（应用数学专业论文）资本转移与经济增长关系的动态分析.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 经济增长是社会发展和政治稳定的前提条件。探索经济增长的源泉， 并采取措施释放生产力，是理论界一直关注的问题。近年来，关于二元 经济系统资本转移对经济增长作用的研究引起了越来越多的人的关注。 本文建立了引入资本转移的内生经济增长模型，将资本转移内生化，讨 论了资本转移促进经济增长的内在机制。本文主要包括以下几方面的内 容： 第一章简要介绍了二元经济系统资本转移与经济增长的研究背景和 研究现状。 第二章主要介绍了最优化和内生经济增长的基本概念和基础知识， 这些构成了本文的理论基础。 第三章在内生增长理论的思想基础上，针对二元系统中的农业部门， 建立了内生资本投入的经济增长模型，利用动态最优化的方法，得到一 个二维系统，并对该系统进行动态分析，得到系统稳定的条件，分析了 它的稳定性。最后讨论了农业部门资本投入与经济增长之间的内在作用 机制。 第四章将研究范围扩展到整个二元经济系统，在内生资本转移的条 件下，通过逐一讨论农业部门、产业部门的经济增长和消费者的行为模 式，建立了一个内生资本转移的二元经济增长模型。并利用动态最优化 的方法，构建哈密尔顿函数，讨论了二元系统资本积累速度和消费增长 速度。最后对模型的经济增长路径以及均衡状态进行了分析。 关键词：内生经济增长，资本转移，动态最优化，稳定性，二元经济系统 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t e c o n o n l i cg r o w t hi st h ep r e m i s ec o n d i t i o no fs o c i a ld e v e l o p m e n ta n d p o l i t i c ss t a b i l i z e p r o b i n g w e l l h e a do fe c o n o m i c g r o w t ha n da d o p t i n g m e a s u r et or e l e a s ep r o d u c t i v i t yi st h ep r o b l e mt h a tt h et h e o r yb o u n d a r y a l w a y ss h o w ss o l i c i t u d ef o r i nr e c e n ty e a r s ，i th a sb e e nd r a w nm o r ea n d m o r ea t t e n t i o na b o u tt h a tt h es t u d i e st ot h ee f f e c to fc a p i t a lt r a n s f e ro ft h e d u a le c o n o m i cs y s t e mt oe c o n o m i cg r o w t h i nt h i sp a p e r , w ee s t a b l i s ha n e n d o g e n o u se c o n o m i cg r o w t hm o d e li n c l u d i n gc a p i t a lt r a n s f e r w eg e tc a p i t a l t r a n s f e re n d o g e n o u sa n dd i s c u s st h ei n t e r n a lm e c h a n i s mb e t w e e nc a p i t a l t r a n s f e ra n de c o n o m i cg r o w t h t h em a i nc o n t e n ti sd e p i c t e da sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dt h ec u r r e n t s i t u a t i o nb e t w e e nc a p i t a lt r a n s f e ra n dt h ee c o n o m i cg r o w t ho fad u a l e c o n o m i cs y s t e ms i m p l y i nt h es e c o n dc h a p t e r , s o m eb a s i cc o n c e p t sa b o u td y n a m i co p t i m i z a t i o n a n de n d o g e n o u se c o n o m i cg r o w t ha r ei n t r o d u c e d ，w h i c hc o n s t i t u t et h e f o u n d a t i o nt h e o r yo ft h i sp a p e r i nt h et h i r dc h a p t e r , b ya b s o r b st h ei d e ao fe n d o g e n o u sg r o w t ht h e o r y , w ee s t a b l i s ha ne c o n o m i cg r o w t hm o d e lw i t he n d o g e n o u sc a p i t a li n v e s t m e n t ， t o w a r d st h ea g r i c u l t u r a ld e p a r t m e n ti nt h ed u a ls y s t e m b yu s i n gt h em e t h o d o fd y n a m i co p t i m i z a t i o n ，w eg e tat w od i m e n s i o n a ld y n a m i cs y s t e m ，t h a n a n a l y z et h i ss y s t e mi no r d e rt og e tt h ec o n d i t i o nw h i c h c a nm a k et h es y s t e m s t a b i l i t y f i n a l l y , t h ei n t e r n a lm e c h a n i s mb e t w e e nc a p i t a li n v e s t m e n to ft h e a g r i c u l t u r a ld e p a r t m e n ta n de c o n o m i cg r o w t hi sd i s c u s s e d i nt h ef o u r t hc h a p t e r , t h er e s e a r c hs c o p ee x t e n d e dt ot h ee n t i r ed u a l e c o n o m i cs y s t e m b yd i s c u s s i n gt h ee c o n o m i cg r o w t ho ft h ea g r i c u l t u r a l d e p a r t m e n t a n dt h ei n d u s t r i a l d e p a r t m e n t ，a n dt h e c o n s u m e rb e h a v i o r 江苏大学硕士学位论文 r e s p e c t i v e l y , w ee s t a b l i s had u a le c o n o m i cg r o w t hm o d e lw i t he n d o g e n o u s c a p i t a lt r a n s f e r t h a nd i s c u s st h ec a p i t a la c c u m u l a t i o nr a t ea n dt h eg r o w t h r a t eo fc o n s u m p t i o nt h r o u g ht h em e t h o do fd y n a m i co p t i m i z a t i o na n d h a m i l t o ne q u a t i o n f i n a l l y , w ea n a l y z et h eg r o w t hp a t ha n ds y m m e t r i c e q u i l i b r i u mo ft h em o d e l k e y w o r d s ：e n d o g e n o u s e c o n o m i c g r o w t h ，c a p i t a lt r a n s f e r , d y n a m i c o p t i m i z a t i o n ，s t a b i l i t y , t h ed u a le c o n o m i cs y s t e m 1 i 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 丑住萄 日期：少吖年l j _ j l2 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密日。 学位论文作者龋互後肖 指导撕签名：牺 么卯f 年2 月二7 日力卵甲年层月2 日 江苏大学硕士学位论文 第一章前言 本章对经济增长模型的内生化历程以及发展状况做了总体阐述，同时结合目前 的国际经济背景阐述了本课题的研究内容。 1 1 本课题的研究背景及意义 自亚当斯密的国富论出版以后，经济增长理论为越来越多的经济学家所 关注。研究表明，为了实现有效经济增长，不仅必须持续地进行投资，而且需要采 取合理的投资方式。一方面，投资是推动经济增长的重要力量，另一方面，投资又 受到经济增长绩效的影响和制约。投资方式不仅包括各种形式的物质资本投资，还 包括人力资本和研究开发投资。对于不同经济发展阶段和不同经济发展模式的国家 而言，投资对经济增长的贡献是不同的n 1 ，在发展中国家，投资的贡献比较大。同发 达国家相比，我国的资本密度还比较低，因此，保持大量的有形资本投资，迅速提 高资本密度，对于我国经济增长非常必要。另外，我国目前还存在大量剩余劳动力， 充分利用闲置资源也需要一定数量的有形投资。 中国经济的主要特征是城乡巨大差距的二元经济结构，一般认为船3 ，中国经济的 高速增长发生在传统经济向现代经济的转变过程之中，是伴随着二元经济结构转换 的经济增长。同时，结构的调整又促进了经济的增长。作为一个发展中国家，中国 要实现经济发展，关键是要促进农业劳动力向非农业部门的转移，同时增加对农业 的投入、促进农业技术进步和提高农民收入，实现农业部门和非农业部门的均衡发 展。而二元经济结构转换和经济持续增长的关键则是对农业投入的加大以及资本积 累的加快。其中，二元经济结构的转换以及农村剩余劳动力的转移离不开外部投资的 作用。因此，投资方式的选取变得尤为重要。 2 0 0 7 年由美国次贷危机引发的经济危机，在席卷全球经济的同时，对中国经济 的发展也带来了不可避免的影响。与此同时全球粮食危机的加重，更刺激了中国作 为一个农业大国对农业发展及经济增长方式的寻求。针对通货膨胀和经济增长趋缓 的双重压力，我国采取了一些灵活从紧的货币政策。其中之一就是鼓励农业生产， 增加农民收入，提高农民消费水平。中国政府一直坚持把全部经济工作转移到以提 高经济效应为中心的轨道上，提出经济建设要从过去的以外延扩大再生产为主转到 江苏大学硕士学位论文 以内涵扩大再生产为主。因此，研究农业部门与非农业部门间资本的转移具有重要 意义。 1 2 。本课题的研究现状 1 2 1 经济增长理论的研究现状 经典的经济学家，如a d a ms m i t h 、d a v i d er e c a r d o 、t h o m a sm a l t h a s 以及r a m s e y e 、y o u n g a e 、sc h u m p t e rj 等都对经济增长理论进行了研究。从经济增长理论的发 展来看，现在经济增长理论源于经济学家r a m s e ye ，r a m s e ye 在1 9 2 8 年发表的文 章中首次采用变分法束考虑消费者跨时的最优行为。在r a m s e y e 之后到2 0 世纪5 0 年 代，经济学家h a r r o d 3 和d o m a r h l 把经济增长的部门与凯恩斯的占典分析结合起来， 他们采用生产部门完全不可替代的生产函数来分析资本积累与经济增长，但他们得 到的资本积累路径是不稳定的。 2 0 世纪6 0 年代，经济学家c a s s 和k o o p m a n s 考虑到消费者、厂商的最优行为， 得到非常丰富的资本存量与消费水平的动态系统9 。另外，k o o p m a n s 和s h e i n k m a n 通过大量工作说明在适当地选择初始的消费水平的条件下存在一条路径，沿着该路 径经济会收敛到均衡点。1 9 6 8 年k u r z 在效用函数中引入资本存量，认识到经济的均 衡点并不是唯一的，经济可能有多个的均衡状况。随着初始的经济参数的不同，经 济会收敛到不同的均衡点。1 9 6 2 年a r r o w 提出了内生增长的概念，开创了研究内生 经济增长的先河。随后在1 9 6 5 年，u z a w a 提出了研究内生经济增长的另一条思路， 即以人力资本为核心。这种思想对“新”增长理论产生了很大的影响，后来许多人 力资本模型都是在这一模型基础上发展起来的。u z a w a 模型的出发点虽然与a r r o w 模型不同，但其经济意义也是将技术进步的部分作用内生化了。 2 0 世纪8 0 年代，经济增长理论有了新的发展，这就是r o m e r 和l u c a s 的内生经 济理论。以r o m e r 、l u c a s 为代表的一批经济学家在新古典增长理论的基础上致力于 技术进步的内生化研究，试图说明经济长期稳定增长的内生机制，取得了理论上的 重大突破，这种以研究内生技术进步为主要特征的增长理论被称为内生经济增长理 论( 又称“新 经济增长理论) 。 内生经济增长理论的出现为经济增长理论带来了新的动力，经济学家致力于将 2 江苏大学硕士学位论文 各种外生变量内生化。人们纷纷采用经济增长理论来研究各种问题，讨论财政政策、 货币政策的制定及其对经济的影响。 l u c a s 模型啪1 通过引进人力资本建设的技术进步方程，将技术进步内生化，强调 了人力资本在经济增长中的作用，认为人力资本建设的效率以及人力的效率，对经 济的持续增长起着至关重要的作用。r o m e r 模型很好的解释了各国经济增长的差异， 人力资本水平越高，总人力资本越丰富的国家，其经济增长率越高，而一些人力资 本水平太低的国家，没有足够的人力资本投入经济活动，经济增长缓慢甚至出现不 增长情况。在2 0 世纪8 0 年代中后期，一批经济学家从经济增长的微观机制入手， 侧重于考察专业化和分工水平的演进与经济增长的关系，建立起了劳动分工演进经 济增长模型。 从最初的技术进步内生化到人口变动内生化，分工内生化，金融因素内生化， 经济增长的内生化理论发展迅速。尽管如此，内生化进程只能改变而不能消除外生 给定的f j 提和变量。内生增长模型还存在着比较严重的缺陷，例如，经济制度对经 济增长的影响还有待于进一步的研究。 1 2 2 二元系统经济增长的研究现状 新古典增长理论嫡1 是关于一元经济结构的增长理论，卢卡斯等人的内生增长理论 修j 下了新古典增长模型，主要是在一元经济的假定下对其全要素生产率的来源提出 了解释，认为经济主体对人力资本投资或是对研究与开发投入是全要素生产率增长 的原因。内生增长理论虽然解释了技术进步的来源，但仍是一元经济框架，仅将眼 光聚焦于非农业部门，没有看到农业部门和产业部门经济行为的差异，同时坚持劳 动力增长是由人口增长外生决定的假定，也没有分析外资流入对二元结构转换和经 济增长的作用。这两种理论均没有分析资本从现代产业部门向传统农业部门转移对 经济增长的贡献，同时也忽略了劳动力在部门问流动对经济增长的作用。 发展经济学家刘易斯、乔根森、费景汉、拉尼斯等人虽然认识到劳动力转移与 经济发展的关系，但没有全面解释劳动力转移、资本转移和经济增长三者的关系阳1 。 2 1 世纪初，陈宗胜等人建立了一个内生农业技术进步的二元经济增长模型，但该模 型仅对农业部门的技术进步内生化，忽略了资本转移对整个二元经济系统的影响。 随后，郭涛、宋德勇等人又提出了一个农村劳动力转移的二元经济内生增长模型口3 ， 3 江苏大学硕士学位论文 他们从二元经济结构转换的角度进行分析，解释了劳动力转移推动经济增长的机制， 同时认识到吸引外资，积累资本对二元经济增长的影响，但对于资本转移促进经济 增长的机制并没有具体分析。 内生增长理论的提出为解决这些问题提供了一个平台，它最重要的贡献在于关 注对于增长有着重要意义的变量，如物质资本投资、人力资本投资，而且描绘了一 个国家通向增长路径的可能性。但是内生增长理论并没有把一切因素都内生化。 c c s a r a t t o 认为陆3 ，内生增长理论可以分为两类：第一类是劳动生产率与资本积累有关， 第二类强调人力资本积累过程。而人力资本和物质资本都是由相同的生产函数生产 出来的。因此，内生增长理论为二元经济系统中资本转移与经济增长关系的研究提 供了坚实的理论基础和分析工具。 1 3 本课题的研究内容 在二元经济结构转换的过程中，将资本转移引入经济增长模型是目前的研究热 点。目前世界粮食问题越来越严重，在不影响产业部门发展的前提下，加大对农业 部门的资本投入，从而促进农业部门技术进步，达到发展农业的目的是当前急需解 决的问题之一。而资本转移对经济增长起作用时何时达到稳定状态以及如何达到稳 定状态是研究的一个难点，并且在资本转移情况下如何使农业部门和产业部门经济 均得以增长并最终使得整个二元经济系统得以稳定增长也是必须要解决的一个问 题，这关系着资本转移在经济增长中的内生性问题。因此，本文在前人研究的基础 上，对以上问题着重进行研究。 本文的主要内容如下： 第一章主要介绍了本课题研究的背景，本课题发展的历史回顾及研究现状。 第二章主要介绍了最优化和内生经济增长的基本概念和基本理论。 第三章把整个经济视为一个封闭的二元系统，在这个经济系统中包含两个部门， 传统的农业部门与现代的产业部门。其中，农业部门通过向产业部门提供剩余劳动 力促进产业部门的发展，而产业部门通过对农业部门的资本投入促进农业部门经济 增长。本章主要研究资本投入对农业部门经济增长的影响，首先建立一个内生资本 转移的增长模型，并通过动态最优化的方法构建一个h a m i l t o n 函数，并得到一个二 维动力系统，再应用雅克比矩阵分析二维系统，最终得到该内生增长模型的稳定性 4 江苏大学硕士学位论文 路径。 第四章在第三章的经济背景下将资本转移内生化，通过对农业部门、产业部门 以及消费者行为的逐一研究，构建了内生资本转移的二元经济增长模型。在本章中 采用最优化理论，得出整个二元经济系统实现均衡增长的条件，即农业部门与产业 部门劳动力的实际工资率应该相等。另外通过构建哈密尔顿函数分析了劳动力转移、 资本转移在二元经济增长中的相互关系，最终阐述了整个二元经济系统的增长路径 以及均衡状态。 5 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念与基本理论 2 1 经济增长相关概念 经济增长是指一个经济所生产的物质产品和劳务在一个相当长的时期内的持续 增长，也即实际总产出的持续增长。 经济学家对经济增长的定义有不同看法1 ，另一种定义认为，经济增长是指按 人口平均计算的实际产出，即人均实际产出的持续增长。这俩种定义对于不同的问 题具有各自的优越性。如果要研究一国经济实力的变化，那么实际总产出的持续增 长就具有重要性。如果要研究人民生活和经济发展水平的提高，那么实际总产出的 增长就具有决定意义。实际上，一国经济实际总产出的增长率与该国人均实际产出 的增长率是密切相关的。容易证明人均实际产出的增长率等于实际总产出的增长率 减去人口的增长率口u 。由于经济增长理论关心的是人们生活水平的提高和经济发展 的目标，因此本文中“经济增长”是指人均产出的持续增长。 内生经济增长是指不依赖于经济外部的力量( 如外生的技术进步、外资等) 的推动， 主要由经济的内在力量( 如内生的技术变化、资本积累等) 推动的长期经济增长。 由于经济增长可以分为，由资本或劳动等要素增长推动的和由技术进步推动的 两种类型，因此内生经济增长也可以分为“要素投入的内生经济增长”和“技术进 步的内生经济增长两种类型，前者主要是有内生储蓄率或内生人口出生率等的增 长模型，后者主要是用“边干边学 、“知识溢出”、“人力资本积累 和“研究 与开发等解释的技术的内生进步模型啪1 。 如果所有变量都以某一固定不变的比率增长或者均为零增长的话，就可以定义 该经济处于“稳态状态增长”。 如果各主要的总量指标变量彼此间保持相同的比例，这样的经济增长称为“平 衡增长。 在大多数增长模型中，稳定状态的路径也是平衡增长的路径，因此在不会混淆 的f j 提下，“平衡增长”和“稳态状态增长 可以互用。 关于经济增长中的“稳定状态 ，索洛曾作过细致的表述b 3 l ：一个经济的增长 如果具有下列六种事实中的前三种( 或前四种) ，则就称该经济增长处于一种“稳 6 江苏大学硕士学位论文 定状态 。 这六方面的事实分别是： 从一个较长的时期看，人均实际产出的增长率是多少具有稳定性的。 实际资本存量的增长率大体上也是稳定的，且其增长率高于劳动投入的增长率， 因此每个人拥有的资本量在一个比较长的时期中也是按一个较为稳定的比率增长。 实际产出的增长率与资本存量的增长率趋于差不多同样的速度，因而，资本 对产出的比率并未表现出一种系统的变化倾向。 除了有时出现一些急剧变化之外，资本的利润率具有一种平均化的倾向，那 种短期的利润率急剧变化往往是与有效需求的急剧变化有关。 人均实际产出的增长率在不同的国家之间是非常不同的。 一种经济中，如利润占收入的比例越高，则投资占产出的比例也越高。 在稳定状态，经济的产出、就业与资本存量的增长都呈指数型，并且资本一产出 比保持不变。所以，一般定义稳定状态是以产出与就业按某种固定比例增长，并且 以净储蓄与净投资占总产出的固定比例为标志的。 2 2 弹性、效用和生产函数 定义2 1 弹性 在经济学上，弹性是一个经济变量对于另一个经济变量的反应的度量瓠。 设一个函数 y = ( x )( 2 1 ) 当x 专x + a x 时，y 专y + 每时，我们定义x 的相对变动为a x x ，y 的相对变动为 a y l y = 矽( x ) 厂( x ) 。因此，得到以下几个定义： ( 一) 函数不可求导情况下的弹性定义 厂( x ) 在点x 的弹性为 e ( 垆鬻= a 酬y i _ _ _ z x = 等= 掣南 其中，可( x ) 为弹性符号，酬x 、缈y 可以理解为x 、y 变动的百分比。 ( 二) 函数可以求导情况下的弹性定义 7 江苏大学硕士学位论文 若可导时，则定义弹性为 卧l i r a 枷l ( 掣南卜； 效用是一个人从商品的消费或活动的举办之中获得的满足程度引。边际效用表 示消费者多消费一单位产品或者服务带来的总效用的变化，它度量了从消费一种商 品的一个额外的数量中所获得的额外的满足。 效用函数有两类，直接效用函数v ( x ) 和间接效用函数v ( p ，m ) 。 直接效用函数u ( x 1 的思想足：只要消费者购买( 消费) 各种商品的数量一定( 而 不管其他相关的经济变量( 如价格向量尸) 如何置定或变动) ，消费者的偏好或效用大 小便唯一地确定。即，确定的消费束x 对应确定的效用函数值u ( x ) 。 间接效用函数v ( p ，m ) 是建立在仅以消费束x 为白变量的直接效用函数u ( x ) 的基础之上的。其思路是：只要消费者面临的商品价格向量p 和消费者预算约束m 两 者一定，消费者在p x = m 约束下，最大化其直接效用函数u ( x ) 的值，此时的最大 u ( x ) 值即是间接效用函数v ( p ，聊) 的函数值。 定义2 2 效用函数 定义消费者的最大效用值函数： v ( p ，y ) 2 警甜( x ) 豇p 。z y ( 2 2 ) j 虬。 ( 2 2 ) 式中的v ( p ，) ，) 被称为问接效用函数。它的性质有： 在p 和y 上是连续的； 关于( p ，y ) 是零次齐次的； 对于y 严格递增，对于p 严格递减； 满足r 。y si d e n t i 哆，即：如果v ( 仍y ) 在点( p 。，y 。) 可导，且皇掣。， 则有：气( p ，y ) = 一 定义2 3 生产函数 8 、1 ，一 一、-，、l 少 少 百万可 翌瓦一 江苏大学硕士学位论文 在宏观经济中经常涉及到要用一个函数来描述厂商的生产过程，我们把这个函数叫 做生产函数陋7 。 生产函数的一般形式为 少= f ( k ，l )( 2 3 ) 生产函数性质如下： 假设产o d y ( t ) f h l - 商投入资本存量k o ) 和劳f r j j j j l ( t ) 来生产，这个过程由函数 y ( t ) = ，( k o ) ，三( f ) ) 来给出。假设函数f ( ) ：rx r 专尺是二阶连续可微的，并且满足 以下条件： f ( o ，l ( t ) ) = 0 ，f ( 1 ( ( t ) ，0 ) = 0 即没有资本投入或者没有劳动力投入都不可能生产出产品。这就是人们通常讲的 “没有免费的午餐”。 生产函数f ( ) 对于变量是非降的，即投入品越多，产出越多；即 o f ( k , l ) o o f ( k , l ) o 8 ka l 生产函数是常数规模回报的，即对任意的元 0 ，有 f ( 州r ( ( f ) ，( f ) ) = f p ) ，肛( f ) ) = 五，饭o ) ，l o ) ) 在连续可微性的假设下，由假设可以得到下面的e u l e r 方程 f ( k ( r ) ，上( ，) ) = t o f ( k , l ) k + o f ( 乩k , l ) 三 e u l e r 方程告诉我们在完全竞争的假设下，具有常数规模回报的厂商的所有 收益被资本回报和工资所瓜分，因此它的极大化利润为零。 生产函数满足i n a d a 条件，即 熙最( k ，三) 2 舰e ( k ，三) = 0 舰r ( k ，) 5 烛e ( k ，三) = 0 0 生产函数对变量是严格凹的，即对任意的不同的生产可行性计划 ( 墨，厶) ，( 吃，l ：) 和任意的a ( o ，1 ) ，有 f ( 2 k 1 ( f ) + ( 1 一旯) 琏( ，) ，兄厶( f ) + ( 1 一五) 厶( ，) ) a f ( k i ，l 1 ) + ( 1 - ) , ) f ( k z ，厶) 因此，在生产函数的严格凹性下，资本存量和劳动力的边际生产率都是递减的。 9 江苏大学硕士学位论文 2 3 稳定性理论和动态最优化 2 3 1 微分方程的稳定性理论 本文我们用到的微分方程的知识主要是均衡点方面的，所以这里我们主要讨论 关于均衡点的一些性质。有了这些性质口副，就可以利用比较静态分析的方法研究当 经济环境改变时，均衡点如何发生变化，从而对经济如何实现增长有一个大致的了 解。 定义2 4 均衡点 考虑线性微分方程组 三q a 2 韶二瑞 i 夕( ，) = 。x ( f ) + 吃：y ( f ) r 定义 + ，y ) 叫做微分系统的均衡点，如果在该点满足戈= 夕= 0 ，均衡点 ，y ) 叫做 渐近稳定的，如果从任意的初始点出发系统的解( z ( f ) ，y ( f ) ) ，满足 ；鳃( 砸) ，y ( f ) ) = ，y ) ；均衡点 ，y + ) 叫做鞍点稳定的，如果存在 ( 0 ) ，y ( o ”，从 它出发的系统的解o ( f ) ，y ( f ) ) 满足；鳜( 砸) ，y ( f ) ) 2 ，y 。) 。 定理2 1 均衡点的判定 记方程组g 砷的系数矩阵为a = ：甜 假设它的特征根为，r 2 。 ，厂2 为实数， ，r e 0 ，均衡点是不稳定的；，i ，1 2 0 ，均衡点是不稳定的；a o 为给定的 七( 丁) e 1 f 丁0 1 1 ( 2 8 b ) ( 2 8 0 ( 2 8 0 江苏大学硕士学位论文 这个模型表示的是一个在约束条件( 2 8 b ) 、( 2 8 c ) 芹h ( 2 8 d ) - f ，最大化目标函数 v ( o ) ，即存0 到丁的连续时间段内的效用流( 或幸福流) 的现值的最优化问题。其中 的尼( f ) ，c ( f ) ，t 】是所诮的“即时幸福函数，在最优增长模型中，它是一个效用函数， 是关于状态变量七( f ) ，控制变量c ( f ) 和时间，的函数，而状态变量和控制变量本身又 都是时问的函数。因此最优化的目标函数是幸福函数v ( ) 在时间区间【o ，丁】上的定积 分。 求解动态最优化问题的简要步骤为： 第一步，构造一个哈密尔顿函数。具体的办法是幸福函数七( f ) ，c ( f ) ，t 】加上拉格 朗同乘数比( f ) 与动态约束方程( 2 8 b ) 式右边的甜七( f ) ，c ( f ) ，t 】的乘积： h = v k ，c ，f 】+ 搿( f ) g k ，c ，t 】 ( 2 9 ) 第二步，求关于控制变量的一阶条件。将哈密尔顿函数日对控制变量c 求偏导， 并令其等于0 ： _ a h ：孚+ 姿：一(210)u 0 _ = 一2 _ + 2弘 o co c 第三步，求关于状态变量的一阶条件。将哈密尔顿函数日对状态变量k 求偏导， 并令其等于拉格朗同乘数“i j f ) 对时问导数的相反数： 豢= 妾+ u 妻一u = + = = 一 i 么1 上 戤茂魂 、7 第四步，求横截性条件。这要分几种不同的情况： 情况一：有限时域，即贿限。在这种情况下，横截性条件即规划期结束时资本 的影子价格u ( t ) 和资本存量忌口) 的乘积为0 ： u ( t ) k f f ) = o( 2 1 2 ) 情况二：约束条件( 2 8 d ) 中有时间折算因子e 1 【r ) 彳时的有限时域情况。这时 候横截性条件为： ：i m 。 u ( t ) 。后( f ) 】- 0 ( 2 1 3 ) 情况三：无上述时间折算因子时的无限时域情况。此时横截性条件为哈密尔顿 函数的极值为0 ： ! i m h ( t ) 】= 0 ( 2 1 4 ) 将( 2 1 0 ) 式、( 2 1 1 ) 式与约束条件( 2 8 b ) 式结合起来，构成一个关于变量z ，和七的 江苏大学硕士学位论文 微分方程组，或者利用( 2 1 0 ) 式将关于u 的一阶微分方程转换为关于c 的一阶微分方 程，从而构成关于变量f 和k 的微分方程组。这两个微分方程构成的微分方程组，加 上由状态变量的初始值给出的初始条件，以及横截性条件( 2 1 2 ) 式、( 2 1 3 ) 式7 p 1 1 ( 2 1 4 ) 式之一给出的终端条件，就确定了符合最优化要求的经济系统及相应的消费和资本 积累的时问路径，以及影子价格口p ) 的时问路径。 2 4 r a m s e y 模型中的内生增长 r a m s e y 模型是最基本的经济增长理论模型，通过它可以解释一些经济现象。本 文中的模型都是在此基础上建立起来的。该模型采用的基本框架是：第一，家庭拥 有经济的资源；第二，厂商利用资源；第三，通过市场调节m 1 。 ( 1 ) 家庭的问题 家庭的问题就是在它的预算约束下，选择其消费路径、资本积累路径，来极大 化其效用，即 受约束于 m a x u = p ( c ( f ) 户咿衍 o 西( f ) = 国( f ) + r ( r ) 口( f ) 一c ( ，) 一n a ( t ) 利用h a m i l t o n 系统求解上述优化问题，得到 以= 三一瓮( ，一p ) 和横截性条件 ；坚瑟 口( ，) e x p 一翼，( v ) 一刀) 咖 = 。 ( 2 ) 厂商的行为 假设生产函数厂( 后) = a k 。此时，厂商利润极大化的最优性条件为 这里因为劳动的边际生产率为零，因此工资为零。 ( 3 ) 均衡 1 3 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 江苏大学硕士学位论文 在均衡时，所有的需求等于供给。包括a = k ，因此有 石= ( 彳一刀一万) 尼一c 圪= 蒜( a - p - 万) 假设效用函数为 甜( c ) = 下c i - b 万- - 1 其中矽 0 为常数，表示消费之间的跨时替代弹性的大小。 由最优条件，很容易求出显示的消费路径 c ( ，) = c ( o ) 口1 疗( 爿一艿一p ) f 其中初始的消费c ( o ) 待定。 这样，为保证积分的收敛性和均衡时消费水平的持续增长，必须假设 a p + g v 似一万一力+ 刀+ 万 前面的不等式保证消费水平的增长率为正，后面保证积分的有界性和横截性条件成 立。 把显示的消费路径代入资本积累方程得到 七( ，) = ( 琊t a n f ) p 肛p 砷+ c ( o ) 鲈州加旷j y( 2 1 7 ) 由横截性条件有 熄i m c o n s t a n t + c ( o ) 伊卵 = o ( 2 1 8 ) 因此，有f ( o ) = 础( o ) 。进一步地，有 c ( f ) = q k ( t ) 由此，知道 以= 尼= 1 o ( a 一万一p )( 2 1 9 ) 同理，可以得到 以= 以= 尼= i o ( a 一万一p ) 1 4 江苏大学硕士学位论文 第三章资本投入下经济增长模型的动态分析 自8 0 年代卢卡斯隋1 在其模型中讨论了人力资本对经济增长的作用开始，经济学 家们开始关注人力资本投入与经济增长的关系。他们假设人力资本的生产在于提高 技术水平，从而产生一种长期增长的机制。近年来，梁鸿等人又在其文章中讨论了 公共财政投入与经济增长的关系。但他们在模型中都排除了对物质资本积累的考虑。 本文在借鉴内生增长理论思想的基础上，将物质资本的投入内生化，建立了一般的 经济增长模型，并对模型进行了动态分析。通过动态最优化的方法，得出一个二维 系统，并对系统进行稳定性分析，最终得出物质资本投入与经济增长的关系。 3 1 模型的建立 假设在一个封闭的二元经济系统中存在着两个部门，传统的农业部门和现代的 产业部门，这两个部门相互影响。其中，农业部门通过向产业部门提供剩余劳动力 促进产业部门的发展，而产业部门通过对农业部门的资本投入促进农业部门经济增 长。农业部门若要均衡发展必须满足一个条件，即农业部门对产业部门劳动力转移 的速度由产业部门对农业部门资本投入的速度决定。现在讨论一般情况，即假定劳 动力转移速度和资本投入增长率相同。假设整个经济系统中全部人口等于全部劳动 力，且人口增长率为疗，设劳动力转移速度是p ( 秒 0 ) 。则 有如下优化问题： m a x j c o “( c 广d s t y = c + ，= k “l p ( 3 1 ) 农：i4 - 8 k 江苏大学硕士学位论文 作h a m i l t o n 函数 日= 甜( c ) p 一+ ( k “l o - c - 1 ) + 如( i + o k ) 其一阶条件为 即 即 即 o h一 = 0 a c c 可e 叫= 五 o h ：0 0 五= 五 豢= 一元 嘲i y + = 一兄 对( 3 2 ) 式两边取对数再求导，得 妻一寺p 由( 3 3 ) 式- ( 3 5 ) 式可得： ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 鲁= 吉( 口丢+ 口一p ) c 3 6 ， 令z = 三，y = i y ，则可得到如下一个关于似y ) 的二维系统： 3 2 模型分析 3 1 1 系统的稳定性 二 x 。屺g x2 一 x 隹 ：z + f 7 r - - 0 v + 1 - o t 9 一旦= z + v + 一o ggg = 8 x 一8 y 一2 , f 1 0 + , f i n ( 3 7 ) ：羔表示增长率，讨论系统( 3 7 ) ，令= g ，= 0 ，可得均衡点： v 。 1 6 江苏大学硕士学位论文 z ：旦+ ( c r - a ) n + 业 口 口 口(38) v：旦+一no-(1-o-)9 r 7 因为规模报酬不变，即口+ = 1 ，0 0 ，均衡点符合 条件。在均衡点处，产出、资本、消费的增长率是正值且与生产关于资本存量k 的 弹性口和劳动力工的弹性，人口增长率刀成难比。因此，投入到农业部门的资本的 弹性和劳动力的弹性越大，则经济增长率越高；人口增长率越高，则经济增长率也 越高。 下面分析系统的稳定性。 定理3 1 当= 盯= 甜，且p 兰尝时，系统( 3 7 ) 在均衡点( x ，) ，) 处是鞍轨稳定 的，其中x ：p + ( 0 - t z ) n + ( o - 1 ) 9 ，y ：旦+ n o - 一( 1 - o - ) o 。 证明：系统( 3 7 ) 的j a c o b i n 矩阵为 f拟+t；。-o)，+坐pp t z - - o x i i 仃仃仃仃 l l p yp x 一2 f l y 一2 p o + p n j 在均衡点 j = x ：p + f ! 二竺! ! + f ! 二! ! 堡 口口口 处，j a c o b i n 矩阵为 v ：旦+ n o 0 - * ) 0 一一。 一p 士( ! 二竺坐 口口 丝+crfln o - 仃) p e 瑾qa 其特征多项式为 其中 o - p o - ( n + o ) + p - a n - o + 知+ 秒 仅o co q 二! ! 丝一丝a n 2 f l o 口口口 肌( a + 2 矽一i p i o n + 以) 名一曰= 。 a ：p , + 一, e n a 一! ! 二! ! 翌a仅口 1 7 江苏大学硕士学位论文 b ：2 f l o ( 旦+ 竺一，z 1 + ，诅+ o - g o a + 坐兰竺二旦a + 秒a 傅口，口盯 当p = 口且秒 0 ，五= - a 一2 f 1 0 0 即系统有一正一负两个特征值。 故在均衡点 x ：旦+ ( ! 二竺坐+ 业 口 掰，、。口 处系统( 3 7 ) 是鞍轨稳定的。 v ：旦+ 竺一生坐 飞 系统( 3 7 ) 存在一个通过均衡点的二维平面，农业部门的经济在此平面上的轨道 收敛于均衡状态，而在平i 面外的轨道则发散至无穷远处，所以政府部门如果想使农 业部门的经济稳定下来，必须采取措施提高产业部门向农业部门投资的转化比率秒， 使农业部门的经济沿此平面运行，保证农业部门经济的稳定发展。而农业部门经济 的稳定发展又可以为全社会经济的稳定发展做出贡献，因此提高秒可以促进整个社会 经济的稳定发展。 下面讨论参数对均衡值的影响： ( 1 ) 当胛变化时对均衡值的影响 当人口增长率疗增大时，x 增大，y 增大，这是显然的。由于人口增长过快， 人口增多，促使消费和投资都随着增加，即c 和k 都增大，所以z 和y 都增大。 ( 2 ) 当护变化时对均衡值的影响 0 增大时，意味着产业部门对农业部门的资本投入增量增大，显然y + 会随之增大， 同时农业部门经济的发展也会在一定程度上推动消费的增加，因此，z + 也会有限度 的增大。 推论资本的边际产出大于0 且递减。 因为产业部门的资本投入是农业部门技术进步的前提，投入的资本越多，技术 进步越快，从而产出越多，当日为0 时，即农业部门的资本增量仅为本部门的投入， 产出在一个较低的状态稳定，当0 逐渐增大时，产出也随之增大。但随着资本投入的 增多，技术进步的增长率达到一定值后将趋于降低，并最终达到一个不变的增长率， 此时农业部门的经济就以一个固定的增长率增长，从而达到了经济增长的稳定状态。 1 8 江苏大学硕士学位论文 另外，模型假定资本投入增长率与劳动力转移率相当，农业部门的劳动力不可能无 限量转出，它必须要满足本部门的生产需要，因此秒达到一定值后将不再增大，由上 分析知9 警时系统趋于稳定。 3 1 2 模型分析 定理3 2 人均资本的增量取决于秒的变化，当0 增大时，| c 也随之增大。 证明：设投资占产出的比例为j ，则有 k = l + o k = s y + e k 又生产函数规模报酬不变，即生产函数具有一次齐次性， 故 y = ，( k ，三) = 三f ( k l ，1 ) = 三f ( k ) k l = 矿( 七) + 觎 又 = 掣= i 三 摹= i 亡叫删) 后以ll 、 因此 正= s