高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件新人教A版.pptx

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系,目标导航,新知导学素养养成,1.异面直线(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法:,2.空间两条直线的位置关系,一个,没有,没有,思考1:分别在两个平面中的两条直线是异面直线吗?答案:不一定.如图中,虽然有a,b,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为ab=O,所以a与b不是异面直线.,3.平行公理(公理4)(1)文字表述:平行于同一条直线的两条直线互相.这一性质叫做空间平行线的.,平行,传递性,ac,4.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应,那么这两个角或.5.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aa,bb,我们把a与b所成的(或)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).,平行,相等,互补,锐角,直角,90,(2)异面直线所成的角的取值范围:090.(3)当=时,a与b互相垂直,记作.思考2:垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗?答案:不一定.在平面内此结论是正确的,但在空间中也可能异面或相交.如长方体一角的三条棱.,ab,名师点津,(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交,也不平行.(2)异面直线所成角的范围是090,所以垂直有两种情况:异面垂直和相交垂直.(3)公理4也称为平行公理,表明空间的平行具有传递性,它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用.(4)过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线.此结论可作为判定两直线是否为异面直线的依据.,课堂探究素养提升,题型一空间位置关系的判断例1正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是;(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是;(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是;(4)直线AB与直线B1C的位置关系是.,解:直线D1D与直线D1C显然相交于D1点,所以(3)应该填“相交”;直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线“平行”,所以(1)应该填“平行”;点A1,B,B1在一个平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,且B1A1B,则直线A1B与直线B1C“异面”.同理,直线AB与直线B1C“异面”.所以(2)(4)都应该填“异面”.,答案:(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面,方法技巧,(1)判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用公理4判断.(2)判定两条直线是异面直线的方法定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内.重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A,B,l,BlAB与l是异面直线(如图).,解析:若ab,a,c是异面直线,那么b与c不可能平行,否则由公理4知ac.故选C.,即时训练1-1:若直线a,b,c满足ab,a,c异面,则b与c()(A)一定是异面直线(B)一定是相交直线(C)不可能是平行直线(D)不可能是相交直线,备用例1如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;,(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.,解:(2)是异面直线.证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内,则B平面CC1D1,C平面CC1D1,所以BC平面CC1D1.而BC平面CC1D1,即BC平面CC1D1,所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.,题型二公理4及等角定理的应用例2在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点,(2)EA1F=E1CF1.,一题多变:将本例变为:M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;,证明:(1)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体.所以AD=A1D1,且ADA1D1,又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,所以AM=A1M1且AMA1M1,所以四边形AMM1A1为平行四边形,所以M1M=AA1且M1MAA1.又AA1=BB1且AA1BB1,所以MM1=BB1且MM1BB1,所以四边形BB1M1M为平行四边形.,(2)求证:BMC=B1M1C1.,证明:(2)法一由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,所以C1M1CM.由平面几何知识可知,BMC和B1M1C1都是锐角.所以BMC=B1M1C1.法二由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M1=BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,所以C1M1=CM.又因为B1C1=BC,所以BCMB1C1M1,所以BMC=B1M1C1.,方法技巧,(1)空间两条直线平行的证明:一是定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;二是利用平面图形的有关平行的性质,如三角形中位线,梯形中位线,平行四边形等关于平行的性质;三是利用公理4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.(2)求证角相等:一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.,备用例21.如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证:E,F,G,H四点共面;,证明:(1)在ABD中,因为E,H分别是AB,AD的中点,所以EHBD.同理FGBD,则EHFG.故E,F,G,H四点共面.,(2)若四边形EFGH是矩形,求证:ACBD.,证明:(2)由(1)知EHBD,同理ACGH.又因为四边形EFGH是矩形,所以EHGH.故ACBD.,方法技巧,求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角.(2)证:证明作出的角就是要求的角.(3)计算:求角的值,常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的取值的范围是090.,即时训练3-1:(1)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC与B1C1所成的角是()(A)30(B)45(C)60(D)90,解析:(1)因为B1C1BC,所以ACB是异面直线AC与B1C1所成的角(或所成角的补角),因为ABBC,AB=BC,所以ACB=45,所以异面直线AC与B1C1所成的角为45.故选B.,解析:(2)连接BE,因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,所以CDAB,所以BAE是异面直线AE与CD所成角(或所成角的补角),设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,解析:由题意,点P是线段AD1的中点,连接BC1,可得AD1BC1.异面直线CP与BC1所成的角的平面角为CPA.连接AC,在CPA中,2.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求异面直线CD1,EF所成的角的大小.,所以EFDG,所以DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又因为A1A=AB,所以四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,所以DGCD1,所以D1GD=90,所以异面直线CD1,EF所成的角为90.,课堂达标,解析:对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面.所以A应排除.对于B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可异面,如图,就是相交的情况,所以B应排除.对于C,如图的a,b可看作是平面内的一条直线a与平面外的一条直线b,显然它们是相交直线,所以C应排除.只有D符合定义.所以应选D.,1.异面直线是指()(A)空间中两条不相交的直线(B)分别位于两个不同平面内的两条直线(C)平面内的一条直线与平面外的一条直线(D)不同在任何一个平面内的两条直线,D,解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线,又AA1BB1,AA1DD1,显然BB1BC=B,DD1与BC是异面直线,故选B.,2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()(A)平行或异面(