 6 ) a 丽电场场量的时问函数0 ) 与频谱函数g ( c o ) 2 _ i 日7 关系遵守傅立叶变换关系： f ( t ) = 去鼬) e x p ( f 删如 ( 17 ) 咖) = 去们e x p ( - f 删西 ( 1 8 ) 这样，我们以后就可以用用f 、拶、拶、岁等表示不含时间变化因子的场矢 量，它们只是空间坐标的复数函数，麦克斯韦方程组可以改写为如下的形式： v ：一泐岁 ( 1 9 ) v ：一f 曲拶+ y( 1 1 0 ) 4 山东大学顽士学位论立 v 拶= d( 1 _ 1 1 ) v ：0( 1 1 2 ) v j = - i d j p ( 1 1 3 ) 这是麦克斯韦方程组的基本方程。为了求解诉口，、拶和，还必须联系它们的 一些描述场与物质之闯相互影响关系的物性方程和欧姆定律。这些关系式都随场所在 空间的介质性质而异。最简单的介质是各向同性介质，且是非磁性介质。对此类介质， 有 wu d = s e( 1 1 4 ) b = i h ( 1 1 5 ) w j = 盯e( 1 1 6 ) 式中，f = 占，。为媒质的介电系数，其中占，是相对介电系数，是真空中的介电系数； = 以风为媒质的磁导率，其中，是相对磁导率，胁是真空中的磁导率，对于大多数 非磁性媒质( 包括光波导材料) ，其，i ，值实际等于1 ，即= 风；盯是电导率，对于光 学透明介质来讲，必须有仃= 0 。因为当光波通过介质时，如果有传导电流产生，就要 释放焦耳热，使光能损耗掉，光波就难于透过。所以，在光学透明介质中可以认为 。如0 。 二、波动方程 麦克斯韦方程组给定了各个场矢量之间的相互关系，它们在一定边界条件下的解 唯一决定了电磁场的各个基本量随时间和空间的变化规律。在均匀介质的情况下，相 对介电常数为常数，对方程( 1 9 ) 的两边取旋度，并利用( 1 1 0 ) 、( 1 1 1 ) 式 和( 1 1 4 ) 式、( 1 1 5 ) 及矢量恒等式 v v ：v v 扛v ：e( 1 1 7 ) 山东人学硕f j 学位论文 可以得到 可2 琶+ 妒琶= f e o a q 了+ 可o | r 8 q 用同样的方法可以得到方程 q l 替+ k ! 诗：一v 。亨 ( i 1 8 ) ( 1 1 9 ) 式中七= 0 丽= 丝, a o 一7 r 称为波数，也为真空中的波长。方程( 1 1 8 ) 和( 1 1 9 ) 是在非磁性的均匀介质中的电磁场的矢量波动方程。在光学透明介质中，“0 、p * 0 ， 就得到二个齐次的矢量波动方程 可1 芒+ k 2 芝：0 即2 苘+ k 2 酋：0 上面两式又称为亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程。 三、边界条件 ( l 2 0 ) ( i 2 z ) 在介质空蒯存在突变界面时，麦克斯韦方程组必须分区求解，各区域的解在突变 界面上必须满足一定的连续性条件，这就是边界条件。光纤中，纤芯和包层为两个区 域，根据麦克斯韦方程，可以得到两种光学透明介质界面上的边界条件。”： e ，i = e 2 ，l = h ，2 ( 1 2 2 ) d l 。= d 2 ， ， b 1 。= b 2 。 ( 1 2 3 ) 式中脚标f 表示切线分量，门表示法线分量。 这里要注意到，这组边界条件是在假定界面上电荷密度风= 0 ，而电流密度，的 大小为有限量的条件下推导出来的。不过，在处理光波导问题时，一般是属于这种情 况。 6 山东大学硕f ：学位论文 四、电磁坡的能量 电磁场理论中，光强就是电磁波的能流密度。定义电磁波的能流密度矢量岁为： 毫= 琶x 巍 敛苴常称为坡印廷矢量。考虑到能流在介质中的损耗，改写上面的坡印廷矢量表达式 并对时间取平均，可得： 场的电能密度的时间平均值：毋。= r e ( 蚤蚤) ( 1 2 4 ) 场的磁能密度的时间平均值： 万。= 三r e ( 伊零) ( 1 2 j ) 坡印廷矢量的时间平均为： i ：- ! e 可x h 研+ ( 1 2 6 ) 奠中，角标“ ”表示其轭复数。 第二节阶跃光纤理论 光纤是圆柱形介质波导，适宜采用柱坐标系，故需要把波动方程由直角坐标系变 换到柱坐标系中来。柱坐标系中r 、0 、z 与直角坐标系x 、y 、z 之间的关系如下： x = r c o s 8 y = r s i n o z = z r ： ，= x 2 + y 2| 9 = a r c t g ( y x ) 本节要讨论的阶跃光纾是指包层和纤芯的介质折射率皆均匀的光纤。设芯子的半 径为口，则介质折射率空间分布的数学表达式为 ”( r ) ：卜蜓以 ( 1 2 7 ) i 门，r a 一、柱坐标系下的波动方程和导波的特征方程 为了在电磁场理论分析中有较为简洁的形式，改写介质条件( 1 2 7 ) 为 加) ：一，压口 【胛2 氏，r a 山东大学顾1 j 学位论文 柱坐标系下，麦克斯韦方程组变形为 ；等一垆耻耐舻e i f l h ，o h _ _ a z ：一抑2 碣 d ， 三f 昙c 州。) 一吉等= 一砰s 。葩：o rro 臼 ；丽o e ：一归o = i 掣以 i b e ? 一拿：脚q he 防 ( 1 - 2 8 ) ( 1 。2 9 ) ( 1 3 0 ) ( 1 3 1 ) 由于阶跃光纤是一种分区均匀的介质空闽，可以采用亥姆霍兹方程( 1 2 0 ) 和 ( 1 2 i ) 。因为介质常数分布是圆柱对称的，我们选择z 轴与圆光纤对称轴重合的圆 柱坐标系统，而且各个横向场分量都能用和总及其导数的线性组合表示。所以亥姆 霍兹方程可以选择如下形式， 式中 v 2 + k 二e 一：0 v ! 日十t2 h 一：0 r 甜 厂 ( 1 3 3 a ) ( 1 3 3 b ) 以f ( r ，0 ，：) 统一地代表e ：和疗，。设f ( r ，0 ，：) = t ( r ，o ) e 恤，则可知t 满足如下 方程： 窘+ ；警十吉祟均，2 * 2 0 0 肌。 a r2 。，西r 22 、“。“一7 。 式中下标y = 1 ，2 依次对应于纤芯和包层。由此可知方程( 1 3 3 ) 的解为 e ：= a i j ，( “割c 。印目蝴，e x 觯z ，r sd ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 a ) 毛龟风鳓 ；一 甜 ，、，【 = 1 一 ，肝 生查查堂竺主兰垡笙苎一 日：= b ，一( “昌c 。s ( ，口+ y ，) e x p ( 妒z ) ，r 口 t = q 蜀( w 割c 。印曰蝴) e x p ( i f l ：) ，r h ：= 举f ( w 言) c o s ( 1 0 + 9 1 ) e x 唧巩r 口 式中，a ，层，q 和d ，是四个待定的振幅系数，仍和y ，是相位常数，= 0 ，1 ，2 ，“ “= 盯( 一；一3 2 ) “2 w = a ( f 1 2 一, q k g ) 1 72 为了确定光波导中电磁场的传播常数卢，需要用到边界条件。在，= 口的边界上， 根据公式( 1 2 2 ) 即场的切向分量连续条件给出四个振幅系数爿，马，c ，和d i 的方程。 电场矢量切向分量的连续眭条件为 爿，( z f ) = c ，k i ( w ) ( 1 3 6 ) 爿，箸侧肌刚+ 日等c o s 增) _ ( 13 7 ) 一q墨巧sin(10坛卜dt警ktcos(10w 增) 。 w 磁场矢量切向分量的连续性条件为 日，触) = d k ，( w ) ( 1 3 8 ) 4 卫，c o s ( 1 0 + 妒，) 一目墨j ，s i n ( 1 0 + y ，) ； 棚t “ “。 一g 蒜2 f c o s ( 叭咖+ 口等即i n m 竹) ( 1 3 9 ) z 和k ，右上角的撇号分别表示对于它们的自变量和w 求导数，如果把( 1 3 6 ) 和 ( 1 3 8 ) 式分别代入( 2 3 7 ) 和( 1 3 9 ) 式就得到 w 伊爿咖蝴m 糍+ 丧矧c o s u = 。 9 b c ) 一0 0 ，q n 0 n 0 _ 0 3 l 1 ； ，、 坐查查堂塑土兰丝堡苎 和 4 习1 ik而l2 j l ( u ) + 鬻 c o s ( 肌m 郴陆+ 舟训= 。 上面关于4 和马的齐次方程组要有非零解，它的系数行列式必须为零，于是得到 + 器 f 器+ 鬻 2 p 珂 。， fz ( “) ，蜀( w ) 8 e 奶陋) w 蜀( w ) i 。l 口w 2 j r 1dn 、 s i n ( 1 t 9 + ( d t ) s i n ( o + ) c o s ( 1 0 + 妒，) c o s ( 1 0 + 妒，) 方程( 1 4 0 ) 的左边与角向量无关，因此，相位仍和矿，必须满足使( 1 。4 0 ) 式右边 为常数的关系。根据三角函数变换关系，有 ! 虫垡皇竺立墅呈g 堡竺! ! ：一i + ! ! ! ! 竺! 二丝! c o s ( 1 04 - 妒，) c o s ( 1 0 + y ，)c o s ( 1 04 - 妒，) c o s ( 1 0 - 4 - f ) 由此可见，当p ，和，满足关系 妒，一= 兰 ( 1 4 1 ) 时，( 1 4 0 ) 式的右边为常数l ，于是，( 1 4 0 ) 式就变换为 品+ 嵩 | 蒜+ 鞣w k 卜2 p 爿 t z ， l 址，( ) ，( 奶 f ，扣)，( 奶f 。l 2 w 2 j 方程( 1 4 1 ) 和( 1 _ 4 2 ) 一起决定了传播常数。通常称( i 4 2 ) 式为导波的特征方 程，也被称为色散方程。它是严格的，然而是一个相当复杂的超越方程。在一般情况 下，只能利用计算机对它作数值求解。但在实用上往往引入一些近似条件把它简化， 或者在近似条件下重新求解这个电磁场问题。 二、阶跃光纤中的光传输模式 出特征方程( 1 4 2 ) 可见，在波导中传输的电磁场并不是任意的，它们的传播常 数= 卢( ) 是族曲线( 色散曲线) ，每一条曲线对应于一个传播模式。 o 山东大学硕士学位论文 光纤中存在的导波模式可分为轴对称模式( t e 、t m 模) 和混合模式( h e 、e h 模) 两 大类。分别介绍如下： 1 t e 模和t m