（概率论与数理统计专业论文）古典风险模型的破产概率计算问题的laplace变换方法.pdf

ab s t r a c t ab s t r a c t i n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r t h e c l a s s i c a l r i s k m o d e l , w h i c h i s p e r t u r b e d b y d i ff u s i o n , a n d w h i c h i s a c t u a l l y a s . p l . p ( i .e . s p e c t r a l l y p o s i t i v e l e v y p r o c e s s .) wit h s o m e w e l l - k n o w n r e s u l t s w i th r e s p e c t t o s . p l . p w e c a n g e t t h e l a p l a c e t r a n s f o r m a t i o n o f y/(a) ( t h e n u n f u n c t i o n ) t h e n w e g i v e t h e c o n c i s e e x p r e s s i o n s w h e n t h e c l a ims a r e d i s t r i b u t i o n o f m i x t u r e e x p o n e n t i a l a n d d i s t r i b u t i o n o f mi x t u r e e r l a n g s . k e y w o r d s : l e v y p r o c e s s , r u i n p r o b a b i l i t y , l a p l a c e t r a n s f o r m a t i o n , d i s t r i b u t i o n o f 而x t u r e e r l a n g s . 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内 容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电 子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印 件和电子版; 在不以 赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部 内容用于学犬活动。 学 位 论 文 ” 者 签 “ 丸将 吻 *; 、 : 月 , i6 1 i v “j 经指导教师同 意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 烈ba 解密时间: .年 月 日 / 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 螂 一 5 系 ( a k 5 4 - , 苛 j ? : f 5 娜 攫一军署 罗 汽 ; 李 群 井 一笙 :蒸犷 一 戮 ( ee 10 ,* 204= clk irc20 , 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的 成果。 除文中己 经注明 引用的内容 外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 己 公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。 对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己在文中以明确方式标明。 本学 位论文原创性声明 的法律责 任 由本人承担。 学位论文作者签名: 年 第一章引言 第一章引言 保险风险理论产生于保险公司承担项 目的可行性研究保险理论的研究对 象主要来自 于保险商业的各种随机模型， 它主要是根据保险经营中的实际问题 建立数学 模型， 给出 保费的 计算方法及破 产概率。 首次 亏损等方面的分析。 风 险理论中 破产概率的 一些重要方法由l u n d b e r g 给出， 近年来，随 机变量的 一 般概念与结果在风险理论特别是 在有关破产问题的研究中 发挥越来越重要的 作用， 随着风险理 论的 不断 发展， 出 现了 各种风险模型， 也形成了多 种处 理风 险模型的方法。 在风险模型中我们考虑的是远期 情形，即保险 人的资 本金 u ( t ) 随 着时间 的积累问题。随机过程 u ( t ) 随着时间的连续增加及对索赔的赔付该随机过程 逐段下降，当资本金为负，即发生破产。 破产概率作为综合保费和索赔过程的 保险公司稳健性的一个指标， 是风险管理的一个有力工具。破产概率的计算是 精算学的一个经典问题， 本文用 l a p l a c e 变换的方法推导了指数分布及其和混 合和组合的分布的破产概率。用泊松过程来刻画索赔次数随着时间的增长情 况。 本文讨论的古典 风险 模型的 破产概率计算问 题的 l a p l a c e变换方法， 用一 些重 要结论和l a p l a c e 变换的方 法导出了 古典风险 模型的 破产概率y / ( a )。 给出 了当 索赔量是指数分 布和混 合指数 分布及混合e r l a n g s 分布的州幻的表达 式。 在古典 风险模型中， 假设整个索赔 过程是一个 p o i s s o n参数为歹 的复合 p o i s s o n过程，每个个体索赔量是独立同分布的正的随机变量，分布函数为 p ( x ) , 均 值 ， ， = f p i ( x ) d x ， 相 关 的 平 衡 安 全 负 荷。 “是 由 c二歹 只 ( 1 + w ) 来 确定平衡分布函数 第一章引言 p ( x ) = ， 一 p i ( x ) = j p ( y ) d y / p ，表 示 减 少 的 余 额 总 量 的 分 布 函 数 ， 0 定义 l=石 +l 。 十l ， 十+ l t p ( k =k ) =o ( i +b ) 一 t 一 ， ， k = 0 , 1 ,2 , l 是由 s 一c t 产 生的 第i 个向 上的 阶 梯 高 度 l。 ， l, ， l， 是独立同分布。 其中l = m a x s , - c t , t _ 0 为最大跳跃之和，k是最大跳跃次数， w ( u ) = p ( l u ) u 2 0 . 1 一 vi(x)=o(x)=p x + c t - s , _ 0 , d t - 0 = p 凡一 c t 5 x , v t 2, 0 = p l :5 x , d t - 0 . 第二章预备知识和模型 第二章预备知识和模型 对 于x _ 0定 义 h 二 = in f t 0 , y , = x ) t , = in f t 0 , y , 二 +v ( x ) = ( p ( h ) w ) 通 常 在 风险 理 论 中 所 考 虑的 破 产 概 率p ( t , 。则 j e 一 ， y / ( u ) d u 一 ( 一 。 ) 一 ， 一 ， ( w ) w ( a ) 一 ， 对 。 成立。 由于安全系数大于 0 , 见 参 考 文 献8 口 =0， 夕( u ) =1 一w( 。 ) ，则 上 式 可 表 为 l . , ( 兄 ) = ( u ) e - a 血， l v ( a ) 二 j w ( u ) e 一 d u 第二章预备知识和模型 : ， (， ) 一 ( (1 一 。 。 )。 一” d u = 1 一 ， w m 0 s 当y , =x， l w ( 兄 ) = c 一 x f t c a一a ( 1 一1 ( a) ) “ ， = 专 - c一a l t c a . 一 a ( 1 一 1 . m ) 其中l . ( 兄 ) = 定理 1 . 1 的证明可参看【 7 . 一 a x p ( x ) 击 je。 第一节一般风险模型的 破产概率 设 。 ( t) 一 。 ， ， 一 艺 ，z k + 。 二 ( t) 其 中 ， u (t) 表 示 保 险 公 司 在 时 亥 。 t 的 资 产 盈 余 ; u , ( 0 ) = u ? 0 为 公 司 的 初 始 资 产 ; c o 为 单 位时 间 内 的 保 费 收 入; ( n ( t ) ) 是 一 个 强 度 为 .1 o 的 齐 次p o is s o n 点 过 程 ， 表 示 到 时 刻t 为 止 公 司 收 到 的 索 赔 次 数 ， 且 有n ( 0 ) = 0 1 ( z k ) k . 1.2 为 一 列 独 立 同 分 布 取 正 值 的 随 机 变量 ， w ( t ) 是一个标 准的b ro w n i a n 运动由于 u ( t ) - u是一个只有负 跳的l e v y 过 程， 即 谱负l e v y过程，其负 值一 ( u( 0一u ) = 一c t 一o ( t ) 就是一个 谱 正的l e v y 过程， 为了 使文章内 容与我 所提供的 文献内 容一致并注意到谱负与谱正 之间非 本质的区 别， 故 在本文中 只考虑谱正l e v y 过程及相应的 概念， 并推出相 应 的 结论， 然后在 将这些结论间接 应用到谱负l e v y 过程上面。 第二章预备知识和模型 n( t ) y , = 艺z k - c t - o w (t ) 有 稳 定 独 立 的 增 量 且 仅 有 唯 一 的 正 跳 跃， 即 是 一 个普 正 l e v y 过程 ( s . p l . p ) e n 百 1 ， e e 一 : ， = e e 一 “ 共 . z r - c 一 w “ ” = 。 ， ， ) 而 q, ( a ) =a c + 0 , 2 兄 2 2 一 a ( ， 一 j x e - a . p ( x ) d x ) ， , ( a ) 一 。 + 。 “ 一 。 i x e 一 ” p ( x ) d x ， ” ( “ ) = 0 + a j x 2 e 一 p ( x ) d x 当.p ( a ) _ 0 . p , ( 0 ) = c 一 a l t ，n = e z k . 诚幻是一个凸函 数，且帆幻 0 . e z k _ 0 ) j k-1艺间 i ! 1 5 第三章具体索赔额下的破产概率的计算 p , ( x ) = p ( x ) pl 艺 。 ; 几 k x 卜l e 一 七 一 ( k - 1 ) 厂 9 k 艺; ， =k 艺1 4 ， , . l k=1 , 2 , 同 样11 , + 4 z 。 : 也 是 一 个 概 率 分 布 ， p , ( x ) 一 es k y 了 . 0 ( a x ) , e - x l ! = 。 一 。 i j .0 ( a x ) 少 l ! 艺 。 ; 士 .j +1 卜仔.。 e( e 一) = 一 ， 一 里 一二 一 1。 一 ” d x ( n 一1 ) i 又. ( n一1 ) ! x ” 一 l e 一 ( x + . ) . 么 兄. ( n一1 ) !只 一. ( 。 一 1 )! t ti + s ) = r 一 主 一 、 ” l兄 +s) 因此 设q - a 一二 ， 一。 一 。 d x - ( n一1 ) ! r 一 主 一 ) l又+s ) 1.0 ( : 卜 l . 9 k z 奋 ， 兄 k x 卜 e 一 d + ( k一1 ) ! q ;艺川 心 e 附护.0 一 。a x 一 打 ( k一1 ) ! 气ijo q ，艺川 第三章 具体索赔额下的破产概率的计算 。 : a + s )11 aa + s ) ，=x. 考虑l 的l a p l a c e 变换 e ( e 一 ) = w ( 0 ) + j e 一 “ d p ( l x ) = y / ( 0 ) + 0 ( t ) 其 中 ， o ( r ) 一 1 。 一 叭二 ) 一了 。 一 ， ( x ) d r 设 。 ( ， ) = j e 一 “ d p ( x ) at ) 表示索赔分 布的l a p l a c e 变换， 可得下述等价公式 ， ( ， ) 一 ， ( 0 ) 一 s j e 一 “ . y, ( x ) d x ， ( ， ) 一 ， 一 s 丁 e 一 “ ( ， 一 p ( x ) ) d x 兄. 又斗_， _ 田v ( x ) =-y / ( x ) 一一 津 ( x一y ) a t ( y ) c u 川_ 臼 七 人 e 几 乘方程，然后对 x 从零到二积分 再令z=x一v， 得 j e 一 “ j w ( x 一 ， ) d p ( y ) d x = f e 一 “ yr ( z ) d z j e 一， d p ( ， ) 第三章具体索赔额下的破产概率的计算 w ( 0) 一沪( r )_ ， 、 =一 一几，一一n ) 利用 ( 3 . 1 ). 0. 2 )上式得 c a i . , _w ( 0 ) 一 沪 ( t ) w ( 0 ) 一 护 ( t ) _ , , , 1 一 p ( t ) 一 气 厂w 叹 ， = 一 v u ) =艺c艺( 1 1 u ) i .1 ! 一 之臼 ( 兄 u ) j j ! e一 4 . -气 .艺川 二 i i =o x z 0 。艺 - -cj 月二 , . 1 由 g ( x , y ) 满 足 g (x ,y ) 一 。 (x)y, (u ) + 孚( 。 (y )y/ (u ) - y, (一 ， ) + 9 (u , y ) 其中g ( x , y ) =p ( t ,。, x: 卜 y x( 。 ) =x ) 俨 ，了.jo ， ( ， ， ， ) = 止 pi ( u+ y一x ) p ( x ) 击 ， (: ， ) = 了 v (u + ， 一 x ) p 卫 d , pi 认少 = )一!鑫 cj aj(一)i)一 鑫 9 k z k ( k一 1 ) ! e 一 泥 ( . + y ) ) o i=o c a j . - 石a k 尹- - - - ，兀 . 1 !仃: ( k一1 ) ! k - i ( u+y一x ) 击 21 第三章具体索赔额下的破产概率的计算 ，乍.jo 一。 一 ， (-. y ) , j 舀 o i 又，梦- 9 k a k 错( k一1 ) ! x 卜 ， ( u +y 一x ) i 去 砂乙间 = 。 一 之 + y ， 艺 q : -a * ( k 一1 ) ! x 卜i c , u , - ( y 一 x ) d x 夕r.jo 。艺网 少 .o琴 艺 j. k - i = 。 一 “ r + y ) , . o c , 又 ， 户 q : 兄 止 ( k 一1 ) ! c 二 u 了 一 x k - , ( y 一 x ) d x r艺川 = e - x ( 十 y ) y-二 里咬q k丝 k j ! 倡 ( k一1 ) ! 溉 c u j - i y k + it k - ( 1 一 t ) d t 少r.jo j =o = e一 c a ,j- ,.0 1 k=i q k a k ( k 一1 ) !系 一i !一 止 ! ( i 一i ) ! j - 1 夕 k + , ( k一 1 ) ! i ! ( k +i ) ! = e 一 之 ( . + ， ) c j ( 又 u ) 叮 k ( a y )艺 兴 .=o l j 一 i +i ) ! !丁盆 y-u一1比 ，艺k- z间 引理 3 . 1 g ( u . , y ) =名( y ) y , ( u ) + 引理 3 .2 1 + 0 (p , ( y )v, (u ， ， ) + 粤 i (u , 少 ) 廿a f ( u , y ) =喜 ， ( 。 一 ， ， ， ) 口 只( y ) y / ( u ) b 其中f( x , y ) =p ( t , 。， x ( t一 ) yi x( 0 ) =x) ) 引 理3 . 1 和3 .2 的证明可参 看 3 . g (一 y ) = 。 ( y )v, ( u ) + 孚( p (y )vw ( 一 ， ) + 1 ib (一 y ) 一 : (， ) ， 华耳 ( ， )l1 + b p ,7( y ) iw (u ) 一 1 + b 二 (。 + ， ) ， 喜 ， ( 。 ， ) 口夕a口 22 第三章 具体索赔额下的 破产概率的 计算 一 i 合 a (y )w ( 卜 1 + b wb二 ， ， 合 “ 一 ， ， . 。 一 y-c . ( .a u-兰 刀 q ，艺 1 + 上。 一 ， 夕 b y- i=o ( a y ) , j !t二1+ l 1 + b e-a(.+r)舒 ( 又 ( “ +y ) ) l ! b 一r) r ,.o 砚 (a u )h ,一 ， ， f( u , y ) =粤 ， ( ， 一 ， ， ， ) 沙 几( y ) vv ( u ) b = -e b - x . 艺c j ( a ( u 一 y ) ) i h , ( u 一 y , y ) j = o q ，艺 一 b 一 “ 氢 c ,=o ( 又u ，一 . ( a y ) , .l ! ( 1 一 e 一 a y 艺 j-ol !云，了 +1 其 中 ， h , (x , y ) 一 艺 。 : (、 )止 艺 i y y “ / ( j 一i ) ! ( k+t ) ! 刀 致谢 致谢 本文 是在我的导师张春生教授的精心指导下完成的 ，张老师 严谨的治学态 度，渊博的知识和孜孜不 倦的工作作风给我留 下了 深刻的印 象， 也深深 地影响 着我， 是我 学习的 典范 . 在此 我向张 老师 表示诚挚的谢意 . 感谢 顾沛老师，郭军义老师，陈典发老师，王兆军老师，张 震球 老师，周 麦老师.在南开研究生阶段的学习 过程中 ，各位老师 尽职尽责的 工作态 度， 严 谨的学 术作风深深的 影响 着我 . 感谢曾经热情帮助过我的同学们. 参考文献 参考文献 1 j a n g r a n d e l l , a s p e c t s o f r i s k t h e o ry , s p r i n g e r p re s s . 1 9 9 0 . 9 6 - 1 2 1 2 w . f e l le r ( 1 9 7 1 ) a n i n t r o d u t i o n t o p r o b a b i l it y t h e o ry a n d i t s a p p l ic a t i o n ,v o l . i i , j o h n w i le y & s o n s , i n c . 1 2 1 - 1 3 5 3 1 v a n h e e r w a a r d e n a . e ( 1 9