——全等三角形证题思路探讨.doc

三角形的全等变换及其应用全等三角形证题思路探讨重庆市忠县新生职业高级中学 陈联善我们知道，两个全等三角形的形状相同，大小一致因此，把全等三角形中的一个图形通过不同方式的位置变换，一定能与另一个图形重合只要掌握了这些位置变换的基本规律，就会给我们解与全等三角形有关的题目带来极大方便下面列举数例，以揭示三角形全等变换的类型及规律一、平移型变换把全等三角形中的一个图形沿某直线方向平行移动而与另一个图形重合的变换规律其基本模式为：例1 如图1，ABC中，BAC90，AD是斜边BC上的高，CE是ACB的平分线，交AB于E，交AD于F，过F作BC的平行线交AB于G求证：AE=BG简析：过E作EHBC于H，容易证AF=AE=EH，由于ADEH，GFBC，因此将AFG沿直线AB向下平移，一定能与EHB重合，从而有AG=BEAE=BG二、对折型变换把全等三角形中的一个图形沿某直线翻折而与另一个图形重合的变换规律其基本模式为：例2 如图2，ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC，交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E求证：BD=2CE简析：由于BE平分ABC，CEBE，因此，把BCE沿BE向上翻折，则BC落在BA上，CE落在CE的延长线上(即延长BA、CE交于点F)，则有BCEBFE，从而有CF=2EC；容易证ABDACF，BD=CF=2CE 求证：BE=CF简析：BE与CF虽然分别在两个三角形中，但它们显然不全等由于BD=CD，EDB=FDC，将BDE沿BCD中BC边上的高向右翻折，则E点一定落在DF上，设该点为F，再证CFF为等腰三角形即可三、旋转型变换把全等三角形中的一个图形绕某点旋转而与另一图形重合的变换规律其基本模式为：例4 如图4，正方形ABCD中，E在BC边上，F在CD边上，且EAF=45，AGEF于G，求证：AG=AB简析：若直接证ABEAGE条件不够由于ADAB，D=ABC=90，因此，把ADF绕A点顺时针旋转90，则F点一定落在CB的延长线D上，而ADE与AFE又是关于AE呈对称型的全等三角形，由全等三角形对应边上的高相等可得ABAG例5 P是等边三角形ABC内一点，且APB、BPC、CPA的大小之比为567，则以PA、PB、PC为边的三角形各内角的大小之比是 (A)234(B)345(C)456(D)不确定简析：解本题的关键是如何将PA、PB、PC有效地构成三角形由于ABC为等边三角形，因而将ABP绕A点逆时针旋转60得ACP，连结PP，易证APP是等边三角形，则PPC便是由PA、PB、PC构成的三角形易计算PPC40，PPC=80，PCP60故选(A)四、复合型变换把全等三角形中的一个图形经过以上两种变换才能与另一个图形重合的变换规律其基本模式有：(1)平移+对折，例如图(1)；(2)平移+旋转，例如图(2)；(3)对折+旋转，例如图(3)例6 ABC中，A=90，AB=AC，AC的中点为D，AEBD交BC于E求证：ADB=CDE简析：如图6，由于ABAC，ABDCAE，因此，把ABD先沿BA平移，让B点与A点重合，再将其绕A(B)点顺时针旋转90，则BA一定与AC重合，BD必落在AE延长线上(即过C作AC的垂线交AE延长线于F)得ACFBAD，则ADB=F，而此时CEF与CE