（概率论与数理统计专业论文）双poisson风险模型的破产概率.pdf

摘要 经典风险模型建立的复合p o i s m n 模型中，总是假设保险公司按照常数速率取得保 单并且每张保单收取的保费都为常数，这在数学运算处理上是非常方便的，但是在实际 操作中却未必如此。不同的单位时间内收到的保单数目未必相同，是一个随机变量，而 且每张保单收取的保费也未必完金相同，也是一个随机变量。因此在经典风险模型的基 础上，将保费的收取过程也看作复合p o i s m n 过程是对经典风险模型的改进，这样也更 加接近现实。这样得到的模型叫作双p 0 i n 风险模型。本文按照先离散后连续时问的 顺序对双p 0 i s s o n 风险模型进行探讨，通过利用马氏过程的理论性质，逐步给出了它们 的破产概率，其中离散时间的双p o i s m n 风险模型还首次得到了破产时刻、破产前盈余 和破产赤字三者的联合分布。 关键词：双p o i o n 风险模型，破产概率，破产时刻，破产前盈余，破产赤字 第i 页 a b s t r a c t a b s t r a c t ht h ec l a s s i c a li u 8 km o d e l ( c o m p o l l n dp ( 曲ni u s km o d e l ) ，w ea l 砌泸a 鹃啪et h a tt h e i 珊u r 皿c ec 0 如p 缸yr e o e i v 皤i n 吼l r 8 n c ep o u c i 豁w i t hac o 璐t a n tv e l o d 劬a n dt h ep r e 血u mo f e 扯hp o h c yi st h e8 锄e b 吐i np r 8 c t i ，i ti 8n o t d 山m gd j 珏h e n tt i n 舱l l n i tt h ec o m p 衄y r e i v 鹳d m h e n tp o u c i 鹪，姐dt h ep o u q rm l m b e ri s8r 驵d 咖砌8 b l e ，8 n dt h ep 】e l n i 啪o f e a c h p o u q ri sa ：l s oar 雠d o m 删a b l e t h e m f b r et h i 8p a p e rc m l s j d e 瑙t h ep r e m i u mi n c o m ep r o o e 鹪 i 8a l ac o m p o 岫dp 0 i s 8 0 no nt h eb 船i so ft h ec l a 鹤i c a l 脑km o d e l i ti s 缸i m p r o v e m e n t f o rt h ec l a s s i c 8 lm s 】m o d e l 皿l i si m p r o v e dm o d di sc “e dd o t l b l ep o i s s o ni i i s 】cm o d d w b c 8 n8 t u d yi t sr i l i np r o b a b i l i t yb ym e t h o do fm 8 r k o vp r o 嘲s 觚do t h e rp r o b a b m t yt h e o r yf o r b o t hd i 宕c 】r e t e 姐dc 矗n u 0 璐t i m ed o u b l ep o i 8 n 砒s 1 【m o d e l w b8 l c o n d u d et h ej o i n t d i s t 曲u t i o no ft i m eo fr l l i n ，t h es u r p l l l si m m e d i a t e l yb e f o r er 血a n dt h ed 面c i ta tr l l i nf o rt h e k e yw o r d s ：c l a 黯i c a l 王u s km o d e l ，d o u b l ec o m p o l l n dp o i s s o n 砒s km o d e l ，r l l i np r o b a b i u t y t i m eo fr l l i n ，t h es i l r p l 璐i m m e d i a t e l yb e f o r er l l i n ，t h ed 曲c i ta tm i n 第i i 页 y9 6 8 s 6 二 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 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s n 分布具有再生性，所以复合p 0 a 0 n 模型是精算数学中经常使用的模型。 对于这个模型，现在为止研究得到的结果非常多，研究几尽完善。g e r b e rh u 等研 究了破产前盈余和破产赤字，g e r b e rh - u 又和s h i ue s w 研究了破产时，破产前盈余 和破产赤字的联合分布，最后d o b o u r d i e u 得到了著名的& e k n 公式： 兰1n 妒( u ) = ( r 孟) “( 丁乞) ( u ) n = o 一7 一7 其中上k ( u ) 是日( t ) = ：j ；( 1 一f ( z ) ) 出的n 重卷积。g e r b e rh u 又和s h i ue s w 接 着还研究了这个模型的另一个参量罚金函数 咖( u ) = e ( u ( t 一) ，j ，( ? ) i ) e 一以。j ( t o 。) u ( o ) = 叫 证明了它满足更新方程并且给出了其解【1 l 但是对于这个经典风险模型，其中一个非常重要而关键的假设就是保险公司按照 常数速率取得保单并且每张保单收取的保费都相同，都是常数c 这样的假设是非常便 于数学处理运算的，但是在实际操作中却未必总是如此。不同的单位时间内收到的保单 数目未必相同，它是一个随机变量：并且每张保单的保费收取也未必相同，也是一个随 机变量。把这两个因素都考虑进经典风险模型对其进行研究，则更接近于现实情况，其 理论也会有新的内容。与研究经典风险模型的大量文章相比，这方面的文章却是不多， 国内也有【2 l 【3 】f 4 】，但研究并不彻底。把经典风险模型中的保费收入也考虑成一个复合 p o i m n 过程，是对经典风险模型的一点改进，这样得到的模型可以称作双p 0 i s s o n 风险 模型。 第1 页 第一章引言 本文将按照先离散时间后连续时间的顺序对双p o i s s o n 风险模型运用马氏过程的理 论进行研究，并且逐步给出了他们的破产概率表达式及其有关内容，其中离散时间的双 p 0 i n 风险模型还首次给出了它的破产时刻，破产前盈余和破产赤字三者的联合分布 函数 2 第二章双p 0 i s n 风险模型的引入 第二章双p o i s s o n 风险模型的引入 在保险的风险理论中，破产概率及其相关内容是研究的主要内容。经典风险模型可 以看作这方面的基础，经典风险模型即为复合p 0 i 8 n 风险模型，它可以描述为u ( t ) = u + d s ( t ) ，其中u ( o ) = 是保险公司的初始盈余，c 是单位时间内的保费收取率，为 常数。s ( t ) = 弱+ 恐+ + 蜀川为总索赔量，是一个复合p o i s s o n 过程，其中的五是 个体索赔量，相互独立并且同分布。( t ) 是一个p o i s s o n 过程，它表示在( o ，t 】时间内发 生的索赔次数。 这个模型的研究结果，其中破产概率的公式，破产时间，破产前盈余和破产赤字的 联合分布函数，罚金函数，破产前的索赔次数、恢复次数等都有详细的结果，见后面的 文献【5 】- 【1 4 】 但是对于定这个经典风险模型，其中一个非常重要的假设就是保险公司按照常数 速率取得保单并且每张保单收取的保费都相同，都是常数c 这样的假设是非常便于数 学处理运算的，但是在实际操作中却未必总是如此。不同的单位时间内收到的保单数目 未必相同，它是一个随机变量；并且每张保单的保费收取也未必相同，也是一个随机变 量。把这两个因素都考虑进经典风险模型对其进行研究，则更接近于现实情况，其理论 也会有新的内容。 首先可以考虑保单的收取是随机的情形，不妨仍假设其收取过程也为p o i s s o n 过程， 记为m ( t ) ，并且每张保单的保费还是常数c ，则就有如下模型： u ( t ) = u + a m 0 ) 一s ( t )( 2 1 ) 其次，在上面的基础上再考虑保费的收取也是随机的情形，设每张保单收取的保费 是随机变量m “= 1 ，2 ) ，假设它们也是相互独立并且同分布的，则可得到如下模型： u ( t ) = t + e ( t ) 一s 0 )( 2 2 ) 其中c ( t ) = m + 硷+ + y h ( t ) ，表示在( o ，t 】时间内所收取的总保费量。显然可见模型 ( 2 1 ) 是模型( 2 2 ) 在m = c 时的特例。因此我们可以把模型( 2 2 ) 称作连续时间的双 p o i n 风险模型，与之相对应的离散时间的双p o i s n 风险模型也可类似定义。 下面的章节中，我们分别将对离散时间和连续时间的双p o i 0 n 风险模型研究他们 的破产概率以及其他内容。 第3 页 第三章离散时间的双p o i s n 风险模型研究 第三章离散时间的双p o i s s o n 风险模型研究 3 1模型的描述及其基本假设 正如第一章所提到的，离散时间的双p 0 i s s o n 风险模型也是由离散时间的复合p o 辞 m n 风险模型推广而来的。 离散时间的复合p o i 8 8 0 n 模型为： u ( n ) = t + c n s ( n )( 3 1 ) 其中n = o ，1 ，2 ，u 为n = o 时的最初盈余量，c 是常数，为保险公司在单位时间内的 保费收取率。s ( n ) = 墨+ 恐+ + 如h 1 ，它表示到第n 个时间单位末的总索赔量，其 中置表示第t 次的索赔量，所有置相互独立并且同分布，( n ) 是一个p 0 i s s o n 分布。 这个模型的假设也是保险公司按照常数速率取得保单，并且每张保单的保费都是常数 c ，这个模型的结果也很多，其中r l l im r ，a l 矗司od 得到了这个模型破产概率的递推公 式【5 】 考虑到实际操作中保险公司在不同的时间单位内收到的保单数目往往不一样，是 一个随机变量，它服从某一离散分布，并且每张保单的保费也不全相同，也是一个随机 变量，这两个因素都考虑进模型( 3 1 ) ，因此就有如下模型 u ( n ) = + g ) 一s ( n )( 3 2 ) 其中e ( n ) = h + 蚝+ + ( 。) ，k 表示第i 张保单收取的保费，m ( n ) 表示在这n 个 时间单位内收到的总保单数目，若把m ( n ) 也理解成p o i s s o n 分布，则上面的模型( 3 2 ) 就是离散时间的双p 0 i s m n 风险模型。后面的内容中将逐渐给出这个模型的破产概率计 算公式以及其他内容。 对于模型( 3 2 ) 的基本参量作如下定义： 破产时刻为 最终破产概率为 t = l n ，( n ：u ( n ) o 3 2单位时闻内的索赔量和保费的分布 再进一步假设初始盈余“只取非负整数。个体索赔量和保费都取正整数，令它们 的概率分布分别为p ( 墨= i ) = p ，p = f ) = 岱a = 1 ，2 一) 下面将利用m ”k w 链的内容解决单位时间内的索赔量和保费的分布问题。 首先可以考虑总索赔量过程 s ( ) = x l + 恐+ + j ( t ) ( 3 6 ) 其中t 取非负实数，显然 s ( t ) 是一个连续时间的齐次m o r 女0 t ，链，其状态空间为 s = o ，l ，2 ) ，设其转移概率函数为a j ( t ) ，容易得到鼽j ( t ) 满足： p j ( t ) = 1 一m + o ( t ) p + l ( t ) = p l a t + d ( t ) p 冉2 ( t ) = p 2 她+ o ( t ) a 。+ ( t ) = m 魁+ o ( t ) 并且在。点满足连续性条件：。坚器a ， ( t ) = p ，( o ) = 氐， 则密度矩阵容q 易得出为： q 0 0 卯1 口1 0 口1 l 口2 0 啦l 口驰1 口卯3 口1 2q 1 3 啦2 驰3 q 3 2 铷 一a 却l 0一a 00 00 渤概 p 1 阮 一a 却l 0 一a 容易计算啦j = o ，所以q 矩阵是保守的，因此g 印m 口n k 0 ：m 卵d r 向后微分方 j = 0 程成立，即p ，= q p ，即 5 第三章离散时间的双p o i s n 风险模型研究 比( t ) = 一概( t ) p ，+ 1 ( t ) = 一概，i + 1 ( t ) + j 牺1 p + l ，+ 1 ( t ) 以+ 2 ( t ) = 一概，件2 ( t ) + j 忉1 鼽+ l ，+ 2 ( t ) + a p 2 p + 2 ，件2 ( t ) ，卅( t ) = 一概，卅o ) + 枷1 鼽+ 1 # q ( t ) + + 弛鼽卅， 卅( t ) 初始条件鼽( o ) = 1 因此上述微分方程可以逐个解出，解为 p ，( t ) = e 一“ 鼽，+ 1 ( t ) = 坳1 e 一 鼽，i + 2 ( t ) = 研簪+ a 娩】e 枷 鼽l + 3 ( t ) = 研学+ 2 p l p 2 学+ t p 3 j e 一 归纳可得： p j ( t ) = e 一 酬牡+ 篙e 埘， 其中系数矩阵a = 仇j ) 为 l00 口1 1 00 口2 1 口2 2 0 a 3 1 口3 2o n 4 1 口4 2n 4 3 皿5 l 口5 2 口5 3 00 o0 00 o0 口“ 0 口5 4 口5 5 l0 p 1 0 衍 p 2 衍2 p l p 2 西3 p 弛 p 和渤 0 0 o 0 p 4 2 p l m + 勾，2 船 0 0 0 0 0 p 5 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 矩阵的第一行是鼽( t ) 的系数，第j + l 行是a ，州( t ) 关于她从高次方到低次方的 系数。观察可得到系数矩阵的递推公式如下： r 一1 t q + 1 ，r = q k ，r k m + 10 1 ；l r j ) 七= 0 q + 1 j + 1 = 鳓+ 10 o ) ( 3 9 ) ( 3 加) 到此为止，公式( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 给出了连续时间的m 口r 女链 s ( t ) ) 的转移概 6 悃嘲。：船象 第三章离散时间的双p o 璐o n 风险模型研究 率公式。如果把e = o ，t = 1 带入上式，则可得到单位时间内索赔量的分布如下； 懈) = j ) 咖( 1 ) _ e 1 擎州南) 垒嘶) ( 3 1 1 ) p ( s ( 1 ) = j ) = p 0 j ( 1 ) = e 一1 ( 唧。，+ 1 高兰i 可) 垒t 吩o 1 ) ( 3 1 1 ) r = 0 w 尸( s ( 1 ) = 0 ) = p o ，o ( 1 ) = e 一1 垒蛳( 3 1 2 ) 同样也可得到单位时间内的保费收取量的分布如下； 唧) = j 胁j ( 1 ) - e 1 霎- 禹嘞) ( 3 1 3 ) p ( c ( 1 ) = j ) = p o j ( 1 ) = e 一6 ( b r + 1 若兰而) 垒o 1 ) ( 3 1 3 ) r = 0 w p ( e ( 1 ) = o ) = p 0 ，o ( 1 ) = e 一6 垒t j 0( 3 1 4 ) 其中系数幻+ ，满足： b + 1 ，= 芝二b k ，一k 瓠+ 1 ( j 1 ；1 r j ) ( 3 1 5 ) 6 j + 1 j + 1 = 劬+ 10 o )( 3 1 6 ) 3 3有限时间内的破产概率 对于模型( 3 2 ) u ( n ) = u + e ( n ) 一s ( n ) ，现令 岛= c ( o ) = 0 ，s 0 = s ( 0 ) = 0 a = c ( 1 ) 一g ( 0 ) ，岛= s ( 1 ) 一s ( 0 ) 1 = c ( 扎) 一c ( n 一1 ) ，5 k = s ( 礼) 一s ( n 一1 ) 则e ( n ) = a + 岛+ + g ，s ( n ) = 毋+ s 2 + + 岛 再进一步假设研，岛，s n 相互独立，与s ( 1 ) 同分布，其分布函数为( $ ) = p ( s ( 1 ) j 因此。有限时间内破产概率咖( k t ) = p ( t = ( o ) = u ) 为： ( 1 ) 当k = 1 时， ( 2 ) 当k 1 时， 即 毋( 1 t ) = 铆( 1 一w ( u + z ) ) ( 3 1 9 ) f = 0 p ( t = 七，( o ) = 缸) = p ( t = 女，矿( 一1 ) = j u ( o ) = t ) j = 0 o 。 = p ( t = ，u 一1 ) = j ，瓯= l u ( o ) = ) j = o l = 0 。 = p ( ，忙一1 ) = j u ( o ) = u ) p ( t = ，仉= l u ( o ) = u ，u 一1 ) = j ) j = 0 l = o = 武占1 p ( c k = f 矿( o ) = u ，矿( 一1 ) = j ) j = 0 l _ 0 p ( t = 女i = z ，u ( 0 ) = u ，u 一1 ) = j ) = 武譬1 p ( c k = z ) p ( 鼠 j + z ) j = 0 = 0 。o = p 等”( 1 一w o + z ) ) ( k t ) = p 等1 饥( 1 一o + f ) ) ( = 2 ，3 ) j = 0 j = 0 则r 个时间单位内破产的概率为 r 妒( u ，r ) = p 等1 饥( 1 一o + f ) ) k = 1 j = 0l = 0 公式中的k 一1 步转移概率可以这样给出 础= q 饥+ f - j i = 0 趱= 嘏 羽 r = 0 8 础= 研嘶+ f 叫 l = 0 瑚= 础捌 = 0 第三章离散时间的双p o i 8 n 风险模型研究 利用e ? p m m k 0 ：m 凹d r o t ，方程 趱= 删列 r = 0 0 0 秽埘= 龆础( r o ) = 0 就可以逐步递推得到k 一1 步转移概率并规定当i o 时，定义姚= o ，饥= o 到此为 止，由( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 可以得到有限时间的破产概率 若在( 3 2 1 ) 中令r 一，则可得到最终破产概率为 0 0 妒( u ) = 辑1 h ( 1 一w o + ：) 】 k = 1 j = 0l = 0 至此，模型( 3 2 ) 的破产概率问题已经解决，下面将考虑其它问题。 3 4破产时刻，破产前盈余和破产赤字的研究 3 4 1 破产时刻，破产前盈余和破产赤字的联合概率分布 仿照以前文献中的定义，现在定义模型( 3 2 ) 的破产时刻t ，破产前盈余u 口一1 ) 和破产赤字u ( t ) 三者的联合概率函数为： ，( n ，z ，掣t ) = p ( t = n ，矿( t 一1 ) = 毛c ，( t ) = 一掣u ( o ) = t ) o = o ，1 ，2 掣= 1 ，2 则可以得到： 即 ，( 他，可u ) = p ( t = n ，u ( n 一1 ) = z ，u ( n ) = 一f u ( 0 ) = “) = p ( 矿m 1 ) = $ u ( 0 ) = u ) p ( t = 他，m ) = 一鲈，( o ) = u ，u m 一1 ) = ) = p ( 矿m 一1 ) = z u ( o ) = t ) p ( t = n ，) = 一”u 一1 ) = 。) = p 唔1 p ( t = ，u ( n ) = 一弘g = j u 一1 ) = z ) j = 0 = p l 翟1 p ( c 二= j 矿唧一1 ) = z ) p ( t = n ，u ( n ) = 一”g = j ，u m 1 ) = 。) j = 0 = 啦! p ( 品= z + + j ) = 0 = p 黠1 吩魄+ 州 砌，训t ) = 啦! 毗+ ”州 j = o 9 第三章离散时间的双p o i 8 n 风险模型研究 3 4 2 破产赤字的分布 再定义模型( 3 2 ) 的破产赤字分布函数为 g ( u ，可) = p ( t ，一掣u ( t ) 0 矿( 0 ) = u ) ，国= l ，2 ) 再定义9 ( g ) ：p 口 o o ，u ( t ) ：一p u ( o ) ：u ) ，显然有g ( ，) ：苎9 ( t ，) = 1 而 p ( t o o ，u ( ? ) = 一掣u ( 0 ) = 缸) = p ( t = n ，矿( t ) = 一9 矿( o ) = t ) l = 1 。 = p ( t = n ，u ( t 一1 ) = 。，矿( t ) = 一u ( o ) = u ) n = 1 = 0 再根据上面的三者的联合概率函数就有 g ( u ，) = 啦! 吩+ 州 ( 3 2 7 ) n = 1 $ = o = 0 3 4 3破产前的盈余分布 定义模型( 3 2 ) 破产前的盈余分布函数为 日( 札，z ) = p ( t o o ，o 矿( t 一1 ) z ，( 0 ) = 牡) ，0 = 1 ，2 ) 再定义 ( u ，z ) = p 口 ，矿口一1 ) = z 矿( o ) = “) ，显然有日( “，z ) = ( u ，) 一 k 。0 p ( t 。+ j ) = 啦! ) q ( 1 一 + z ) ) n = l l = 0 即 ( u ，。) = 式等1 q ( 1 一- y + f ) ) ( 3 2 8 ) n = l l = 0 1 0 第四章连续时间的双p o i 8 n 风险模型的研究 第四章连续时间的双p o i s s o n 风险模型的研究 4 1 模型的基本描述 正如第一章中所提到的，连续时间的双p o i 8 s o n 风险模型为模型( 2 2 ) ，即u ( t ) = 札+ e ( t ) 一s ( t ) ，其中c ( t ) = m + 硷+ + 】石( t ) ，s ( t ) = x 1 + 磁+ + j b ( t ) ，喜年中的 噩，恐是个体索赔量，相互独立同分布，分布函数为f ( z ) ，均值为p ；h ，耽是个别 保费量，相互独立同分布，分布函数为g ( z ) ，均值为p m ( t ) ) 和 ( t ) ) 分别是参数为 d 和a 的p 0 i 8 n 过程， m ( t ) ) ， ( t ) ) ， 墨) ，麟) 均相互独立。而且模型( 2 2 ) 的一个特 例就是当所有m = c 时，即为模型【2 1 ) u ( t ) = “+ e 2 l f ( t ) 一s ( t ) 现在对上述两个模型的一些基本量作定义如下： 模型破产时刻定义为 最终破产概率定义为 生存概率定义为 模型( 2 1 ) 安全负荷为 模型( 2 2 ) 安全负荷为 t = 伽， t 2o ：u ( 亡) o “ 4 2破产概率( 或生存概率) 满足的积分方程 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 定理4 2 1相互独立的两个复合p o i s s o n 过程的和( 差) 还是复合p 0 i s s o n 过程。即 若 s ( t ) = 噩+ 尥+ + 是特征参数为( ，f ( 。) ) 的复合p o i s s o n 过程，e ( t ) = m + 硷+ + l k ( t ) 是特征参数为( 6 t ，g ( 。) ) 的复合p o i s n 过程，并且s ( t ) 和g ( t ) 相互独 立，则s ( t ) 一g ( t ) 皇d ( t ) 也是复合p o i s s o n 过程，其特征参数为( n + 6 ) t ，p ( 。) ) ，其中 p ( 。) = 南f ( 。) + 鼎( 1 一g ( 一。) ) 第l l 页 第四章连续时间的双p o i s 8 0 n 风险模型的研究 证明：令z = 一m 的分布函数为日( $ ) ，则日( z ) = p ( 一h 冬。) = 1 一g ( 一z ) ，易得s ( t ) 的矩母 函数为m s ( r ) = e e r s ( t ) = e 沁陋( ) 一“，同样e ( t ) 的矩母函数为埘b ( r ) = e e r c ( t ) = e 6 i 肘h ( r ) 一”， 由于s ( t ) 和c ( t ) 独立，因此d ( t ) 的矩母函数为m d ( r ) = e e r d ( t ) = e ( 1 + 驯【南慨，( 7 ) + 南肘h ( 一) 容易证明这恰好是特征参数为( 似+ d ) t ，p ( z ) ) ，其中p ( 。) = 南f ( 。) + 南( 1 一g ( 一z ) ) 的 复合p o i s s o n 过程的矩母函数。 工f t l 推论4 2 1模型( 2 2 ) 可以等价于u ( t ) = t 一d ( t ) = u 一五，其中工( t ) 是参 数为( + 6 ) 的p 豳n 过程， 五) 是相互独立同分布的随机变量序列，其分布函数为 p ( z ) = 寰孑f ( 2 ) + 寰；( 1 一g ( 一。) ) l “、 注1 由推论( 4 2 1 ) 知连续时间的双p 0 i s n 模型等价于u ( t ) = u d ( t ) = u 一z ， 这样看起来非常象经典风险模型在c = o 时的情况，但是在经典风险模型中的 墨 是 非负随机变量，而与之对应的推论( 4 2 1 ) 中的 磊 却可以取负值，这是它们不同的地 方，因此我们的处理方法也与以前不同，我们暂时可以把每一个五称作一次“亏损”。 定理4 2 2 模型( 2 2 ) 的生存概率r ( t ) 满足下述积分方程 冗( ) = r ( t 一。) d p 缸)( 4 4 ) 即 ru， ( a + 6 ) r ( u ) = a r 一z ) d f 扛) + 占 r ( u + 可) d g ( 可)( 4 5 ) j 0j 0 证明：取无穷小时间区间( o ，t 】，以在此时间内有无“亏损”为条件，利用全概率公式就 有r ( t ) = r ( t ) e 一( 1 + d 出+ ( 1 一e 一( 。) ：r ( u z ) d p ( z ) 则整理可得 r ( ) = j = r ( “一z ) d p ( ) ，把p ( ) = 南f ( z ) + 南( 1 一g ( 一z ) ) 带入上式即有结论。 推论4 2 2 模型( 2 2 ) 破产概率妒( t ) 满足如下积分方程： ，u，o 。 n + 5 ) 妒( 让) = a 妒( u z ) d f 忙) + 6 妒扣+ ) d g ( 材) + a ( 1 一f ( “) ) j 0j 0 而模型( 2 1 ) 是模型( 2 2 ) 当所有k = c 时的特例，故其破产概率的积分方程为： ( + 6 ) 妒( ) = a 妒( t 一) d f ( z ) + 占妒似+ c ) + a ( 1 一f ( “) ) 4 3模型( 2 1 ) 破产概率的表达式 对于模型( 2 1 ) ，再假设c = 1 ， 置) 都是取正整数值的随机变量，令p ( 噩= 。) = m 则由推论( 4 2 2 ) 可知，此时积分方程的具体形式为： n + 6 ) 妒( u ) = a 妒( u 一) 如+ 鲫( u + 1 ) + ( 1 一f ( u ) ) ( 4 6 ) z = 0 第四章连续时间的双p o i s n 风险模型的研究 下面计算t f ( 。) 的表达式：令萎妒( 。) ：每 u = 0 ( 1 ) 在( 4 6 ) 式两边对“从。到o 。求和，就有 u ( a + j ) 妒( u ) = + 6 妒( u ) + a 妒一。忱 u = 0t = lu = 0 z = 0 化简上面的式子就有 螂) = 等 ( 2 ) 在( 4 6 ) 式两边对”从1 到o 。求和，就有 q ( a + 6 ) 妒( ”) = a 阻一( 1 一f ( o ) ) i + 6 妒( t ) + a 妒( “一z ) m t i = l u = = 2t | _ 1 珊 化简又可以得到 妒( 1 ) = 查垒二。生+ ；砂( o ) ( 2 ) 在( 4 6 ) 式两边对u 从 o 1 ) 到o 。求和，就有： ( 4 7 ) ( 4 8 ) 协+ d ) 妒( u ) = a 山一( 1 一f ( u ) ) 】+ 6 妒( u ) + a 妒( ) 一a 妒m 一。概 怛u = 0 u = t + 1u = ou ：0 z = 0 则有 、t 一1u 妒( ) = ；扯一 + ( f ( u ) + 妒( u ) 一妒似一$ 堍) 】。 u 暑o$ = 0 、t 一2u 妒a 一1 ) = ；阻一 + 1 + ( f ( u ) + 妒( u ) 一妒( u z ) 如) 】 t = 0= 0 化简递推又可以得到 州) = 学州_ 1 ) + 融- 1 ) 小差饰- 1 _ 捌 ( 4 9 ) 到此为止，由公式( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) 就得到了模型( 21 ) 在c = 1 时的破产概率的递推公式。 模型( 2 2 ) 的破产概率将在下面的章节中给出。 4 4连续时间的双p o i s s o n 风险模型的破产概率 4 4 1 连续时间的双p o i s s o n 风险模型回顾 上一章中我们已经求出了连续时间的双p 0 i s s o n 风险模型的破产概率满足的积分方 程，由于这个方程很难解出，所以我们利用其他方法求出了特殊情况下的破产概率的递 推公式，本章将继续讨论这个模型，并将给出此模型一般情况下的破产概率计算公式。 1 3 第四章连续时间的双p o i 8 n 风险模型的研究 对于连续时间的双p 0 i s s o n 风险模型( 2 2 ) u ( t ) = “+ g ( t ) 一s ( t ) ，根据推论( 4 2 1 ) ， 它等价于下述模型 l ( t ) u o ) = u d o ) = u 一五 ( 4 1 ) = 1 其中工( t ) 是参数为协+ 6 ) 的p 0 i s s o n 过程， 磊) 是相互独立同分布的随机变量序列， 其分布函数为p ( z ) = 南f ( z ) + 南( 1 一g ( 一$ ) ) 前面已经说过，它非常象经典风险模 型在c = o 时的情况，但是在经典风险模型中的 墨) 是非负随机变量，而与之对应的 五 却可以取负值，这是它们不同的地方，因此处理起来不方便，所以必须寻找新的方 法，本章中还要使用m 口r k 链的理论处理这个问题。 4 4 2 第k 次“亏损”才引起破产的概率 首先假设五= 一m ，一m + 1 ，o ，l ，( m 为一固定的正整数) ，即每一次“亏损”都 是大于等于一m 的整数，这是因为每张保单的保费收取总是有限的，所以这样的假设 是合理的。再假设u 是非负整数，记 p ( z = j ) = p j ，p ( z j ) = p u )( 4 2 ) 定义k 为破产前恰好发生的“亏损”次数。再记d ( ) 为第k 次“亏损”之后的盈余 量，显然疗( ) 又是个离散时间的m n r 链，但是其中的参数却不是时间，这个 m 口r d t ，链的状态空间为s = 一l ，o ，1 ，2 ，状态一1 是一个吸收态，表示us l 即发 生破产，再定义 毋( “，) = p ( 耳= k 疗( 0 ) = t ) 为第k 次“亏损”才引起破产的概率。定义，为其n 步转移概率，即 ：= p ( 驴m ) = ，疗( o ) = t ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 定理4 4 1 对于模型( 4 1 ) ，第次“亏损”才引起破产的概率为 妒( 缸，1 ) = 1 一p ( t )( 4 5 ) u + 忙一1 ) m 妒托，) = 式孑1 ( 1 一p ( j ) ) 佧= 2 ，3 ，) ( 4 6 ) j = 0 证明：当k = 1 时，显然有( u ，1 ) = 1 一p ( u ) 1 4 第四章连续时间的双p 0 i s s o n 风险模型的研究 当k 1 时，根据定义( t ，) = p = 肪( o ) = u ) 咖( t 正，七) = p ( k = 七，o 厂晴一1 ) s 仳+ ( 七一1 ) m u ( o ) = ) u + ( 一1 ) m = p ( 耳= ，驴一1 ) = j 疗( o ) = ) j = 0 ( 一1 ) m = p ( 疗( 一1 ) = j 扩( o ) = u ) j = 0 p ( k = 女矿一1 ) = 五u ( 0 ) = u ) u + ( 一1 ) m = p 等1 p ( 磊 j ) j = 0 u + ( 女一1 ) m = 譬1 ( 1 一p d ) ) 公式中的忙一1 ) ) 步转移概率由下述l 步转移概率给出： 式2 = p ( 疗( 1 ) ；j 疗( o ) = “) = 凡一j ( o 墨js t + m ) ( 4 7 ) 矗譬= p ( 疗( 付) = 8 扩( 礼一1 ) = r ) = p r 一。( o r u + ( n 一1 ) m ，o 8 让+ 帆)( 4 8 ) 根据( 4 7 ) ( 4 8 ) 可得一步转移概率矩阵p = 慨j ) ( 为方便起，矩阵中的一步转移概 率元都省略上标) 为 p 一1 0 p 0 0 p 1 o p 2 0 p 一1 1 p o 1 p 1 1 p 2 1 p 一1 2 p o 2 p 1 2 仇2 1 一p ( t ) m 轧一m 钆一1 一m o 进一步，由于m o r 女o t ，链是齐次的，所以其一l 步转移概率矩阵为p ，但是由 于一步转移概率矩阵有可能是无穷阶数的，所以其k 一1 步转移概率矩阵不太好计算， 但是根据一步转移概率矩阵的特点( 下三角矩阵) ，则可以如下得到其一1 步转移概 率矩阵： ( 1 ) 令则工是由矩阵p 第”+ 2 行去掉第一个元素组成的向量，它只有前面的t + m + 1 个元素非零。再记一步转移概率矩阵p 去掉第一行和第一列后得到的矩阵为 ( 2 ) 令工2 = 工a ，则向量工2 就是所需的所有的2 步转移概率，它只有前面的u + 2 ( m + 1 ) 个元素非零 1 5 一 0 0 p p。= o 如m mq 偿 p p p 一 一 一 卜 。 一 。 皿m n 】 第四章连续时间的双p 0 i s n 风险模型的研究 ( 3 ) 令工3 = l 2 a ，则向量工3 就是所需的所有的3 步转移概率，它只有前面的“+ 3 ( m + 1 ) 个元素非零 如此继续下去，我们就可得到所有的一1 步转移概率。 至此，第k 次“亏损”才引起破产的概率的计算已得到解决。 如果取消对z 的限制，即z 可以取任意整数，类似上面的推导，容易得到第次“亏 损”才引起破产的概率为 曲( t ，1 ) = 1 一p ( u ) ，咖( t ，) = 占1 ( 1 一p o ) ) ( 4 9 ) j = 0 4 4 3 有限时间内的破产概率和最终破产概率 设次“亏损”才能引起破产的概率为妒( u ，k ) ，则l p ( u ，k ) = 咖( u ， ) 定理4 4 2对于模型( 2 2 ) ，有限时间内的破产概率为： 螂) ：妻嗡竽e w ，t 壹州) ( 4 1 0 ) 最终破产概率为： 妒( “) = ( u ，t t = l 证明：令a k = 在时间( 0 ，t 】内发生次“亏损”) ，则 1 ；f ，( 钍，t ) = p ( t s t u ( 0 ) = t ) = p ( t t ，a i u ( o ) = u ) = p ( t st b u ( o ) = 乱) p ( a 女u ( o ) = 扯) ；主坠专竽e t 妻蛳，讣 # 11 2 l o o 由控制收敛定理可以证明妒( u ) = 咖( u ，i ) = l 至此，连续时间的双p o i s s o n 风险模型的破产概率也得到解决。 1 6 ( 4 1 1 ) 参考文献 参考文献 1 】g e r b e rh u ，s h - ue s w ，o nt h et i m e u eo fr u i n n 0 n ha m e r i 咖a c t u a r i c a lj o u m “v 2 4 8 - 7 8 f 2 王后春两个风险模型破产概率的比较湖南理工学院学报( 自然科学版) 2 0 0 5 1 8 ( 2 ) ：1 4 1 6 【3 】龚日朝，李凤军双p o i s n 模型下的破产概率湘潭师范学院学报( 自然科学版) ，2 0 0 0 ，2 9 ( 3 ) ：5 5 _ 5 7 4 】王黎明保险费收取次数为p o i s s o n 过程的破产概率内蒙古师大学报( 自然科学版) ，2 0 0 0 ， 2 9 ( 3 ) ：1 7 6 _ 1 7 9 【5 】e 舀d i od r e i b ，a d ，o nt h em o m e t so fm i n 觚dr 即o v e r yt i m 豁血s