（应用数学专业论文）三阶常微分方程的某些非线性特征值问题的正解.pdf

摘要 内容摘要：本文研究了常微分方程 ( e )让刖( t ) = a a ( t ) f ( t ，u ( t ) ) ，0 0 ，0 t 1 ，并且满足微分方程e 和边界条 件( g ) ( i = 1 ，7 ) 本文主要依据k r a s n o s e l s k i i 锥拉伸与锥压缩型 不动点定理通过变换函数f 满足的条件，并选定相应的参数a 的取 值范围，在文中第三部分证明了四个定理，保证了方程( e ) 在边界条 件( g ) ( i = 1 ，7 ) 下至少存在一个正解本文第四部分阐述了方程 多个正解的存在性，其中定理4 1 、定理4 2 证明了方程至少存在两 个正解：定理4 3 、定理4 4 证明了方程无穷多个正解的存在性本文 的结果推广了s u n i x l 、y a o n 中相应的结果 关键词：三阶常微分方程，特征值，正解，多解性，k r a s n o s e l s k i i 不 动点定理 a b s t r a c t c o n t e n t ：i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h ep r o b l e mo fe x i s t e n c eo fp o s - i t i v es o l u t i o n sf o rt h en o n l i n e a rs i n g u l a rt h i r d - o r d e rt w o - p o i n tb o u n d - a r yv a l u ep r o b l e m ( b v p ) ( e g ) ( z = 1 ，7 ) ( e )u 他) = a o ( ) f ( t ，札( t ) ) ，0 t 0 ，w h e r ea ( t ) i san o n n e g a t i v ec o n t i n u o u sf u n c t i o nd e f i n e do n ( 0 ，1 ) a n df ：【0 ，l 】【0 ，o o ) 【0 ，o o ) i sc o n t i n u o u s h e r e ，b yap o s i t i v e s o l u t i o no ft h e ( b v p ) ( e g ) “= 1 ，7 ) w em e a naf u n c t i o n - t ( t ) w h i c hi sp o s i t i v eo n ( 0 ，1 ) a n ds a t i s f i e sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( 司a n d t h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s ( g ) ( 丢= 1 ，7 ) t h er e s u l t si nt h ep r e s e n t p a p e ra r eb a s e do i lt h ek r a s n o s e l s l c i i f i x e dp o i n tt h e o r y i ns e c t i o n3 ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fas i n g l ep o s i t i v es o l u t i o n o ft h e ( b v p ) ( e g ) 0 = l ，7 ) ，a n di ns e c t i o n4 ，v a r i o u sc o n d i t i o n so nt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n st ob o u n d a r yv a l u e p r o b l e ma r ed i s c u s s e d f o re v e r yr e s u l t ，a no p e ni n t e r v a lo fe i g e n v a l u e i sd e t e r m i n e di na ne x p l i c i t l yw a y e s p e c i a l l y , w ea l l o wt h ef u n c t i o n a ( t ) o fn o n l i n e a rt e r mt oh a v es u i t a b l es i n g u l a r i t i e s ，w h i c he x t e n dt h e c o r r e s p o n d i n gr e s u l t si ns u n 1 1a n dy a o 【5 1 k e yw o r d s ：t h i r d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，e i g e n v a l u e ，m u l t i p l i c - i t y ，k r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文 中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过 的研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中 做出了明确的声明并表示谢意 学位论文作者躲莒粞k 日期：切8 点l 6 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅本人授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文保密的 论文在解密后使用本授权书 始辄觇铲臌蒙池。油 1 1 - o s l t l v es o l u t l o n st os o m en o n f i n e a r g e n v a l u ep r o b l e m so fthirdordel e n v a l u er ol ee ro t o re r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a ti o n s 1i n t r o d u c t i o n t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oe s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fs i n g l ea n dm u l t i p l e p o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s so ft h i r d - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss u b - j e c tt ot w o - p o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s m o r es p e c i f i c a l l y , w ec o n s i d e rt h ef o l l o w - i n gn o n l i n e a rs i n g u l a rt h r e e - o r d e ro r d i n a r yb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( b v p ) ( e g ) 0 = 1 ，7 ) ，w h e r e ( e )u 胛( t ) = a a ( t ) f ( t ，让( t ) ) ，0 t 0 ，w h e r ea ( t ) i san o n n e g a t i v ec o n t i n u o u sf u n c t i o nd e f i n e do n ( 0 ，1 ) a n df ：【0 ，1 】【0 ，o o ) _ 【0 ，) i sc o n t i n u o u s h e r e ，b yap o s i t i v es o l u t i o no f t h e ( b v p ) ( e g ) ( = 1 ，7 ) w em e a n af u n c t i o n 乱：( t = 1 ，7 ) w h i c hi s p o s i t i v eo i l ( 0 ，1 ) a n ds a t i s f i e sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( e ) a n dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n ( g ) ( = 1 ，7 ) i nt h ep a s tt e ny e a r so rs o ，v a r i o u sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l y ；s e e ，f o re x a m p l e ，【8 - 1 6 】a n d t h er e f e r e n c e st h e r e i n d a n ga n ds c h m i t t 9 a n de r b e ，h ua n dw a n g s g a v es e v e r a l s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h en o n l i n e a rs e c o n d o r d e r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( t ) + a a ( t ) f ( x ( t ) ) = 0 ，0 t l ， u n d e rb o u n d a r yc o n d i t i o n sx ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 u t i l i z i n gt h el e r a y - s c h a u d e rd e g r e e t h e o r ya n dl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n sm e t h o d ，d u ，g ea n dl i u l l o li n v e s t i g a t e dt h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o r x m ( t ) = ( t ，z ( t ) ，z 7 ( t ) ，z ( t ) ) ，0 t 1 ， u n d e rt w o - p o i n tn o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s x ( 0 ) = 0 ，g ( z ，( 0 ) ，( o ) ) = a ，h ( x ，( 1 ) ，( 1 ) ) = b ， w h e r ea ，b r ，：【0 ，1 】r s ri sc o n t i n u o u s ，g ，h ：r 2 一ra r ec o n t i n l l o u s c a b a d a 【1 1 】a n dy a oa n df e n g 1 2 】u s e dt h em e t h o do fl o w e ra n d u p p e rs o l u t i o 璐a n d f i x e d 。p o i n tt h e o r e m st oe s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sa n d p o s i t i v e s o l u t i o n so ff o rt h et h i r d - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n z 删( t ) 一f ( t ，z ( t ) ) = 0 ，a t b ， u n d e rt w o - p o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s 铭( ( o ) = 牡( ( 2 7 r ) ，i = 0 ，l ，2 ，w i t h 口： 0 ，b = 2 z ra n dz ( 0 ) = z 7 ( 0 ) = z ，( 1 ) = 0w i t h 口= 0 ，b = l ，r e s p e c t i v e l y u s i n gt h ek r a s n o s e l s k i i ，l e g g e t t w i l l i a m sa n df i v ef u n c t i o n a l sf i x e d p o i n t t h e o r e m s ，a n d e r s o n 蚓，a n d e r s o na n dd a v i s l l 4 l ，w 3 n g l l 5 l ，a n dy a o p e g a v es o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n st o x m ( t ) 一f ( t ，z ( t ) ) = 0 ，a t b ， u n d e rt h r e e - 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p o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o n sx ( a ) = 一( 口) = ( 6 ) = 0 ，a n d x l ( t ) = a ( t ) f ( t ，z ( 亡) ) ， a t 0i m p l i e st h a ta z k ； ( 2 ) x k ，一z ki m p l i e st h a t z = 0 d e f i n i t i o n2 2a no p e r a t o ri sc a l l e dc o m p l e t e l yc o n t i n u o u si fi t i sc o n - t i n u o u sa n dm a p sb o u n d e ds e t si n t op s e u d o - c o m p a c ts e t s w es h a l lc o n s i d e rt h eb a n a c hs p a c ee 1 0 ，1 】e q u i p p e dw i t hs t a n d a r dn o r m i t i se a s yt os e et h a t u l i =m a x ，l u ( t ) 1 o t 1 。 c + 【o ，1 】= z c o ，l l l x ( t ) 0 ，t 【0 ，1 】) i st h ec o n eo fn o n n e g a t i v ef u n c t i o n si ne 1 0 ，1 1 w en e e ds o m ep r e l i m i n a r yr e s u l t s t op r o v eo u rm a i nr e s u l t s l e m m a2 1 ( y a o 【剐) l e ty c 0 ，1 】，t h e nt h e h a sau n i q u es o l u t i o n w h e r e f g l ( t ，s ) = 【 f g 2 ( t ，s ) = 【 u l ( t ) = y ( t ) g ( i = 1 ，7 ) u t ( t ) = f o a g i ( t ，s ) y ( s ) d s ( z = 1 ，7 ) ， ( 1 - 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