（概率论与数理统计专业论文）倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计.pdf

山东大学博士学位论文 倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计 王金磊 山东大学数学学院 摘要 倒向随机微分方程( b s d e ) 是一个相对比较新的研究方向。1 9 7 3 年b i s m u t 【9 】 研究的线性形式可以看作是著名的g i r s a n o v 定理的推广。非线性b s d e 的概念是 由p a r d o u x 和p e n g 【6 0 】在1 9 9 0 年引入的。d u f f l e 和e p s t e i n 【2 8 】于1 9 9 2 年独立引 入经济模型中的随机微分效用概念，也可以看作某些特殊的b s d e 的解。从那以 后，关于b s d e 的很多理论和应用结果得到了发展，其中包括：反射倒向随机微 分方程、正倒向随机微分方程、偏微分方程与倒向随机微分方程的联系、随机控 制、数理金融、非线性期望和非线性鞅论、递归效用和风险敏感效用以及随机微 分几何等。在e 1k a r o u i 和m a z l i a k 【3 0 ，m a 和y o n g 【5 1 ，y o n g 和z h o u 【8 6 写的 书以及综述论文e lk a r o u i ，p e n g 和q u e n e z 【3 3 】中，详细介绍了b s d e 的理论和 在数理金融和随机控制中的应用。 倒向随机微分方程的存在唯一性意味着我们能够明确的解决现在应怎样 去做以实现一个给定的将来目标。但是对于一个具体的倒向方程如何算出它 的解来对一般情况而言仍是一个未解决的问题。在实际应用中能够显式解出 的b s d e 是很少见的，因此我们需要计算b s d e 的数值解。 相对于正向随机微分方程的数值解法，无论是从结果的丰富程度还是从算 法实现的难易程度来看，b s d e 都要落后很多。出现这一问题不外乎有以下两个 原因：首先，正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质的区别，从 而倒向随机微分方程的数值方法不能完全套用正向随机微分方程已有的数值方 法。其次，从应用的角度讲，正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在 的随机过程，而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一 个系统达到预期的目标。 在过去的十几年里，许多学者做出了很大的努力，在b s d e 数值解法的研究 中取得了一系列的成果。这些数值方法按照其求解原理可以划分为两大类：第 一类方法主要通过数值求解与b s d e 相对应的拟线性偏微分方程；另一类算法 山东大学博士学位论文 直接对随机问题按时间进行倒向计算。2 0 0 6 年，z h a o ，c h e n 和p e n g 【8 9 】提出了 解b s d e 的口格式，该方法结合p d e 数值解法的特点，使用随机的思想来解释高 精度的差分方法，对b s d e 进行时间空间离散，用m o n t ec a r l o 方法结合插值近似 计算条件数学期望，在数值实验中得到了较好的结果。 本文主要研究了b s d e 的几种数值方法，在z h a o ，c h e n 和p e n g 【8 9 】的基础 上，离散b s d e 时用g a u s s h e r m i t e 积分替代m o n t ec a r l o 方法近似条件期望，并 得到了0 格式的误差估计；提出了一种新的c r a n k n i c o l s o n 格式并进行误差估计； 对一种更高阶的a d a m s 方法也提出t b s d e 的离散格式且得到了格式的收敛误 差。下面我们列出本文的主要结果。 第一章：简要介绍本文中所讨论问题的背景及总体思路，介绍 了b s d e ，f e y n m a n k a c 公式的基本概念，对b s d e 已有的数值解法进行了简 要的回顾总结。 第二章：给出了b s d e ( 2 一1 ) 的0 格式的误差估计。证明了对一般的0 ，格式一 阶收敛，特别当日= 耳1 时，格式二阶收敛。当0 = 1 时，我们得到口格式对( 2 1 ) 的适 应解( y t ，z ，) 一阶收敛。在0 = 的情形，我们还得到解z t 的误差估计。 我们称下面两个解( ) ，l ，) = n l ，o ) 的方程为离散b s d e ( 2 1 ) 的0 格式： ) ，l = e x 。矿+ 1 】+ ( 1 - o ) a t e ： f ( t n + l 少+ 1 ) 】+ o a t f ( t ，) ，1 ) ， 0 - e x h 【) ，肘1 a w l ，】+ ( 1 日) 岛磁i f ( t + 1 ，少+ 1 ) u 0 。】 一 ( 1 一日) 岛磁【，+ 1 】+ o a t z ” 对该格式的误差估计主要有下面的定理。 栅1 假设2 1 成立，铆t 槲分别是b s d e ( 2 一ll 和9 格式( 2 1 2 ) 的解。那么对 足够小的时间步长醵n 我们有 艄e 【魄一删鳓， 其中c 是一个正常数，它仅依赖于t ，l p 和f 导数的上乔和( 2 3 ) 的g u ( t ，曲o 山东大学博士学位论文 定理2 3 假设2 j 成立，钞( n = ，o ) 是p 格式r 2 1 2 ) 劫= 时的解，y t tst 、) 是b s d e ( 2 1 ) 的解那么对足够小的时间步长醢n ，我们有 呕m 删a xe 1 y t 。一删c h 2 定理2 4 假设2 j 成立，令眇，z ，1 ) = ，0 ) 是p 格式亿j 2 j 和f 2 j 圳和= l 时的解b t ，z t ) ( ost n 是b s d e ( 2 一1 ) 的真实解，那么对足够小的时间步长& n ， 我们有 呕m 删a x e i z t 一枷c l 全离散9 格式可以如下定义：给定随机变量，i z ，寻找近似解( 孵，零) ( n = n 一1 ，0 ，i z ) 满足 ) 髻= f _ 。抽x i 眇+ 1 】+ ( 1 一口) 岛l f ( t 。+ l ，少+ 1 ) 】+ o a t n f ( t n ，) 彳) ， 0 = 危芝【少+ 1 眠+ 。】+ ( 1 一o ) a t 蛾l f ( t + 1 ，少+ 1 ) 眠+ 。】 一 ( 1 一日) 岛越【尹+ 1 】+ 弘岛才1 全离散0 格式的误差为： 定理2 7 令魄，z f ) 是b s d er 2 一j j 的解，钟，才) 是通过线性多项式插值计算少+ 1 的 全离散格式f 2 7 0 ) 和但7 1 ) 的解，那么在假鲤j 下，对一般和【o ，l 】的全离 散引咨式有 啦t , a x n 瞻吲c ( + 学+ 南) ， 特别的，对8 = 毛的全离散8 格式有 m 。刀a x y 芝卅ch 竿+ 南) ， 山东大学博士学位论文 ，对p = 1 的全离踟格式有 警i z ：x i 卅c ( + 竿+ 南) 第三章：对一般的多维b s d e 提出了一种新的c r a n k n i c o l s o n 格式并进行误 差估计，证明格式是二阶收敛的。在本章最后对第二章以及本章的数值格式进 行了数值模拟。 对，z = n , n l ，0 和终端条件矿，= 矿( 肼) 和z 七，川= o x 矿( w t ) e j ，称下面 两个式子为b s d e ( 3 1 ) 分量形式的c r a n k n i c o l s o n 格式， 矿川= e x “l y , n + l 】+ 全广( 岛，少) + a f f 】q 凸“xl 厂i ( 岛+ 1 ，) ，l + 1 ) 】， ，加= e 乏【，加+ 1 】+ - 譬a y f l ( t , ，少) z 加+ 等e 主【岛广( 如+ t ，少+ 1 ) z 加+ 1 】 这里少= ( ) ，h ，严一，y m 拧) ，z j , n = ( z 1 一，z ，l ，如) 是矩阵矿= 口，加) m 刈的第歹 列。写成矩阵形式为： ) ，l = e ：旷1 】+ 等f ( t n ，) ，1 ) + 丁a t n 凸“xl 厂( ) ，l + 1 ) 】， z ，l = 姊z ，l + 1 】+ t a t 岛厂( 岛，) ，1 ) 矿+ t a t b 岛x 【b 厂( “l ，) ，l + 1 ) 1 】 c r a n k n i c o l s o n 格式的误差估计有下面的定理。 定理3 1 假设2 j 成立，那么对足够小的时问步长岛，我们有误差估计 呕m 删a xe 1 y t 一f t c 产， 其中y f 和矿分别是b s d e ( 3 - 1 ) 和c r a n k n i c o l s o n 格式1 3 - 1 8 ) 和1 3 一1 9 的孵，c 是 一个仅依赖于t ，9 和f 的导数的上界以及3 4 ) 的解t l q ，蚺的正常数。 定理3 2 令乙和0 分别是( 3 1 5 ) 和( 3 2 1 ) 的解，假设2 1 成立，那么对足够小的时 山东大学博士学位论文 间步长& n 我们有 o s m 。a s x e i z k 一枷c r 2 b s d e ( 3 - 1 ) 的时间空间全离散c r a n k n i c o l s o n ：寻找( 瑁，彳) = n , n - 1 ，o ，i ) ，使得饼，彳) 满足 孵= 危芝矿+ 1 】+ t a t n 皿 x k i v ( 岛+ - ，少+ 1 ) 】+ 等，( 岛，珂) ， 才= 鹾【箩+ 1 】+ 了a t 八岛，瑁) 彳+ 譬蛾 b 厂( 岛+ l ，少+ 1 ) 乏，l + 1 】 第四章：对一般形式的b s d e 提出t a d a m s 格式，对，不依赖于z 的情形进 行了误差估计，证明t a d a m s 格式的高精度收敛。 对r = n m ，0 ，b s d e ( 4 1 ) 的a d a m s 格式为： 少= 嵫x 【) ，l + m + m a t b m ，j e ：l 叭岛+ f 少+ i , z n + ) 】， i = 0 o = 磁f + m 】+ b m i e ：。t f ( t n + f ) ，l 押，z ，l + ) 眠“ - eb 州磁f + f 】 i = 0i = o 终端值y 由b s d e ( 4 1 ) 的终端条件给出。 全离散a d a m s 格式可以如下定义：给定随机变量，先用r u n g e k u t t a 方 法求出( y 7 ，零) ，i z ，n = n 一1 ，n m + 1 的值，然后寻找近似解( 卵，才) = n m ，0 ，i 蜀满足 辨= 觑眇+ m + m a t eb m ，j 电l 厂( 岛+ ，少，秽+ ) 】， j = o o = 嚷嗲+ m 】+ 6 m ，成 f ( t n 小少，尹+ 恤眠吖 - eb m 一金a x 。i 嗲+ 讯 j = oj = o 对生成元不依赖于z 的b s d e 的a d a m s 格式的误差估计由下面两定理给出。 v 山东大学博士学位论文 定理4 1 假设2 j 成立并且假定一m a x e 【帆，一少i 】= o ( a t ) 斛1 ，则对足够小的时 n - m ，s n f b - j 步长我们有误差估计 呕m 删a xe i y t 一) ，l i c ( a t ) 小+ 1 ， 其中y l 和矿分别是b s d e ( 4 一1 ) a 雨t l a d a m s 格式( 4 2 5 ) 和( 4 2 6 ) 的解，c 是一个仅依 赖于t ，函数妒，f 和( 1 - 4 ) 的解l l q ，曲上乔的常数。 定理4 2 令z f 和z ，1 分别是一一2 3 ) 和降2 5 j 的解，假考乜j 成立并且，m a x ，| e 【】i = - m 0 是其上的一 个d 维标准b r o w n 运动。我们设 舅 是 w f 的自然矿代数流： 舅= 矿 ，矿 职：0 s f ， 其中是矿 职：0 s 和| i 来记一个e u c l i d 空