（应用数学专业论文）一类图构形的模元素.pdf

一类鞠牵句形羽摸元素 擒篓 本文主要讨论了超平面构形的模嚣綮及其应用本文共妇四章组 成第1 章我们介绍了超平面构形的背景、主要定理及主要缩论第2 鼹介绥了与模元蠢关的超平瑶构形的基本概念和定理第3 章 正跟了 本文的主霾定理：有撑个顶点的图构形中所含的州个顶点的豳( d i q u e ) 对应蛇越平面的交楚摸元，这也是本文的主要缭谂。并铡月上面谈骥 的定理及8 t a n l e y 定理给出此类图构形的p o i l l c a 厄多项式的一个因式分 解。当并是图擒澎a ( 秭的楱元对，a 懿孙泌c 射6 多项戏的因式 孓声够) ( 一f y 中的麦比鸟搬函数w 通过画出潢足z n 并a 6 的z 对盛 t 皇：r 埔 的部分晗新国求出本章中还举饲说明翻g 的个弦子阁所决定的卅 个顶煮翡趱平瑟浆交不是模元。第4 攀讨论了帮受边的圈构形鹣模 元诚明了带有三条连续负边韵带弩完全图中任何3 条藏边组成的完 全子萄掰辩应超平筒的交建模元蕊任储个数丈予3 静芷边组成酌完 会子豳所对应越平面的交不是模元 关键谰：越平面构形，图构形，模元，p o i n c a r 岳多项式，几何格 英文摘簧 m ( 狂燃薹a re ：麟嚣 醪l sl n a c 毛焱s s0 f 确e 韬斑韬瘩co f 鞭s 氇e s i si s 瓠辩o 髓l 皤h 弹e 孽锵羚 a r r a n g e i n e n t sw i t hm o d u l a fe l e m e n t si nt h e i ri n t e 璐e c d o n1 a t t i c e c h a p t e rl 舞曲r i e f 主n | r 醴珏e 畦鞠醴氇ew o 瞳强ea 嚣a n 窖嘲铀t h y 辨攀l a 珏e s8 砖 m o d u l a re l e m e n t sa r e m a i l l l yi n t r o d u o e di nc h a p t e r2 。i nc ：h a p t e r3 ，a 氆e o 糟mf o f 豁a 西i e 鑫糯n g e 瑚尊n 拄弼 h 狂糟彘ke l 啪e 珏括弧彗沁e n 。髓i s t h e o r e mi so n eo ft h em a i l lr c s l l l t so ft h i st h c s i s ，n p r o v e dt t l a tt h e 斑把r s e e 蠛o no f 酶p c 单l a n 豁妫淝s p 锄d 轴gt o 畦l 。e 豫e so fac l 确u ei na s i m p l eg r a p h i sam o d u l a la sa c o r o l l a r yo fs t a n l e y st h r e m ，a f a c 幻r i z a t i o no ft 沁p o 磷阿y | n i a io v e f i n t e g 哪o f 龇g f a p h i c a r r a n g e m e n ti so b t a i n e d 柚dd e s c d b e di nd e t a i l 1 c 蔗i sam o d u l a re l e m e n t o f 盔，t h e m i 毯u s 髓迅n 讯龇f a 渤d z 拽t i o n o f 龇轴i n c 瘫p o l y n o f n i a l c a i lb eo b t a i n e df r o mt h ep a n i a lh a s s ed i 彬a i n 强e r ei s 垂v e n a ne x a m p l e 斑w h i c hxi sn o 糯o d u l a re v e ni f 苫弧t h ej l l 鼢s e c t i o no fh y p e r p l a n e s c 0 玎e s p o n d i n gt oc h ee d g e so fac h o r d 砒s u b g f a p h 。i nc h a p t e r4 ，t h e i i 英文擒要 m 商u l 鑫rd e 瑶e 丑l s 溅鼬至c 瓣瑚嘿警m e n 姆a s s o d a 您d 话也s l g 辩d 翠a 曲s a r es h l d i e d ni ss h o w nt h a tt h ei n t c r s e c t i o no f h y p e l p l 她e sc 0 玎c s p o n d i l l g t o 搬e 搬糟e 帮i 敷e 。电c s ，w h 女c hf o 燃ac l 遗撇o fl 勤滢ev c 正c e s i s m o d u l a li ti sa l s os h o w - i lm ei i l t e r s e c t i o no f h y p e r p l a n e sc o r r e s p o n d i n gt o t k s i 溉e d g e sw h i 馥孙燃ac l i q 珏e 受越甜i 毪。瑶v e 燕c e si s 蜮 m o d u k i l i 【e yw 羽国s ： b y 转醛a 辩嘲嚣煳e 狂每辨麟e 疆醴g 潲e 鞋l ， m o d u l a re l e m e n t ，p o i l l c a r 6p 0 1 ) r n o i n i a l ， g e o m e t r i cl a t t i c e n l k 符号说明 实数域r 或复数域c k 上的向量空间 k 上的向量空间y 的对偶空间 超平面构形 超平面构形埘q 定义多项式 超平面构形嘶q 庞加莱多项式 与图g 相应的图构形 n 个顶点的完全图 图构形以g ) 的相交格 带号n 点完全图构形 x 的麦比乌斯函数 包含肭超平面的集合 秩函数 v i n ， ，、， ， 矿旷 彳 删峒k郴硒山 藏裒化工丈学擞论文藏刽性声明 。 8 8 1 9 2 s 本人郑黧声龋：职里交赦学位论文，是本人栏龉薅鲍掾导下， 独立迸行研究工作所取得的成果。除文中醴经注明弓l 厢的内容外，本 论文不窘镁僻其链个人残囊钵毽经发袭绒撰写邀黪俸鼹残暴。对本文 的研究做出羹要贡献的个人和集体，均融在文中以明确方式标明。本 久宠金意识舞本声鹳熬法镎络暴痰本人承掇。 幸筝者镰襄：袅旌秘鬻：型壁垒霆 ! 麓 关予论文蠖餍授载瓣说明 学键论文作者蹇全了解稳塞纯工大学京关保餐和使滔学位论文 骢规定，鄹：臻究生在校攻读学佼期阏谂文工终瓣寒：浃产权擎稳震兹 索仡工丈学。学梭存投保留辩尚爨家脊关部门或税鞫遴交论文的复涕 彳牛秘磁焱，兔诲学搜论文被套鞠嚣氆漆；学搜可墩公毒学键论文瓣全 都竣部分内容，可数允许采丽澎印、缩涕或冀它复锖8 手段保存、汇编 学靛谂文。 傈密论文注释：零学位论文满予保密燕围，翟t 乏年解密嚣适熙 本援权书。j 摹傈密论文注释：零学位论文不属于保密蒗围，邋用本授 粳粥。 作者签名： 导炳签名： 螽缝日潮：，至丝量垒毯墨l 鳓 麟：纽牛肚 第一章引育 l 。 潮躲媳莺素 第一章孳l 意 2 0 0 多年前，西方人提出。切馅饼”的问题：一刀可以把馅饼切成两块，两 刃霹臻落墩三袭也戆是霸块，兰刀藐甥多少浃昵? 若秘更多刀程? 筵一簸遮， 实数域上 维向量空间y 中有限个超平面能把y 分成多少块? 很多颦来这些问鼷一直没有褥列很好地解决，直到l 辨3 年，j + k w b o d 硪舻 在美国数学月刊提出了“_ 硪明切刀后的干酪最多商史堡氅二二苎垒块” o 静闯题扶纛使超乎露稳形蛉磷燮褥到了广泛豹注意。 一般地，数域k 上n 维向量空间y 中一个超平面是余维数等于一的仿射子空 问，而有限个超平面的集合称为超平面构形a ( h y p e r p l a n e8 g c m e n t ) 。研究 在y 中豹余集掰的据静结梅是超平面构形的中心课题乏一在实空间中材是连 通分支的分离并，可以计算其连通分支数若在复空间中，i i f 是连通空间，其搦 羚结稼更热霪要。1 9 静年，v l 森o l d 【1 l 遥遘一个毒凌理馨糖造了终凳羚代数夔囊 的分次代数，这个代数现在称为o r l i k _ s o l o m o n 代数口川，记为0 蹦) ；并对辫构 形迁鹱分次霞数戆一个嚣搀：嚣+ ( 掰) 一露 x 董垡型型卿缆塑l 一 i 0 咚，唪* 疆权) 一热) ( 二吃卜屯) a l 咚) 热 ( 1 ) 的零点集合 ( 1 ) 式称为超平面构形棚q 定义多项式 铡垂多矮式q ) 。帮缸+ 势霆义的楚蠡蓬器煮熬三耋线稳簸弱孛心擒 形见图2 1a ) 例2由多项式q 彳) 。掣扛+ y 一1 ) 定义的，以则是三条仿射直线构成的非中心构 形觅强2 1 妨。 b ) 蓬2 1q 名) - 秽冬+ y ) 号联一帮秘+ y 一蛰 例3令织，j ；k e r “一_ ) ，则由多项式q 叫) 一n 一# ，) 定义的以称为辫予 1 日 耱形( b 擐i d8 拜3 珏g e m t ) 。辫子籀形莛孛心秘形。 2 。，2 糨交偏序集筠p o ；n c a r 6 多项式 定义2 1 设是集含p 上的= 元燕系，对任濑的薯y ，z p 满足 ( 1 ) 鑫反靛葺s z ： ( 2 ) 反身性x 5 y ，y g x x y ； ( 3 ) 抟递佼茗孟y ，岁s z 碲工s ：； 则称( p ，妨是一个偏序熊 显然，x y 表示x y 虽x y 期莱对墨y p 且：y ，捌蠲区裁匙义为 【x ，y 卜 z p ：x z ；y 逢空集不愚翔区溺， s 第二章超平面构形的摹车知识 定义2 2设a 是肿一构形，令工一工彳) 是中元素的非空交，其中包括空集的 交k 定义l 上的偏序x s y ，如果z 2 y 即用反包含关系定义工彳) 中的偏序，我 们称工( 彳) 为4 的相交偏序集 对所有的元素x e l ) ，元素矿工( 彳) 满足x y 一般地，如果p 是偏序集， 我们常用6 表示对所有的x p 满足x 6 的元如果x c y 且不存在z e p 满足 z z y ，则称y 覆血，记为z y 设p 是一个偏序集，将其中每一个元素用一个顶点表示，对于x ，y p ，若有 xcy ，就将顶点x 放在顶点y 的下面，如果xt y ，则在r 与y 之问用一条直线段来 连接，这样得到的图就称它为哈斯( h a s s c ) 图嘲 定义2 3设a 是向量空间v r 上的超平面构形，定义偏序集l 上的秩函数为 r c x ) 1 c o d i m x 定义2 4 设4 是超平面构形，令三a 彳) 定义麦比乌斯( m s b i u s ) 函数1 1 】 如，u ：l x l z 如下： n ( x ，y ) 一 川暖，盖) 一1 若x 厶 u ( x ，z ) - 0 若x ，y ，z e l r x y ， ( 2 ) t i 磊r 芦伍，y ) 一0 其它 对并工定义u ( x ) 为u ( x ) ，u ( v ，工) 定义2 5 设a 是超平面构形，l 为相交偏序集，芦为麦比乌斯函数，f 为不定变元 定义4 的庞加莱( p o i n c a r 6 ) 多项式i q 为 ( 删。盖p 伍) ( q 严 ( 3 ) 定义2 6 定义4 的特征多项式 1 a 0 4 4 为 z ，f ) - r ，一t 1 ) - 罗肛僻y “( 。 ( 4 ) 魁 第= 簟超平面构鼯静萋车知识 g 一以# ，若圈g - - ( v ) 满足v 譬如e ，掰称g = 和：避g - 秘，# 的子图。 圈g o ，s ) 中连接顶点吒，h 的一条道路是顶点的序列矿一“，“：，) 使得 氇一硅：“。- v z ，两量对任意鲍i - 1 , 2 , ，n l 鸯啦+ ，) e t 掘祟毪t 霓f 稼此遴 为闭道使得n ，：，“。无重复的道t m 。，“：，h 。) 称为路，闭路称为圈一 条路或豳彀宙的迭数称盏长度。妇果图g = 如s ) 中长度太子3 戆舞都毒弦，则称 g 为弦猷1 3 “1 u ，也赣v 在g 中魑连通的，如果v 1 到心之问有条道路连通关系 是等价关系【1 i 。任意等价类的罨如子图称为睡g 的连遁分支如粜g 只有一个 连通分支，嬲称g 为连通图关于匿的末谱珂参阅 1 6 - 1 8 】 设k 是域r v - u ，毛，是y 的繁。给定图g = ) ，定义一个构形 一姆) - k 瓴一x j ) l i ，j 秘救与鹜g 稳伴的嚣梅澎“3 蟊梅形一嘉是人们广 泛关注的一类构形【1 捌在以上意义下的图构形是辫子构形 蠢一魏一x ；- o l l s l ，s 砖躲予耪形。 带有极边的完垒刚叫带号完套图，记为z 。与带号兜全图相伴的稠构形定义 为一( 毫) 一 融瞧t 簟) | 强 瓣失正娥穗取一，静恙一x l o ；姿蒋 为受逸对取+ ，瓣 而+ z - 0 带号的完全图构肜是某种特殊的中心构骺+ 2 2 2 涟湮划分 竣弘l - 氇乏，磅tz - 琏，熟，鼋 c 妒唾骰转】匏一令翊分，懿条窭辔， 尽n 曰mo 一，) 且埘皿i 陋】记。协c2 f ”1 i 衲e n 的划分 ，则n 。在细分下 是一个偏岿集，焉虽燕一个足僻壤 设g 为有n 个顶点的图，# 一僻，盈，螺) 。州做蕉子g 是连通的划分， 如果g 在每个马上的限制都是连通图从而定义了( g ) ) 巾的一个元 j 一 “，毛) 舻i 若有f ，j ，贝峨= 一 容易证明耳且( g ) ) 向的所宵 ( 关于g ) 连通划分鲍子偏序集n ：之闯存在一个格同梅。但是；哭是。鳇子 第二章超平面相辩的萋本知识 并半格，攀一定为予格 铡鲡：设& = l ，2 ，3 ，4 ，n 。在细分下懿褊昝关系觅翻2 2 霉2 2h 。懿掊缒稿牟燕系 连通阁g 及其相变格的偏序头系如图2 3 24 3 嘲2 3 图g 殷其相交格k 的偏序关系 由匿2 ，2 及图2 。3 可知，在揍珏。中，1 2 | 3 与1 3 4 1 2 瓣公共下爨楚1 4 | 2 3 ， 而k 中1 2 4 i3 与1 3 4 1 2 的公共下界不是1 4 i2 3 所以在两个格中的交不一样，故 磊不是珑瓣子格。 众所周知，。中的划分j r 是横元当且仪当日最多只脊一个非单点榘的块聊。 餐是，对藏。中弱摸元g ，帮霞z 楚美于g 豹连逶麓势，也不一定是珏：s 一连蹿羚 o 第= 章超平面构形的基本知识 的模元( 见第三章例4 ) 2 3 超可解构形与自由构形 设是一中心构形且r ( 彳) 一f ，如果( 句有模元极大链 y x o 五 五i r ， 则称是超可解的【1 4 2 1 。i 设s - s 缈) 是y 的对偶空间y 上的对称代数令d 吼岱) 为k 一线性映射 8 ：s 一5 的集合，满足p ( 唐) - ，日伯) + g 口( ，) ，g s ，d e 飞僻) 中的元素叫做k 上s 的导子 对任意，s ，定义 d ( ，) - p d ) i 口( ，) 芦) ， d ( ，) 是d 吼 ) 的争子模设艉矿中一构形，定义多项式为q 4 ) 丌口。， 月一 其中日一k e 口。) 定义彳导子模为d 彳) 一d ( q 彳) ) 如果d 是s 上的自由 模，则称4 为自由构形【1 捌 本文中出现的关于构形的其它术语、概念和没有证明的结论都可以在【l 】中找 到解释 1 0 第三章一类图构形的模元素 在4 任取两边，不妨设为墨一一0 ，。j 一- 0 ( 1 s f ，s n 一1 i 一，) ，则有 彳，n 彳y 一中在4 任取两条以上的边，都有彳，n 彳，一垂所以，对于满足 4 n 4 - m 情形，都有( 5 ) 式成立，故x 是模元故命题1 得证 3 2 带模元的图构形庞加莱多项式的计算方法 满足定理1 中条件的圈构形的p 0 硫a r 6 多项式为 ( a ( g ) ，t ) = 0 4 ( i i ，t ) p ( t ) 其中p ( f ) 一p ( z ) ( 一r ) “引 所以要求此类图构形的p o i n c 耐多项式，只需求出跗即可 定理2 设g 为有h 个顶点的简单图，g 含有一个子图蜀。，它是有m 个顶点的 完全图则一4 的庞加莱多项式的因式h f ) 一 p ( z ) ( - f ) 唯中的m 6 b i u s 函数 可通过画出构形的部分哈斯( h s e ) 图求出，即画出由z 包z 乐：6 的元所对应 的哈斯图即可 证明对工的m 曲i u s 函数一，若y ，6 ，必有罗卢( z ) 一o 由引理3 知，对于】，e 一 使z y 一6 a z n 4 y m z s y 号4 z 4 r 辛4 x n 4 z - m z z = 6 所以 忙工l zs c z i zsy ，z j = 6 ) c z 工i z s y ) 一 z 工i z s y = z 工i z z = 田，所以 罗芦( z ) - o z t r j 靠f 6 所以满足z 工，盖 z = 6 的p ( z ) 可由不含4 x 的超平面所对应的哈斯图求出 推论由命蹶1 及定理2 可知满足命题l 中模元条件的图构形的庞加莱多项式为 f ( 彳，f ) = 口( k ，f ) p o ) 这里z 是模元，p o ) a 1 + 出其中d 为命题1 中顶点v 的次数【1 5 ，“ 第三章一类图构形的横元素 此结论与用其它方法d , 1 4 计算的结果相同 前面我们指出弦图是超可解的，但对于n 个顶点的简单图构形，其弦其子图 所对应的超平面的交不一定是模元 例4 设4 ( 见图3 5 ) 由下面的超平面构成：日f 7 ：而一而- 0 , i - 2 , 5 ； h l ，：x l x ，一0 ，- 3 , 4 ：上k “：五一+ l = 0 i - 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ，6 ，则此构形是一个简 单图构形设毋由下面的超平面构成： 一屯- o ，一毛一0 ，一矗o ， 屯一而一0 ，而一 - 0 则哂对应一个4 个顶点的弦子图若z 为当中所有超平面 的交，则x 不是模元 证明取一4 且x 中的超平面日打：工2 一工7 0 ；h 5 7 ：一曲- 0 ；日帖：z 4 一南0 ，其 中x - 瓴，而，毛，_ ) i e k 令y h ”n h 卵f h 帖，j l t 申j - d i m o r ) 一4 ， d i m ( x n y ) 一2 ，由于m 一4 ，c l h a y d i m ( x i i y ) 一2 m 一1 ，故( 5 ) 式不成立所 以，x 不是模元 2 4 图3 , 5j 不是构形 的模元 图3 6 带模元构形所对应的图 例5 设一4 ( 见图3 6 ) 由下面的超平面构成：皿，：五一南0 , i 。2 , 5 , 6 ； ：而一卫，- o ，1 s f j s 4 ；j + l ：一玉h 一0i 置4 ，5 ，则此构形是一个简单图构 形 下面利用定理1 及命题1 中讨论的模元计算其p o i i l c 6 多项式 首先用定理1 中的模元计算l o i n c a r 6 多项式 由定理1 知由顶点1 ，2 ，3 ，4 构成的完全子图是构形的模元，由s t a n l e y 定 理有 口( 彳，t ) 一 ，t ) p ( t ) 其中石( k ，f ) 鲁( 1 + f ) ( 1 + 丑) ( 1 + 禽) ，见【1 ，1 3 ，2 4 尸 第三章一类图构形的模元素 又因为由矗中超平面构成的图构形中，由顶点2 ，4 ，5 ，7 构成的子图对应超平 面的交记为x ：，也是构形4 i 中模元所以有 ( “。，f ) - ( t k ，f 皿( f ) ， 由推论知只( r ) 一1 + 丑 而口( k ，f ) 可通过下面的哈斯图( 见图3 8 ) 求出 图3 8 石( k ，r ) 所对应的哈斯图及m 6 b i u s 函数 由上面的哈斯图3 8 可知 石( 工屯，f ) j 1 + 4 f + 2 + 3 f 3 暑( 1 + f ) ( 1 + 童+ 鸳2 ) ， 根据s t a n i e y 定理可知上例中构形4 的p o i n 帕多项式为 石( 彳，f ) 一( 1 + 2 f 1 + 卫+ 2 f x l + f x l + 童+ 丑2 ) 由例5 中的第二种计算方法可知，对于连通图构形我们可以依次找出图构形 及其子构形当中的模元，如果包含顶点数最少的模元的p 0 i n c a r 6 多项式可计算出， 则构形的p 0 i n c a r 6 多项式既可得出，且有 ( 彳，r ) 一( 1 + d ，) ( 1 + d ，) ( 1 + t f 如( o ，f ) 第四章带负边圈构形的模元 第四章带负边图构形的模元 本章讨论带有三条负边的带号完全图的模元我们已经知道若带有三条负 边的带号完全图的三条负边构成圈，其完全子图是模元下面我们讨论带三条 负边的图构形的其它情形 4 1 带三条连续负边的图构形的模元 前面我们介绍了带号完全图构形一个带号完全图中，如果边 f ，n 为带号完 全图的正边，则画成连接顶点f ，的实线段；如果边 i ，j 为带号完全图的负边，则 画成连接顶点f ，j 的虚线段图4 1 为6 个顶点的带号完全图 把带号完全图中与顶点w ( 标号为i 的顶点) 相连的边 f ，nq 为不等于f 的顶 点标号) 的符号作相反的变换后，得一新的带号完全图，这样的变换称为切换变 换若两个带号完全图，经过有限次切换变换后是相同的，则称它们是切换等价 的【1 4 切换等价的带号完全图构形具有相同的性质图4 2 是与图4 1 切换等价 的 2 34 5 2 图4 16 个顶点的带号完全图 图4 2 与图4 1 切换等价的带号完全图 与图4 1 切换等价的图还有多种，这里不再一一列出因此，带三条负边 的图就可以分成有限类我们仅讨论带三条连续负边的一类带号完全图构形的 模元 定理3 若图构形彳( 瓦) 为只有三条连续负边带号图的图构形，则由任意三条 正边构成的完全子图所对应超平面的交是模元7 个顶点的情形如图4 3 第西带带盘边融 坷薛的模元 2 5 5 图4 37 个顶点的带号党金图 证明竣彳( ) 燕n 令疆点煞带三条连续象边瓣繁弩宠垒强，冀三条受迭麓 而+ 屯一o ，屯+ 毛一0 ，均+ 黾一o z 一“一n 瓴一- o n 协一- o ， 弹矗蹩蠢疆点i 0 叁缀戒酶三舞辫豹三条芷边疆残。下逐x 是攘元 由于x 是由三条正边组成的超平面的交，其对应边的顶点可分为三种情形： 1 ) 三角形的瞑点i 0 泰中不含硬点l ，2 ，3 ，4 ；2 ) 三角蟛的顶点i 0 ，l 【中含毒l ， 2 ，3 ，4 中一个顶点，此时含有l 或4 的情形相同含宵2 或3 的情形相同；3 ) 三角形的顶点j j ，k 中台有1 ，2 ，3 ，4 中的两个顶点，此时含有1 2 与3 4 的情形 程嗣，含毒i 3 与簸鳃媾形稿瓣，还毒含窍2 3 及含有1 4 鳇揍形。我粕涯饔穗 形1 ) ，其它的情形证明相同 若襁如奴中选取的边与熊中边的顶点不相连，贝畦褒y 中淹选取的迭鲢 交) 毛，。，以互不相同，如果y 的维数是s ，由于在z n y 中乇，_ ，黾相等，所以 昱n y 的缀数就要减少2 维，即必s 1 2 ，北黠毒 d i m y d i m ( 卫n y ) 一2 故满足模元条件公式，即( 5 ) 式成立 若程舶【中选敬的透与威豹边中静一个顶点相连，a 在y 中锋，z ，鼍互不 相同，商在x n y 中* 一；，相等所以，如果】，的维数是s ，则并n y 的维数 是s - 2 ，藏对也有 d i m y d j m 畔n y ) 一2 即( 5 ) 式成立。 参考文献 参考文献 潮o 一揪e ，凝黼h 触学鞭e 噼蜡 姆掣唧躺激 懿妇：s p r i 黯鞘慨扮9 2 ：1 * 1 国 溺强z v 泌籽s 蕊潞s 豳黼a l 脚融a ；薛瑚a 哺铅p o l o 醪释1 豫i 随a 矗m 酣b s u f 弘， 2 0 0 l ，5 6 ( 2 ) ：2 站4 6 4 嘲瑚km c o m b 妇的d a 薹毅m 姆搬i cs t m 柏博虹锄娃髓o l 珊矬辩a l g e b f a s 潞酗唧，量 c b m b i n a 协献，2 0 0 1 ，2 2 ：6 蚪稍9 嘲“嘲b 嚣a ，辞融姆s - q 函黼牺群艟她o n 辩s 鹾。殛。n 蛾曲雠缸d 印翥l e 瞄箨 铷卵o s i 妇蕊魉醛妫0 瓯挖辫淳豁0 矗l 嘲t e r h 耵柚辨m 蛐埝0 f h y p c 叫蛐鹅如d i h 谢船e n o s s 川，j f k s c i ，u n i v i b 姆o s e c l l a m a 也，1 9 靴鼢：狲3 1 2 悯s t 枷e yr 觏m o d “a re i 惭e 啦龋霉吨1 删c e sl j l 舢酗b 恺u n i 嘲鞘鹕l 舯1 ，1 t 2 1 4 2 辩 【7 l 旗虹建。拣蓐论【瓣，糯裘：舞等教蠢凑数凝，2 潞：l 强l 豁 【8 】李为槛，刘永才代数结构【嗍北京：人民邮电出版杜。1 9 8 6 ：1 4 3 一1 7 3 f 辨s 睫n k yr ee 8 u m e 描虹v ee 讲血赫a t 孵i c si 秘 1 c k n b 娃d g e ：c 煳轴惭u 斑恻坶鞴e s s ， l 辩：9 6 - 2 0 。 f l 啦a 出蝴蜮a d i sc 屯轴a 撼踟出如m 删对s 醛s 蝴椭搭# 豫n 魄糊d 戤n i 协鼓e l 瓠 p 】。a d v a n o c s 诹畦h 慨1 辨6 | l 勰1 9 3 粥3 【1 1 】b 1 a 鲻a ，s a g a nbbh 舢i 璐矗m c 虹洲s0 f1 a t s 【j 】a d v a n c e | nm a 也髓n a 峙嗡1 9 9 t 1 2 7 ：4 - i 拈 【1 2 】s 砖。m 瞄k ，t c 糟。差堇a 凳嘲幽妇酝曲啪e l e 砖蛾e 嘲妒暇测蛙勰瓣嘲e 热e 盎t 静 a d v 龃c e si nm a t h e m a “c 8 ，1 9 8 7 6 4 ：3 心2 5 f 1 3 j e d c 妇p h ，r e i n e rv f m h 弼辩嘲a 掷甜t a n g 啪e n 毛sb e 脚e n 氧l 鞠d 最躲m a m 乙 1 9 9 4 ，2 1 5 ：3 4 鼻3 6 5 l l 毒l 嚣臻g g l 赫*