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山东大学硕士学位论文 无穷区间多维反射倒向随机微分方程和比较定理 张明 ( 山东大学金融研究院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文研究的是无穷区间多维反射倒向随机微分方程解的存在唯性，解对参数 的连续依赖性以及比较定理 众所周知，倒向随机微分方程( b s d e ) 是个新兴的研究方向，它的出现为 研究金融数学，随机最优控制以及偏微分方程等问题提供了有利的工具如下的非 线性b s d e ： 一d l ，( t ) = ，( t ，y ( t ) ，z ( f ) d t z ( t ) d b ，l 勺= f 是由p a r d o u x 和p e n g 于1 9 9 0 年在【1 】中首先介绍的，后来p e n g 于1 9 9 2 年在1 2 】 中证明了一维b s d e 的比较定理，彭实戈教授的学生周海滨于1 0 9 9 年在【3 】中证 明了一类多维b s d e 的比较定理，证明方法是构造了一个特殊的函数，这个函数 是b u d c d a h n 和p e n g 于1 9 9 9 年在【4 】中首次介绍的e 1 k a r o u i e t a l 在【5 中研究 了带一个障碍的一维反射b s d e ，给出了一维情况下解的存在唯一性定理和比较 定理，同时还在m a r k o v 框架下研究了一维反射b s d e 与非线性抛物性偏微分方程 的联系h a m a d e n e ，l 印e l t i e r ，w u 把这种一维反射b s d e 的区问扩展到了无穷区 间上，而肖华则在2 0 0 5 年的硕士毕业论文中把一维反射b s d e 推广到了多维的情 况 在这些基础之上，我们现在很自然的提出，如何建立无穷区间上多维反射b s d e 的框架，建立之后，无穷区问多维反射b s d e 的解是否存在唯一，解对参数是否具 有连续依赖性以及解的比较定理是否成立 本文共分三章 第一章：引言，叙述前人所作的工作以及问题的由来。 第二章t 在 6 】中对一维情况的证明以及【7 】中对于反射b s d e 从一维到多维 的推广的基础上，我们提出了如下的无穷区间多维反射b s d e 模型； 山东大学硕士学位论文 首先假定； ( h 2 i 圬碟 ( h 2 2 ) ，：q 【o ，o 。】j p 尼。d 一+ 毋，( ，：) 是循序可测的并满足 e ( i 乃( s ，o ，o ) l d s ) 2 o 。，坳= l ，2 ，n ，0 ( h 2 3 ) 存在两个正的确定的函数u l ( t ) ，u z ( ) ，使得； f ，( t ，鲈，名) 一，( t ，暑，7 ) i “t ( t ) i 可一暑，l + 2 ( t ) i 。一i 其中f o ，玑矿舻，z ，舻。4 且有j “l ( t ) 出 o o ，铲嵋( t ) 出 o 。 下面再给出一个n 维障碍 s ( t ) ，t o ) j p 满足t ( h 2 4 ) s ( ) 是连续的循序可测过程且满足t e 【s u p ( s + ( t ) ) 2 】 o o ，1 i ms u ps ( t ) f t ot t 十 我们称( ，s ) 为一组标准参数，若它满足( h 2 1 ) 一( h 2 4 ) ，称( y ( t ) ，z 0 ) ，k ( t ) ，t 0 舻j p d 彤+ 是无穷区间n 维r b s d e 的一组解，若它满足z ( h 2 5 ) y ( t ) 畿，z ( ) h ：，k ( o 。) c ： ( h 2 6 ) l ，( f ) = f + 对，0 ，r ( s ) ，z ( s ) ) d 5 + ( 。) 一j r ) 一正z 0 ) 扭： ( h 2 7 ) y o ) s ( t ) ，o ( h 2 8 ) 彤( t ) 是连续的增过程，k ( o ) = o 且j ( y ( t ) 一s ( t ) ) d k ( t ) = o 这里l ，( t ) 是个舻向量，它的第j 个分量是巧( f ) 多维模型同一维模型的区别主要体现在( h 2 7 ) 和( h 2 8 ) 上，意味着仅当巧碰 到障碍岛时，用一个最小的推动力巧将巧向上推动，使之在障碍马上面运动 以f 6 】与f 7 】对反射b s d e 的证明为基础，我们证明了无穷区间多维反射b s d e 解 的存在唯性，即 定理2 1 ；当( ，f ，s ) 满足( h 2 1 ) 一( h 2 4 ) 的条件时，无穷区间多维r b s d e ( ， ，s ) 存在着一组解( k 互彤) 满足条件( h 2 5 ) 一( h 2 8 ) 且至多有组循序可测的解 有了解的存在唯性，在这一章的最后，我们还证明了解对参数是具有连续依 赖性的 i i 山东大学硕士学位论文 第三章；为了说明无穷区间多维反射b s d e 的比较定理，我们将两个j p 中向 量的比较定义为： n 1 a 2 骨q 鸳，j = l ，2 ，竹n 1 ，舻彤 由此得出了无穷区间多维b s d e 的比较定理； 定理3 1 ；设( 广，掣，s ) 和( p ，z ，k ) ， ( 日2 8 ) ，并且 ( i ) f 1 p ； ( i i ) 曰( t ，1 ，) 厅( ，9 2 ，。2 ) ，其中谚= 霹， ( i n ) s 1 s 2 则有y 1s y 2 i = 1 ，2 ，分别满足条件( 日2 1 ) 一 刁= 李，疗井，z j ； 下面，考虑定理3 1 中的条件( i i ) 能否换成更弱的条件， ( i i ) ( t ，z 1 ) 厅( ，玑z 2 ) ，弓= 亏 我们举了个满足条件( t i 7 ) 但不满足条件( i i ) 的例子，通过这个例子证明了比较定 理不一定成立 关键词；倒向随机微分方程，无穷区间，反射边界，比较定理，局部时 i i i 山东大学硕士学位论文 i n f i n i t eh o r i z o nm u i 刀i d i m e n s i o n a lr e f l e c t e d b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n dt h ec o m p a r i s o nt h e o r e m z h a n gm i n g ( s h a n d o n gu n 砒r s i t ym a t h e m a t i c a lc o u b g e ，j i n 咀，2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i nt l l i sp a p e r ，w e8 t u d yt h ei n 丘n i t eh o r i z o n 瑚u l t i - d i m e 瑚i o n a ir e n e c t e db 孤慨r d s t o c h 帮t i cd i 脓e n t i a le q u a t i o 船( b s d ei ns h o r t ) t h ee ) 出t e n c ea n du n i q u 朗e 潞 r e s i l l to ft h es o l u t i o nf o rt h i 8l 【j - n do fe q u a t i o n 哪p r o w 蛆，a n dw e 出s og i v eo n e1 c i n d o fm u l t i - d i m e n s i o n a lc o m d a r j 塔o nt h e o r e mf o rt h er e n e c t e db s d e ni sw e l lk n o w nt h a tb s d eh a sb e c o m ean e l do fi n c r e 8 8 i n ga c t m 够i ti sb e c o i n - i n ga ni m p o r t a l l tt o o li n8 t u d yo f 矗n a n c i a lm a t h e m a t i c 8 ，s t o e h 粥t i co p t i m a lc o n t r o l p r o m e 瑁a n dp a r t 试d i 艉瑚t i a le q u a t i o n t h ef 0 1 l o 而n gn o l l l i n e a rb s d e d y ( t ) = ，( t ，y ( t ) ，z ( t ) d 亡一z ( t ) d 岛，埽= f w 帮i i r s ti n t r o d u c e db yp a r d o l l ) 【a n dp e n gi n l 9 9 0 ( 8 e e 【1 】) a 丘e rt ，p e n gp r a v et h e c o m p a r i 8 0 nt h e o r e mf o ro l 峥d i m e 姗i o n a lb s d ei n1 9 9 2 ( s e e 【2 】) z h o up r o v e do n ek i n d o fc o m p a r i 6 0 nt h e o r 锄f o rm l m i - d i m e 璐i o n a lb s d et m l 9 9 9 ( s e e 【3 】) ，a n dt h e nu t h e c o m p a r i s o nt h e o r e m 鸽t h et o o lt op r o v eo n ce x i s t e n c er e s u hf o rm u l t i - d i m e 瑚i o n 以 b s d ew h e r et h ec o e 母c i e n ti sc 0 t i n u o 璐a n dh 髂t h eh n e a rg r d w t h e 1 k a l l ie r 出 8 t u d i e do n e - d i m e n s i o n a lr e n e c t e db s d e 研t ho n eb a i e ri n1 9 9 7 ( s e e 5 】) ，a n dt b e n p r a v e dt h ee x i s t e n c ean du n i q u e n 皤sr 髑l l l ta n dc o m p a r i s o nt h e o r 咖o f t h es o l u t i o n f b rt h j sk i n do fe q u a t i o n w ed i v i d et l l i sp a p e ri n t ot h r e ec h 印t 删 t h e 丘r s tc h 印t e ri sa ni n t r o d u c t i o n hc h a p t e r2 ，w eg i v et h ef o n o w m gm o d e lf o rm 山i - d i m e 璐i o n a lr 胡e c t e db s d e w b 丘r s tg i v e t h ec o i u p a r i s o nd e 丘i d t i o n f o r t w ov c c t o r s i n 即： 代 n 1 n 2 错q 弓 山东大学硕士学位论文 a n dt h e na 晒啪e ： 【h 2 1 k c 三 ( h 2 2 ) ，：n f o ，o o l 舻形刈形，( ，妒，z ) a n d ， e ( i 乃( s ，o ，o ) i 如) 2 o o ，坳= l ，2 ，n ，u ( h 2 3 ) t h e r e 村et w dp o s i t i v ef i l l l c t i o 姗t l ( ) ，札2 ( ) ，b a t i s 移i n g i ，( t ，：) 一，( t ，矿，) i t - ( t ) m 一矿i + “2 0 ) i z 一2 ，1 w h c r e t o ，y ，暑，r ”，z ，r ”。da n dj ：；”l ( ) 疵 o o ，j f ；( ) d t 。 a n dw e 百v eo n en d i m 删i o n a l0 b 8 t a c l e s ( f ) ，o ，舻8 a t i s f y 堍 ( h 2 4 ) s ( t ) 瑁8c o n t i n u o 啪p r o 删i v e l ym e 鹪1 l r d b l e 碍1 v a l u e dp r o c c s ss a t i s f 弘 i n g e | s u p ( s + 0 ) ) 2 】 o o ，l i ms u ps ( t ) f u坍十 ( ，f ，s ) i sc a l l e do n eg r o u po f8 t 蚴d a r dp 盯a m e t e rf o rn d i m e n s i o n a lr e n e c t e d b s d e ，i fi t i ss a t i s 丘郎( h 2 1 ) 一( h 2 4 ) a n dt h e nw ec a l lt ( y ( f ) ，z ( t ) ，( f ) ) ，o t ob et h es o l u t i o nf o ri n 右n i t e h o r i z o nn d i m e i l s i o n a lr e n e c t e db s d ei f i ts a t i s 丘郫 ( h 2 5 ) y ( ) 畿，z ( ) 磁，( o 。) ： ( h 2 6 ) y p ) = f + r ，( s ，l ，( s ) ，z ( 3 ) ) d s + ( o 。) 一k ( ) 一j 芦z ( s ) d 鼠 ( h 2 7 ) y 8 ) s ( ) ，t o ( h 2 8 ) 耳( ) 塔e o n t i n u o l l sa n di n c r e 嬲ep r o c e s s8 a t i 8 觚n gk ( o ) = o 甜l dj ( y ( t ) 一 s ( f ) ) d ( t ) = o t h e o r e m2 ，1 ：，e 嬲8 u m e ( ，f ，s ) 8 a t i s 右e s ( h 2 1 ) ( h 2 ，4 ) ，t h e nt h e r e 麟i s t s ag r o u po f6 0 l u t i o n ( ez ，k ) f o rn - d l m c l l s i o i i a lr e 丑e c t e db s d es a t i s 助n g ( h 2 5 ) 一 ( h 2 8 ) ，w h i c hi 8a k ou n i q u e a 托e r 呛p r o v e dt h e d 8 t e n c e 部1 d 嘶q l l e n e 翩o ft h e l u t i o n ，w eh a v ea l p r c 叼e dt h es o i u t i o ni s 黝1 t i n l l o l 】sa b o u tt h ep a r 锄e t 凹。 i nc h a p t e r3 ，w eg e t v 山东大学硕士学位论文 t h e o r e m3 ，1 ：l e t ( ，1 ，1 ，s 1 ) a n d ( ，2 ，f 2 ，s 2 ) b et w o8 t a n d 甜dp 甜锄e t e r 8o ft h e n d i m e n s i o n a lr e n e c t e db s d es a t j s 研n g ( h 2 1 ) ( h 2 4 ) ，a n ds u p p o s ei na d d i t i o nt h c f o l l d n g ( i ) f 1 p ； ( n ) 疗( t ，1 ，) 鬈( t ，f 2 ，2 2 ) ，w h e r e 牙= 谚，芎= 雩，甜卯，z j ； ( i i i ) s 1 s 2 t h e n y l y 2 t h e n 骶t l l i n ka b o u tw h e t h e ri t i sp o 晒i b l et 0c h a n g et ot h ew e a i 【e ra s s u m p t i o n ： ( 片( ，玑一) 蜉( t ，p ，z 2 ) ，弓= 孝 n o mt h ec o u n t e r e x a l p l e3 1 ，w ek n o wt h a tt h ec o m p a r i 8 0 nt h 0 0 r 咖d o c 8n o t h o i du n d e rt h e 嘲m l p t i o n ( ) k e yw b r d ：b 础w a r ds t o c h a 8 t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o i l 8 ，i 蚯n i t eh o r i z o n ，r e 丑e c t e d b 埘i e r s ，c o m p a s o nt h e o r e m ，i 由c a it i m e v 1 原刨性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：拯塑 日期：呈! 翌! ：幺 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：i 区型i 导师签名： 第一章引言 非线性倒向随机微分方程( 简记为b s d e ) 的基本框架是由p a r d o l l ) c 和p e n g 于1 9 9 0 年在【1 】只奠定的，非常巧合的是著名经济学家d 调k 和e p s t e i n 也独立的 从经济学的背景出发于1 9 9 2 年在【6 j 中提出了这一方程的一个特别典型的情况 e 1 k a r o u i ，p e n g 和q u en e z 于1 9 9 7 年在【7 1 中给出了b s d e 一些重要的性质，比 如比较定理以及在最优控制和金融数学方面的一些应用通过使用b s d e 的一些 结果，h a i n a d e n e 和l e p e l t i e r 于1 9 9 5 年在【8 1 中通过1 8 c s 条件得到了零和博弈 问题鞍点策略的存在性和随机最优控制问题最优策略的存在性 e 1 - k a r o me ta l 于1 9 9 7 年在f 5 】中研究了带一个障碍的一维反射b s d e ，要 求该疗程的解保持在个给定的连续的随机过程之上，这个过程称之为障碍为了 达到这个目的，他们引进了个增过程向上推动方程的解，同时要求这个推动力要 是最小的他们得到了方程解的存在唯一性，给出了这类一维反射b s d e 的比较 定理在m 口k ) v 框架下，他们也研究了反射b s d e 和非线性抛物型偏微分方程 的联系后来，嘶t a n i c 和k a r a t z 淞于1 9 9 6 年在| 9 】中将其推广到两个障碍的 反射b s d e ，这两个障碍是两个给定的连续的随机过程，称之为上下障碍在此之 后，h a m a d e n e 和l e p e l t i e r 于2 0 0 0 年在【1 0 】中将障碍推广到过程s ( 下障碍) 和一u ( 上障碍) 仅仅是右连续和左上半连续的，并得到了混合博弈问题的一个鞍点 策略2 0 0 5 年，肖华由一维的反射b s d e 考虑的如果是多维情况是否还有这些性 质，并证明了多维情况下，带个障碍的反射b s d e 解的存在唯性，解对参数的 连续依赖性以及比较定理 1 9 9 9 年，h m a d e n e ，l e p e l t i e ra n dw u 把一维反射b s d e 的区间由有限区间 推广到了无穷区间，并在无穷区间上证明了方程解的存在唯性以及比较定理受 到肖华由一维到多维推广的启发，我们自然会考虑，多维情况下，无穷区间上的反 射b s d e 是否还有解的存在唯性，如果有，那么比较定理是否还成立? 在什么情 况下成立? 需要具备哪些条件? 带着这些问题，我们以 6 】对维情况的讨论为基础，借鉴肖华在【7 】中所使用 的方法，在本文的第二章中证明了无穷区间多维反射b s d e 解的存在唯一性，并证 山东大学硕士学位论文 明解对参数具有连续依赖性在第三章中又证明了比较定理，并讨论了比较定理的 条件 2 第二章无穷区间多维反射b s d e 解的存在唯一性 在这一章中，我们给出无穷区间多维反射b s d e 的定义，并证明其解的存在唯 性以及解对参数的连续依赖性 令 鼠，f2o ) 是定义在在概率空间( q ，p ) 上的d 维标准布朗运动， 五，t o ) 是 岛) 的自然信息流，并且其中的蜀包含了，上的所有零测度集， 氏= v 渤五 因为这里涉及到多维向量，所以先给出两个针对于多维向量的说明t ( 1 ) 若口为n 维向量，则为d 的第j 个分量 ( 2 ) a 1 ，n 2 形，则a 1 舻错n o ；，j = 1 ，2 ，n 我们再引进下面的记号t 瑶= l ：q 一形是只。可测的随机变量满足，别d 2 o o 咒：= 饥i o ，是矗适应的过程满足te 【j i 饥1 2 d c 】 o 。) 畿= 仇i t o ，是兀适应的过程满足，e 【s u p 伽j 仇1 2 】 。o ) 时( ) = m “ o ，m ( ) ) ，这里( t ) 是( ) 的第j 个分量，而( t ) 是酽中的 循序可测过程 我们假定t ( h 2 1 ) c 2 ( h 2 ，2 ) r ：n 0 酬j p ，p “一舻，( t ，。) 是循序可测的并满足， ， e ( i 五( s ，o ，o ) 1 d s ) 2 o 。，= 1 ，2 ，n j 0 ( h 2 3 ) 存在两个正的确定的函数“- ( t ) ，u 2 ( t ) ，使得t l ，( f ，鲈，。) 一，( t ，可7 ，) i “l o ) i 一毫，i + t l ：( ) i 。一i 其中f o ，暑，暑，7 舻，。，一舻。4 且有铲“1 ( ) 出 ，f “；( f ) 出 下面再给出一个n 维障碍 s ( t ) ，t o ) 舒满足t ( h 2 4 ) s ( ) 是连续的循序可测过程且满足； e 【s u p ( s + ( t ) ) 2 l o o ，l i ms u ps ( t ) 亭 山东大学硕士学位论文 我们称( f ，s ) 为一组标准参数，若它满足( h 2 1 ) 一( h 2 4 ) ，称 f l ，( f ) ，z ( f ) ，( ) ，t o 舻舻州舻+ 是无穷区间n 维i 诅s d e 的一组解， 若它满足； ( h 2 5 ) y ( t ) 畿，z ( ) 弼，( 。o ) ：， ( h 2 6 ) y ( t ) = + ，( s ，y 0 ) ，z ( s ) ) d s + ( o o ) 一k ( t ) 一r 均z ( s ) d b ， ( h 2 7 ) y ( t ) s ( ) ，t o ( h 2 8 ) ( ) 是连续的增过程，( o ) = o 且f ( y ( # ) 一s ) ) 正( ) = o 由( h 2 7 ) 可以看出，方程的解的每一个分量巧( f ) 必须保持在给定的障碍的相 应的分量毋( f ) 之上为了达到这个目标，我们引进了一个多维的过程( ) ，这个 过程的每一个分量巧( ) 都是连续的增过程，遥过( h 2 8 ) 可知，这个增过程推动 方程解的每一个分量保持在障碍相应的分量之上，同时，这个推动力又是最小的 至此，我们就已经把无穷区间多维反射倒向随机微分方程的定义完整的写出来 了，下面我们来证明方程解的存在唯一性。 首先，我们先来看一种简单的情况，就是当n = l 而且，不依赖于，：的情 况我们有： 引理2 1 l 假定参数( ，f ，雪) 满足； ( 耽1 ) f 2 ， ( h 2 2 ) e ( j i ，( t ) i 出) 2 + o o ，( ) ：q 【0 ，】叶丑 ( 日2 4 ，) s ( t ) ，o r 是连续的循序可测过程，满足， e 唿阮) j 2 ) 一。恕钠 t 0 i 】十 则存在唯一的( 矿，2 ，霞) 满足， ( 日2 5 7 ) 2 笼 ，矿研，詹( o 。) 砰 ( 日2 6 ，) 矿( ) = 霉+ 名”，( s ) d s + 霞( ) 一露( 力一点”幺0 ) d b 。 ( 日2 7 ，) y ( t ) s 0 ) ( 日2 8 ) k ( t ) 是连续的增过程，满足， 霞( o ) = o ，( p ( ) 一雪( f ) ) d 霞( 0 = o j 0 这一引理在【6 】中已有证明，下面我们利用这一引理以及 6 】中对一维情况的证 明，来讨论多维反射b s d e 解的存在唯性t 4 山东大学硕士学位论文 定理2 1 ，当( ，s ) 满足( h 2 1 ) - ( h 2 4 ) 的条件时，无穷区间多维反射 b s d e ( ，if ，s ) 存在着一组解互k ) 满足条件( h 2 5 ) 一( h 2 8 ) 证喊我们先来证明存在性，令e 是满足( h 2 5 ) 和( h 2 7 ) 的循序可测过程 ( y ( t ) ，z ( ) ) ，t o 生成的空间给定( 玑z ) e ，对 0 一l ，2 ，n ) ，( 乃( ，玑：) ，6 ，岛) 满足引理2 1 中的条件，故存在唯一的 ( 巧，弓，屹) 满足方程； ， 巧( t ) = 白+ 乃( s mz ) d 3 + 玛( 。) 一妫( t ) 一乃( 曲d b j t ，t 以及限制条件( h 2 5 ) 一( 日2 8 ) 令y = ( m ，配，k ) ，z = ( 历，磊，磊) ，则( z ) e ，故可以通过 ， y ( t ) = f + ，( 8 ，z ) 如+ k ( o 。) 一k ( t ) 一z ( s ) d b j i，t 定义映射垂：9 一e 为t y z ) = 圣( 弘：) 则给定0 ，z ) ，( 7 ，) e 记 ( y ，z ) = 西( 玑z ) ，( r ，z ) = 西( 暑，z ) 由此还可推出 ，t， k ) = y ( o ) 一y ( t ) 一，( s ，玑：) d s + z ( s ) d b j oj 0 ，th 7 ( ) = y ( o ) 一y ( t ) 一，( s ，矿，) d s + z 7 ( s ) d 玩 j 0j 0 再定义t ( 霄，1 ) = b 一，z ，) ，( p ，牙) = ( y y ，z z 7 ) ，露= 耳一，= ，( 岛玑。) 一，0 ，f 7 ，) 以及范数i ( f z ) j = j j yj 怎+ | j zj | 乞 由【1 】中对一维情况的证明知t 巧( ) = e s s s 卅 e 【乃( s ，可，z ) d s + s ； 。 + f 丘 i 五】 ，f ，口 巧( t ) = e s 5 s t i 巩五e 【厶0 ，矿，一) d s + 岛 。c l + f ， 怛) p 毫 ， 其中v 是无可测的停时且 t 由于v 的任意两个函数9 1 ( 口) ，肋( ) 有t s u 儿9 1 p ) s u 巩f 9 1 0 ) 一虫0 】i + s u 儿咖扣) 即s u k 9 1 ( ) 一s l l p 。9 2 ) s u 儿1 9 1 0 ) 一啦( ) i 5 山东大学硕士学位论文 f 马( t ) i = i 巧( t ) 一巧( t ) l e s s s z 仉e 矗e 【i 五( s ) 幽i l 五】e 【 l 五( s ) l d 8 i 五】 ， ，f， 所以 ， e 【s u pi 髟( t ) 一e 【s u p ( e i 五( s ) l d s 五) 2 】4 e ( i 五( s ) i d s ) 2 0 9 0 甜，0j o 又因为 ， 髟( t ) = 五( 8 ) d s 一马( t ) 一易( s ) d 玩 ，tj 所以对澎( ) 1 2 用i t 6 s 公式得， ， i 髟( f ) 1 2 = 2 髟( s ) 石( s ) 如+ 2 弓o ) ( f 蜀( s ) 一2 e ( s ) 乏( s ) 舾：一i 元i 2 幽 j tj t j tj t 所以。 ， e i e ( t ) 1 2 + e i 易1 2 d s = 2 乃( s ) 五( s ) d s + 2 弓( s ) d 局( s ) = l + 2 ，t，j 对于2 有 ， 乃( s ) d 髟( s ) = ( k ( s ) 一巧( s ) ) 【d 巧o ) 一d 巧( s ) 】 ，tj t ， = 阢( s ) 一岛( s ) 一( 巧( s ) 一句( s ) ) 】p 巧( s ) 一矗巧( s ) j j t ， 一阱( s ) 一毋( s ) 】d 巧( s ) 一嘭( s ) 一毋( s ) 】d 吩( s ) j tj t 所以， 也就是。 6 e i 髟( 圳2 + e z ”l 历( s ) 1 2 如， e z 。l 磊( s ) 1 2 d s 2 e z ”i 髟( s ) 五。) l d s e 2 ，s l l pl 乃( t ) f j 五( s ) 1d s 】 e s u p 髟( ) 1 2 + e ( i 再( s ) i 如) 2 5 e ( i 五( s ) l 幽) 2 对j 从l 至n 求和得t 我们知道， 山东大学硕士学位论文 嘉e z ”刚喜。e ( z 。l 如) 2 ef 匦( s ) 1 2 如9 e f 历( s ) 胁) 矧 j 0 枉1 、j 0 ( 。) m 1 2 ) 吲b + i | 刮i 毳) 玩司b i i e 刁1 2 = i i 矿瞻+ i 同i 备 若e s 型瓦( 咖+ 若e z l 瓦( 5 斤幽 。n z i ( z ”“t ( s ) “s ) 2 + z 。u ；( s ) a s i | | 蟊引一 ( 1 ) 若( j “1 ( s ) 幽) 2 + j f “；( s ) 如 击，则映射西满足压缩映象原理的 条件，贝9 应存在准一的不动点，记为瞰z ) 则似彩= 西( z ) ，再由 k ( t ) = y ( o ) 一y ( t ) 一j ，( s ，z ) 幽+ 丘z ( s ) d 玩得到( ) ，从而找到了满足 日2 5 一日2 8 的解( r z ，) ( 2 ) 若( j ( s ) d s ) 2 + 伊啦( s ) 如 o ，使得( j 署u 1 ( s ) 幽) + j 署啦( s ) d s 击，再加 上( 1 ) 部分的讨论知。反射b s d e ， 7 + e p u t 降 g 。州 邢万“ 以 琊 掘 碹 剐 凇 吨 肌州，+i_ 一 毗、_、+ + 一阱卅懒矿矿 0 慨 小 扣 0 一以 联 川 虮 n n ii广。一。m， f f 小r r 0 0 okk 山东大学硕士学位论文 玩= f + j - 1 。 ，( 8 ，玩，元) d s + 疋一鼠一f 磊d 鼠存在唯解，记为 ( 玩，磊，忍) 然后我们考虑反射b s d et 矿= 甄+ 俨，( s ，e ，免) 幽+ 甄一丘一俨磊d b 注意。这里的反射b s d e 实 际上是有限区间n 维反射b s d e ，在【7 】中已证明存在唯一解，记为 ( 或，磊，膨) 再记 k = 妻 t 【0 1 蜀】 t ( 而，o 。】五= 主 【0 蜀】 t ( 而，o o 凰= 裳一罴吲驷，i 甄一+ t ( 蜀，o 。】 容易验证tm ，互，甄) 即为方程 k = + j f ，( s ，v z ) 幽+ 如一k f 互d 鼠的解，从而说明了方程解的存在 性 有了解的存在性，下面证明解的唯性 设方程有两组解( k z ，k ) 和( r ，z ，k ) ，我们记y = y r ， 2 = z z 7 ，霞= k 一对( 玩) 2 用i t 6 8 公式得 ( 玩) 2 ：f ”2 ( e ) ( ，。，rz ) 一，( s ，y ，) ) d s + z 。e d 觅一，。2 览幺d 玩一，。( 之) 2 d s ( 玩) 2 = 2 ( e ) ( ，( s ，rz ) 一，( s ，) ) 幽+ e d 觅一f2 k 磊d 玩一f ( 五) 2 如 j t j tj - 所以， e ( e ) 2 + e ( 之) 2 d s ：e 。2 e ( ，o ，f z ) 一，o ，y ，z ，) ) d 8 + 2 ef ”( k 一巧) d ( 甄一配)= e 2 e ( ，o ，f z ) 一，0 ，y ，z ) ) d 8 + 2 e ( k 一巧) d ( 甄一配) j t = + 厶 因为 如= 2 e ，” y s 一( y 7 一s ) 】( d 甄一d 配) _ 2 e z 。( y 删d 磁制，”( y l 剐圮 8 山东大学硕士学位论文 所以如0 ，故 e ( 幺) 2 + e ( 幺) 2 d 8 s 2 e 览( ，( s ，v z ) 一，( 8 ，y ，) ) 幽 2 e j ej 阻。0 ) j 览j + 坳( 甸f 之| 】d s ， = 2 e 乱。( 8 ) i 觅1 2 d s + 2 e “2 ( s ) i e 免l d s j tj f ；e ”i 幺1 2 d s + e ”【2 ”t ( s ) + 2 遽( s 川览1 2 d s 所以， e l e | 2 + ；ef ”| 免l 。幽e ，”2 阻。( 8 ) + “；( s ) 】l 幺i 。d s o j tj t 即有， e l 玩1 2 e 2 【u 1 ( s ) + 遥( s ) 】i e 2 幽 由g r o n w a 引理得，e i 磁1 2 = o 所以，i k i = oa 8 即y = y ，a s 同样对于 任意f ，e r f 之f 2 幽= o 所以，z = a g 再由 西= 一k 一，( s ，z ) 幽+ 五d 玩得= 证毕 在讨论了无穷区间多维反射r b s d e 解的存在唯性之后，我们接着讨论一下 解对参数的连续依赖性我们知道，当参数微小变化，方程的解若差别很大，则这 样方程的解在实际应用中是没有价值的，因而方程的解对参数的连续依赖性是一 个很重要的性质下面的定理2 2 说明了我们构造的这类无穷区间多维反射 r b s d e 在一定的条件下，解是具有稳定性的，即当参数充分接近时，方程的解也 没有差别 定理2 2t 令( ，k 4 ) 是相应于标准参数( ，( p ，) ，( 卢) ，s ( p ) ) 的无穷多维 r b s d e 的一组解，( y 廓，z 内，岛) 是相对应于标准参数( ，( 岛，- ) ，f ( 阮) ，s ( 岛) ) 的 无穷区间多维r b s d e 的组解对任意，岛，定义，= ，( ，) 一，( 岛，) ， = f ( 口) 一f ( 岛) ，s = s ( p ) 一s ( 风) ，y = l ，芦一y 南，z = z 口一z 岛， k = k p k 廓，( p ) 一，( 扁) = ，( 成t ，z 口) 一，( 岛，厶y 岛，z 岛) 再进步假 定 9 山东大学硬士学位论文 ( 日2 9 ) 存在两个正函数“1 ( ) ，锄( f ) ，对任意卢，有 ，( p ，t ，剪1 ，z 1 ) 一，( p ，t ，抛，勿) l “1 0 ) l ”1 一沈i + 钍2 ( ) i ：l 一钇 其中，j f u t ( t ) 出 彳碍 霹，所以 厶= 2 e 上少呼 垮一弩 d 碍( s ) 一2 e z i 少呼 宁4 霹( s ) 2 e 吁，呼 【f ( s ) 一哥( s ) 一( 呼( s ) 一鼋( s ) ) 】d 霹( s ) = 一2 e 产 垮，呼( 弩( s ) 一号( s ) ) d 霹( s ) 吁i ， f一出 曲 一疗 s 矿 2 呼 吁 r q r， e 一 尸甲 以 e 昕 山东大学硕士学位论文 e 厂” 珍呼) l “- ( s ) | 【( 1 妒( s ) f 2 + l 露1 2 ) + + ( j 黟( s ) 1 2 + i 髟一 + + ( i 寸( s ) 1 2 + f 露| 2 ) 】如 + e 吁，呼 【l “。( s ) j 2 l 黟( s ) 1 2 + i 毛k ( s ) 2 d s ef i 弩，吁 i 毛e 1 2 d s = e 一 咖呼 h ( s ) l 善l 站1 2 幽+ e z 锄，弩 ( ”慨( 驯+ d 。门l 黟1 2 幽 ， t ， ef ”切，吁1 + 1 ) ) ) 1 2 】t 壹i 露1 2 d s 对于j 从1 至n 求和得； 唼( 覃( t ) ) 2 e z 。枨n + 1 m t ( 圳+ 引地( 驯2 】砉l 露( s 汗d s e ”n 【( n + 1 ) l u l ( s ) 1 + d l 。七( s ) l z 】茎弋i 野( s ) i 。出e n 【m + 1 ) l u l ( s ) 1 + d l 啦( s ) 闩i 玢( s ) 1 2 出 o k = l e 若s u p l 啪1 2 。j c ”【( 川m 圳 所以由y ( 所处的空间以及最初对于“l ( s ) 与“。( s ) 的假定知t 唼s 2 i 。( 删“圳+ d 小：门d s e 。【扣+ 1 ) i u 。( s ) l + d i u 。( s ) i 。】妻i 站( s ) 1 2 d s o 。e n 【扣+ 1 ) i ( s ) l + d 。i t 2 ( 5 ) 门i 坩( s ) 1 2 d s o 。 ，# k = l 所以可以应用g r o m 棚不等式得te ( 计( t ) ) 2so j 2 l 所以， i 玎( t ) f = o ，j = l ，2 ，n 即l ，1 ，2 ，证毕 1 8 山东大学硕士学位论文 下面考虑定理3 1 中的条件( i i ) 能否换成更弱的条件， ( 奶只( f ，弘：1 ) 鬈( t ，f ，z 2 ) ，霉= 芎 a = b 一 ， y 1 ) = f 1 + a y l d s + k 1 ( o 。) 一k 1 ( t ) 一z l o ) d 毋 j fj ，r y 2 ( t ) = e 2 + a y 2 d 8 + 影2 ( o c ) 一k 2 ( t ) 一f z 2 ( s ) d 日。 j t j 疆( 砖：矗+ ，。一。，曙( 。冲+ 趔( 。) 一趔( ) 一厂忍( s ) d 易疆( 砖= 矗+ 一e ，曙( s 冲+ 趔( 。) 一趔( ) 一f 忍( s ) d 易 j t ，t 玎( t ) = 晶+ 嬲( o 。) 一明( ) 一，。乏( s ) d 色 耐( ) = e s s s t i p 培 e 瞄_ 嵋：。 + 鸭一f 砖s * ) l 列 珂( t ) ：。s s