（应用数学专业论文）一般单种群最优捕获策略.pdf

摘要 f i 如何利用有限的可再生资源，实现其可持续开发和利用，已成为从经 济管理学家到生态学者都在关心的问题，历来受到学术界的重视如文献 f 1 - 5 ，描述了许多单种群捕获模型文献 6 】 7 1 研究了一些单种群生态系统 的持久性和全局渐近行为文献 8 1 4 】，研究了一些单种群生态系统的优化 管理问题文献【1 5 1 6 讨论了非自治单种群捕获模型，在周期解存在唯一 及全局渐近稳定前提下，为获得最大可持续捕获量，而得到最优捕获策略 文献【z 7 - 2 0 ，给出了一些单种群增长模型文献 2 1 2 5 】讨论了自治单种群 捕获模型，分别以最大可持续捕获量和最大净利润为管理目标，得到了最 优捕获策略文献f 2 6 - 3 0 ，讨论了自治单种群捕获模型，以最大可持续捕获 量为管理目标，得到了最优捕获策略 目前，几乎所有的最优捕获策略，都是在生产函数对种群密度茁和单 位捕获努力量e 可分离假定条件下得到的，或生产函数与时间变量t 无关 假定条件下得到的，这与客观事实不尽相符在实际生产过程中，情况往 往更加复杂，生产函数来必可以对z 和e 可分离或与时间变量t 无关本 文对生产函数进行了推广，比现有文献中所假定的生产函数更加广泛，使 其具有一般性，使得捕获方式与客观事实更好的接近同时，把种群的增 长方程也一般化对于这样推广后的单种群捕获模型，增加了寻找最优捕 获努力量的难度y 本文是用一种新的方法，讨论了单种群生物资源的捕获 优化问题，分别以单位时间最大可持续捕获量和单位时间最大净利润为管 理目标，得到一类单种群捕获模型的最优捕获策略，所得结果包括了文献 中研究过的几乎所有单种群捕获模型的相应研究结果 本文做如下安排：2 1 给出了所研究的具有一般性质的自治单种群捕 获模型，生产函数为q ( e ，x ) ，使生产函数对种群密度x 和单位捕获努力量 e 可分离时的研究成为本节的特例；2 2 以最大可持续捕获量为管理目标； 2 3 以最大净利润为管理目标；5 2 4 给出了系统的一些特例，并推广了相 应的的研究结果3 1 给出非自治单种群捕获模型；5 3 2 研究系统的全局 渐近稳定性；3 3 以单位时间最大可持续捕获量为管理目标；5 3 4 应用举例 、。， 关键词：单种群捕获模型，最优捕获努力量，生产函数，具有周 期系数的单种群捕获模型，周期角移 1 0 ，f ( o ) = f ( k ) = 0 ，当g k 时，f ( z ) 0 x e o 。七1 假设3 ：q ( o ，e ) = 0 ，q ( x ，o ) = 0 假设4 ：q ( z ，e ) 在兄+ r + 上连续可微，且q ：( z ，e ) 0 ，q e ( x ，e ) o 引理1 若函数z = f ( x ，y ) 在，上可微，且咒( z ，y ) 0 ，则函数 f ( x ，y ) 对于任意固定的z o 关于g ，严格单调增加 引理2 若函数z = f ( x ，y ) 在r + r + 上对于任意固定的x o 关于y 严格单调增加，则函数z = f ( x ，y ) 存在对于t o 关于y 的反函数y = 丘1 ( z ) ， 且反函数y = 丘1 ( z ) 在f ( r + r + ) 上对于任意固定的锄关于。也严格 单调增加 2 引理3 若f ( x ) 满足假设1 一假设2 ，则f ( x ) 在【0 ，叫上必存在最大 值点z + ，且o + 0 证明：由于f ( x ) 满足假设1 ，则f ( x ) 是 0 ，叫上的连续函数根据闭 区间连续函数的最值性，可知f ( x ) 在 0 ，】上能取到最大值点，设为z 又根据假设2 ，f ( x ) 最大值点只能取在( 0 ，k ) 之内，即为。+ 0 ，故只有 z + 0 证毕 注1 若f ( x ) 的最大值点矿不唯一，显然， 0 ，k 】上所有最大值点 z + 构成的集合为紧集，故存在最大的最大值点。+ 5 22 以最大可持续捕获量为管理目标 定理1 设系统( 1 ) 满足假设1 一假设4 ，则系统( 1 ) 存在最优捕获努 力量e + ，使其能够达到最大的可持续捕获量 证明：设系统( 1 ) 的捕获量为r ( e ) = q ( x ，e ) ，相应的均衡解为 z ( t ) 兰z e ( 2 ) 则有 f ( x e ) 一q ( x e ，e ) = o 即为 f ( x e ) = q ( z b ，e ) ( 3 ) 以获得最大可持续捕获量y + ( 驴) 为管理目标，则有 y + ( e + ) = m a x q ( x e ，四) = m a x f ( x e ) ( 4 ) 由引理3 可知，f ( z ) 在【0 ，明上存在最大值点矿，若最大值点z + 不 唯一，则取矿为最大的最大值点，此即为最优种群水平，于是 y + ( e + ) = f ( x + ) = q ( x + ，e + ) ( 5 ) 3 由假设3 知，q ( z ，e + ) 0 ，由假设4 及引理1 ，引理2 ，得 e + = q ( f ( x + ) ) ( 6 ) 由此可以看出，当最大值点不唯一时，却得到相同的捕获策略e + 因 此，从可持续发展角度出发，取最大的最大值点茁+ ，此即为最优种群水平 这就是为什么我们把最优种群水平。+ 取为最大的最大值点的理由( 6 ) 式 所给出的即为系统( 1 ) 的最优捕获努力量证毕 定义1 ：设z 驴是系统( 1 ) 相应于捕获策略e = e + 的种群密度，若 存在6 0 ，使得对任意的x ( x e 一6 ，z e 。) ，有g ( x ) 一q ( z ，e ) 0 ，对任 意的z 0 e ，：+ 6 ) ，有f ( x ) 一q ( x ，e ) 0 ，故有，0e ) 0 ，则单位时间的净利润为 定理3 若系统( 1 ) 满足假设1 一假设4 ，且p 虿豇 可，则系统 州= 黜删删m 嘶q 帮圳) 麦浩一c 浩 2 p 饼( 。，铌1 ( f ( 卫) ) ) + ( p 一醵高) f 如i ( 1 6 ) 由假设2 ，假设4 得，f ( x + ) 0 ，q ：( 。+ ，q ( f ( ) ) ) 0 ，于是 r ，( z + ) 0( 1 8 ) 由( 1 4 ) 式，有 r ( z ) 2 p f 扛) 一! ( q ；1 ) ：( f ( z ) ) f 忙) = ( p 一豳) 一( z ) r ) = ( p 一函而) ( 。) 由假设2 知，f ( 2 ) 话页c i 西，于是 爿( ) o ) q 2 = 。：。( 。+ ， ) ，r x ) = o 由( 1 5 ) ，( 1 8 ) ，( 2 1 ) ，( 2 2 ) 知，q ln q 2 显然，函数r ( x ) 的最大值 点一定在q 。nq 2 中，记为z 是因此，由( 1 2 ) 式得 瑶= q 甜- 1 。r * ) ) ( 2 3 ) 若r ( x ) 的最大值点不唯一，显然，最大值点所构成的集合为紧集， 所以我们能够取使量最小的。太，此时的z 盏即为最优种群水平，再由( 2 3 ) 式所给出的五岳即为使系统( 1 ) 有最大净利润的最优捕获努力量证毕 定理4 设系统( 1 ) 满足假设1 一假设4 ，且f ( 茁盖) 0 c ( o ) = 0 h ( e ) 在r + 上连续可微，且日7 ( e ) o ，h ( o ) = o 设p 百币万c 虿两 这里，q ( x ，e ) = g ( z ) 日( e ) 显然，系统( 2 4 ) 满足假设条件l 一4 根据定理l 可知，系统( 2 4 ) 存在 最优捕获努力量e + ，使其能够达到最大可持续捕获量且由( 6 ) 式可知 肚( 器) ， 若f ( x ) 的最大值点矿不唯一，取x + 为最大的最大值点，此即为最优种 群水平x + 因函数g ( x ) 的单调性，最大值点越大，则对应的投入量越小， 这就是为什么我们把最优种群水平x + 取为最大的最大值点的理由因此再 由上式所给出的e + 即为系统( 2 4 ) 的最优捕获努力量 根据定理2 知，e 具有可操作性，即当捕获努力量为e + 时，既能 保持种群成员的稳定平衡，又能获得最大可持续捕获量 令 r = p g ( x e ) h ( e ) 一c e 把z e 记为z ，有 坼h 即，_ c h - 1 ( 糍) 踯h 耶，_ _ c h - 1 ( 器) 一。 跗，= 南铲 爿( 垆一( ) p - 赢) 由已知条件可得 r ( z + ) 0 r ( ) c ( r z l 4 ( 1 。x ) 。) ) ：) q 2 。 z ：z ( k 、1 而1 ) 5 ，) ，p = p ( 1 + p ) ( ；) 。 + 击( ( 1 卅z 一一半) 扩味 根据定理3 知，q l n n 2 咖函数r ( z ) 的最大值点定在q 。n 吼 中，再根据定理3 知，( 2 5 ) 存在最优捕获努力量e 盖，使其有最大净利润， 且最优捕获努力量由( 2 3 ) 式可得 蠕= 啪m 帅i n n 。 ( r ( 嘲1 。印一( 譬n ) ) 根据定理4 ，若1 一卢 c ( r z l 一卢l n ；) 圭 q 。= 似z ( 知, p = p l n ：一丽c ( ( 1 卅l n ：叫z 1 根据定理3 知，q 1 n q 2 妒函数n ( x ) 的最大值点一定在q 1 n q 2 中，再根据定理3 知，( 2 6 ) 存在最优捕获努力量e ；，使其有最大净利润， 且最优捕获努力量由( 2 3 ) 式可得 磁一t ( 渊) = 。；肥扩川n 麦) ) 1 0 根据定理4 ，若1 + ( p 一1 ) i n 当 o ，则最优捕获策略e 盖具有可操 作性 当o = 1 ，卢= 1 时，即是文献 2 2 】中所研究的捕获模型，由定理1 和 定理3 得，e + = r ) e 矗= r i n ，若r ( x ) 最大值点z 盖不唯一，取使正臻 最小的z 盖，此时的z 瓷即为最优种群水平，再由上式所给出的e ；即为使 此系统有最大净利润的最优捕获努力量再由定理2 和定理4 得，最优捕 获策略e + ，e 盖具有可操作性 例1 3 对于退偿系统的捕获模型 圣( t ) = 胪( 1 一；) 一z 7 ， ( 2 7 ) 其中r ，k ，o ，卢，y 均为正常数 显然，( 2 7 ) 满足假设1 一假设4 ，根据定理1 可知，( 2 7 ) 存在最优捕 获努力量，且由( 6 ) 式可得， 肚( 器) = ( r 卷岳) 6 最优种群水平为 扛是 根据定理2 知，最优捕获策略e + 具有可操作性 令 脚) = p r x a ( 1 一；) - c ( r x 。- 7 ( 1 一秽 设p 南- 令 q 。= z ：z ( o ，) ，p r x a ( 1 一；) c ( r x n - 7 ( 1 一；) ) ；) q 2 = z ：z ( 羔，) ，脚”1 ( 一z ) 2 p z 。+ 南( 。一，y ) 舻十1 一( 。一7 + 1 ) 扩1 ) 根据定理3 知。q n q 2 函数r ( x ) 的最大值点一定在q 1n q 2 中，再根据定理3 知，( 2 7 ) 存在最优捕获努力量e 盖，使其有最大净利润， 且最优捕获努力量由( 2 3 ) 式可得 耻一( 裂) = 帮m 叩i n 。似扩叫一引 _ 根据定理4 ，若一7 0 ，则最优捕获策略e * r 具有可操作性 例1 4 对于临界退1 尝系统时瓶获模型 圣( t ) = r 。( 茹一k 。) ( 1 一；) 一e 。扩， ( 2 8 ) 其中r ，k o ，k ，梳 赤 令 r ( 。) = p r z ( z 一。) ( 1 一；) 一c ( r z l 4 ( z 一) ( 1 一；) ) 令 n - 2 z ：z ( o ，七) ，z ( z 一) ( 1 一；) c ( r z l 8 ( 。一) ( 1 一；) ) ) n z = ? ( i k ，“卅i 3 2 2 + 2 ( 1 + 等) $ 咱) = 苫i 高= i ( ( 1 一卢) ( z k o ) ( k z ) ) z 一4 + ( 一2 + k o ) ) z 1 - q 根据定理3 知，q 1n q 2 函数r ( x ) 的最大值点一定在q 1n q 2 中，再根据定理3 知，( 2 8 ) 存在最优捕获努力量e ；，使其有最大净利润， 且最优捕获努力量由( 2 3 ) 式可得 e 。* = h - i ( 勰) = 球r a 呻i n 水r 乍以一钳) 根据定理4 ，若一1 ) ( 1 一譬) ( 。盖一) + 譬( z 盖一) + z 烈, t z h 一1 ) o ， 则最优捕获努力量e 盖具有可操作性 当o = 1 ，卢= 1 时，即是文献【2 8 】中所研究的捕获模型，由定理1 和 定理3 得， 肚r 坚坐堡耸掣幽 z 盖：( p k + p k o + c ) + f f ( p k + p l k o 矿+ c ) 2 - 3 p ( c k + p k k o + 一k o c ) e 矗= 亡如r k o ) ( k z 夤) 若r ( x ) 最大值点z 夤不唯一，取使最小的茁盖，此时的z 盖即为最 优种群水平，再由上式所给出的e ；即为使此系统有最大净利润的最优捕 获努力量再由定理2 得f 具有可操作性，由定理4 ，若譬( z 盖一) + z 盖( 譬一1 ) o ，则最优捕获策略e 盏具有可操作性 例1 5 对于广义l o g i s t i c 捕获模型 ( 2 9 ) 其中r ，k ，口，卢，7 均为正常数，且0s e 南 令 卟 x ：z e ( 0 p 慧高 c ( 错泖 n 2 = z ：z ( z ，七) ， ! 业 a e a 一1 p k - p x ( 2 + j 3 x ) ： ) z 算 谗p 2 卅伽hw 7 刊尹，) z 一1 + ( 7 一一惫p y ) z 1 1 + ( 卢7 一卢塑：二二 ( 1 + 肛) 2 根据定理3 知，q l n q 2 西函数r ( z ) 的最大值点一定在q 1 n q 2 中，再根据定理3 知，( 2 9 ) 存在最优捕获努力量e 盖，使其有最大净利润， 1 4 磐 且最优捕获努力量由( 2 3 ) 式可得 耻拙n 。 ( 觜) ) 根据定理4 ，若( 7 1 ) ( 一触太2 ) + ( 所一14 - 2 ) z 斋 0 ，则最优捕获 策略e ；具有可操作性 当o = 1 ，卢= 0 ，y = 1 时，方程( 2 9 ) 即是文献【2 3 】中所研究的捕获 模型其结果同例1 1 当o z = 1 ，7 = 1 时，即是文献【2 7 】中所研究的捕获模型，由定理l 和 定理3 得， 肚雨赢，秘! 丛警塑型 。 rp k # + p 一、p 2 + p 卢( c + k p + t i c k ) “确8 幽2 + p 卢( c + k p + 卢c ) 若r ( x ) 最大值点z 夤不唯一，取使晶最小的z 斋，此时的z 盖即为最 优种群水平，再由上式所给出的e 盖即为使此系统有最大净利润的最优捕 获努力量再由定理2 和定理4 得最优捕获策略护，e ；具有可操作性 例2 考虑如下的自治单种群捕获模型 塞= m ) 一志 ( 3 0 ) 其中，即) 满足假龃2 0 与半 这里，q ( 茁，e ) 。r 五篝 面- 生产函数q ( z ，e ) 反映了捕鱼作业中 的这样两个事实：一方面，当出动的鱼船很多时，它们之间会有相互干扰， 即当鱼船以成倍增长时，捕获产量不成倍增长另一方面，当鱼的密度很 大时，鱼船的捕获能力具有饱和效应，此捕获方式更具有实际意义，与事 实更好的相接近 1 5 显然，系统( 3 0 ) 满足假设条件1 4 根话足理1 可知，系统( 3 0 ) 存在 最优捕获努力量e + ，使其能够达到最大可持续捕获量且由( 6 ) 式可知， 肚譬碧a ；筹z 一 茁+ ) 若f ( x ) 的最大值点z + 不唯一，取z + 为最大的最大值点，此即为最 优种群水平z + 根据定理2 知，e + 具有可操作性即当捕获努力量为e + 时，既能 保持种群成员的稳定平衡，又能获得最大可持续捕获量 令 r = p 再丽e x e c e 把x e 记为z ，有 r ) = p f ) 一c ! 芝帮 r ( 七) = 妒( 七) 一。1 f ( k j ) + 丽b k f 矿( k ) = o 删= 笔觜 爿( ) ：( p 一业掣) f ，( 由已知条件可得， r ( 矿) 0 r ( 七) 0 ，对于v0 o ) 是系统( 3 1 ) 的正不变集 证明：对于任意t 【t o ，+ ) 和x ( t o ) r + ，由系统( 3 1 ) 有 邢率( t 0 ) e t o 耐人掣删s ) ) d s 当z ( t o ) 0 时，必有茹( t ) 0 因此系统( 3 1 ) 满足正初值条件的解 在有限时间内将保持恒正，故集合兄+ 关于系统( 3 1 ) 是正不变集证毕 根据系统( 3 1 ) 的生态学的意义，本文考虑它的所有正解，此文限于 在r + 中讨论系统( 3 1 ) ，这样要求任意初始值x 0 0 3 2 全局渐近稳定性 对系统( 3 1 ) 假设下列条件成立 1 8 存在叩( ) ( o ，( t ) ) ，有 f ( t ，2 t ) u ( t ) e ( t ，7 7 ( t ) ) ，( 3 3 ) 其中u ( t ) 为系统( 3 1 ) 的任意正解 定理5 若系统( 3 1 ) 满足假设1 一假设4 ，且满足条件( 3 3 ) ，则系统 ( 3 1 ) 是全局渐近稳定的 证明：设u ( f ) ( 0 ，( f ) ) 是系统( 3 1 ) 的某个正解，x ( t ) 是系统( 3 1 ) 的任意一个满足正初值条件z ( t o ) 0 的解，则可令 面 ) = i n “( t ) ，亳( t ) = i n x ( t )( 3 4 ) 构造l i a p u n o v 函数 v ( t ) = y ( 奎o ) ，豇0 ) ) = l 窑( t ) 一豇( t ) i ( 3 5 ) 沿系统( 3 1 ) 的正解，计算v ( t ) 上右导数，得到 d + v ( t ) = d + i 奎0 ) 一面( t ) i 三：攀二遏产垮州邢h ， 三篓鹫誊墨遨一咖巾 ：型壁! 型必生二型l 竺盟剑鳢上兰业s i g n ( z ( ) 一札( t ) ) x ( t ) u ( t 1 7 ：一盟型亲梨塑趔i x ( t ) 一钍( t ) l 2 一币丽矿一叫一叭l a = 脚( 盟唑群) 。 a 2 卿【可丽万一p “ 由此可知，x ( t ) 在l i a p u n o v 意义下是稳定的 即v ( t ) 是在b o ，十) 上单调递减的，o 曼v ( t ) v ( t o ) ，并且有 + l i + r a 。v ( t ) = v + 由 l i n x ( t ) 一i n u ( t ) i v ( t ) v ( t o ) m a x 叠( t ) ，豇( t ) ) 所以 l z o ) 一u ( t ) = ie x p ( t ) ) 一唧 缸( t ) ) i = e - 7 ( o l 面0 ) 一豇0 ) i 有 丽1 孟( t ) 一面( t ) l 1 茁( t ) 一u ( t ) ism p ( t ) 一冠( t ) i t 其中 衔= e x p 一m 0 ) ，砑= e x p m o ， 则有 d + v ( t ) s - a 鬲v ( t ) 我们可断言v = 0 ，否则v + 0 ，y ( t ) v + 0 ，t t o 所以 d + v ( t ) s o 丽y + 2 0 那么 v ( t ) v ( t o ) 一。而v t ，t t o 当t 券，有 v ( t ) 0 这是与v ( t ) 0 矛盾 所以，有 t + l i + m 。i x ( t ) 一u ( t ) i = 0 - 因此，最终证明了正解u ( t ) 是全局渐近稳定的 5 3 3 以单位时间最大可持续捕获量为管理目标 在这里，我们不妨假设单位时间为一年 定理6 设系统( 3 1 ) 满足假设1 l 假设4 ，且满足条件( 3 3 ) ，则系统 ( 3 1 ) 存在最优捕获努力量e + ( t ) ，使其能够达到最大可持续年捕获量 证明：设系统( 3 1 ) 的捕获量为y ( e ) ，相应的周期解为 x ( t ) 三迭( t ) ( 3 6 ) 则有 f ( t ，( t ) ) 出一e ( t ) 磋( t ) d t = 0 j j 即为 f ( t ，蝗( t ) ) d 江e ( t ) 磋o ) d t ( 3 7 ) 以获得最大可持续年捕获量y + ( f ) 为管理目标，则有 y ( ) = m a x 础) 磋d t = d t = m a x 弘坝啪砒 ( 3 8 ) y ( 0 刖珊)。即，删) d t ( 3 8 ) u 由假设3 可知，f ( t ，z ) 在( t ) 可以取得最大值，于是 y ( e + ) = f，( t ) ) 出= e + ( t ) o ) 出 ( 3 9 ) 由假设3 及( 3 9 ) 知，f ( t ) 为系统( 3 1 ) 的严格正周期解，再由定理 5 知，系统( 3 1 ) 是全局渐近稳定的故f ( t ) 是全局渐近稳定的正周期解， 而正周期解的全局渐近稳定性蕴含着周期正解的唯一性，所以( t ) 是系统 ( 3 1 ) 的唯一全局渐近稳定性的正周期解，此即为最优种群水平把( z ) 代 入系统( 3 1 ) ，得 f 船) = f ( t ，( t ) ) 一e + ( t ) f ( ) 所以 刚= 塑器盟( 4 0 ) 当由( 4 0 ) 式定义的e + ( t ) 非负时，就是系统( 3 1 ) 的最优捕获努力量 最优年捕获量为 f ( t ，( t ) ) 砒 。0 证毕 3 4 应用举例 例3 ：对于g i l p i n 和a y n a l a 的自治系统圣( t ) = r z ( 1 一( ；) 9 ) 一曰。( 其 中n ，p 均为正常数) 所对应的具有周期系数的非自治单种群捕获模型 圣( t ) = r ( t ) g ( 1 一( 南) 。) 一刖z ， ( 4 1 ) 其中r ( t ) ，k ( t ) 为连续可微的1 一周期函数，p 为正常数，e ( o 在r + 上为 非负连续的1 周期函数 显然，f ( t ，x ) 在 馋) = ( 南) 7 ) ， 取得最大值故系统( 4 1 ) 满足假设条件1 一4 和( 3 3 ) 根据定理5 可知， ( t ) 是唯一的全局渐近稳定的正周期解由定理6 可知，系统( 4 1 ) 存在最 优捕获努力量e + ( t ) ，使其能够达到最大可持续年捕获量 当由( 4 0 ) 式定义的 州d = 南m ) 一鬻， 非负时，就是系统( 4 1 ) 的最优捕获策略，且最大可持续年捕获量为 州酬啪= 南心) 琊) 砒 当0 = 1 时，即是文献【1 5 】中所研究的捕获模型，由定理6 得， ) = 掣，刖可1 一铬 当日= 1 时，r ( t ) = r ，k ( t ) = k ，r ，k 是正常数，即是文献【2 3 】中所研究 的捕获模型，由定理6 得，= ；，e + = ； 显然，定理6 推广了文献【t 5 1 1 2 3 】中所研究的相应结果 例4 对于g o m p e r t z 自治系统士( ) = r x i n 兰一e z ( 其中n k 均为 正常数) 所对应的具有周期系数的非自治单种群捕获模型 圣( t ) ：r ( t ) z l n 掣一刖z ， ( 4 2 ) 其中r ( t ) ，k ( t ) 为连续可微的1 一周期函数，e ( t ) 在r + 上为非负连续的1 一 周期函数， 显然，f ( t ，x ) 在 删：塑， 取得最大值故系统( 4 2 ) 满足假设条件1 一4 和( 3 3 ) 根据定理5 可知， f ( f ) 是唯一的全局渐近稳定的正周期解由定理6 可知系统( 4 2 ) 存在最优 捕获努力量e + ( t ) ，使其能够达到最大可持续年捕获量 2 3 当由【4 0 ) 式定义的 f ( t ) 训一鬻， 非负时，就是系统( 4 2 ) 的最优捕获策略，且最大可持续年捕获量为 州酬圳= ；小) 雄) 当r ( t ) = r ，k ( t ) = k ，r ，k 是正常数，即是文献【2 2 】中所研究的捕获模 型，由定理6 得，：生，e + ：r e 显然，定理6 推广了文献【2 2 中所研究的相应结果 例5 对于退偿自治系统圣( t ) r x a ( 1 一i ) 一e x ( ：其d g _ 自，。均为正 常数) 所对应的具有周期系数的非自治单种群捕获模型 圣( t ) = r ( t ) 。( 1 一赢) 一e ( t ) z ， ( 4 3 ) 其中r ( t ) ，k ( t ) 为连续可微的1 一周期函数，q 为正常数，e ( t ) 在r + 上为 非负连续的1 一周期函数 显然，f ( t ，x ) 在 f ( t ) = 熹女( z ) ， 取得最大值故系统( 4 3 ) 满足假设条件1 一4 和( 3 3 ) 根据定理5 可知， f ( ) 是唯一的全局渐近稳定的正周期解由定理6 可知系统( 4 3 ) 存在最优 捕获努力量e + ( t ) ，使其能够达到最大可持续年捕获量 当由( 4 0 ) 式定义的 州= r ( t ) 器t ) ) “一铬， 非负时，就是系统( 4 3 ) 的最优捕获策略，且最大可持续年捕获量为 p ( ) = 若杀啡岫 当。= 1 时，r ( t ) = r ，k ( t ) = k ，r ，k 是正常数，即是文献 2 9 1 ( 3 0 中所 研究的捕获模型，由定理6 得，= r 鼍，f = r 筹宰杀 显然，定理6 推广了文献【2 9 3 0 】中所研究的相应结果 注3 本文所得结果，推广了文献中研究过的几乎所有单种群生态系 统的相应研究结果，并得到了新结果 2 5 参考文献 c - w c l a r k m a t h e m a t i c a lb i o e c o n o m i c s ：t h eo p t i m a lm a n a g e m e n to f r e n e w a b l er e s o u r c e s n e wy o r k 1 9 7 6 2 n de dw i l e y 2 】m u r r yjd m a t h e m a t i c a l b i o l o g y b e r l i n ：s p r i n g e rv e r l a y 1 9 8 9 3 t r o w t m a n l j o h n v a r i a t i o n a lc a l c u l u sa n do p t i m a lc o n t r 0 1 s p r i n g e r n e wy o r k 1 9 9 6 4 马知恩种群生态学的数学建模与研究合肥：安徽教育出版社1 9 9 6 5 陈兰荪数学生态模型与研究方法科学出版社 1 9 8 8 6 t a k e u c h iy c o o p e r a t i v es y s t e m st h e o r ya n dg l o b a ls t a b i l i t yo fd i f f u s i o n m o d e l s a a c t aa p p lm a t h ，( 1 9 8 9 ) 1 4 ( 1 2 ) ，4 9 5 7 7 l uz ，t a k e u c h iy g l o b a la s y m p t o t i cb e h a v i o ri ns i n g l e - s p e c i e sd i s c r e t e d i f l u s i o ns y s t e m s jm a t hb i o l ，1 9 9 3 ，3 2 ，6 7 7 7 【8 e i o l k o ，m a r j u s zk o z l o w s k i s o m eo p t i r n i z a t i o nm o d e l so fg r o w t hi n b i o l o g y i e e et r a n s a u t o m a t c o n t 1 9 9 5 ，4 0 ( 1 0 ) 1 7 7 9 9 】g o hb e a n s a n m a n a g e m e n ta n da n a l y s i so fb i o l o g i c a lp o p u l a t i o n s e i s e v i e rs c i e n t i f i cp u b l i s h i n gc o m p a n y , 1 9 8 0 ，1 2 3 1 3 5 1 0 g v t s r e t k a c o n s t r u c t i o no f a no p t i m a lp o l i c yt a k i n gi n t oa c c o u n te c o l o g i c a lc o n s t r a i n t s ( r u s s i a ) m o d e l i n go fn a t u r a ls y s t e ma n do p t i m a l c o n t r o lp r o b l e n s ( r u s s i a ) ( c h i t a ) ，v o ”n a u k e e ”n o v o s i b i r s k ，1 9 9 5 ，6 5 7 4 1 1 】j a n g e l o v a ，a d i s s h l i e v o p t i m i z a t i o np r o b l e m s f o ro n e i m p u l s i v em o d e l sf r o mp o p u l a t i o nd y n a m i c s n o n l i n e a ra n a l y s i s ，2 0 0 0 ，3 9 ，4 8 3 - 4 9 7 1 2 】l u i sh r a l v a r e z ，l a r r ya s h e p p o p t i m a lh a r v e s t i n go fs t o c h a s t i c a l l y f l u c t u a t i n gp o p u l a t i o n sj o u r n a lo fm a t h e m a t i c a lb i o l o g y , 1 9 9 8 ，3 7 ，1 5 5 1 7 7 【1 3 】z h a n gx i a o y i n g ，s h u a iz h i s h e n g ，w a n gk e o p t i m a li m p u l s i v eh a r v e s t i n gp o l i c yf o rs i n g l ep o p u l a t i o n ，t oa p p e a r ( n o n l i n e a ra n a l y s i s ) 【1 4 李海龙带扩散的l o g i s t i c 单种群模型及其最优收获策略生物数学学 报，1 9 9 9 ，1 4 ( 3 ) ：2 9 3 3 0 0 1 5 m e n gf a n ，k ew a n g o p t i m a lh a r v e s t i n gp o l i c yf o rs i n g ep o p u l a t i o n w i t hp e r i o d i cc o e f f i c i e n t s m a t h e m a t i c a lb i o s c i e n c e s ，1 5 2 ( 1 9 9 8 ) 1 6 5 1 7 7 1 6 李海龙一类具周期系数的单种群模型及其最优收获策略生物数学学 报，1 9 9 9 ，1 4 ( 4 ) ：4 7 9 4 8 3 1 7 v a n c err ，c o d d i n g t o ne a g r o w t h jm a t hb i o l ，1 9 8 9 ，2 7 an o n a u t o n o m o u sm o d e lo fp o p u l a t i o n 4 9 1 5 0 6 【1 8 】c u ij ，c h e nl t h ee