（概率论与数理统计专业论文）集值随机变量、choquet理论及其在风险度量中的应用.pdf

广 1 1 1 11111 1 1i i i iii i iiii 17 8 8 5 17 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：3 筮盘殓日期：鑫皇：尘，q 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 摘要 摘要 c h o q u e t ( 1 9 5 3 ) 提出了容度( 非可加测度) 的概念以后，容度和c h o q u e t 积分 作为对概率和传统数学期望的一种改进，被自然的引入到经济学中来c h o q u e t 积分是一种非线性数学期望，是概率论中数学期望的拓广，且它更加适合于讨 论经济与金融问题，例如可以解决经济学中经典的概率理论不能解释的a l l a i s 悖论与e l l s b e r g 悖论集值随机变量既能描述事物发展的随机性质，同时还能 够描述事物发展的不确定性，正因为这种双重性让集值随机变量成为金融风险 控制系统中的一个重要工具 本文研究的内容的理论基础主要涉及非可加测度、非线性的数学期望： c h o q u e t 积分和集值随机变量我们在前人工作的基础上利用集值随机变量的 选择方法定义了集值随机变量的c h o q u e t 积分并讨论了它的性质；利用集值容 度的选择方法给出了经典随机变量关于集值容度的积分并讨论了其相关性质 利用集值随机变量的c h o q u e t 积分定义了一种新的风险度量，该方法符合一致 风险度量的要求，且能根据金融历史的不精确数据，如多值数据、区间值数据 等对风险资产进行风险评估论文最后给出了市场数据的实证分析本文共分 为三个部分： 第一章绪论主要介绍了风险度量、集值随机变量和c h o q u e t 积分的引入、 历史和发展现状，在本章的结尾部分我们介绍了本论文的主要研究内容 第二章前两节主要介绍了集值随机变量、可测选择、集值随机变量的积分 及集值容度的基本概念和性质在第三节中，利用集值随机变量的选择方法定 义了集值随机变量的c h o q u e t 积分并讨论了它的性质在第四节，我们根据实际 金融市场的特点提出集值容度的概念，利用集值容度的选择方法给出经典随机 变量关于集值容度的积分，并且证明了此积分的相关性质 第三章主要介绍风险度量方面的一些结果以及建立了一种新的风险度量 北京工业大学理学硕士学位论文 方法在本章的前两节主要对风险度量的公理化系统进行了总结归纳，同时将 几种常见的风险度量方法的基本性质、优缺点及它们之间的关系进行了比较 在第三节，我们利用集值c h o q u e t 积分定义了一种新的一致性风险度量方法，给 出了这种风险度量可计算的特殊例子最后，我们利用上海证券交易市场的股 票数据对各种风险度量做了最优资产组合选择的实证分析比较 关键词：集值随机变量，可测选择，集值随机变量c h o q u e t 积分，集值容度积 分，一致性风险度量 一i i a b s t r a c t a b s t r a c t a f t e rb e i n gp r o p o s e db yc h o q u e t ( 1 9 5 3 ) ，c a p a c i t y ( n o n - a d d i t i v em e a s u r e ) a n dc h o q u e ti n t e g r a la r el e a dt oe c o n o m i c sn a t u r a l l y , a st h er e a s o n a b l eg e n e r a l i z a t i o no fp r o b a b i l i t y a n dt r a d i t i o n a lm a t h e m a t i c a le x p e c t a t i o n s c h o q u e ti n t e g r a li so n ek i n do fn o n l i n e a rm a t h e m a t i c a le x p e c t a t i o nw h i c hi sap r o m o t i o no fm a t h e m a t i c a le x p e c t a t i o ni np r o b a b i l i t y , a n d p a r t i c u l a r l ys u i t st of i n a n c i a la n de c o n o m i cp r o b l e m s ，f o re x a m p l e ，i tc a ns o l v ea l l a i sa n d e l l s b e r gp a r a d o x e sw h i c hc a n tb ee x p l a i n e db yc l a s s i c a lp r o b a b i l i t y s e t - v a l u e dr a n d o m v a r i a b l ec a nd e s c r i b en o to n l yt h er a n d o mp r o p e r t y , b u ta l s ot h ei m p r e c i s ei nf i n a n c e b e c a u s eo ft h ed u a l i t yo fu n c e r t a i n t y , s e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e sb e c o m ea ni m p o r t a n tt o o l i nr i s kc o n t r o ls y s t e mo ff i n a n c e t h ep a p e rm a i n l yd e a l sw i t ht h en o n a d d i t i v em e a s u r e ，n o n l i n e a rm a t h e m a t i c a le x p e c t a t i o n ：c h o q u e ti n t e g r a la n ds e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e w ed e f i n ec h o q u e ti n t e g r a l o fs e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l eb yu s i n gt h es e l e c t i o n so fs e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l eo nt h e b a s i so ff o r m e rw o r k ，t h e nd i s c u s si t sp r o p e r t i e s w ea l s oi n t r o d u c et h ei n t e g r a lo fr a n d o m v a r i a b l ew i t h r e s p e c tt os e t v a l u e dc a p a c i t yb yu s i n gt h es e l e c t i o nm e t h o do fs e t v a l u e dc a p a c i t y , t h e np r o v ei t sp r o p e r t i e s w eu s ec h o q u e ti n t e g r a lo fs e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l et o b u i l dan e wr i s km e a s u r em e t h o d ，t h i sm e t h o df u l f i l l st h ep r o p e r t i e so fc o h e r e n tr i s km e n - s u r e ，a n dc a nd oa s s e s s m e n tr i s ka c c o r d i n gi m p r e c i s ed a t ao ff i n a n c i a lm a r k e t ，f o re x a m p l e ， m u l t i v a l u ed a t a ，i n t e r v a lv a l u ed a t a a tl a s t ，w ed od a t aa n a l y s i so fr e a lf i n a n c i a lm a r k e t t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s ： c h a p t e r1i n t r o d u c e ss o m eb a c k g r o u n d ，h i s t o r ya n dn e wd e v e l o p m e n t so fr i s km e a s u r e ，s e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e sa n dc h o q u e ti n t e g r a l s a tt h ee n do ft h i sp a r tw ei n t r o d u c e t h em a i ns t u d yc o n t e n t so ft h i sp a p e r w er e v i e wt h ed e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so fs e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e s ，m e a s u r a b l e s e l e c t i o n ，i n t e g r a l so fs e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e sa n ds e t v a l u e dc a p a c i t i e si nt h ef i r s tt w o 。i i i 。 北京工业大学理学硕士学位论文 s e c t i o n so fc h a p t e r2 i ns e c t i o n3 ，w ed e f i n ec h o q u e ti n t e g r a lo fs e t - v a l u e dr a n d o m v a r i a b l eb yu s i n gm e a s u r a b l es e l e c t i o n so fs e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e s ，t h e np r o o fi t sb r i e f p r o p e r t i e s i ns e c t i o n4 ，w ep r o p o s e dt h ec o n c e p to fs e t v a l u e dc a p a c i t ya c c o r d i n gt h e c h a r a c t e r i s t i co ff i n a n c i a lm a r k e ta n dd e f i n et h ei n t e g r a lo fr a n d o mv a r i a b l ew i t hr e s p e c tt o s e t v a l u e dc a p a c i t y , t h e nw ep r o o fi t sp r o p e r t i e s i nc h a p t e r3 ，w ef i r s t l yr e c a l ls o m er e s u l t sa b o u tr i s km e a s u r e w es u m m a r i z er i s k m e a s u r es y s t e mi nt h ep r e v i o u st w os e c t i o n si nt h i sc h a p t e r w ec o m p a r es o m ec o m m o n p r o p e r t i e so ft h er i s km e a s u r e m e n tm e t h o d s ，a d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e s ，a n dr e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h e m i ns e c t i o n3 ，w eb u i l dan e wc o h e r e n tr i s km e a s u r em e t h o db yu s i n g c h o q u e ti n t e g r a lo fs e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e s ，a n dw eg i v eas p e c i a le x a m p l eo ft h en e w r i s km e a s u r et h a tc a nc o m p u t ee a s i l y a tl a s t ，w eu s ek i n d so fr i s km e a s u r e m e n tt od od a t a a n a l y s i so fo p t i m a lp o r t f o l i ou s i n gs t o c kd a t ai ns h a n g h a is t o c ke x c h a n g e s k e y w o r d s ：s e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e ，m e a s u r a b l es e l e c t i o n ，c h o q u e ti n t e g r a lo f s e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e ，s e t v a l u e dc a p a c i t yi n t e g r a l s ，c o h e r e n tr i s km e a s u r e s i v 目录 摘要( i ) a b s t r a c t - ( i i i ) 第1 章绪论 ( 1 ) 1 1 风险度量的产生及发展现状( 1 ) 1 2 集值随机变量及其应用的发展现状( 3 ) 1 3c h o q u e t 积分理论及应用的发展( 4 ) 1 4 本文的主要工作( 5 ) 第2 章集值随机变量、集值容度及其积分( 7 ) 2 1 集值随机变量、可测选择及集值随机变量的a u m a n n 积分( 7 ) 2 2c h o q u e t 积分及其性质( 1 4 ) 2 3 集值随机变量关于容度的c h o q u e t 积分及性质( 1 6 ) 2 4 随机变量关于集值容度的c h o q u e t 积分及性质( 2 0 ) 2 5 本章小结 ( 2 5 ) 第3 章风险度量( 2 6 ) 3 1 风险度量的公理化体系( 2 6 ) 3 2 几种常见的风险度量方法( 2 9 ) 3 2 1 基于矩的风险度量( 3 0 ) 3 2 2 风险度量的v a r 、c v a r 和e s 方法比较( 3 1 ) 3 2 3 谱风险度量( 3 6 ) 3 3 一种新的集值随机变量的c h o q u e t 风险度量方法。( 3 9 ) 3 4 集值c h o q u e t 风险度量在实证分析中的应用( 4 1 ) 3 5 本章小结 ( 4 4 ) 本文小结( 4 5 ) 参考文献( 4 6 ) 一v 一 北京工业大学理学硕士学位论文 致谢( 5 3 ) 附录 ( 5 4 ) 一v i 第1 章绪论 第一章绪论弟一早珀下匕 1 1风险度量的产生及发展现状 随着社会经济的快速发展，各种各样金融产品及其衍生品也在不 断涌现，与此同时，工商业、企业、金融机构等面临着日趋严重的金融 风险世界各地的金融机构，包括投资银行、保险公司、银行信托等 为了加强在运作中的风险管理能力，都在不断寻找更加适合的风险工 具 “风险( r i s k ) 从数学的角度来说是一个中性的词，s a v a g e ( 1 9 5 4 ) 1 1 1 m o r g e n s t e m ( 1 9 5 3 ) 1 2 1 ，d r e z e ( 1 9 7 4 ) 3 1 将风险定义为对未来结果的不确定性 的表示所以金融风险就是指金融市场的交易者在金融活动中对未来 结果不确定性的表示金融风险管理的过程十分复杂，一般包括风险 识别、风险度量、风险管理决策与实施，以及风险控制等四个阶段其 中风险度量是金融风险管理过程中最重要的一个环节，它包括衡量各 种风险导致损失的可能性的大小以及损失发生的范围和程度 m a r k o w i t z ( 1 9 5 2 ) 4 】第一次给出了风险和收益的精确定义，通过把收 益和风险定义为均值和方差，m a r k o w i t z 将强有力的数理统计方法引入 了资产组合选择的研究中，发展出一个概念明确的在不确定条件下选 择投资组合的理论，这个理论进一步演变成为现代金融投资理论的 基础但是方差作为风险无法正确反映收益偏离均值的方向，同时也 不能准确地反映损失的确切大小，因此人们长期以来一直希望能够找 到一种改进的度量风险的方法，这种改进风险度量方法应只关注资产 组合收益率低于给定收益率的部分，即着重考察收益率概率分布的 左边为实现这种构想，人们相应地发展出一些方法，总的来说可称为 北京工业大学理学硕士学位论文 下方风险( d o w n s i d e r i s k ) 度量法，其中最具代表性的是风险价值，即v a r 【5 删( v a l u ea tr i s k ) 9 0 年代j pm o r g a n 投资银行提出的v a r 在国际金融理 论和实业界得到了一致认可，称为当时应用最为广泛的总体金融市场 风险的衡量方法但是通过时间的检验，学术界以及风险控制者均发 现作为风险度量工具v a r 存在两个重要的缺陷：一是v a r 对尾部损失 测量的非充分性，另一个是不满足资产组合风险度量的基本要求一凸 性为了克服后者这个致命缺陷，学术界给出了c v a r 7 t s l ( c o n d i t i o n a lv a l u e a tr i s k ) 、e s ( a r t z n e r , 1 9 9 9 t 9 1 ) ( e x p e c t e ds h o r t f a l l ) 、谱风险度量【1 0 】【l l ( s p e c t r a lr i s k m e a s u r e ) 等各种满足一致性度量公理的风险度量工具 在m a r k o w i t z ( 1 9 5 2 ) 的理论中，基于距的风险度量第一次得到考虑在 期望效用函数工作的基础上，y a r r i ( 1 9 8 7 ) l 12 1 ，w a n ge t a 1 ( 1 9 9 7 ) 1 3 1 ，a r t z n e r e t a 1 ( 1 9 9 9 ) ，d eg i o r g i ( 2 0 0 5 ) f 1 4 1 ，e m b r e c h t se t a 1 ( 2 0 0 5 ) e 15 1 ，d e n u i te t a 1 ( 2 0 0 6 ) 1 6 】对 风险理论的公理化方法进行了大量的推广，得到了各种不同的风险度 量方法公认的一致性风险度量理论的开创性论文是由a r t z n e r , e b e r t 和 h e a t h ( 1 9 9 7 ) 发表的一致性风险度量( c o h e r e n tm e a s u r e so fr i s k ) 直到这 时候才形成了广为认可的风险度量的公理化体系1 9 9 9 年他们又将一 致性风险度量理论及其公理进一步完善但是，这两篇文章研究的样 本空间都是有限的2 0 0 0 年，d e l b a e n 、h o c h s c h u l e l l 7 将有限样本空间推广 到任意的概率空间随后，f 6 1 1 m e r 和s c h i e d ( 2 0 0 2 ) 1 8 1 在此基础上给出了凸 风险度量的概念随后，a c e r b i ( 2 0 0 2 ) 1 9 1 ，a c e r h i 和t a s c h e n ( 2 0 0 2 ) 2 0 1 研究了 关于损失的加权平均的谱风险度量y a r r i ( 1 9 8 7 ) 和w a n g ( 2 0 0 0 ) 2 1 1 根据风 险的对偶选择理论给出了一类扭曲风险度量为了度量风险，扭曲风 险度量是去修改概率分布而不像经典的期望效用理论那样在不确定 的概率分析下用效用函数与回报的复合的期望来度量风险这种处理 一2 第l 章绪论 风险的方法可以与k a h n e r m a n 和t v e r s k y ( 1 9 7 9 ) 1 2 2 1 提出的投资者心理联系 起来的 a c e r b i 和s i m o n e t t i ( 2 0 0 2 ) 2 3 1 ，b a s s e t t ( 2 0 0 4 ) 2 4 】以及r o c k a f e l l a r 和u r y a s e v ( 2 0 0 6 ) p 5 1 已经证明了当使用谱风险度量或扭曲风险度量时线性规划的用处同 时，尽管存在一些理论上的缺陷，均值方差有效前沿的计算依然是资 产组合量化管理的基石无论何时，当收益满足高斯性时，我们就可以 放心的使用均值一方差模型，这时候对风险度量方式的选择是没有意义 的但是因为许多资产集，如对冲基金，呈现非高斯性的收益，特别是在 考虑边界分布和个人收益时，对于选择风险度量的投资组合的稳定性 则是一个很重要的问题 1 2 集值随机变量及其应用的发展现状 集值随机变量就是取值为n 维欧式空间或b a n a c h 空间上的集合的 随机变量不同于普通的随机变量，它既描述了客观事物发展的随机 性，又描述了事物发展状态的不确定性这种不确定性反映出主观上 的宽容性和客观上的不可掌握的可变性，特别在经济、金融领域内最 为明显因此，研究集值随机变量不仅有理论上的重要价值，而且对于 金融系统、随机控制系统等现实问题也有着重要意义在2 0 世纪4 0 年 代就开始研究的区间分析、概率度量空间以及6 0 年代开始研究的集 值分析都是以不确定的现象为研究对象的 a u m a n n ( 1 9 6 5 ) 2 6 从单个人的动因对经济分配影响的角度引进了集 值映射的积分的定义和性质v i n d ( 1 9 6 4 ) 2 7 1 在一篇经济学文章中从群 体效应出发引进了集值测度，它是以b a n a c h 空间的子集为值的测度 法国学者c u s t e m ( 1 9 6 9 ) 2 8 1 提出了紧凸集值鞅的概念，d e b r e u ( 1 9 7 0 ) 2 9 给 一3 一 北京工业大学理学硕士学位论文 出了集值映射的r a d o n n i k o d y m 定理，从而建立了两种经济观点之间的 联系由于d e b r e u 把两种不确定性用量化形式描述出来，应用现代数 学手段，建立了经济模型的一般均衡理论，使他在1 9 8 3 年获得了诺贝尔 经济学奖a r t s t e i n ( 1 9 7 2 ) 3 0 1 系统地研究了集值测度k e n d a l l ( 1 9 7 3 ) 1 3 1 1 用强 关联函数研究了随机集，即可测集值映射，特别是严格证明了随机集 的分布与可测集值映射的对应定理日本的h i a i 和u m e g a k i ( 1 9 7 7 ) 1 3 2 1 给 出了闭集值随机变量的条件期望的概念n e v e u ( 1 9 7 2 ) t t m ，h e s s ( 1 9 9 1 ) 3 4 1 ， l u u ( 1 9 8 4 ，1 9 8 5 ) 3 5 】【3 6 1 ，p a p a g e o r g i o u ( 1 9 8 7 ) 3 7 1 ，李寿梅和o g u r a ( 1 9 9 8 t 3 引，1 9 9 9 t 3 9 1 ) 分别在不同的条件下讨论了集值鞅、上鞅与下鞅的收敛性李寿梅、 关丽( 2 0 0 7 ) 4 0 1 对集值渐近鞅的分解和收敛性进行了研究t a y l o r 和i n o u e ( 1 9 8 5 ) 4 1 1 ，张文修、李寿梅等( 2 0 0 7 ) 4 2 一书对集值随机过程进行了研究 李寿梅、o g u r a 、关丽等( 2 0 0 3 t 4 3 1 ，2 0 0 6 t 州，2 0 0 8 1 4 5 1 ) 研究了集值随机变量序 列的大数定理与中心极限定理2 0 0 2 年至2 0 0 5 年间m i r a n d a 4 6 1 ，c o u s o 4 7 1 ， g i l l 4 8 1 等研究了由集值随机变量引进的上、下概率所包含的信息与 集值随机变量的选择决定的概率集合包含的信息之间的关系，证明 了在满足一定的条件下，上述二者是相同的李俊刚、李寿梅( 2 0 0 8e 4 9 1 ， 2 0 0 9 1 5 0 1 ) ，张金平、李寿梅( 2 0 0 9 ) t m 研究了集值随机过程的l e b e s g u e 积 分、i 晒积分及集值随机变量微分方程 1 3 c h o q u e t 积分理论及应用的发展 c h o q u e t ( 1 9 5 3 ) 5 2 】引入容度及容度的积分的最初目标是把容度和 c h o q u e t 积分应用到统计和位势论中，那时还没有引起经济学家的注意 容度和c h o q u e t 积分最开始受到经济学家们的关注始于s h a p e l y ( 1 9 5 3 ) 5 3 1 在研究合作博弈时的一篇工作论文但是，如何把c h o q u e t 积分理论和 4 一 第l 章绪论 决策理论联系到一起，在当时还没有达成共识直到d e m p s t e r ( 1 9 6 7 ) 5 4 1 和 s h a f e r ( 1 9 7 6 ) t 5 5 1 才把不确定性及信念的表示和c h o q u e t 积分理论联系起 来之后，h u b e r ( 1 9 7 3 ) 5 6 】利用c h o q u e t 积分理论去解释b a y e s i a n 推断的含义 在s h a p e l y 之后，s c h m e i d l e r ( 1 9 8 9 ) 5 7 】首次把c h o q u e t 积分理论应用到决 策理论中，给出了c h o q u e t 期望效用理论的公理化刻画，关于这方面的 文献还可以参考q u i g g i n ( 1 9 9 2 ) 5 8 】和y a a r i ( 1 9 8 7 ) e p s t e i n ( 1 9 9 9 ) 5 9 1 基于偏好 关系给出了不确定厌恶的定义及其一些刻画，这个结果得到多数学者 及应用工作者的认可d o w 和w e r l a n g ( 1 9 9 2 ( a ) 1 ，1 9 9 2 ( b ) 蚓) 利用c h o q u e t 定价来解释投资惰性和股价的过渡波动性问题c h a t e a u n e a f ( 1 9 9 6 ) 6 2 1 首 次将c h o q u e t 积分应用到资产定价中c h e n 和k u l p e r g e r ( 2 0 0 6 ) 6 3 1 讨论了 c h o q u e t 定价和最大、最小定价之间的关系c h o q u e t 积分理论在金融 经济学中有着非常重要的应用：如d y c k e r h o f f 和m o s l e r ( 1 9 9 3 ) 6 4 1 对不确定 占优问题的研究，e i c h b e r g e r 和k e l s e y ( 1 9 9 4 ) 6 5 1 讨论的博弈论，k e l s e y 和m i l n e ( 1 9 9 5 ) 6 6 的套利定价理论以及m u k e o i 和t a l l o n ( 2 0 0 1 ) 6 7 对最优合同问题 的研究 s o n g 和y a n ( 2 0 0 6 ( a ) 6 8 1 ，2 0 0 6 ( b ) 6 9 1 ，2 0 0 9 7 0 1 ) 用c h o q u e t 积分对风险度量的 公理化系统进行了修改刻画，并针对于保险业的实际情况在进行公理 化刻画时，将次可加性的条件换成了共单调次可加性条件d e n u i te ta 1 ( 2 0 0 6 ) 7 h 讨论风险度量和保费原理( 非期望效用下的效用等价原理) 之 间的关系关于不确定意义下的最优投资问题，可参见s c h i e d ( 2 0 0 6 ) 1 7 2 1 本文的主要工作 集值随机变量既能描述事物发展的随机性质，同时还描述了事物 发展状态的不确定性，正因为这种双重性让集值随机变量成为金融风 一5 北京工业大学理学硕士学位论文 险控制系统中的一个重要工具 在本文第二章的第一、二节，分别总结了集值随机变量的定义、 可测选择、集值随机变量的积分以及c h o q u e t 积分的基本概念、性质 和定理在第三节中，我们在前人工作的基础上，利用集值随机变量的 选择方法定义了集值随机变量的c h o q u e t 积分并讨论了它的性质在第 四节，我们根据实际金融市场的特点提出集值容度的概念，利用集值 容度的选择方法给出经典随机变量关于集值容度的积分，并且证明了 此积分的相关性质 本文的第三章的前两节对风险度量系统进行了总结归纳，并对常 见的几类风险度量方法：基于矩的风险度量，v a r ，c v a r ，e s ，谱风险度 量的基本性质以及它们之间的关系进行了比较在第三节中，我们利 用第二章定义的集值随机变量c h o q u e t 积分提出了一种新的一致性风 险度量方法，然后用上海证券交易市场中的股票数据对f i s c h e r 提出的 基于矩的风险度量、v a r 、e s 、集值风险度量进行实证分析 6 第2 章集值随机变量、集值容度及其积分 第二章集值随机变量、集值容度及其积分 我们首先来介绍与本文相关的集值随机变量的一些概念和结论 2 1 集值随机变量、可测选择及集值随机变量的a u m a n n 积分 我们设( 王，i i i i ) 为b a n a c h 空间，( q ，p ) 是完备测度空间，记 p ( 王) = a 笺：a 为子集) ， p o ( 芏) = ( a 王：a 为非空子集) ， k ( b ) f c c ) ( 王) = 似王：a 为非空( 有界) 闭( 凸) 子集) ， l 【( 袱( c ) ( 王) = as3 e ：a y o 非空( 弱) 紧( 凸) 子集 定义2 1 1 4 2 j 在p o ( 王) 上定义加法、数乘为 a + b = i x + y ：x a ，y 劭； 以= l a x ：x a ) 定理2 1 1p o ( 王) 上的加法、数乘运算满足下列性质： ( 1 ) a + b = b + a ； ( 2 ) a + ( b + c ) = ( a + b ) + c ； ( 3 ) a + 1 0 = a ； ( 4 ) 1 a = a ，0 a = l o j ； ( 5 ) 口( f a ) = ( c 哆) a ； ( 6 ) 口( a + b ) = o r a + o r b 但是在上述加法和乘法运算下，p o ( 戈) 不是线性空间事实上它不满 足线性空间定义条件之一：( 口+ f 1 ) a = a a + 肼，从下面的例子可以看出： 7 一 北京工业大学理学硕士学位论文 1 歹0 2 1 1 设王= r ，。= 历( 夏) ，a = l ，2 ，3 1 ，口= 1 ，卢= 2 ，习屯( 口+ 卢) a ，口：a + p a 解 ( 口+ 励a = 3 1 ，2 ，3 1 = 1 3 ，6 ，9 ) ， 甜+ 触= 1 1 ，2 ，3 + 2 1 ，2 ，3 ) = 3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 j 显然我们可以看出( 口+ 国a 以+ 雕 集值映射在早期的文献上也称为多值函数，最早由v i n d ( 1 9 6 4 ) 和 a u m a n n ( 1 9 6 5 ) 提出分别，下面先给出集值映射的定义 定义2 1 2 2 6 】设( q ，p ) 为测度空间，称映射f ：q _ p o ( 王) 为一个集值 映射( 函数) 集值映射的图定义为 g r f = ( u ，曲q 王：x ，( 山) 】 定义2 1 3 4 2 】称集值映射f ：( q ，) _ k y ( e ) 为强可测的，若任给 c k ( 王) ，有 f 一1 ( c ) = 山q ：，( u ) nc 0 ) 。 称集值映射f ：q _ 崎( 王) 为可测的，若任给开集g ，有 f 一1 ( g ) = u q ：f ( ng 0 ) 可测的集值映射称作集值随机变量或随机集 注事实上，上述定义对任意集值映射f ：q _ p ( 王) 均有效，特别地 如果允许f 取空集为其值，则上述定义自然蕴含着 u ：f ( ) = o ) 山： f ( ) nx = 0 l 。 假设u 为有限集，2 u 为u 的幂集，下面我们给出一个有限集值随机变 量的例子 8 第2 章集值随机变量、集值容度及其积分 例2 1 2 令妒：u _ 【o ，1 1 ，令i x ：q 【o ，l 】是服从均匀分布的随机变量 则x ：q _ 2 u 是集值随机变量，其中 x ( w ) = i o u ：妒( “) 口( u ) 对可测性的验证：因为u 是有限集，则 妒( “) ：u u 】是【o ，1 】的有限子集，对 其值按大小进行全排列，重新命名u 中的元，使得妒( “1 ) 驴( “2 ) 5 妒( ) ， 其中，z = i u i ，i u i 表示集合u 的元素的个数而a 服从【o ，l 】上的均匀分布， 故x 是集值随机变量 为了研究集值随机变量的可测性选择等问题，我们首先介绍b a n a c h 空间值函数可测的定义 定义2 1 4 1 3 1 1 称王值函数f ：q - 王是简单函数，如果存在( j c l ，而 c3 e ， 以及q 上的有限可测划分 a l ，一，钆 使得f ( t o ) = f , i l lx i l a ，) ，其中 为a 的示性函数 称王值函数f ：q _ 王是强可测的，如果存在壬值简单函数列i a ：n 1 ) 使得 l i mi i a ( c o ) 一f ( o d ) l l = 0a e n - o o 称王值函数f ：q _ 王是弱可测的，如果任给r 芏，实值函数( r ，( 山) ) 是可测的，其中王+ 表示王上有界线性泛函全体 下面的引理给出了强可测王值函数常用的性质 引理2 1 1 1 4 2 1 ( 1 ) 若f ：q _ 笺强可测的，则i i f ( o - ) l l 可测； ( 2 ) ，：q _ 王是强可测的当且仅当，弱可测且存在n ，p ( j v ) = 0 ， 使f ( d ) 是王中的可分子集特别地，若王是可分的b a n a c h 空间，则 f ：q _ 王强可测当且仅当，弱可测； 9 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 3 ) f ：q - 王是强可测的当且仅当存在取值于王的可数集的可测 函数列i f ：n 1 ) 以及n ，k t ( n ) = 0 ，使得在0 3 q 上一致地有 l i mi i f ( u ) 一f ( o j ) l l = 0 ； i - - - * c r ：, ( 4 ) 若f ：q _ 王是强可测的，则存在王值函数列i f ：n lj 使得 ( 山) 2 1 1 f ( w ) l l ，且 l i mi i 厶( ) 一f ( ( o ) l l = 0a e n o o 可测选择是研究集值随机变量的非常重要的工具，下面讨论集值 随机变量的可测选择问题 定义2 1 5 f 3 1 】设( q ，) 为测度空间，王为可分b a n a c h 空间，f ：q l 【，( 王) 为集值随机变量，f ：q - 王为强可测函数，称厂为f 的强可测选择，如果 任给山q ，f ( t v ) f ( t o ) 称厂为，的a e 强可测选择，如果f ( t o ) f ( ) a e 。 接下来介绍是非常重要的k u r a t o w s k i r y l l n a r d z e w s k i 可测选择定理 定义2 1 6 1 4 2 设x 王，a ，b p o ( x ) ，称 为x 到a 的距离 d ( x ，a ) = i n f i i x y i y e a 定理2 1 2 1 4 2 1 设( q ，) 为可测空间，王为可分的b a n a c h 空间，f ：q _ k ，( 王) 为集值随机变量，则f 必有强可测选择 证明设( 而：n l l 为王的可数稠密子集，下面我们构造一列在 x n ：n 之1 1 上取值的强可测函数m ：尼1 ) ，满足下列条件： ( a ) 任给k 1 ，u q ，d ( 五( ) ，( 山) ) 2 - k ； ( b ) 任给k 1 ，0 9 q ，i l f k + l ( u ) 一f k ( w ) l l 2 - k 一1 0 第2 章集值随机变量、集值容度及其积分 首先，令i ( 1 ，u ) = i n f 凡：f ( ) n s ( x n ，2 1 ) o ) 定义 则由于 ( 山) = 再( 1 埘= 而 f ( 1 ，曲翎) n = l f ( 1 川= 加一( 2 1 ) ) ( 。o n u n f - i ( s ( 钟- 1 ) ) ) ， 故 是强可测的，且显然有d ( a ( o j ) ，f ) ) 2 假定 ，五 已构造好， 令a y = u ：五( u ) = x j ，则a j ，ua j = q ，并且由条件( a ) 知 ，i a jc u ：f ( w ) f 3 s ( x j ，2 以) o ) 固定j 1 ，令 i ( k ，j i 山) = i n f n ：f ( w ) n s ( x j ，2 越) n s ( 而，2 撕1 ) 0 ) 则当u a j 时，l f ( 屯工曲 + o o 定义 m l ( 山) = 工眠m 如， = 1 则由于 o j ：五+ l ( u ) = x n = u ( a jn ：i (