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超越函数初等积分存在性和机械化算法 摘要 本论文以数学机械化为指导思想，应用导师a c = b d 模式，通过大量的理论对超越 函数的初等积分存在性做了比较详细的论述。主要是在符号积分、平行积分和超越函数 积分的一般算法方面做了一些研究，通过添加各种超越元使得符号积分的应用变的更加 广泛。 论文共分为四部分。 第一部分对数学机械化的发展历史、国内外目前的研究状况做了一些说明；第二部 分主要论述了a c = b d 模式及其大量的应用。 第三章主要讨论符号积分基本理论，在其中的l i o u v i l l c 定理证明上做了很多研究性 的论述。还有有理函数积分的一些常用算法，序函数知识等。 第四部分重点介绍符号积分在超越函数中的平行积分思想，并且作者也做了一些关 于平行定理方面的例子。 第五部分中对整个超越函数的一般积分算法做了比较详细的论述，包括对其中添加 的超越元的各种类型都做了分类讨论，之后通过几个例子说明超越函数一般积分算法的 应用方法和流程。 最后作者总结了在整个符号积分研究中的个人体会和在以后的研究中还需要继续 加强的各个方面。 关键词：数学机械化；a c = b d ；超越函数；符号积分；平行积分；序函数 超越函数初等积分存在性和机械化算法 t h ee x i s t e n c ea n dm e c h a n i c a la l g o r i t h mf o re l e m e n t a r yi n t e g r a t i o no f t r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o n s a b s t r a c t u n d e rt h eg u i d a n c eo fm a t h e m a t i c a lm e c h a n i z a t i o na n da c = b dm o d e lp u tf o r w a r db yp r o f z h a n gh o n g q i n g ，t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt od i s c u s s i n gd e t a i l e d l ye l e m e n t a r yi n t e g r a t i o n e x i s t e n c eo ff u n c t i o n st h r o u g hal a r g en u m b e ro ft h e o r i e s m u c hr e s e a r c hi sd o n eo i lt h e g e n e r a la l g o r i t h m o fi n t e g r a ls u c ha s s y m b o l i ci n t e g r a t i o n , p a r a l l e li n t e g r a t i o n a n d t r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o n sa n ds oo n , t h r o u g ha d d i n ga l lk i n d so ft r a n s c e n d e n t a le l e m e n t si n o r d e rt om a k ea p p l i c a t i o n sm o r ea b r o a do fs y m b o l i ci n t e g r a t i o n t h ed i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t of o u r p a r t s t h ef i r s tp a r ti st om a k es o m ed e s c r i p t i o n sa b o u td e v e l o p m e n th i s t o r ya n ds t u d ys i t u a t i o n a th o m ea n da b r o a do fm a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ；t h es e c o n dp a r tm a i n l yd i s c u s s e sa c = b d m o d e la n di t sm a n ya p p l i c a t i o n s t h et b j r dp a r ti st od i s c u s s eb a s i ct h e o r yo fs y m b o l i ci n t e g r a t i o n ，e s p e c i a l l yd o i n gm a n y r e s e a r c h so i ll i o u v i l l et h e o r e m m e a n w h i l e ，t h ek o w n l e d g e so fg e n e r a la l g o r i t h ma r e i n t r o d u c e do nr a t i o n a lf u n c t i o ni n t e g r a t i o na n do r d e rf u n c t i o n t h ef o u r t hp a r th i g h l i g h t sp a r a l l e li n t e g r a t i o nt h e o r yo fs y m b o l i ci n t e g r a t i o no nt r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o n ，a n di n t r o d u c e ss e v e r a le x a m p l e so np a r a l l e lt h e o r y t h ef i f t hp a r td i s c u s s e se n t i r eg e n e r a la l g o r i t h mo ft r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o ni n t e g r a t i o n , i n c l u d i n gt h es o r t st r a n s c e n d e n t a le l e m e n t s a f t e r ，s o m ea p p l i c a t i o n sa l em a d eo ng e n e r a l a l g o r i t h mo ft r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o ni n t e g r a t i o nt h r o u g hs e v e r a le x a m p l e s f i n a l l y ，s o m ep e r s o n a le x p e r i e n c e sa r es u m m a r i z e da b o u ts y m b o l i ci n t e g r a t i o nr e s e a r c h , a n ds o m ea s s i g n m e n t sp r o g r e s s e da f t e r t i m ea r eb r o u g h tf o r w a r d k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ；a c = b d ；t r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o n ；s y m b o l i c i n t e g r a t i o n ；p a r a l l e li n t e g r a t i o n ；o r d e rf u n c t i o n i v 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 作者签名： 大连理工大学硕上研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 日期：雌年j 月上日 大连理工大学硕士学位论文 己i言 ji日 本硕士论文属于数学机械化范畴，主要是研究符号积分的理论和它的应用。论文的 中心目的就是对任意一个函数，判断它的可积性，以及如何求出它的积分，更要将它的 积分用初等形式表示出来，也就是寻求可积的各种有效的算法。 论文主要参考的资料是m a n u e lb r o n s t e i n 的著作s y m b o l i ci n t e g r a t i o ni - t r a n s c e n t a l f u n c t i o n s s p r i n g e r2 0 0 4 和其它符号积分相关的书籍和论文。论文依据的思想来自数学 机械化的理论基础，更确切的说是导师提出的a c = b d 理论。 目前在国内外有很多人从事符号积分的研究，其理论基础现在已经是很强的。宏观 上分析，符号积分目前的理论几乎可以解决所有的积分学问题，但事实上真正将这些理 论应用于实践中，对于任意一个可积函数求积分未必一定能求出来，即使可以求出来， 时间上的花费也是非常不乐观的。 所以作者目前的研究也是仅限于理论阶段，通过很多强大的理论依据来说明积分学 的一般算法和流程。 超越函数初等积分存在性和机械化算法 1 绪论 本章主要综述数学机械化的发展历史、在国内外最近几年的研究概况；a c = b d 思 想的基本理论、符号积分的发展以及在国内外的研究趋势。 1 1数学机械化历史与发展 一个伟大的理论或创作都来自很简单的现实生活，数学机械化也是如此。在人类早 期所从事的劳动基本上都是笨重简单的体力劳动，从原始社会到奴隶社会都是如此，虽 说到了封建社会，人类发明了一些比较先进的机械工具，像古代一些贵族去湖上游玩用 的一些含有“动力 装置的豪华船只，但它的动力来源还是由青壮年人在里面用脚踩踏 板来提供。 真正到了十八世纪之后，人类知识的飞速发展导致了第一次工业革命，这才为人类 机械化的变革产生了深远的影响。在这前后整整两个多世纪的变迁中，人类历史上经历 了一场史无前例的技术革命，出现了各种类型的机器，取代各种形式的体力劳动，使人 类进入一个新时代。几百年后的今天，电子计算机已开始有条件地代替一部分特定的体 力劳动，因而人类已面临另一场更宏伟的技术革命，处在又一个新时代的前夕【4 】。 数学的发展在这场新的技术革命中，也有了它时代性的变化。 所谓机械化，就是刻板化和规格化。机械化的动作，由于简单刻板，因而可以让机 器来实现，又由于往往需要反复千百万次，超出了人力的可能，因而又不能不让机器来 实现。因而，机械化为机器化，让机器反复的做着同一件事，对于人类来说，这是一次 飞跃。 回顾数学发展史，主要有两种思想【9 】：一是公理化思想，另一是机械化思想。前者 源于希腊，后者则贯穿整个中国古代数学，这两种思想对数学发展都曾起过巨大作用。 从汉初完成的九章算术中对开平方，开立方的机械化过程的描述到宋元时代发展起 来的求解高次代数方程组的机械化方法，无一不与数学机械化思想有关，并对数学的发 展起了巨大的作用。公理化思想在现代数学，尤其是纯粹数学中占据着统治地位。数学 启蒙中的四则运算由于代数学的出现而实现了机械化。 线性方程组求解中的消去法是机械化思想的杰作，对近代数学起着决定作用的微积 分也是得益于经阿拉伯传入欧洲的东方数学的机械化思想，既便在现代纯粹数学研究 中，机械化思想也一直发挥着重大作用。h i l b e r t 倡导的数理逻辑为计算机的设计原理做 了准备。数学巨匠e c a r t a n 关于微分方程、微分几何及李群的著作中经常显现出机械化 特色，h c a f t a n 关于代数拓扑学同调群计算的工作可以看作是机械化思想的成功范例。 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 数学机械化也就是借助于计算机来解方程，有很多方程需要迭代多次来求根，这个 用人脑是很难做到的，可以完全交给计算机来完成。所以在最近几年里，先后出现了很 多数学软件来处理这些问题，如m a p l e 、m a t l a b 、m a t h e m a t i c a 等。数学机械化首先 是算法化，即机械化运算要适应计算机的有限性、离散性，即机械性的特点；其次是机 械化，即保证在计算机上实现相关算法的有效性，这一点较前者更为重要。在功能上， 实现数学机械化的软件应该既可以完成人力所难以企及的繁杂计算，同时还可以完成逻 辑推理的功能。 中国科学院吴文俊院士自2 0 世纪7 0 末起，受中国古代数学算法化思想和计算机技 术的启发，开始进行几何定理机器证明研究，从而开拓出一条数学机械化的道路。数十 年间，不仅建立了“吴中心”，而且形成了“吴学派”，建立了有中国特色的数学机械 化理论，在这一领域处于世界领先地位。计算机与应用数学相结合可分为两个层面：数 值计算和符号计算。数值计算的内容是实数演算，更确切的说，数值计算就是寻找更确 切的有理数去逼近实际问题的实数解，所以数值计算得到的结果是近似的；而符号计算， 就是在计算机上以数学符号参与运算，实现公式的机器演算，所以符号计算得到的结果 是精确的。 在吴文俊先生的大力倡导下，数学机械化得到了迅速的发展，已经渗透到了诸多领 域，如理论物理、机器人和控制论、力学、组合学、计算机视觉等高科技领域都提供了 有用工具。吴先生引入的非线性代数方程组的“吴方法 是求解代数方程组精确解最完 整的方法之一，已经被成功地用于解决许多问题，并实现在当前流行的符号计算软件 中上世纪8 0 年代，吴先生进一步给出吴微分消元法【6 】，提出了吴微分特征列地概念， 完善和发展了特征集理论。 吴文俊先生强调【4 】：“数学机械化方法的应用，是数学机械化研究的生命线”，他 本人的研究工作己涉及许多应用领域，机构综合设计、平面星体运行的中心构形代数曲 面的光滑拼接、从开普勒定律自动惟出牛顿定律、全局优化求解等等。在他的指导和带 动下，数学机械化方法己在一些交叉研究领域获得初步应用，如理论物理、计算机科学、 信息科学、自动推理、工程几何、机械机构学等等。数学机械化研究不断开拓更多的应 用方面。 吴文俊说：“数学机械化的研究目前仅仅处于起步阶段，主要局限于代数几何、微 分几何等领域，如何扩大数学机械化的范围，将是今后需要长期探索的问题。所以， 作为一个崭新的课题，有待于让我们后人去探索、去研究，以继续吴先生的工作。 超越函数初等积分存在性和机械化算法 1 2彳c = b d 基本思想 数学机械化的研究思想就是2 6 p 2 3 4 ： 1 用机械化方法解方程 2 用解方程方法证明定理 导师张鸿庆教授用诗情画意的语言总结出了完成数学机械化任务需要的基本原理 2 6 p 2 3 5 ： 不变性原理 变易，不易，简易 对偶性原理 天下万物莫不有对 一阴一阳之为道 协调性原理 一生万象，万象协调 协调正合，正合归一 本源性原理 为学日益，为道日损 明示根本，指解源流 奇正性源流 删繁就简，温故知新 奇出正合，以奇制胜 1 9 7 8 年，张老师提出了偏微分方程求解的构造性的“彳c = b d ”机械化算法，证明 了非齐次线性算子方程组a u = 厂的一般解为u = c v + e ，其中1 ，满足方程组d v = g ，d 是对角矩阵，用代数方法给出了c ，d ，e 的具体构造方法 在“a c = b d 理论的指导下，运用数学机械化的思想，张鸿庆教授及其课题组成 员在微分方程的代数化和机械化方面做了大量的工作【6 】【7 】 2 0 】【2 5 】，给出了各种弹性力学位 移函数和应力函数的机械化算法，成功构造出数学物理中一系列方程的一般解，并借助 大连理工大学硕士学位论文 于代数的理论来构造偏微分方程组的解，使得大批力学问题所对应的偏微分方程组的求 解问题在一个统一的框架下得到了解决最近，张鸿庆教授又提出了c 二d 对和c d 可 积系统的概念另外张鸿庆教授还提出了基于吴微分消元理论的“a c = b d ”模式的微 分伪带余除法根据这一除法，得到了一些非线性微分方程的变换，使方程的形式变得 更为简单，进而易于求解 “a c = b d 理论的基本思想是【1 3 】p 1 3 ：将复杂不易求解的方程( 原方程) 通过适当的 变换转换为简单易于求解的方程( 目标方程) 不失一般性，可形式地将原方程和目标方 程分别表示为a u = 0 和d v = 0 ，则原方程的求解就变为寻找适当的变换甜= c v ，将原方 程化为易于求解的目标方程d r = 0 但是，在实践中往往需要求得算子b ( 辅助算子) ， 使其满足“a c = b d ”，有时还需要求得算子r ( 余算子) ，使得a c = b d + r 其具体格 式是：设a u = 0 为待求解的原方程，d v = 0 是易求解的目标方程，寻找变换u = c v 使得 a u = 0jd v = 0 ，且c 胎巾= k e r a 对一般微分方程的求解，就转化为以下问题的解 决：给定算子么，构造算子c 和d ，使得c k e r d = k e r a ，及如何构造变换甜= c v ，将待 求解的方程a u = 0 约化为目标方程d v = 0 下面给出个简单的关于a c = b d 下的变换【1 6 1 月 给定域k 上一个线性常微分算子三= q a 。，其中a l , a 2 ，a n k ，则对于 t = 0 v g , ，9 2 ，g ，k ，总可以找到 ，吃，以k ，和一个系数在k 上的，+ 聊矩阵m ， 使得当y = y 。，有 k = i ，晶 协= z c j g j j = l 这里q ，c 2 ，乃，咒，c o n s t ( k ) ，m ( 乃，款，m ，q ，乞，c 册) r = 0 以上变换其实就是一个a c = b d 模式 设三= 口，a 7 ，y = 肌吃，贝ul y = 儿( a i 0 7 ) = c j g ，即：l y = a u ，y = m h ， l = o k = lk = l f 0j = l “= n 所以删死= d v ，即a u = 0 寸d v = 0 在进行复杂的数学运算中，很多计算模式都可以规划到a c = b d 模式中在这个模 式下，不一定非要给出彳，b ，c ，d 的具体算子形式，彳，曰，c ，d 可以是某个无符号表达的 算法，把某个不易解答的问题通过某一种变换变成比较容易解决的问题，这种方法都可 以称为是么c = b d 模式 超越函数初等积分存在性和机械化算法 例如在求非线性其次微分方程的通解时，通常将问题转化为求特征方程的根的问 题，这显然大大降低了解题的难度，就是一个a c = b d 模式中的算法 关于这一模式的具体内容，论文后面会做详细的介绍 1 3 符号积分概述和国内外发展 在分析领域，导数和积分既是相关的又是相反的两个问题，导数的问题是比较简单 的，给定一个方程的形式，可以用初等求导法则求出它的导数，但是积分问题作为导数 的反方向就不容易求了任意给定一个函数，首先要判断它有没有原函数，判断出有原 函数之后，还要确定有没有初等积分如何判断有没有原函数是很容易的，关键是第二 个问题，如何判断一个存在原函数的函数有初等积分以及求出它的初等积分却不是一件 容易的事 国内外在这方面已经做了比较深刻的研究，但还没有一套解决所有问题的途径，目 前的方法都还是在试验当中，m a n u e lb r o n s t e i n 在书s y m b o l i ci n t e g r a t i o ni - t r a n s c e n t a l f u n c t i o n s s p r i n g e r2 0 0 4 ，中对如何判断和计算函数的初等积分做了一些很细致的讨论 他首先考虑的由有理函数多项式构成的域的积分，进而推广到一般函数，l i o u v i l l e 定理 很大程度上解决了如何判断函数是否存在初等积分符号积分的基本思想就是把原来函 数所在的域进行扩张，给原来的函数域添加最少的超越元素，使得被积函数在扩张的域 中可积就像x 2 = 一1 在复数域出现以前是没有根的，但是当把实数扩大化，推广到复数 域之后便有了根f ，这无非也就是域的扩张，把实数域推广到复数域，在实数中添加了 超越元素f ，使得所有的多项式在复数域中都有根当复数出现以后，便出现了指数函数 的复指数，后来使得三角函数和指数函数有了必然的联系，从而又解决了如l n ( 一1 ) 在复 数域中有意义的一系列问题 二十世纪，计算机科学技术的发展促进了数学的发展，符号积分作为数学和计算机 相结合的交叉学科，主要是探讨各种函数的积分算法和计算机实现问题伴随着计算机 的发展孕育而生，积分问题的机械化实现也有了新的动力微分方程的基础是微积分， 微积分的机械化是数学机械化的重要组成部分几百年来许多数学家做了大量工作，大 学微积分教材中的求不定积分问题常常是各种技巧的汇编，大多数采用试探的方法， 仍有大量函数无法求出初等积分也没法判断初等积分是否存在，即使已经求出积分，所 用的方法也各有千秋，没有一种方法能囊括四海，包罗万象，更无法实现积分问题的机 械化 1 7 0 3 年，j o h a nb e r n o u l l i 通过对被积函数进行部分分式分解，完善了l e i b n i z 的方法， 这是有记录以来最早的积分算法，但是存在的一个问题是：不可约因子分解难以计算， 一6 一 大连理工大学硕- 上学位论文 该方法在实际使用中遇到障碍1 8 4 5 年，俄国数学家m w o s t r o g r a d s k 提出一种新的算法， 不需要进行不可约因子分解就可以计算积分的有理部分；1 8 7 2 年，h e r m i t e 禾l j 用无平方 因子分解的思想来计算积分的有理部分，这种分解比b e n l o u l l i 算法中的不可约因子分解 易计算，在处理实际问题时具有较好的实用性h e r m i t e 给出了h e r m i t e 约化算法。后来 m a c k 和h o r o w i t z 对在该方法的基础上做出一些改进但是如何计算积分的超越部分仍是 一个未知问题，在搁浅了近一个世纪后，到2 0 世纪7 0 年代才最终得以解决，r o t h s t e i n 和t r a g e r 各自分别研究了结式和留数之间的关系，通过计算结式来求积分同时 h o r o w i t z ，l a z a r d 以及r i o b o o 等人在这一方面做了大量的工作，至此有理函数积分的问 题得以完成除了考虑初等函数外，l i o u v i l l e 定理被推广到了特殊函数的情形r i s c h 将 l i o u v i l l e 定理推广到了实的初等函数情形，并由b r o n s t e i n 给出了一个算法确定给定的实 初等函数间的所有代数关系s i n g e r ，s a u d e r s 等人将l i o u v i l l e 定理推广到包括误差函数 ( e r r o rf u n c t i o n ) ，对数积分( l o g a r i t h m i ci n t e g r a l ) 以及f r e s n e l 积分的情形他们证明了如 果这些特殊函数在积分中出现，则只能是线性的出现【l 3 1 数学从古代到现在几百来年的发展过程、不断完备化的过程也就是不断扩大化的过 程，从老一辈数学家的研究历程来看，每进行一次域的扩张，便能解决很多之前不能解 决的甚至之前没有意义的问题现在的数学研究者希望学习前辈们的思想，通过域的扩 张解决符号积分目前不能解决的问题。符号积分的发展目前也是在成长的过程中，给原 来的域添加新元素使得被积函数可积，这是我们后来数学研究者的使命，但在完成这个 使命的过程中，我们还需要考虑一个问题，那就是给原来的域添加最少的超越元素，解 决最多的问题。不能需要一个超越元就添加一个，无限的添加下去，那符号积分的研究 也就没有意思了，数学又需要重新研究超越元，这是没有必要的；最好添加有限个超越 元素能解决积分学的大多数问题，这是最理想的1 1 4 符号积分相关软件介绍 数学机械化就是用机械化方法解数学，也就是用电脑来代替人脑处理繁琐的计算 问题，当然计算机软件也就成了关注的问题，因为一个好的软件决定着处理问题的能力 和效率同样的一个积分问题，有的数学软件可以准确的将它积出来，但有的就没有这 个能力；或者同一个问题用两种不同的软件来处理，虽然都能算出答案，但计算的速度 可能不一样的，甚至差别很大：一个可能只需要几秒，几十秒，或者几分钟，而另一个 或许需要几个小时，高效准确的当然最好了 随着计算机的不断推广、更新和应用，一门新的学科也便产生了，那就是计算机 代数早期是没有计算机这门学科的。由于数学家们在研究数学计算时，通常需要很多 超越函数初等积分存在性和机械化算法 算法来解决问题，所以算法化、最优化也便成了大家关注的焦点后来计算机学便以一 门独立的学科从数学中分出去了，所以广义上来说，计算机代数也是属于数学的，只是 它的研究范围是数学在计算机应用方面很专业的领域 通俗地讲，计算机代数是研制、开发和维护符号计算软件并研究其数学理论的学 科计算机代数的最早出现公认以1 9 6 0 年美国麻省理工学院的m c c 砷v 推出l i s p 语言 为标志在随后的几十年间，计算机代数的发展引起了国际计算机科学界的重视美国 的计算机协会组织了符号与代数处理专业组( s p e c i a li n t e r e s tg r o u po ns y m b o l i ca n d a l g e b r a i cm a n i p u l a t i o n ，简称s i g s a m ) ，其成员遍布3 0 多个国家这个国际组织每两年 召开一次国际会议，专门交流计算机代数方面的研究成果西欧各国计算机工作者组织 了欧洲符号和代数处理专业委员会( s y m b o l i ca n da l g e b r a i cm a n i p u l a t i o no f e u r o p e a n ，简 称s a m e ) ，定期召开国际会议这两大组织还分别创办了计算机代数刊物s i g s a m b u l l e t i n 和j o u r n a lo fs y m b o l i cc o m p u t a t i o n 这些学术活动和学术刊物大大推动了计算机 代数的发展【1 3 】p 1 2 如今的计算机代数发展更为迅猛，且不断地被应用到其它领域，如高能物理、天体 力学、广义相对论、电子光学、分子物理、自动化、航空学、生物学和化学等 下面介绍一下符号计算软件的发展历史 符号计算软件的发展大体经历了三个阶段：上个世纪6 0 年代的专门化程序；7 0 年 代的通用程序和8 0 年代至今的商业化程序1 9 6 0 年，用于表处理的计算机语言l i s p 在 美国开发成功l i s p 在符号计算软件中起了重要作用j a m e ss l a g l e 写的第一个符号积 分程序以及稍后由j o e lm o s e s 写的符号积分程序都是用l i s p 写成的1 9 7 1 年，第一个 基于l i s p 的通用符号计算软件m a c s y m a 问世，它提供了计算极限和解方程的功能a c h e a m 用l i s p 开发了符号计算系统r e d u c e ，后来成为一个广泛应用的通用软件另 一个广泛应用的通用软件是用c 语言写成的m a p l e 与其它符号计算系统比较，m a p l e 的效率比较高，这是由其自身的设计特点决定的m a p l e 系统的核心由尽可能小的关于 基本运算的程序组成，这些运算包括：指数函数、整数、有理数和多项式运算以及空间 管理该软件的其它部分是由m a p l e 语言写成的软件包这些软件包的管理很灵活，用 户可以加入、改变和删除函数目前m a p l e 已有大量专用软件包最引人注目的商业系 统是由s t e p h e nw o l f r a m 组织编写的m a t h e m a t i c a ，该系统是用c 语言写成的，有很新颖 的特点例如：“代数发动机和用户接口有本质的区别；综合了符号计算、数值计算 和作图功能；具有结构清晰的用户编程语言等与其它系统相比，m a t h e m a t i c a 不仅成 功吸引了很多学术界以外的注意，也得到了大量用户的支持从上个世纪6 0 年代至今， 各类符号计算软件层出不穷，各有特色，为相关学科研究提供了极大的方便 大连理工大学硕士学位论文 符号计算软件有很多优点【1 3 】p 1 1 ： ( 1 ) 避免大量的繁琐计算 ( 2 ) 使用户容易使用先进的的数学技术( 因式分解、符号积分等) ( 3 ) 帮助研究者通过大量例子进行试验，验证猜想 ( 4 ) 它使一些古老的数学问题获得新生，例如：大整数的素数判定和分解，该问题在编 码理论中有重要应用 ( 5 ) 帮助研究者完成大量繁琐运算的证明，例如：四色定理的证明，为了得到结论，需 要验证大约2 0 0 0 多种地图满足某些性质，只能通过计算机来完成 事物都是一分为二的，符号计算软件也有很多缺点： ( 1 ) 代码的复杂化使得软件使用时不能既得就用，还需要学习很多命令 ( 2 ) 代码的不兼容性，使得每使用一个新的软件都要重新学习许多新的命令，浪费时间 ( 3 ) 输出难于管理用户可能发现系统会返回难于处理的大型输出，例如一般4 次多项 式的完全解集，其公式会超出整个屏幕 ( 4 ) 计算误差。数学软件在处理很多的数据时，通常有误差，例如没有准确的0 表达式， 一个非常小很接近0 的数可以被计算机代替为0 ，那么当需要刻意的输出某些很小 的误差时就会被计算机认为是0 ，与我们的要求不符 m a t h e m a t i c a 能处理很复杂的数学问题，如画图、解方程( 组) 、求积分、求导数、 解微分方程等：实际上它的功能要比m a p l e 大的多，那么它的命令也就更多；比m a p l e 难学一点，目前符号积分这一方向的研究者大多数用的是m a p l e m a p l e 更新比较快，现在已经更新到m a p l e1 2 了，在原来的基础上增加了很多新命 令和新功能 一9 一 超越函数初等积分存在性和机械化算法 2彳c = b d 理论 a c = b d 思想，是导师张鸿庆教授历经几十年研究的心血 2 1 a c = b d 基本理论【8 】【1 1 】【1 2 】 定义2 1 1设x 是线性空间，彳，b ，c ，d 是从彳到x 的算子，对v v x ， 有a c ( v ) = a ( c v ) ，b d ( v ) = b ( d v ) 如果对v x ，a c v = b d v ，则称a c = b d 定义2 1 2如果对于算子彳，存在算子召，c ，d ，使得a c = b d ，c k e r d = k e r a ， 其中k e r a = 甜i 彳”- - o ，k e r d = v i 伽= 0 ) ，则称彳甜= o 是可积系统， c k e r d k e r a ， 但c k e r dc 叫，则称a u = 0 为部分可积系统 定义2 1 3 算子c 和d 称为算子彳的c d 对，如果系统： 畿d ( v 篙0 ( 2 ) 【 ，”) = 其相容条件恰为a u = 0 ，其中u 为参数，“恰 的意义为：如果系统( 2 1 1 ) 的另一个相 容条件为a * u = 0 ，那么k e r a * ck e r a 定义2 1 4 如方程组 嚣2 三：的相容性条件籼- o ，则称缸。是c 一。可 确并且 鬻罄籼堋c 一腻 定义2 1 5 假设给定彳，召，c ，d4 个算子，并且满足a c = b d ，则称算子对( c ，d ) 是 算子对( 彳，b ) 的右伴随算子对；算子对( 4 ，b ) 是算子对( c ，d ) 的左伴随算子对；算子对 ( 4 ，d ) 是算子对( c ，b ) 的外伴随算子对；算子对( c ，召) 是算子对( 彳，d ) 的内伴随算子对 定理2 1 1设彳，e c ，d 为线性空间彳到x 的线性算子，a c = b d ，b ( o ) = 0 ，则 ( 1 ) c k e r dck e r a ，即若“= c v , d v = 0 ，则a u = 0 ( 2 ) 若c k e r d 3 朗，则方程( 组) a u = 0 的一般解为u = c v ，d v = 0 ，其中v x 大连理工大学硕士学位论文 证明：对1 ，膨巾，若u = c v ，则a u = a c v = b d v = b 0 = 0 ， 所以c k e r d c 胎耐，结合题目可得c k e r d = & 硝 所以方程( 组) a u = 0 的一般解为“= c v ，d v = o 证毕! 定理2 1 2 设 a = q ia 1 2 a 2 1a 2 2 a n la 2 q 。 呸。 口朋 其中口打是线性偏微分算子，召，c ，d 是偏微分算子矩阵，且满足a c = b d ，g 加= k e r a ， 则非齐次方程a u = f 的一般解可表示为材= c v + e ，d v = g ，其中p ，g 是方程a e + 8 9 = f 的一组解 推论2 1 2设x 是线性空间，彳，b ，c ，d 是彳到x 的线性算子，f x ，且 a c = b d ，c k e r d3 一，则方程( 组) a u = f 的一般解为：甜= c v + e ，d v = g 其中p ，g 满足方程( 组) 么p + b g = f 定理2 1 3设么，c 是定义在b a n a c h 空间x 上的泛函，且是g a t e a u x 可微的，d 是x 哼x 上的可逆算子，也是g a t e a u x 可微的，若由d v = 0 可推出a c v = 0 ，则存在戈 上的泛函曰，使得4 c v - - - b v d v 证明：因为d 是x x 上的可逆算子，所以对v g x ，存在唯一的vex ，使得 ，= d g 令f = a c d ，由b a n a c h 空间的l a g r a n g e 中值定理知了秒 0 ，1 使得 f ( g ) - f ( o ) = d f ( o g ) g ( 2 1 2 ) 即 a c d 。1 ( g ) 一a c d 。1 ( o ) = d ( a c d _ ( 铅) ) g ( 2 1 3 ) 又因为a c d 。1 ( o ) = 0 ，g = d v ，所以 a c d 一( g ) = d ( f ( o g ) ) 伽 ( 2 1 4 ) 令b y = d ( f ( o g ) ) ，即得a c v = b v d v 定理2 1 4 设a ，c 是定义在b a n a c h 空间x 上的算子，且是g a t e a u x 可微的，d 是 x x 上的可逆算子，也是g a t e a u x 可微的，若由d v = 0 可推出a c v = 0 ，则存在x 上 的算子b ，使得( 彳c v ，y 幸) = ( b v d v ，y 事) ，其中y 宰x 宰，彳宰是x 的对偶空间 超越函数初等积分存在性和机械化算法 证明：因为d 是可逆算子，对v g x ，存在唯一的v 使得d v = g ， 取厂= a c d ，由算子形式的l a g r a n g e 中值定理可知，3 0 0 ，1 使得 ( 厂( g ) 一厂( o ) ，y + ) = ( d ( ( 乡g ) ，y 幸) 其中y x 又因为a c d 。1 ( o ) = 0 ，g = d v ，令b y = d ( a c d 。1 ( o d v ) ) ， 则有 ( a c v ，y ) = ( b v d v ，y 宰) 即1 ，= d g ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 定义2 1 5 ( 可适定算子) ：若对一个算子方程d v = 0 ，在给定条件下，该算子 方程的解是唯一的，则称所给定的条件为算子方程d v = 0 的可适定条件，称算子d 是可 适定算子 定理2 1 5设彳，c 是定义在b a n a c h 空间x 上的g a t e a u x 可微算子，d 是可适定的 g a t e a u x 可微算子，若由d v = 0 可推出a c v = 0 ，则存在x 上的算子b 使得 ( a c v ，y ) = ( b v d v ，y ) ( 2 1 7 ) 其中y x ，x 搴是x 的对偶空间 2 2c d 对的构造 导师张鸿庆教授多年来和学生在a c = b d 理论上付出了很多的心血，这一思想使得 a c = b d 近年来在弹性力学、电动力学、流体力学、量子力学、孤立子理论、理论物理 等方面都得到了广泛的应用a c = b d 的发展，也推进了数学机械化的发展，对科研中 处理复杂的源方程提供了一个简单的方法 这一思想也是一个开放的体系，遵循“变易、不易、简易”的原则近年来该思想 推广到解决非线性问题中，张老师又提出了c d 可积系统与c d 对的概念，形成了在 微分方程( 组) 求解中的c d 可积理论，在孤立子理论及其应用方面有了很好的成绩 张老师总结了解方程的一般模式可表示为口6 1 2 3 6 ： r u = d v i au = 0 一d v = 0 f 变易 c k e r d = k e r a j 不易 l 选取简单的d l 简易 ic k e r d k e r aj 了b 使得ac = b d 。 大连理工大学硕上学t 市论文 通过这种模式，可以把很多的复杂难解的方程化为简单比较好处理的方程，例如可 进行以下的转换： 源方程 转换为 目标方程 任意微分方程( 组)具有对角形式的微分方程( 组) 非线性微分方程( 组)线性微分方程( 组) 变系数微分方程常系数微分方程 微分方程代数方程 偏微分方程常微分方程 ：，= ， 高维方程低维方程 不可分离变量方程可分离变量方程 不会解方程会求解方程 任意方程具有特定形式的方程 高阶方程低阶方程 现在需要解答的问题是给定算子彳，如何构造算子c 和d 使得c & r d = k e r a 一般地说，算子c 和d 不是唯一得，因此要在满足上式的所有c 和d 中，选取尽可 能简单的c 和d ，“变易，不易，简易”正是我们需要的思想 首先做变换，变不会解的方程为会解的方程，变换的结果要使c k e r d = k e r a ，即解 的集合不变，然后在满足c 膨r d = k e r a 的c 和d 中选取简单的c 和d ，这也就是张老 师上面给出的解方程的一般模式 下面通过一些例子来看看这一模式是如何应用于实践的 交换1 ：任意微分方程组j 具有对角形式的微分方程组 例1 ：考虑c a u c h y p i e m a n n ：y 程组c 1 3 】 a “= aa 8 xa 。 aa a 。a ， 一o 设“= ( u 1 ，1 2 ) ，取适当的c 和1 ，= ( m ，吃) ，作变换使得 ( 2 2 1 ) 超越函数初等积分存在性和机械化算法 材= c v = ( 昙，刍v ， o y o x 加一脏可0 2 v l 十0 可c 3 2 v 2j o ， 则 0 = a u = 上面右边是对角形式 aa a x 8 y aa 8 y 8 l d = a 2 丽。 一 a 2 0 砂2 卜、1 _ 伽： l “2 变换2 ：非线性微分方程j j 线性微分方程 例2 ：考虑扩展f i s h e r 方程【l l 】 a 2 0 反2 o 竺 砂2 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 盼。 泣2 5 ， a n = u t - - u x r + 2 u x 2 _ + 2 = 0 ( 2 2 6 ) 取变换甜= c v = _ 与，带入上式可得：一e - t ( 匕一) = 0 是线性形式 1 一u e 变换3 ：变系数微分方程j j 常系数微分方程 例3 ：考虑变系数k d v 方程【1 0 】 a u = + 矗( f ) ( 够w + 6 u u 盯) + 4 h 2 ( t ) u ，一h 3 ( t ) ( 2 u + x u ，) = 0 其中红( ，) ，( f _ 1 ，2 ，3 ) 为，的任意函数， 做如下变换 大连理工大学硕士学位论文 陆