（概率论与数理统计专业论文）多个污染分布的非参数推断研究.pdf

复旦大学硕士学位论文多个污染分布的非参数推断研究 中文摘要 摘要 女 本文讨论当观察数据来自污染分布f ( x ) = ( 1 一，) ( x ) + ，f ( x ) k lj = l k 2 时的非参数推断问题。第一章绪论介绍了该问题的起源、发展和应用背景。 第二章是本文的主要部分，将讨论这样的问题：当：2 时，即 ，0 ) = ( i 一届一岛) ( x ) + 。( x ) + ：疋( x ) ，其中只( x ) 、吒( x ) 已知，而屈、：、 f o ( x ) a v o n ，在非参数条件下，如何对届、反、f o ( x ) 做出估计。第三章，则为 tt 当k 2 时，( x ) = ( 1 一屈) ( 曲+ 屈f ( 工) ，其中f ( j ) ，i = l ，j i 已知，屈， 忙1 i = l i = l ，女及f 0 ( x ) 未知的非参数条件下，对屈，i = l ，女 f o ( x ) 做出了相合性 估计。第四章，对笫二章和第三章中列举的例子进行了随机模拟，从中分析得出 相应的统计规律。 关键词：污染分布、非参数推断、可识别性、相合估计。 i 复旦大学硕士学位论文多个污染分布的非参数推断研究英文摘要 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e st h en o n p a r a m e t r i ci n f e r e n c ep r o b l e mw h e n t h eo b s e r v a t i o n a ld a t ac o m ef r o mt h ec o n t a m i n a t e d d i s t r i b u t i o n kk ，( x ) = ( 1 一e ，) ) + 届f ( x ) ，w h e n k 2 ，；jj = f c h a p t e ro n ei st h ep r e f a c et h a ti n t r o d u c e st h eo r i g i n ，d e v e l o p m e n t a n da p p l i c a t i o nb a c k g r o u n do ft h ep r o b l e m a n dt h em a i np a r to ft h i s p a p e ri sc h a p t e rt w o ，i nw h i c ha n a l y z e ss u c hq u e s t i o n ：w h e nk = 2 ， f ( x ) = ( 1 一l 一2 ) f o ( z ) + 属e ( x ) + 2 ( x ) ，鼻( 工) a n de ( x ) a r et h e d i s t r i b u t i o n st h a ta r ek n o w n ，w h e r e a s , 6 1 、厦a n d f o ( x ) a r et h ee l e m e n t s w h i c ha r eu n k n o w n o nc o n d i t i o nt h a tt h e r ea r e o n l yn o n p a r a m e t r i c s u p p o s e s ，h o wc a nw ee s t i m a t e , 6 1 、2a n df o ( x ) i nc h a p t e rt h r e e ，w h e n b 2 ，( z ) = ( 1 ) ( x ) + f ( x ) ， f ( z ) ，i = 1 ，k a r e k n o w n ， i = 1 ，。一，ka n df o ( x ) a r eu n k n o w n ，i tg i v e st h ec o n s i s t e n c ye s t i m a t i o n t h e l a s tc h a p t e r , c h a p t e rf o u r , g i v e st h er a n d o ms i m u l a t i o na c c o r d i n gt ot h e e x a m p l e si nc h a p t e rt w o k e y w o r d s ：c o n t a m i n a t e d d i s t r i b u t i o n ，n o n - p a r a m e t r i ci n f e r e n c e ， d i s c e r n a b l i t y , c o n s i s t e n c ye s t i m a t i o n 1 i 复旦大学硕士学位论文多个污染分布的非参数推断研究第一章 第一章绪论 1 1引言 本节是问题的背景叙述，主要援引王巍( 1 9 9 9 ) 的文献。 m c k e n d r i c k ( 1 9 2 6 ) 叙述过一个以2 0 世纪初，某印第安居住地的居民受到 霍乱感染的抽样调查的实例。在此印第安居住地抽查了2 2 3 户居民，其中有1 6 8 户居民未受到感染，而其他居民家庭都或多或少地受到感染，它们被感染的情况 见表1 的第二行。 表1 ：m c k e n d r i c k 问题的真实数据与拟合值 家庭中受感染成员数x 01234 5 总数 家庭数 1 6 83 21 66102 2 3 p o i s s o n 分布拟合值 1 5 1 6 45 8 4 81 1 2 81 4 5 0 0 0 0 0 l 2 2 3 混合分布下的拟合值 1 6 8 o l3 2 5 21 5 8 15 1 21 2 50 2 9 2 2 3 首先想到的是用p o i s s o n 分布来拟合这些数据，从拟合值来看( 表1 的第三 行) ，效果很不理想。：) 己论从z2 一p e a r s o n 统计量( 其值为3 6 7 5 ) 方面考虑，还 是从样本的一阶、二阶原点矩的关系丘- 2 牙2 寺善置= 0 3 8 6 ， 丘z2 吉善? = 0 7 4 4 。若它们来自p 。i s s 。n 分布，应有z2 ? + ，但 ? + a = 0 5 3 5 和乜相差很大) 方面考虑，都不能接受参数分布为p o i s s o n 分布 的假设。 通过进一步研究，m c k e n d r i c k 认为应该把2 2 3 户居民这个总体分成两个子 总体：暴露于霍乱感染风险的家庭和没有暴露于霍乱感染风险的家庭。每个抽到 的个体都可能来自这两个不同的子总体，假定来自前者的概率为1 一口，来自后 者的概率为口。对于前者，家庭中感染霍乱的人口数符合p o i s s o n 分布，记其分 布函数为( x ) ：而后者，感染数恒为零，是个单点分布，记其分布函数为( x ) 。 复旦大学硕士学位论文 多个污染分布的非参数推断研究 箜二芏 这样，家庭中感染霍乱的人口数服从的分布为：f ( x ) = ( 1 一口) e ( x ) + 峨( x ) 。 分布列为： i ( 1 一口) p “+ d ，当 = 0 以拈埘= 1 ( 卜口) 鲁，靶l ，2 _ 3 a d 口和a 一样，是待估参数。此分布拟合的结果见表1 的最后一行，其效果 是十分理想的。 m c k e n d r i c k 问题的出发点是希望建立暴露于霍乱风险的人群中家庭成员 感染数的模型，但得到的数据中却混入了未暴露于霍乱风险的人群的数据，这就 使得推断发生了偏差。或者说，数据受到了污染( c o n t a m i n a t e ) ，此时总体分布 表现为两个分布的混合，f ( x ) = ( 1 一a ) e ( x ) + 峨( x ) 。在这个问题中，e ( x ) 是 未知的参数分布，也是我们主要关心的，a 未知，而疋( x ) 是已知的分布。 此类问题的一般表述为：试验所观察到的数据以概率1 一a 来自分布( x ) ， 以概率a 来自分布f a x ) 。通常我们更关心e ( x ) ，认为数据本应服从该分布，但 却受到了来自分布f 2 ( x ) 的数据的污染，口称为污染系数。 在实际的应用当中，随机变量受到污染的现象是很常见的。类似于 m c k e n d r i c k 的例子，在生产制造过程中，由于生产条件的突发性变化，而使正 常产品中混入了少量劣质产品；或者同一批产品来自几个生产条件有较大差异的 车间；在卫生统计和医学试验中，当考察正常个体的生理指标的分布时，会混入 一些患病的个体，反过来，当考察患病个体的生理指标的分布时，会由于误诊混 入一些正常的个体。事实上，一般观察到的数据都或多或少的受到污染，没有污 染的数据可以看成是口= 0 的特例。污染分布在实际问题中是经常会遇到的问题， 因此有必要对其展开进一步研究。 1 2 污染数据的早期研究 早期对污染数据的研究，主要是从稳健性估计的角度出发。d a v i s ( 1 9 5 2 ) 提出 在寿命试验中，元件寿命可能为两个分布函数的混合，即我们的一些简单分布的 复旦大学硕士学位论文多个污染分布的非参数推断研究 第一章 假定是不一定成立的。h u b e r ( 1 9 8 1 ) 在著作中提出了“被污染的丁f 态分布族”，并讨 论了参数的稳健估计。h u b e r 还定义了分布的占污染邻域( c o n t a m i n a t i o n n e i g h b o r h o o d ) ： e ( 瓦) = f l f = ( 1 一s ) r + 占h ，h m ) 其中m 是某分布族。 设瓦是基于观察构造的估计量，在总体分布为f 时，假定l 满足 上哼r ( f ) ，”( 疋一7 1 ( f ) ) 上兮( o ，a ( f ，d ) 则对该估计量稳健性的两个常用度量是： 最大偏差( m a x i m u m b i a s ) ：b 1 ( 占) = s u p | t ( f ) 一r ( ) i ， f 只 最大方；晕( m a x i m u mv a r i a n c e ) ：v i ( 占) = s u p a ( f ，t ) 。 f e 0 s i m o n o v a ( 1 9 8 0 ) 考虑了对来自分布f a x ) = ( 1 一e ) f o ( x ) + 占g ( x ) 的样本 ，x ：，x 。的位置参数的稳健性估计的问题。这里 o ，1 】，f a x ) 是对称的 分布，g ( x ) 是未知的污染分布，属于一个有一个固定分位数的对称分布族： 互( 七) = g i g ( - x ) = 1 一g ( x ) ，g ( - k ) = f o ( 一七) ， 其中k 0 是一个固定实数。 估计由以下方程的解来定义： w ( x ，一f ) = 0 t = l 甲是一个奇函数，满足一组条件以保证估计的唯一性和渐近正态性。文章 求出了函数的一个形式，使方程能给出一个稳健估计。 讨论污染数据的文献有些侧重于讨论污染系数的估计，通常假定f ( x ) 、 五( x ) 都是已知的，比较有代表性的是f r o m ( 1 9 8 9 ) 和y u ( 1 9 9 1 ) 的文章。 f r o m ( 1 9 8 9 ) 讨论了曩( x ) 、e ( x ) 均为参数已知的指数分布的情形，给出了利 用样本分位数得到的估计。 v u ( 1 9 9 1 ) t , 提出了几种估计污染系数的方法，有矩方法，后验均值的迭代法， 最大似然法等。 复旦大学硕士学位论文多个污染分布蝗! ! 查墼塑堑堑窒 苎二主 湛敏( 1 9 9 0 ) 讨论了分布函数完全已知的条件下，基于截断数据的污染系数的 估计，主要用矩估计方法来求解。 王巍( 1 9 9 9 1 研究了非参数情况下污染分布的统计推断问题，主要讨论了在 ( x ) 、吒( x ) 至多只有一个已知的条件下，如何给出污染系数和未知的分布函 数的估计，其主要内容如下： 假定我们得到x ，x ：，x 。为来自分布f ( x ) = ( 卜a ) 鼻( x ) + 幔( x ) 的i i d 样本，f a x ) 已知，而口、e ( x ) 未知。设工( 1 ) x ( 2 ) x ( 。) 为样本的顺序统 计量，e ( x ) 为由样本构造的经验分布函数，取f ( 。，；) ，d = m ；“】， ： _ n - 1 】+ 1 ，令 d z 女= x ( ( 圳，= 1 ，2 ，m ， 在非参数条件下，给出一个合理的“可识别性”条件，继而构造出了a 和鼻( x ) 的估计： ! + f 吐j 西：l 一， m a x g ( z i ) 一( z ) ：k = 2 ，脚) 最( 石) = 二紫，一o o 0 ，2 + = 2 一s 2 0 ， ( 加巧丢石m 咱喝) 聃) 州卅粥( 圳 容易验证巧( 石) 是分布函数。 则f ( x ) = ( 1 一所一：) f o ( x ) + ? e ( x ) + ：( x ) 。 让q 和s z 在( o ，m i n ( f l 。，：) ) 中变化，从而可得到无穷多组所，以和f o ( x ) 复旦大学硕士学位论文多个污染分布的非参数推断懊窒苎三主 满足f ( j ) = ( 1 一l l - 历) 瑶( x ) + 江( x ) + 历五( x ) 。 为保证在f ( x ) 、( x ) 和，( x ) 都已知时，届、：和f o ( x ) 能够唯一确定 下来，2 2 将引进一个定义，对我们讨论的范围做一个限制。本章将在此条件 下，构造出届、：和y o ( x ) 的相合估计。以下2 2 给出构造届、：和f o ( x ) 的 估计的基本方法及说明，2 3 中证明估计的相合性。 2 2 对届、：和f o ( x ) 的估计 一、基本假定 定义2 1 ： 假定f o ( x ) ，e ( x ) ，( x ) 为分布函数，属，屈 0 ，1 ) 且 0 。+ ： 1 。称f a x ) 关于e ( x ) 及( z ) 在污染分布中是可识别的，若对 v 屈，殷【o ，1 ) ，0 届+ 2 卢：及分布函数巧( x ) ，使得： ( 1 一? 一：) ( x ) + j e ( x ) + 厉( x ) = ( 1 一一：) r ( x ) + 。e ( x ) + 卢：五( x ) 。 ( 2 1 ) 我们将简称“r ( x ) 关于曩( x ) 及f d x ) 在污染分布中是可识别的”为 “f o ( x ) 关于只( x ) 及疋( x ) 可识别”。以下我们将在f a x ) 关于鼻( 石) 及f a x ) 可 识别的前提下对屈、履和气( 了) 作推断。事实上，若e ) 、五( j ) 和，( j ) 都 已知，我们就只需寻找满足f ( x ) = ( 1 一声。一：) 民( x ) + 崩e ( z ) + ：( x ) ，并且 使届、：都达到最大的那一组( 届，：，f a x ) ) ，即 ( l ，2 ) = ( ( m a x l ，m a x # 2 ) ：f ( x ) = ( 1 一l 一2 ) r ( x ) + 届鼻( x ) + 2 ( x ) ) 。 在实际问题中，我们则可以用经验分布函数来代替f ( x 1 。 下面两个引理给出f o ( x ) 关于e ( z ) 及( x ) 可识别的两个等价条件，这两 个条件可方便我们在实际问题中对可识别性进行判别。 墨呈查兰堡兰堡垒查 兰全堕鲞坌查塑! ! 查墼坚堑竺壅! ! 三兰 引理2 1 ：r ( x ) 关于e ( x ) 及疋( x ) 可识别的充要条件是不存在6 、b ：( o ，1 ) 且 0 6 、+ 6 ： l ，使f o ( x ) 一b ，只( x ) 6 ：( x ) 为单调上升的。 证明：先证充分性，反证：设对某届、：【o ，1 ) ，0 。+ f 1 2 ：及分布函数巧( z ) ，使得： ( 1 一声；一声i ) 巧( x ) + p ? ( x ) + 声；( x ) = ( 1 一声。一z ) 矗( x ) + 卢( x ) + f l f d x ) ， 葛羞聃k 驰，+ 击驰， = 聃，+ 毒蕞驰，+ 毒驰， 葛羞聃一篇枷端獬 令6 、= 。一f l 届；- 一f l , ：，6 ：= t 竺专亍， 三= 鲁 鲁r 。) = r ) 一6 、o ) 一如丘 ) ， 上式右端是个单调上升的函数，这和引理的条件矛盾。 再证必要性，同样反证：假定存在b ，6 2 ( 0 ，1 ) 且0 b l + 6 2 1 ，使 凡( x ) 一b ，e ( x ) 一b 2 疋( x ) 为单调上升的。任取届，z 0 ，1 ) 且o 崩+ f 1 2 ：，巧( x ) 是 分布函数，而且有： ( 1 一卢? 一卢：) 巧( x ) 十卢i e ( x ) + 卢；( x ) 多个污染分布的非参数推断研究第二章 - 【i 柏一腹_ ( 1 咱惧) ( b i + b 2 ) 】( 而与) 吲x ) - b i 驰) - b 2 驰) + 【，+ ( 1 一。一：) b l 】曩( x ) + 2 + ( 1 一，一：) b ：】r ( x ) = 【( 1 一一一卢z ) ( 1 - b , - t h ) 】( 了二i _ i ( x ) 一6 _ ( x ) 一6 z 五( x ) 】 + 届+ ( 1 一属一2 ) 6 】，j ( x ) + 殷+ ( 1 一1 一2 ) 6 2 】( x ) = ( 1 一声，一：) ( x ) b l ( x ) 一b 2 ( x ) 】 + 卢t ( x ) + ( 1 一卢。一声：) b l e ( x ) + 2f 2 ( x ) + ( 1 一声一：) 6 ：e ( x ) ( 1 一届一：) o ) + 届e ( x ) + 卢：f 2 ( x ) 与前提条件矛盾! 证毕。 以f 引理2 2 从密度函数蒽义上解释了可识别条件。 引理2 2 ：若分布函数( x ) ，( x ) ，f a x ) 的密度函数 ( x ) ，z ( x ) ， ( x ) 都存在， 则f o ( x ) 满足可识别性的充要条件是：x c v r 0 ，有 i n f 趣! l ：0 ，( 2 2 ) 。z ( x ) + y ( x ) 这里= 缸：z ( x ) o r f a x ) 0 。 证明：必要性，反证：对v y 0 。i n 。f 俐f + o ( ，x 丽) = 6 。 。，则 f a x ) 一b z ( x ) 一b z ( x ) 0 ，其中b 2 = b 1 7 0 ，则r ) 一b 。e o ) 一b ：( x ) 为单 调上升函数，因此r ( x ) 不可识别，矛盾! 充分性，同样反证：假设存在b 。 0 ，b ： 0 ，使( x ) 一b 。f ( x ) 一b 2 疋( x ) 为单 调上升函数，则五( x ) - b , f ，( 曲- b ：f d x ) 0 。与题设矛盾。 此引理说明，若，j ( x ) ，e ( x ) ，( x ) 的密度函数 ( x ) ，一( x ) ， ( x ) 都存在，则 f a x ) 关于鼻( z ) 及( x ) 可识别的充要条件是对任意小的正数6 ，、b ：，f o ( x ) 都 不能覆盖6 i ) + 6 ：以( x ) 。 理论上讲，可识别条件局限了问题讨论的范围，但从以下例子来看，很多 墨兰查兰堡主鲎堡堕墨 兰全望塞坌查竺斐叁墼坚堑! 查! 三兰 常见的污染分布问题都是满足可识别条件的。 修02 1 ： ( 1 ) ( x ) = m ( x - r , u ) ，( x ) = m ( 专芋) ，( x ) = 中i x - # ) ，仃 o 。可以验证 。 盯j 盯 o d f o ( x ) 关于一( z ) 及吒( x ) 可识别。见图2 1 a 。 说明：在图2 1 a 中，f o ( x ) = m ( x ) ，e ( 工) = ( ；) ，( x ) = m ( 言) ，6 - = o - 6 ， b ：= 0 3 ，两条曲线分别为f o ( x ) ，b i f a x ) + 以( x ) 。 ( 2 ) 聃) 叫学) ，坼) 州半) ，碘) 叫孚) ，盯 帅0 0o oo 可以验证f o ( x ) 关于曩( x ) 及e ( x ) 可识别。见图2 1 b 。 说明： 在图2 1 b 中，( x ) = 一1 ) ，e ( x ) = 巾 + 1 ) ，( x ) = 巾 + 2 ) ， b 。= 0 6 ，b ：= 0 3 ，两条曲线分别为f o ( x ) ，b l ( 曲+ 6 ： ( x ) 。 ( 3 ) ( x ) = 1 - e x p ( 一言) ，( x ) = l - e x p ( 一言) ，f 2 ( x ) - l e x p ( 一麦) ， 0 0 , 0 。，0 ： 0 。当疗： 0 ， 吼时，可以验证r ( x ) 关于只 ) 及r ( x ) 可识别。见 图2 1 c 。 说明：在图2 1 c 中， f o ( x ) = i e x p ( 一x ) ，e o ) = 1 - e x p ( 一= x ) ， f 2 ( x ) = l e x p ( 一i x ) ， 6 1 2 0 6 ， 6 ：20 3 ，两条曲线分别为，o ( x ) ， 6 l ：( x ) 十6 2 ( x ) 。 ( 4 ) 聃) 却( x 仃- 。u ) ，胁) _ l q x p ( 一言) ，驰) = ! - e x p ( 一言) 邝。 0 ， 仃n1， 0 1 , 0 ： 0 。可以验证f o ( x ) 关于曩( x ) 及e ( z ) 可识别。见图2 1 d 。 说明：在图2 1 d 中，f j ( x ) = 中( x 一5 ) ，( x ) = 1 一e x p ( 一x ) ，五( x ) = 1 一e x p ( - 喜) ， b = 0 6 ，b ，= 0 3 ，两条曲线分别为矗( x ) ，b 一( x ) + b ，厂，( x ) 。 1 0 复旦大学硕士学位论文多个污染分布的非参数推断研究 第二童 v v 7 - 1 0 - 505 图2 1 a v ， i 八 如- 4- 20246 图21 b 墨兰查芏壁主堂堡垒圭 兰全堕鲞坌查塑! ! 查墼竖堂! 坐l ! ! 三主 12 08 06 04 02 0 08 0 7 o6 05 04 03 02 01 0 0123 45678 91 0 图21 c 0123 45 6 7891 0 图2 l d 1 2 多个污染分布的非参数椎断研究 第二章 、对f l , ，屈和民0 ) 的估计 以下我们讨论如何估计满足f ( x ) = ( 1 一屈一：) 瓦( x ) + 鼠f ( x ) 十：( x ) 并 且关于f ( x ) 及e ( x ) 可识别的( z ) 及相应的届，：的方法。 对于分布函数，( x ) = ( 1 一屈一：) ( x ) + 屈( x ) + ：吒( x ) ，将其前两项合 并，得： f ( x ) = ( 1 一声：) 巧( x ) + 卢：吒( x ) ， ( 2 3 ) 其中， ( 1 一岛) e ( x ) = ( 1 一。一2 ) f a x ) + f l , f , ( x ) ， 咖一矗胤卅尚驰) 。 ( 2 4 ) 假定我们得到的x 。，z ：，x 。为来自，( x ) = ( 1 一卢：) 巧( 曲+ f l ：( z ) 的i i d 样本，记x 五：) 兰x ( 哪为样本的顺序统计量，f a x ) 为由样本构造的经验 分布函数即驰) = 吉喜私，纠。取州哇) ，州扎，吲孚， 令 z 女= x ( ( ) ) ，k = 1 ，2 ，m ， ( 2 5 ) 由 乙 的定义可知 只( 乙) ，| i = 1 , 2 ，珊) 、 e ( 乙) ，t = 1 , 2 ，聊) 都是单调上 升序列。 由 z 。，k = 1 , 2 ，m ，我们构造两个函数( x ) 和( x ) ： f 0 ， f ，( x ) = g ( z 。) ， i g ( z 。) ， 1 0 ， f 2 ( x ) = f 2 ( z “) ， l g ( z 。) ， 当x z ， 当z 女一l x z 女， 当x z 。 当z 0 ( z 。) 一：g ( z 。) ，k = 1 ，2 ，朋) 为单调上升序列) ( 2 9 ) 为使该序列为单i g t 上y + 序列，只需让该序列的差分序列为非负序列即可，故 等价地口：又可定义为： 声：= m a x f 1 2 0 ：g ( z ) 一只( z 。) - p 2 ( 五( z 。) 一g ( z ) ) o ，k = 2 ，州) ( 2 1 0 ) ! 由于( z 。) 一f o ( z 。) ：幽，：2 , 3 ，。，所以声：最简单的定义为： ! + 。 呸_ l 矽：，2 盂面五万瓦戋可i 西丽。( 2 1 1 ) 最后，基于厦的估计历，定义巧( x ) 的估计为： 声( x ) ：塑尘幽，一。 x 0 。此时有： 声? ( x ) = ( 1 一口) ( x ) + 口e ( x ) 在( 2 1 5 ) 式中，碍( x ) 、曩( x ) 是已知的分布函数 未知的分布函数。使用前述方法，同理可得： ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 口是未知的系数，f 0 ( x ) 是 t 4 复旦大学硕士学位论文 多个污染分布的非参数推断研究 笙三主 玎2】 一+ 5 2 盂币雨了i 凌了i 丽m a x ( z ) 一( z 1 ) ：七= 2 ，3 ，用 矗= 立皆，- - 0 0 x 0 0 , 其中万( o ，= 1 ) ，( 21 6 ) 其中彪( x ) 是由样本构造的定( x ) 的经验分布函数。 由( 2 1 4 ) 式，可以得到屈的估计： = 西( 1 一：) 。 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 2 3 证明矗，p ：和冗( x ) 的相合性 此节我们将证明矽。，厦和忘( x ) 的相合性，首先叙述两个经典的结果，并通 过它们来得到两个有用的推论。 引理3 1 ( g l i v e n k o ) ：设一个一维总体有连续分布函数f ( x ) ，z ，：，。为自 这个总体中抽出的样本。以( x ) 记x ，z ：，x 。的经验分布函数，则有： l i m ( s u p1 ( 叻一f ( x ) f ) = 0 ，a s 由此引理可得如下推论。 推论：只( x ) 如上节( 2 6 ) 式所定义，则 ! i m ( s u pl e ( x ) 一f ( x ) j ) = 0 ，a s ( 3 - 1 ) 一 。 证明：由只o ) 的定义， f = 0 ，当一0 0 x z 1 i e ( x ) 一f a x ) i ( z 。) 一只( z 。一。) ，当z 。一。x z 。，女= 2 ，3 ，珊 i 1 一只( z 。) ，当x z 。 ! + ，! + 。 显然，f a z 。) 一f o ( z 。) ：幽，1 一f a z 。) 幽，所以 s u pl 元( z ) 一f ( z ) 1 复旦大学硕士学位论文多个污染分布的非参墼楚堑堑塞苎三主 ! s u pl c ( x ) 一( x ) l + s u pl f ，( x ) 一f ( x ) l 当7 - - - 9o o 。 证毕。 引理3 2 ( d v o r e t z k y - k i e f e r - w o l f o w i t z 公式( 1 9 5 6 ) ) ：条件同引理3 1 p s u pl ( x ) 一f ( x ) l 2 n2 m e x p ( - 2 , a 2 ) 其中0 0 ，s 0 ，有： 】 l i m p ( s u p | f a x ) 一f ( x ) l c ，z 一产) = 0 ( 3 2 ) 一“ 证明：记见= s u pi f a x ) 一f ( x ) i ， 对固定的r 0 ，当i r 时， 一! + r l i m p ( d 。c t l2 ) 令r 专o o ，即得证。 l i m p ( 见2c 胛2 r 5 ) ， l i mm e x p ( 一2 c2 r2 5 1 m = m - e x p ( 一2 c 2 r 2 5 、 引理3 3 ：丘( 工) 如上节( 2 7 ) 式所定义，若f a x ) 为连续分布函数，假定f ( x ) 的 支撑集为连续区间，则 l i m ( s u pi 疋( x ) 一e ( x ) i ) = 0 ，a s ( 3 3 ) 一。 证明：由丘( x ) 的定义，若记z 0 = 一。，z 。= 0 0 ，则： j 丘( x ) 一五( z ) i 疋( 乙) 一吒( z h ) ，当z h x 0 ) ，因为f ( x ) 是分布函数， 所以f ( x ) 是严格单调的，记f1 ( x ) 表示f ( x ) 在其支撑集上的逆函数， g ( z 。) 一g ( z 川) = 6 f _ 1 ( f ( z 。) ) 一f 。1 ( ，( z 川) ) ( 3 5 ) 而 f ( z 。) 一f ( z 。一。) 2s u pi f a x ) 一f ( x ) i + ( z t ) 一f o ( z t 一，) ! + ， ：2s u p1 只( 。) 一f ( x ) l + 竺( 3 6 ) 一 0 ， p u 。 c 十回寸o ，当n j 。 有了以上的准备1 作，就可来证明p 。，夕：和瓦( x ) 的相合性了。为记号不致 混淆，以后我们用p 。，分：。，艺( x ) 和或。( x ) 来表示基于x 。，x ：，x 。得到的届， 度，e ( x ) 和或( x ) 。 定理2 1 ：若f ( x ) = ( 1 一层一屈) 民( x ) + 届( x ) + ：疋( x ) ，其中f o ( x ) 、e ( x ) 及 e ( x ) 都为连续分布函数，f o ( x ) 关于e ( 工) 及五( x ) 在污染分布中是可识别的， f ( x ) 的支撑集为连续区间，则有： i 夕。与。，夕：。乌：，当盯_ o 。时； i i s u pl 或。( x ) 一r ( x ) i 山o ，当n 寸o 。时； 0 ， l i m p 。：。一：i 毋= o ，为此，我们分别证明! i r a p 9 2 。 织+ d = o 和 复旦大学硕士学位论文多个污染分布的非参数推断研究第二章 ! 一i m p f 1 2 。 p 2 0 ，则由 匦小蹦2 u 匦度” ” 所以，必存在占 0 ，使得 p 甄度。 屈+ 万) 0 ， 对于 爱分：。 屈+ 6 ) ，一定有 矽：。) 的子列 度。) ，满足 ! 受矽：。：+ j ，当足够大，由p ：。的取法， 户。( 矿( 反+ 詈) 丘( 加丘( 矿度、丘( 卅【夕：。一( 3 2 + 害) 丘( 班 当k jo 。时，上式左边，由引理3 1 的推论和引理3 3 ，一致收敛到 f ( x ) 一( ：+ 害) 吒( x ) ；等式右边是两个单调上升函数的和，其极限仍为单调上升 函数，而由( 2 3 ) 式，得： f ( 工) 一( 厦+ 享) 疋( x ) = ( 1 一厦) 巧( x ) 一夏喾高吒( 瑚， 将( 2 4 ) 式代入上式，得： f ( x ) 一( 岛+ 霎) e ( x ) = ( 1 _ 屈) ( 1 一r 瓮) ( z ) 一面耋易鼻( x ) 一面主矗疋( x ) 】+ ( 届+ 害) e ( z ) 移项，得： m ) _ ( 1 刚( 1 一矗胤沪高聊) 一焘碘) + ( 届+ 弘( x ) + ( 厦+ 要) e ( x 瞰) 2 ( 1 咱一屈巧) ( 杵) ( 1 一南胤圹赤胁) 一j 石 5 ( x ) 】) + ( ；+ 害) e ) + ( ：+ 害) 五( x ) 复旦大学硕士学位论文多个污染分布的非参数推断研究 第j - 章 令屏= 届+ 享，：= a + 害，使历，历e o ，1 ) ，。 l + 历 1 ，由此可知 0 6 o ，! 鳃p p ：。 ：j = o 。设爿。= 伽：度。 要【e ( z 。) 一e ( z 。一，) 】 惹 1 0 ) ( 3 1 0 ) 式左端2s u pi e ( x ) 一f ( z ) i ，由引理3 2 的推论， p t p 2 n ( p 2 6 = p ( x ，) 叫2 8 u p f 州矿m 她蒜2 ( f l o ，勤一。 1 ：一三如 故p ：。山：，当n 一时成立。 ( 3 1 1 ) 墨兰查堂翌主兰堡垒查 ! 全堕鲞坌查塑! ! 垒墼整堑竺塞j ! 兰 蝴峨炉互警，所以 1 艺一咖) 卜去【i ( x ) - f 一艳旧卅删) 】 去【| 驰( x 州夕z 一喝1 1 e h g l 理31 及声：。的p 收敛性，即得： 一：罂。i 彪( x ) 一巧( x ) i 山o ，当n 一。时。 ( 3 1 2 ) 南r 节r 21 4 、式，知： 口，：卫 1 一： 此时有： e ( x ) = ( 1 一口) r ( x ) + 口e ( x ) 同理可以证得： 与口，当n 0 0 时； 及s u p1 或。( x ) 一f o ( x ) 1 山o ，当”m 时。 由上节( 2 1 8 ) 式，知：a = 盎( 1 一矽：) ，从而： 阮一。l = l a ：( 1 一声：。) - a ( 1 一反) i = l 在：一西：夕：。+ 舀：历一& ：厦一口+ a 猡：l i 西：一口i + 西：i 矽：。一卢：l + ：i & ：一口i 与o ，当n o 。时。 所以，p 。山屈，当门斗o 。时。 证毕。 2 0 墨呈垄堂翌主兰堡堡查 ! 全望鲞坌查竺韭查塾垫塑竺墨! 三兰 第三章含有多个污染分布的非参数推断 本章将讨论总体分布为f ( 。) ：( 1 一k ，) r ( 。) + 圭屈f ( x ) ， 2 时的非参 数推断问题。条件是假定f ( x ) ，i = 1 ，2 ，k 是k 个已知的污染分布 ，i ：1 ，2 ，k 是未知的污染系数，f o ( x ) 是未知的真实分布。本章在一个合理的 条件f ，构造出了，i = 1 , 2 ，k 和f o ( x ) 的相合估计。 3 1 引言 本章我们将考虑这样的问题，假定我们得到的x 。，：，x 。为来自 f ( x ) ：( 1 一k 厉) r ( x ) + 壹屈f ( x ) ， 2 的i i d 样本，f ( x ) ，f = 1 ，2 ，女是女个 i = 1，= l 已知的污染分布，屈，f _ 1 ，2 ，k 是未知的污染系数，f o ( x ) 是未知的真实分布。 在非参数条件下，对，i = 1 , 2 ，k 和f o ( x ) 做出估计。 这个问题的一个实际例子是，假定我们得到了一批产品，已知产品应该来自 某一个新建生产车间，但是在产品运送过程中，却混入了其它原有的k 个生产车 间的产品。我们已经知道那些原有的生产车间生产的产品的指标的分布，却不知 道来自原有车间的产品所占的比例，也不知道新的生产车间产品的指标的分布 现在希望对这些未知的量做出估计。 另一个类似的例子是，假定我们要调查某一个新兴城市居民受某种流行病感 染的感染比例，该指标能一定程度上反映城市的卫生状况，但由于人口流动现象 十分普遍，使得得到的数据中同时包含了众多周边旧城区的居民的感染状况数 据。我们只是知道各旧城区大致的感染比例，但不知道它们在采样中所占的比例。 在这种情况下，要求估计出此新兴城市的流行病感染比例。 复旦大学硕士学位论更多个污染分布的非参数推断研究 第三章 一般情况下，即使f ( x ) 也已知，也不一定能唯一确定屈，i = 1 , 2 ，k 和 瓦( z ) 。为保证在f ) ，i = 1 , 2 ，k 和f ( x ) 都已知时，i = 1 , 2 ，k 和民( x ) 能 够唯一确定下来，3 2 将引进一个定义，对我们讨论的范围做一个限制。本章 将在此条件下，构造出屈，i = 1 ，2 ，k 和f o ( x ) 的相合估计。以下3 2 给出估计