（概率论与数理统计专业论文）中值滤波列的一致收敛性.pdf

中值滤波列的一致收敛性 导师： 硕士生： 单位： 时间： 周性伟教授 范耒 南开大学数学科学学院 2 0 0 0 年6 月 摘要 ( 中值滤波自1 9 7 4 年由t u k e y 提出后，中值滤波的理论研究有 了很大进展，关于中值滤波的根和循环序列的结构已经有了完满 的结果。近期发表的文献【8 】、【9 】中，又对中值滤波列的收敛性提 出了重要的结论( 见命题3 ) 。) 7 苯支酝是在此基础上，压一步研究了 中值滤波列分别收敛到第一类根和第二类根时的一致收敛性。 本文主要得出了：( 1 ) 使中值滤波列一致收敛到第一类根的条 _ _ _ _ 一_ - 一 件( 序列收敛到第一类根时通常不一定一致收敛) ；( 2 ) 扰动在什么 条件下对上述一致收敛性不会造成影响；( 3 ) 提出了两种可以由二 值序列一致收敛的第二类根。 t h eu n i f o r m c o n v e r g e n c e o f m e d i a n f i l t e r i n gs e q u e n c e s t u t o r ： a h 蛔： d e p t ； t i m e ； p r o fx i n g w e iz h o u l e i f a n s c h o o io f m a t h e a m t i cs c i e n c e 。 n a n k s iu n i v e r s i t y j l 球l 靛2 0 0 0 a b s t r a c t s i n c et u k e ys u g g e s t e dt h e c o n c e p t i n 1 9 7 4 ，t h e o r e t i c a l s t u d i e so n m e d i a n f i l t e r i n g h a v e b e e n g r e a t l y a d v a n c e d n o ww eh a v ei d e a l c o n c l u s i o n so ns t r u c t u r e so fr o o t sa n dr e c u r r e n ts e q u e n c e s r e f e r e n c e s 【8 】 a n d 潮w h i c h w e r ep u b l i s h e dr e c e n t l ym a d eo u ti m p o r t a n tc o n c l u s i o n so n t h ec o n v e r g e n c eo fm e d i a n f i l t e r i n gs e q u e n c e s b a s e d 0 1 1t h e s er e s u l t s ，t h i s p a p e r s t u d i e st h eu n i f o r m c o n v e r g e n c e o f m e d i a n f i l t e r i n gs e q u e n c e s i nt h i sp a p e r , w eg e tf o l l o w i n gr e s u l t s ：( 1 ) c o n d i t i o n sw i t hw h i c ha s e q u e n c ec o n v e r g e su n i f o r m l y t oac l a s s i r o o t ；( 2 ) t h e i n f l u e n c eo f d i s t u r b a n c et ot h eu n i f o r mc o n v e r g e n c e ；0 ) t w ok i n d so f c l a s si ir o o t sw h i c h c a nb e c o n v e r g e du n i f o r m l yb y b i n a r y - v a l u e ds e q u e n c e s 中值滤波列的一致收敛性 一、弓| 言 设歪整数露l ，给定实数列x = 茗( 拄) 桃l 必，则对每一t t ，我们用记号 肋甄【并( n ) 】或羔【i o ) 表示 x ( n - k ) ，x ( n - k + 1 小， ) ，x ( n + 七一1 ) ，x ( n + ) 这 2 十1 个实数由小到大重撵艏位予中闻的那个数。予是通过这样的莛排遴算， x ( n ) 变成了一个灏的实数列，记为 棚i 并( ”) ，或 x c i ) ( ) ，它称为j 的中值 滤波( 窗宽为2 k + 1 ) 。若对某n 有m y a x ( n ) 】= 工( h ) ，莉我们说中值滤波薄子 彻甄对x ( 荇) 不变。对j 螂= 聋1 ( 砖 叉爵进骨中篷滤波( 鬻究为2 k + 1 ) ，结果记 为x 2 z 善2 ( 辨) 。一般地，工通过p 次窟宽为2 正+ l 的中值滤波后的结果记为 x 9 = x ( ，1 ) ) ，特勇0 地，记x 。( 以) = 石 若菇在中傻滤波舅子捌恁作用下不变，即膏( 1 ( 撺) = 工，则熬j 为书德滤波 朋旺的根；著x 不是根，但有s 2 ，使得冀经中值滤波算子m f k 的。次作用 后不交，静 j ( 蚪) ) = x 。剩称并为中俊滤波m f k 髂s 次循环序列；当p 2 融， ，绞称为并匏广义中馕滤波；羲对每一辨，极限| i r a x p 0 ，有h ：“，l 岜z 使 m 8 x 善【n ；。，”f + 素】s f n i n 虹n 乒，行+ j 】+ 占 ( i i i ) i n f f m a x x n , r t - , i - k - m i n x n , n + k j ：，l 露= 0 ； ( i v ) l i m 孵) 与l i r a 撑) 中至少有一个存在( 不一定肖限) 。 先瀚下面的例子： 例l ：令t = l ，栉= 。时x ( n ) ；l ，n 壬。时1 x ( 工2 ( n 2 ”- ) i ：) = 。1 r 一6 5 4 3 2 一l0t2345 6 7 x ( n ) 0101011 1010101 石1 j ( 埠) 1 0l011l110l010 并2 ( n ) 0 1011111110 101 渤) 1 011111111t 010 2 魏爨中对每一聍，j ”( 撵) 一l ，p _ * ，魍和圳( ”) 。著不致牧敛。嚣虼 在般情况下獭中值滤波列收敛时，并不一寇致收敛。但在一定条件下， 冀玲可淤致收敛。 蕾兔出中馕滤波豹定义我们舞， 引理h 对任何行毫z 及p 1 ， m i r t , ： n ，雅+ 素】m i n x f 豫糟+ 素】m a x x 拼i n ，n + k 】s m a x x n , n + k l 她结论楚十分鹳显靛，势置类叛懿结论在涯明中经棠被穗到5 7 】潮期。 定瓒l z 如聚1 i r a m a x x n ，h + t 卜r a i n x n ，n + 明】= 0 - 则( x ( 甩) lp ，o 一致 j ，一 。 投敛魏一个第一类裰。 证明：出已知条 孛，对v f 0 ，i ，当蚓 n 时商 m a x x n ，n + l 卜m i n x c n ，雌十k 】 占 森掌鹣强瑟性胃褥i 琏f m a x a f n , n + k 一m i n x n ，拉+ 砖n e z = ，敖融囊踅辱， 0 牧敛乎第一类根。设掣 o ， o ， 使褥潲( 嚣) 一妖啦l ，印p o 综食疆土结论，当p 尹。慰，| 苫舶 ，期对v 譬 0 ，观 o ，港豫摊 。嚣重， j i x ( m ) 一如l o ，当挥 n ，翕 靠戤牲，n - l - k 】- m i n x n ，摊+ k 】， i l 泌 m a ) 【峨船+ 女卜m i n x n , n + k 。0 姥辩满足上述定理条释，敲x 镧( 揩) ) 。一致毂敛予一个繁类校。涯毕。 觚协鲥跨瓣h ，对 裂盂翌 聍一101234 567891 01 11 2 x ( ) 111214 2 6 3 8 41 051 2 工3 & ) 1 1l12 2 4364 851 06 z 2 ( h ) 1 l11223 44 6586l o 算。( 筇) l 11l22 344 56687 此例表明，删和虽然都存农，但有个极限为无限时，取肼( 帕 舢 就不一定一致收敛。蕊蠢，由靛藩的铡1 也爵看瓢，警l i n l 善( 抖) 鬣l i r a 婚l 不 存在对， 工如拧) p o 也不一定一致收敛。 滚意弱柽慧有限次滤波对 x 跏( 撵) 靛根及收敛性没鸯影螭，辑以鸯 4 推论2 ：如果对某固定的p ，( p o ) ， l i r a 。 m a x j 9 【刀，胛+ 七卜m i n x ( p 1 月，疗+ 】) = 0 则缸脚( ，| ) ) 舢一致收敛于第一类根。 推论3 ：当鼻= ( 工q ) ) 。满足下列条件之时，缸力( n ) 。、一致收敛于第一 类根： ( i ) ! i 翼! f 1 曼( m a x x ( p ) 1 7 , 1 7 + 七】一m i n x 妇 1 7 ，疗+ 七】) = 0 p 呻l - ( i i ) l i r al i r a 工( 1 7 ) 及l i r al i mz ( 疗) 均存在有限。 现在用同样的方法将命题4 的结论加以推广： 定理2 t 如果 善( 押) ) 满足下列条件之一，则“9 ( n ) ) p 0 收敛于第一类根： ( i ) 舰i n f m a x j 【1 7 , n + 明一r a i n j 9 h 肘札n z ) = o ； ( i i ) l i m x ( ( 帕与l i mx ( p ( 以) 中至少有一个存在( 不一定有限) 。 证明：( i ) 由( i ) 中的条件知，对v f 0 ，存在a 0 ，当p 见时， i n f m a x x ，i n ，l + 七】一r a i n x ，i n ，行+ | j 】，玎z ) 成有 m i n x c p ) i n ，n + k 】m i n a n ，n + k 】sm a x 珥，l ，n + k 】m a x x ， 1 7 ，一+ 七】， 。i n f m a x a n ，再+ k - n u n a n ，r t + 七】 占 由s 的任意性知，口若为二值列，则存在整数，使得a n 。，1 7 。+ 七】为常数列， 口不可能是第二类根或循环序列， 由命题3 知口为一个第一类根，善、斗口( p 一) + ( i i ) 不妨设l i r a x ( 一) = 名，若a 有限，则( i ) 中条件满足。 p 叶 ，h 若a = o o 或a = - - o o ，则必存在n l n 2 ，p i n ，p 昂时， m a x x i n ，n + 七】一r a i n x 【一，胛+ k 】 r ，i n f m a x x 肼【n ，玎+ k l - m i n x i n ，n + 七】，n z ) 及上述， r ， m i n x | 【p ) n ，疗+ 七】s m i n y n ，拧+ 七】y ( _ ，1 ) 墨m a x y n ，疗+ 七】s m a x x i n ，疗+ 七】 又m i n x o ) n ，n + k l 工p ( h ) m s x z ”i n ，n + 】，两式相减得： 对v 卜i n ，v p 晶，p ( 九) 一y ( 聆) i 0 ， j e ，当p 只时，卜9 ( ) 一y ( 以) i p 时，有i 工( 以) 一y ( 疗) i 占，( v n ) ( x 9 ( 疗) ) 一致收敛到( y ( ，1 ) ) 。证毕。 6 推论4 ：如果l i m ，j 9 ( 刀) 及l i r a ，伽) 均存在有限，则口，0 ) ) 一致收敛 p 叶d 、。 于第一类根。 三、扰动对第一类根一致收敛性的影响 关于一个序列受扰动后，其中值滤波的收敛性已有下面的结论： 命题s 9 1 ：设工= x ( 仃) ) 艇z 。艿= 艿( n ) ) 。z ，y = 工+ 艿= 工( h ) + j ( n ) ) 。z ，喜萋中 s u p 椒n ) l ：玎z ) m _ l ，m ( 疗) - - x ( p ) ( n ) m ； ( i i ) 若j 。口，p 斗0 0 ，则对任何n z ，当p 充分大时，我们有 妒( 一) 一口( 珂) i m ( i i i ) 若 工( n ) ) 趟收敛于非常数的第一类根，则当m 充分小时，抄肿( n ) ) 雕 也收敛于非常数的第一类根；特别地，若p ( n ) ) 。收敛于非单调的第 一类根时，则当m 充分小时， y 9 ( n ) ) 。也收敛于非单调的第一类根。 下面定理研究当缸9 ( 订) ) 。一致收敛于个第一类根时，干扰 艿( 胛) ) 。：在 一定条件下对其一致收敛性的影响。 定理4 t 设 万( 疗) ) 。z 满足：s u p i 艿) l ：n z ) 时，万o ) ) + 七) ( 1 ) 设工，( 疗) 一口，( 疗) ，p 斗0 0 ， z ( ”) 一致收敛到口，( ，1 ) ，对上述占 0 ，必存在r ，当p r 时， p ( 刀) 一以( 功 r ，h i 时，l _ y 和( 行) 一( 一1 r ，l ，l i n ，有 p 肿( 一) - y ( 拴) | 只时，p m ( ，1 ) 一y 们( ，1 ) i p 时，x 寸任：- - n e z 有 p m ( 撑) 一y 9 ( 撑) l 0 已知当x 收敛到第二类根或不收敛( 循环序列) 时，工经滤波将变为二值序 列。故下面先对x 为二值序列进行讨论。 下面用r 表示第二类根的周期，表示对称段长度。 引理4 ： j ( ，1 ) ) 是一个第二类根，( + i 。) 、( 。，+ ，) 是两个相邻的跳点对。 如果t = l = 2 k + 2 ，贝0 工( 工一。一七) = = x ( l k 一1 ) = j ( + i ) = 并( j ，i ) 证明：t = l ，x i i , + k + 1 ，+ i + k 】= 4 j , 一i k ， 一k 一1 】， 1 0 又由命题8 确i x ( j 一一女) = ( f 。+ t ) = j ( ，。) = 石( l 一。) ， + 工( ，s l 一) 2j ( + k + 1 ) = x ( i ，+ 1 + ) = x ( z k 一1 ) 再由命题8 ，一k ，矗。- k 2 乏x i ，+ t ，f + 叫均单调， 。x ( j l 一女) 2 一x ( y 。一k 1 ) = 点( + 1 ) = x ( l 一。) 证毕。 对于二值序列工，其一致收敛性即等价于在有限次滤波之后( p 有限) ， 工成为根。 定理5 ：设j q ，若j ( 行) 寸口( 疗) ，p _ ，口( 疗) 为一第二类根，且 口0 ) 的，= l ，则工9 一致收敛到口0 ) 证明：取到j o ，( j o ，i 。) 是口的一个跳点对，则毗一七 + h 为一对称段。 j 一肿( n ) 寸口( 疗) ，p o o ，憋工”( j o ) = o t ( j o ) ，l i m x m ( ) = a ( i l ) ， p _ 。 1 且对每一疗 s o 一七，+ 纠有。l i m j ( 九) = 口( 行) 由引理2 知j 只，当p 只时， 有工( 月) = 口即) 取p = m a x ( p , 一，只+ i ) ，则当p 尸时， 一” j o - k ，i i + k l = a j o k ，i ，+ k 1 取定p = p 设( l ，i 2 ) 是大于i 。的最小跳点对，( i k - 2 ) 由引理知 x ( j o - k ) 一工一女一1 ) = 工( ) = 工( ( f 2 ) ( 3 ) 又因为( ，i i ) 、( 。，i 2 ) 是跳点对，且埘r 对j f o ，f l 】，工【l ，i z 】不变， 所以由命题7 有 z x 即 j o 七，+ 七】= j 【i t ，i 2 + 七】= 0 ， 工9 【。一女，l k - 1 = z 【f l + | i + 1 ，i 2 + 扎 j “ j o 一七，j l k - 1 】中1 ，- 1 的个数与j 即 i t + 七十1 ，如+ 七】中的相 同。放 n ( j o 一七) 一一j u - k 一1 ) = 一( ) = x c p ) ( i 2 ) = ( f l + 七十1 ) 一一工( 一( f 2 + 七) ， f i x 【f l + k ，f 2 + 】单调。 由口( 以) 的构造知，j 9 j i + 七+ 1 ，i 2 + 七】= 研+ 七+ 1 ，i 2 + 七l 所以工即 一k ，+ 七】= 口 l k ，屯+ 七】 同样取( j ：，f 3 ) 为大于j 2 的最小跳点对，则同理可确定工n 【，：+ k + 1 ，f 3 + 女】 的值，r x p 【f 2 + k + 1 ，f 3 + k l = a 【f 2 + 七十1 ，i 3 + 七】 类推下去，可确定，( n ) 右侧的值，同理可以确定其左侧的值。 所以可得x = 口，即 工( 盯) ) 一致收敛到 o r ( n ) ) 。证毕。 当l t 为整数时，由完全类似的证明知结论仍成立。即 定理6 ：对于第二类根口，当三r 为整数时，若工e q 收敛于口，则j 必一 致收敛于 将上述定理中的条件改为t = k 。定理仍成立。 定理7 l 对于t = k 的第二类根o t ，若工q ，z 收敛于口，则x ( ) 一致收 敛于o t 证明：与定理5 中同理，取口的跳点对( ，o ，f 。) ，则可取到p 0 ，对 v p p ，有j p 【，o 一七，f i + 七】= a j o - k ，f l + 明特别取定p = p ，则 x 【o 一七，l + k 】= a j o k , i l + k 】 因为口的t = k ，所以j “ j o k + l ， - k = j 【，+ 七一1 】。 又由命题7 ，工 j o t ，i i + t 】= 0 ，且 工妒1 ( j o 一七) = 工，1 ( j o ) x 沪( i l ) = 工p ( i l + 七) ， 所以有j j o - k + l ，j l + 一1 】= o ，且工( ，。一k - 1 ) = 善( 1 ) = j ( + t ) ， 所以“ j o - k + 2 ，f l + 七】= 0 ，且工【。一k + 2 ，f i 】- 石妒【f l + 1 ，f l + 明故在 j ) 【，o t + 2 ，i l + 女】中1 , - 1 个数相等，均为k 个。 不妨设工“( j o 一女+ 2 ) = x ( ，l + 1 ) = 1 。由于慨对工( 一( + 1 ) 不变，故由 引理3 有工( + 1 ) 工“ j o k + 2 ，f l + j j + 1 】 0 又工( 即( + 1 ) = 1 工p 【。- k + 2 ，f i + 七】= 0 ，所以x t e ) ( i i + 后+ 1 ) = j ( ( + 1 ) = 1 ，且 刃i 对 工( f l + t + 1 ) = 1 不变。当戈( + 1 ) = 一1 时有同样结论。 类似可得z ( + 2 ) = 工( + _ j + 2 ) 同理可确定以对称段左侧的所有点，且显然工= 口。即经过有限次滤波后 x 即变为根口。故x 一致收敛到口。证毕。 当j 不收敛时t 由命题3 知，缸2 m ( 行) ) 贮i g t x ( 2 p - 1 ) ( 一) ) 肚1 分别收敛于口、 ，且其极限构成循环序列。由文献u o ，循环序列于第二类根有完全类似的 结构，且口、口瓦相完全确定。故南卜述定理及其证明过程可知，当j q 口( 口) 的周期t = j 或2 七+ 2 t 为整数时，工2 9 及工2 。分别致收敛于口、 卢 】3 参考文献 1 1 强敝，s g ，m e d i a nf i l t e r i n g ：d e t e r m i n i s t i cp r o p e r g e s ，i nt w o d i m e n s i o h a l d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n gi i ：t r a n s f o r m sa n dm e d i a n f i l t e r s ( e d h u a n g ，ts ) ， s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 8 1 。 【2 】e b e r l y ，d ，l o n g b o t h a m ，h ，a r a g o n ，j ，c o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no f r o o t s t oo n ed i m e n s i o n a lm e d i a na n d r a n k - o r d e rf i l t e r s ，i e e et r a m 。o na s