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多重延迟更新风险模型中的破产概率及局部破产概率 摘要 多重延迟更新风险模型中的破产概率及局部破产概率 摘要 破产概率历来被认为是保险数学的重要组成部分从上世纪三十年代 至今，这方面的研究一直都很活跃，并出现了大量的研究成果例如，经 典的更新风险模型的破产概率早已有了比较成熟的结果( 参见v e r a v e r b e k e ( 1 9 7 7 ) 1 1 等) 近年来，人们又开始研究单个延迟的更新风险模型中的破产概 率( 参见t a n da n ds u ( 2 0 0 2 ) 鞠等) ，但研究的主要对象主要集中在重尾索赔 ( 大额) 更新风险模型中，而且一重延迟有时也不能反映复杂的实际情况 本文的第一个目的就是将延迟更新风险模型的延迟个数从1 个推广到任意 有限个，并对轻尾情形的破产概率也作相应的讨论本文的第二章得到了 多重延迟更新风险模型中的破产概率的渐近表达式近年来，人们又对更 新风险模型中的局部破产概率产生了浓厚的兴趣( 参见a s m u s s e n ，f o s s ，a n d k o r s h u n o v ( 2 0 0 3 ) ，尹传存( 2 0 0 4 ) 4 等) ，但目前的研究还仅限于普通或一重 延迟的更新风险模型中本文的第二个目的是将普通或一重延迟的更新风 险模型中的局部破产概率推广到多重延迟更新风险模型中去我们分别得 到了大额索赔和小额索赔的多重延迟更新风险模型的局部破产概率的渐近 表达式作为特例，本文给出了多重延迟的e r l a n g ( n ，a ) 风险模型中局部破 产概率的一个具体的渐近表达式我们将这些内容置于第三章 关键词：多重延迟更新风险模型；大额索赔；破产概率；局部破产概率； 渐近性质 作者：程东亚 指导老师：王岳宝( 教授) 多重延迟更新风险模型中的肚产概率及局部破产概率 a b s t r a c t r u i np r o b a b i l i t i e sa n dl o c a lr u i np r o b a b i l i t i e s i nt h em u l t i d e l a y e dr e n e w a lr i s km o d e l a b s t r a c t r u i np r o b a b i l i t yi st r a d i t i o n a l l yc o n s i d e r e da sp a r to fi n s u r a n c em a t h e m a t i c s a n dh a sb e e na na c t i v ea r e ao fr e s e a r c hf r o m1 9 3 0 sa l lt h ew a yu pt ot o d a y af l o o d o fp a p e r sh a v eb e e np u b l i s h e do nt h i st o p i cs i n c et h e n f o re x a m p l e ，r e s e a r c ho nr u i n p r o b a b i l i t i e si nt h ec l a s s i c a lr e n e w a lr i s km o d e lh a sa l r e a d yb e e nm a t u r e ( s e e e t a 1 ) i nr e c e n ty e a r s ，r u i np r o b a b i l i t i e si nt h ed e l a y e dr e n e w a lr i s km o d e lh a v eb e e n s t u d i e d ( s e ef 2 1 e ta 1 ) h o w e v e r ，t h ea b o v er e s e a r c hh a sb e e nm a i n l yc o n c e n t r a t e do n t h er e n e w a lr i s km o d e lw i t hh e a v y - t a i l e d ( 1 a r g e ) c l a i m s ，m o r o e v e r ，s o m e t i m e so n l ya d e l a y e di n t e r - a r r i v a lt i m ec a nn o tr e f l e c tt h ec o m p l e xa c t u a ls i t u a t i o n t h ef i r s tm o t i v e o ft h ep r e s e n tp a p e ri st oe x t e n dt h en u m b e ro fd e l a y e di n t e r a r r i v a lt i m e ( s 1f r o m1t o a r b i t r a r i l yf i n i t e ，a n dt oi n v e s t i g a t ea s y m p t o t i cb e h a v i o rf o rr u i np r o b a b i l i t i e si nt h e m u l t i - d e l a y e dr e n e w a lr i s km o d e lw i t hl i g h t - t a i l s c h a p t e r2d e l i v e r sa s y m p t o t i cf o r m s f o rr u i np r o b a b i l i t i e si nt h em u l t i d e l a y e dr e n e w a lr i s km o d e lw i t hl a r g ec l a i m sa sw e l l a sl i g h tt a i l s r e c e n t l y ，p a r t i c u l a ri n t e r e s th a sb e e nc o n t r i b u t e dt ol o c a lr u i np r o b a b i l i t i e si nt h er e n e w a lr i s km o d e l ( s e e 3 ，【4 】e ta 1 ) ，b u tt h er e l a t e dr e n e w a lr i s km o d e l u s u a l l yi so r d i n a r yo ro n l yo n + d e l a y e d s ot h es e c o n dm o t i v eo ft h ep r e s e n tp a p e r i st oi n v e s t i g a t ea s y m p t o t i cb e h a v i o rf o rl o c a lr u i np r o b a b i l i t i e sw i t ht h er e n e w a lr i s k m o d e le x t e n d e df r o mo r d i n a r yo ro u e d e l a y e dt om u l t i d e l a y e d w ee s t a b l i s ha s y m p - t o t i ce s t i m a t e sf o rl o c a lr u i np r o b a b i l i t i e si nt h em u l t i - d e l a y e dr e n e w a lr i s km o d e lw i t h l a r g ec l a i m sa sw e l la ss m a l lc l a i m s a sas p e c i a le a s e ，w ed e l i v e rac o n c r e t ea s y m p t o t i c f o r m u l af o rl o c a lr u i np r o b a b i l i t yi nt h em u l t i d e l a y e de r l a n g ( n ，a ) r i s km o d e l t h e s e c o n t e n t sw i l la p p e a ri nc h a p t e r3 k e y w o r d s ：m u l t i d e l a y e dr e n e w a lr i s km o d e l ；l a r g ec l a i m s ；r u i np r o b a b i l i t i e s ；l o c a l r u i np r o b a b i l i t i e s ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r w r i t t e nb yc h e n gd o n g y a s u p e r v i s e db yp r o f ，w a n gy u e b a o 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究t 作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名：牡日期 学位论文使用授权声明 彬t 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的令部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：三匕丝 引川黜：皿 日期：丝竺： 叭c 2 班f 尸 第一章引言 1 1更新风险模型简介 自上世纪三十年代起，人们开始系统地研究保险数学的理论，特别是破 产概率的渐近表达式通常，这方面的研究都是在一定的风险模型中进行 的早期的c r a m 6 r l u n d b e r g 模型的研究已经成熟，此后e s p a r r ea n d e r s e n ( 1 9 5 7 ) 5 】引入了更一般的模型，即普通更新风险模型关于这个模型中破产 概率的研究，见【1 】 e m b r e c h t sa n dv e r a v e r b e k e ( 1 9 8 2 ) 6 】，e m b r e e h t s ，k l i i p p e l b e r g a n dm i k o s c h ( 1 9 9 7 ) 7 ，a s m u s s e n ( 2 0 0 0 ) 1 8 1 等 定义1 1 1 设m 为某一非负整数，称满足如下条件的风险模型为m 重延迟 更新风险模型细一d e l a y e dr e n e w a lr i s km o d e o ： j 索赔额 墨；i 1 是一独立同分布的一i d ，正值随机变量一m j 列，有共 同的分布f 及有限争均值p f 2 索赔时间间隔 k ；i 1 ) 是一个正值舢列，与 x i ；i l 独立其 中， o ， 1 多重延迟更新风险模型中的破产概率及局部破产概率1 2 一些重要的分布族 其中n 是正整数，a 0 ，则称相应的更新模型称为e r l a n gm ，a j 风险模型 更特别地，若n = l ， m ；i 1 服从以a 为核的指数分布，则称相应更新 模型为c r a m d r l u n d b e r g 模型 显然，多重延迟更新风险模型当然是保险金融领域中的一个更为现实 的模型，其中，延迟更新风险模型的定义和讨论见r o s s ( 1 9 8 3 ) 1 9 ，a s m u s s e n ( 1 9 8 7 ) 1 0 等 在对上述模型的研究中，人们始终作如下合理的假设：p = c # g - l t t g 一1 0 ，以保证保险公司不致必然破产，这就是所谓的安全负荷条件( s a f e t yl o a d i n g c o n d i t i o n ) 我们还需给出一些概念和记号在m 重延迟更新风险模型中，记 五= 咒c k ，i21 ，用k 来表示五的分布，i = 1 ，2 ，m ，而用k 来表示 五；i2m + 1 ) 的共同分布又记n ( o ) = 0 ，r ( n ) = 萎z i ，n 1 ，m = s u p r ( n ) 由p 0 及强大数率易知m 是r v ，设其分布为w ，则w 支撑在【0 ，o 。) 上 这时，最终破产概率定义为： 妒( z ) = p ( s ( t ) 茁，对某个t 0 ) = p ( s u p 兄( ( t ) ) z ) 0 = p ( m x ) = 形( $ ) ，z o ，( 1 1 3 ) 其中。是保险公司初始的资本金( i n i t i a lc a p i t a l ) 研究发现，妒( z ) 的渐近性质 和f 及相关分布的性质有密切联系，从而人们引入了若干分布族的概念 1 2一些重要的分布族 以下，若无特别申明，均设r ，v f 的分布为支撑在 0 ，o 。) 上的y ，期望为 肼记矿( z ) = v ( x ，o 。) = 1 一y ( z ) 又记y ”为y 的n 重卷积，其中v “= v ， v + 。为退化到0 的分布令v o ( x ) = y ( 。) y 。( 茁) ，z ( 一o 。，o o ) 此外，本文中所 有极限关系均指。斗0 ( 3 ，并用n ( z ) 一6 ( z ) 来表示拱寸1 e m b r e c h t sa n do m e y ( x 9 8 4 ) t l l 】引入了如下定义： 定义1 2 2 称分布y 或其相应的r ，属于重尾( h e a v y t a i l e d ) 分布族咒，若 对任意a 0 ， e e k = z o o e h d y 。) = o 。 称其它非负分布的全体为轻尾分布族，记作肛 2 多重延迟更新风险模型中的破产概率及局部破产概率 l2 一些重要的分布族 定义1 2 3 称分布y 或其相应的删f 属于控制变化尾( d o m i n a n t e d l yv a r y i n g t a i l e d ) 分布族d ，若对所有的0 y l 绒等价地y = ；，有 1 i ms u p 等 o 。 ( 1 2 2 ) 定义1 2 4 对某个，y20 ，称分布y 或其相应的一，属于c ( ，y ) 族，若 溉! 等高盟= e ，v 对所有的ye ( 一。o ，o 。) 成立( 12 1 3 ) 记分布y 的l a p l a c e s t i e l t j e s ( l - s ) 变换为g v ( s ) = 铲e - 8 y d v ( y ) 定义1 2 5 对某个720 ，称分布y 或其相应的f f 属于5 ( 7 ) 族，若v c ( ，y ) ，夕v ( 一7 ) 0 0 及 溉错- 2 9 小n ( 1 2 4 ) 特别地，当7 = 0 时，分别称c ( o ) 和s ( o ) 为长尾( l o n g - t a i l e d ) 分布族和 次指数( s u b e x p o n e n t i a l ) 分布族，简记为c 和s 它们和d 都是最重要的重 尾分布族k k i p p e l b e r g ( 1 9 8 8 ) 1 2 又引入了一个重要的s 族的子族 定义1 2 6 称分布y 或其相应的r v 属于族，若胪v ( y ) d y o ) ，用虬来表示r ( n ) 一r ( m ) 的分布令，+ ，g + 分别 为r ( n ) 一r ( m ) 的f - s 变换和l s 变换，即，+ ( s ) = 铲e i s ，d 甄( 妒) 又令屈为 z m + 。的f s 变换特别地，当m = 0 时，令 o 。 且；n - 1 p ( 月( 犯) s0 ) n = l o o b = n 1 p ( 兄( n ) o ) n = l 可以证明，当p 0 时，b o o ，从而虬一是一个亏损为1 一e 邶的亏损分 布 1 给出了普通更新风险模型中破产概率的一个重要结果： 定理2 1 a 在普通更新风险模型中，设b 1 或a ( 一竹) = 1 但f 救( - i t ) f o 及f r ( - i 7 ) 0 近年来，人们又开始研究延迟更新风险模型中的破产概率开始的工件 归于障 定理2 1 b 在一重延迟更新风险模型中，若p 0 ，疋口，则 妒( z ) 一p - t f e ( 正) ( 2 1 5 ) 注2 1 3 首先，我们指出偿“j 的右式和俾1 印的右式是相同的其次，定 理2 j b 中条件疋d 寺f e 反之未必成立这样，许多常见的大额索 赔的分布，如重尾w e i b u l l 分布及对数正态分布，都不满足e 口的条件 后来，唐启鹤( 2 0 0 # 1 1 5 1 将f e 口推广到了疋s 孔繁超和曹龙( 2 0 0 s ) 阳， c h e n g 阳d 叫户1 也作了进一步的讨论 然而，上述研究都限于普通更新风险模型或一重延迟的重尾索赔的更 新风险模型中本章的目的在于： ( 1 ) 将延迟的个数从1 扩大到任意有限个； ( 2 ) 对轻尾的多重延迟更新风险模型中的破产概率作相应的讨论 定理2 1 1 在m 重延迟更新风险模型中，若f e s 且p 0 ，则 妒( 石) 一“i 1 - 耳( v ) d y p _ 1 e ( z ) ( 2 1 6 ) 定理2 1 2 在m 量延迟更新风险模型中，若定理牙4 俐的条件成立，则 m 妒( z ) 一a 戊( 一i 托) e “2 ， ( 2 1 ，7 ) ，= 1 5 多重延迟更新风险模型中的破产概率及局部破产概率2 2 常见分布族的一些性质 其中c l ，k 见定理2 a 俐 设眠+ 1 - s u p ( r ( s + 1 ) 一r ( s ) ) 的分布为眠+ 1 1 又记西州= s u p ( r ( s + 1 ) 兄( s ) ) 其中8 1 ，则有 定理2 1 3 在r r t 重延迟更新风险模型中，若定理2 4 例的条件成立，则 f 5 ( 7 ) = k 5 ( 7 ) 亭，o s ( 7 ) 兮w 5 ( 7 ) 且 砂( z ) 一c 2 。g ( x ) 一c 2 。蚰( 吖) f ( z ) ( 2 1 8 ) 其中 c 2 。= c 2 ，。一1 a 。( - i 7 ) + ( w ，2 ( o ) + 9 w 。( 一7 ) ) 9 g 。( c 7 ) ( 9 g ( c ，y ) ) 一1 ，s = 1 ，2 ，一，m ，( 2 1 9 ) 及g = c 2 乳定理2 1 a ( 3 ) 注2 1 4 到目前为止，阳i 鲫中的w 乞( o ) 及9 啦( 一7 ) 还只是理论上的数字， 这正是定理霉3 的不足之处但当m = 1 时，易得 u ，2 ( o ) = e 一口及g w 2 ( 一7 ) = ( e b ( 1 9 + ( 一7 ) ) 一1 ( 2 ，1 1 0 ) 2 2常见分布族的一些性质 为了证明定理2 1 1 到定理2 1 。3 ，我们必须进一步了解有关5 ( 7 ) 族和 c ( 7 ) 族的分布的性质对分布y 及任意常数，y o ，令 氕( v 1 ) = ：【0 ，o 。) - 【0 ，) ；h ( x ) _ + o 。，x - 1 h ( x ) - 0 及 矧j 1 翔胚m 心一 ( 2 2 - 1 ) 命题2 2 1 对某个7 芝0 ，v c ( ，y ) 当且仅当烈( k ，y ) 0 证明：只需证必要性周知，对某个，y 0 ，若v c ( 7 ) ，则若簧器。1 在 的紧集上自动一致( 见【1 3 】及其参考文献) 故对每个竹i ，存在z 。 0 ，当 茁z 。时有 1 2 “s 善舞鲁s1 + 2 - a , 关于训 n - - 致 我们可选择1 z l z 2 及z 。n 2 对所有的n 1 成立当0 曼茁 卫l 时，令h ( x ) = o ；当茁。sz z 。+ l 时，令m z ) = n 显然，h ：【0 ，。) 。【0 ，o 。) 满 6 多重延迟更新风险模型中的破产概率及局部破产概率 2 2 常见分布族的一些性质 足 ( 。) 1 l 及。一1 h ( x ) _ 0 而且，对任意0 1 ，存在，l o ，当扎n o 时， 有2 一n e 对任意的z 。，必存在n 珊使得z 。z z 札十l ，故对所有的 i y i h ( x ) = 亿， ，一t 廿“s 矧e l y vx - 仃托 一 f ) 一 从而h “( k 7 ) ，即觎( k 7 ) 0 孝 命题2 2 2 对某个7 0 ，分布v 5 ( ，y ) 当且仅当v c ( 1 ) 任意一个h “( k 7 ) ，有 仨州等删札 9 v ( 一7 ) 且对 ( 2 2 2 ) 证明：我们首先来证明必要性设对某个，y 0 ，v s ( ，y ) ，则v ( 7 ) 且 g v ( 一7 ) o o 由命题2 2 1 我们有w ( k 7 ) o 对任意一个h 丸( k 7 ) ，由分部 积分， 庐( 垆( + 氐m + 厶矿( 炒+ _ ( z ) ( 2 2 3 ) = 2 ， 2 矿( z 一掣) d y ( 暑，) + 矿( 。一 ( z ) ) 矿( ( z ) ) j 0 + 仨州司矿( z 刊州订 ( 2 2 _ 4 ) 若y 【o ， ( 列，则由h n ( v , - y ) ，我们知当z 充分大时，掣e ，v v ( z ) 2 从而 由控制收敛定理得 l i r a ， 。m 司马铲删 = j 。1 + i m 。v e ，( ，x y - 【。y j ) ，( y ( 卫) ) e 7 ”d y ( ) = 9 y ( 一7 ) ( 2 2 5 ) 而且，由h 饨( v 7 ) ，我们有 坠铲= 骁群驴圳舢 ( 2 。_ 6 ) 综合v s ( 7 ) ，( 2 2 4 ) ，( 2 2 5 ) 及( 2 2 6 ) ，便得( 2 2 2 ) 另一方面，由( 2 2 4 ) ，( 2 2 2 ) ，( 2 2 5 ) 及( 2 2 6 ) 便得充分性 舟 7 多重延迟更新风险模型中的破产概率及局部破产概率2 2 常见分布族的一些性质 命题2 2 3 若对某个720 ，k c ( 7 ) ，i = 1 ，2 ，且可( z ) 与瓦( z ) 弱等价，即 i m i n r 鬻蚀i n s 。u p 器 。， 贝1 ih s ( ，y ) 车 k s ( ，y ) 证明见( 1 2 】_ 或者，由本文的命题2 2 2 ，我们也可以比较容易地证明命题 2 2 3 命题2 , 2 4 若对某个7 之0 ，分布v c ( 7 ) ，分布满足 鞣札 ( 2 2 | 7 ) 瓦( z ) p 其中0 0 时有7 阿0 ，故爿( k 7 ) = 咒( k ，1 ) 群 命题2 2 5 一j 若，y = 0 ，则f s 铮k s ，且其中任意一个可推出 耳( 。) 一驰( c 7 ) f ( z ) ( 2 2 1 0 ) 俐疋s k o 。s ，且其中任意一个可推出 琢( z ) 一卯似) 。瓦( z ) ( 2 2 1 1 ) 俐若7 0 ，f c ( 7 ) ，则偿2 1 a ) 成立且 f s ( 7 ) ： k s ( 7 ) ( 2 2 1 2 ) 多重延迟更新风险模型中的破产概率及局部破产概率 2 3 定理的证明 证明：( 1 ) 对任慈t 0 ，当茁充分大时，我们有 f ( z ) 霄( z ) = z 0 。- f ( x + c y ) d a ( y ) 一f ( z 4 - t ) g ( t c 一1 ) 霄0 + t ) g ( t c 。) 2 - f ( x + 2 t ) ( g ( 把_ 1 ) ) 2 ( 2 2 1 3 ) 由( 2 2 1 3 ) 及t 的任意性，我们有k s f s 且( 2 2 1 0 ) 成立 ( 2 ) 由f u b i n i 定理知对任意t 0 ，当x 充分大时，有 ，。r ， p 瓦( 。) 。上面( 矿) 由2 上上f b + c 。) d g ( z ) 曲joj zj u = 抑z 。e ( z + c z ) d g ( z ) p f g ( ；) 夏扛十t ) ( 2 2 1 4 ) 另一方面，由( 2 , 2 1 4 ) 知 弘凰瓦( z ) sp f 瓦( 茁) p ( g ( 耖1 瓦( z t ) 肛f ( g ( 扩1 瓦( 士一t ) ( 2 2 i 5 ) 由( 2 2 1 4 ) ，( 2 2 1 5 ) 及类似于( 1 ) 的证明我们可得疋s 铮t l o 。s 及 ( 2 2 1 1 ) ( 3 ) 当1 0 时，由f c ( 7 ) 及控制收敛定理易知( 2 2 1 0 ) 成立，从而( 2 2 i 2 ) 也成立社 2 3定理的证明 我们沿用前面的记号，则 妒( 。) = w ( x ) = p ( m 石) = p ( m a x o ，蜀，z l + 西2 。) = p ( z i 。) + 尸( z i z ，z 1 + m 2 。) = 妒l ( 茁) + 妒2 ( z ) ( 2 3 1 ) 现在我们用数学归纳法来证明定理2 1 1 到定理2 1 3 定理2 1 1 的证明由【1 5 的定理4 5 2 知当m = 1 时，( 2 1 6 ) 成立现在假 设ms8 时( 21 6 ) 成立，下面要证m = 8 + 1 时( 2 1 6 ) 仍成立由于尬中 日 多重延迟更新风险模型中的破产概率及局部破产概率2 3 定理的证明 只有s 个延迟，故由归纳假设知 可啄( z ) 一一肛i 1 - 霄( y ) d y p - 1 瓦( z ) ，( 2 3 2 ) 及w 2 s 从而 妒( z ) = 研j = z 。f ( x + c y ) d g ，( ) 耻) = 。( 瓦( z ) ) ( 2 删 由( 2 3 2 ) 及命题2 2 4 ，我们有w ( ) = 爿限) 0 接着，我们用任意一 个h 7 t ( f o ) 来分解如( z ) ： 妒。( 。) ：，。p ( m 2 正g ) k ，( g ) ，一o 。 = ( 芒+ 磊、) 丽( z 刊竭( g ) 毫如l ( x ) + 妒2 2 ( z ) ( 2 3 4 ) 由控制收敛定理及( 2 3 2 ) ， 妒。( z ) = _ 厂：? 而 一) d k l ( y ) 。丽o ) 。一 。耳o ) d 。p 一瓦 ) ( 2 3 5 ) j 一删j t 由分部积分，h 咒( ) ，5 ，( 2 3 ，2 ) 及( 2 3 3 ) ， 也。( z ) 2 厄厩( z y ) d k - ( ) 茎石( ( 瑚而( x - - ( z ) ) + 0 m 厨 一) 溉( ) = 。( 砺( z ) ) + 。( 1 ) 厂。两( z 一，) d w 2 ( ) = o ( 可匠( z ) ) ( 2 3 6 ) 从而由( 2 3 ，3 ) ，( 2 3 5 ) ，( 2 3 4 ) 及( 2 3 6 ) 知( 2 i 6 ) 对m = 8 + 1 也成立挣 定理2 1 2 的证明我们先证m = 1 时( 2 1 7 ) 成立由定理2 1 a ( 2 ) 知 可啄( z ) 一c l e “。( 2 37 ) 及w 2 ( ，c ) 由于屈( 一i 尤) o 。，故卵( k ) o 。，故 妒l ( 2 ) = 可( 石) f ( 茁) = o ( e “。) ( 2 3 8 ) 我们还是把如( 。) 分解成如( 2 3 4 ) 中的如- ( z ) 和忆( z ) ，其中h w ( ，k ) 由 于g f ( - k ) o 。，故a 。( 一i ，c ) o o ，从而 如i ( z ) ：，“扣1 两( z f ) d 凰( 掣) 。c 1 e - 一z ：，( 一i k ) ( 2 3 9 ) 1 n 多重延迟更新风险模型中的破产概率及局部破产概率2 3 定理的证明 由厶，( 一i k ) o o ，我们有 妒z 2 ( z ) = 厩扛一) d - b ) j k ) = o ( 1 ) e 一“。f a ；) # y d k l ( ) = o ( e 一“。)( 2 31 0 ) 由( 2 3 8 ) ，( 2 3 9 ) 及( 2 3 1 0 ) 便知m = l 时( 2 1 ，7 ) 成立 ( 2 1 7 ) 成立，下面去证m = s + 1 时( 2 1 7 ) 也成立类似地， 2 ，s + 1 由于中只有s 个延迟，故由归纳假设知 及c ( 仡) 易知( 2 3 8 ) 依然成立而由( 2 3 1 1 ) ，我们有 及 现假设mss 时 j k | t i x l 。，j = ( 2 3 1 1 ) 如。( 岳) ：m 砺( x - y ) 蛳( ) 。c 1 靠戊( 一i k ) 。 忡d 甄( y ) j 一0 0i o j 一 一d l ，岣( 一i t c ) e 一。， ( 2 3 1 2 ) j = l 5 + 1 r 似。) = o ( 1 ) 里戊( 嘲) e “2 坛8 ”d k l ( ) = 。( e 一。) ( 2 3 a 3 ) 由( 2 3 8 ) ，( 2 3 1 2 ) 及( 2 3 1 3 ) 知m = 8 十1 时( 2 1 7 ) 也成立 非 定理2 1 3 的证明由命题2 2 5 ( 3 ) 知我们只需证明( 2 1 8 ) 中的第一个渐近 关系先证m = 1 时( 2 1 8 ) 成立由f 5 ( 7 ) ，容易知道玛5 ( ，y ) ，j = 1 ，m ， k s ( 1 ) ，甄5 ( ，y ) 及w s ( - y ) 注意到尬中没有延迟，故由k s ( 7 ) 及 定理2 i a ( 3 ) 知 丽( z ) 一q 霄( 兰c 2 0 瓦( 茁) ( 2 , 3 1 4 ) 任取h n ( k ，y ) = n ( w 2 ，7 ) ，我们用此 将妒。( z ) 分解成如( 2 3 4 ) 中的妒2 - ( 正) 和如2 ( z ) 则由( 2 3 1 4 ) ， 咖2 。( z ) ：r m 叫可瓦0 一y ) d k 。( ) 。a ，( 一i v ) 丽( z ) 。q o a 。( 一竹) 蟊( z ) ( 2 3 1 5 )咖。( z ) = 、而( z 一 - ( ) 一a 。( 一丽( z ) 一q o a 。( 一竹) 霄( z ) ( ) e 埘 卜k 州触 q 啄 多重延迟更新风险模型中的破产概率及局部破产概率2 3 定理的证明 仍由( 2 3 1 4 ) 及瓜( 一z 7 ) 知9 ( 一7 ) 。由分部积分，v 矿2 s ( 7 ) k 1 5 ( 7 ) ，我仃 有 妒1 忙) + 如2 ( x ) = 1 ( 1 扛) 十0 一y ) d k l ( y ) j f z ) = ( o ) 厨( z ) + 厩忙一九( z ) ) 面( ( 。) ) + 一面( z y ) d w 2 ( y ) r z 一 zj 一( w ( o ) + g w 2 ( 一，y ) ) 石x ) 一( i 仉( o ) + 9 仰l ( 一7 ) ) 9 g 。( c 7 ) ( 9 g ( c 叮) ) 一1 瓦( z )( 2 3 1 6 ) 由( 2 3 1 5 ) 及( 2 3 1 6 ) ， 妒( z ) 一( 岛。血。( 一竹) + ( w ，2 ( o ) + g w 2 ( 一7 ) ) 蚰。( 吖) ( 船( 吖) ) _ 1 ) 耳( z ) 三c 2 l 耳( 。) ，( 2 3 1 7 ) 即m = 1 时( 2 1 8 ) 成立现假设m = s 时( 2 1 8 ) 成立，即m 中正好有s 个 延迟，则 妒( z ) 一( g , s - - 1 知，( 一竹) + ( ( o ) + g w 2 ( ，y ) ) 船，( 吖) ( 卯( 吖) ) _ 1 ) 霄( z ) 兰c 2 ，。耳( z ) ( 2 3 1 8 ) 下面，我们去证明m = 8 + 1 时( 2 1 8 ) 也成立 我们仍将妒。( 。) 分解成如( 2 3 4 ) 中的妒z 。( 盅) 和妒。( z ) 注意到中只有 s 个延迟，故由归纳假设， 可啄( z ) 一q ，。耳( z ) ， 及s ( 7 ) 从而 妒2 1 ( z ) ：，“。两扣一9 ) d k l ( y ) 。c 2 ，。知。( 一i 7 ) 蟊 ) ( 2 3 1 9 ) 仍由分部积分，s ( z ) 及k 1 5 ( 7 ) ，我们有 帅) + 也2 ( z ) = 面( z ) + 而( z y ) d k ( ) = ( o ) 面( 茹) + 砺( 。一 ( z ) ) 瓦( ( 茁) ) 4 - f 一两扛一y ) d w 2 ( y ) ，z n 【$ j 一( w ，2 ( o ) + g w 。( 一7 ) ) 蜀x ) 一( w j ( o ) + 9 ( 一7 ) ) 9 g ，( c 7 ) ( 鲫( 叫) ) - 1 耳( z ) ( 2 3 2 0 ) 由( 2 3 1 9 ) 及( 2 3 2 0 ) ， 妒( z ) 一( q ，。a ，( 一竹) + ( 仰i ( o ) + g w 2 ( 一，y ) ) 9 g ，( 钾) ( 9 g ( 吖) ) - 1 ) 霄( z ) ig 卅1 蟊( z ) ， 即m = 8 + l 时( 2 1 8 ) 也成立群 1 第三章多重延迟更新风险模型中局部破产概率的渐近性 3 1主要结果 近年来，人们又对更新风险模型中的局部破产概率十分感兴趣令0 t 0 ，f ，则对任意0 0 且对任意0 0 ，k 或f 满足定理3 1 b 的 条件，则 p 矿( z + ) 一一, u k l t k ( x ) 一一上i 1 t 耳1 忙) 一一# i i t - f ( x ) ( 3 1 3 ) 1 3 多重延迟更新风险模型中的破产概率及局部破产概率 3l 主要结果 下面的两个问题是很自然的： ( 1 ) 定理3 1 b 的结论能否推广到多重延迟更新风险模型? ( 2 ) 对于轻尾索赔的多重延迟更新风险模型中的局部破产概率，是否也 能得到类似的渐近表达式? 这两个问题的回答都是肯定的设仇1 ，我们有 定理3 1 1 在m 重延迟更新风险模型中，令p 0 ，k 或f 满足定理了j b 的 条件，则 i 矿( 。+ a ) 一一p i l 丁露j ( z ) 一p i l t k ( x ) 一一肛i 1 t f ( x ) ，j = l ，2 ，一，m ( 3 1 4 ) 定理3 1 2 在m 重延迟更新风险模型中，若定理2 a 俐的条件成立，则 w ( x + a ) 一c 1 ( 1 一e 一“t ) i i ，( 一i k ) e 一“( 3 1 5 ) j = l 其中，c i ，k 见定理2 1 a 俐 定理3 1 3 在m 重延迟更新风险模型中，若定理2 a 俐的条件成立，则 f s ( 7 ) 辛k s ( - r ) 甘苁 s ( 7 ) 铮w s ( 7 ) 且 w ( x + a ) 一c 矗( 1 一e - 7 r ) 耳( z ) 一g 。( 1 一e - 口) g g ( c ，y ) f 0 ) ( 3 1 6 ) 其中，倪。，s = 0 ，1 ，m 见定理兽j 3 【4 给出了索赔时间间隔服从e r l a n g 分布，索赔额分布属于s ( 7 ) 族n o ) ， 而且风险过程的l u n d b e r g 指数不存在时e r l a n g ( 礼，a ) 风险模型中破产概率的 局部渐近状态的一个结果若索赔时间间隔 m ；i m + 1 ) 服从e r l a n g ( n ，a ) 分布日，但k 的分布甄h ，i = 1 ，2 ，m ，不妨称这样的风险模型为m 重 延迟的e r l a n g ( n ，a ) 风险模型本文将 4 的结果推广到m 重延迟的e r l a n g ( 吼a ) 风险模型中为此，先介绍一些记号和【4 的结果 对于可积函数g 及复数r ，引入算子t , g ( x ) = 伊e - r ( ”2 ) g ( u ) d u 类似于 d i e k s o na n dh i p p ( 2 0 0 1 ) 1 2 3 对实数r 的证明，对于复数r 1 及n 有 露，霉：夕0 ) = 露。耳。9 ( 茁) = 墨塑垒l 二型，若r 。r h 露- 霉：夕 ) = 露。耳t 9 ( 茁) = 竺型专 二吉! 坠兰，若7 2 r h 及r l2r 2 = r ， 耳。耳。口( z ) = ( y x ) e ”憎1 9 ( y ) d y 1 4 多重延迟更