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硕士论文一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 摘要 文中对一类特殊的具有不确定时滞的线性定常系统的稳定性作了研究。主要 完成了以下两部分工作，利用经典的r a z u m i k h i n t y p e 定理以及改进定理得到了 其一致稳定与一致渐近稳定的判据；在修正证明了时滞系统的广义指数稳定判定 定理的基础上，得到了指数稳定的判据，并在展e ) = 1 及靠o ) = 靠的情况下，得 到了系统的口一稳定与s 一稳定的判据。 关键词：不确定性、时滞系统、一致稳定、一致渐近稳定、指数稳定 硕士论文一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n w es t u d ya s p e c i a lk i n do f l i n e a rt i m e i n v a r i a n ts y s t e m sw i t l l u n c e r t a i nd e l a y s m a i n l yf i n i s hf o l l o w i n gt w op a r t so f j o b s ，u t i l i z i n gr a z u m i k h i n t y p e t h e o r e ma n di t si m p r o v e m e n tt h e o r e m ，w ep r o v i d ei t s3 u d g i n gc o n d i t i o no fu n i f o r m s t a b i l i t y a n du n i f o r m a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y r e v i s e a n d p r o v e t h e g e n e r a l i z e d e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yt h e o r e m ，p e r f e c ti t sm a i nt h e o r yr e s u l t ，a n dr e c e i v et h ej u d g i n g c o n d i t i o no f e x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya c c o r d i n g t ot h i s f i n a l l y , w es t u d y t h e 口一s t a b i l i t y a n d s s t a b i l i t y w h e n 屏( f ) = l a n dt ( f ) = o k e y w o r d ：u n c e r t a i n t y , t i m e - d e l a y , u n i f o r ms t a b i l i t y , u n i f o r ma s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y , e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y i i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名： 拍当 7 0 b 啤年6 月矿日 l 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：齄蠡刍 hm 4 年6 肘日 硕士论文一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 1 绪论 本章简要概括了不确定时滞系统的研究背景，并分析了不确定时滞系统稳定 性的研究方法及现状，最后介绍了本文的研究工作。 1 1 引言 一般而言，任何实际系统均受到时滞因素的影响，时滞的产生主要由变量的 测定，设备的物理性质以及物质和信号的传递等引起的。一方面，时滞产生于电 子、机械、金属、化工、生命科学及经济管理科学中；另一方面，为使系统能正 常运转或便于研究某一系统的动态品质，有时候又需要将时滞引入到控制系统。 有的控制系统小时滞的影响不太大，这时可以将时滞忽略；有时候时滞对系统会 产生较大的影响，若处理不当，即使千分之一秒的误差对控制系统产生的后果都 会不堪设想。多年来，人们发现用时滞系统来描述与刻划实际应用中经常遇到的 一些系统比用正常系统来的精确的多。 自十八世纪在弦振动中引入时滞系统至今，对含有时滞的系统的研究已将近 一百年，其具有的本质特征已得到越来越深刻的揭示，与正常系统相比，时滞系 统不仅具有形式上的差别，在本质上二者也有较大的不同，具体表现为：时滞系 统的解的形势比较复杂，即便是对舍时滞的一阶线性定常系统，耍全面寻求其解 的精确性质或研究其定性性质都有一定的困难，这是由于其特征超越方程有无穷 多个特征根，对应的解空间是无限维的；时滞系统的传递函数具有在复数域的多 项式形式，且具有指数项；正常系统的解仅与当前状态、输入有关，而时滞系统 的解不仅依赖于当前状态，而且与过去的状态、输入有关。 时滞系统的这些特点表明了时滞系统比正常系统更能反映实际工程对象，其 所能描述的系统范围比正常系统广阔。因此，时滞系统是描述和刻划实际系统的 有力工具，时滞系统模型的提出具有重大的理论意义和实用价值。 1 2 研究现状 到目前为止，我们对于由延迟泛函微分方程所描述的时滞系统的稳定性分析 主要采用时域与频域两种方法。而主要的对域方法是l y a p u n o v 方法，它主要包 括基于l y a p u n o v k r a s o v s k i i 理论的l y a p u n o v 泛函法与基于 硕士论文 一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 l y a p u n o v r a z u m i k h i n 理论的l y a p u n o v 函数法【l ，2 ，7 ，8 ，1 0 ，1 8 ，1 9 。与频域方法相 比，l y a p u n o v 方法的优越性是可以方便的处理一般的具有多个时变时滞的非线 性时滞系统。在l y a p u n o v 方法中，基于l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 理论的方法一般需 要限制时变时滞的导数的界 3 8 ，3 9 ，所以它并不适于快时变时滞系统，而且，对 于时变时滞导数的限制往往会引入一些保守的因素。而基于 l y a p u n o v r a z u m i k h i n 理论的方法则不会有此限制。但是现在已有的r a z u m i k h i n 理论 2 ，7 ，8 ，1 9 】也导致了保守的稳定性条件 1 ，1 1 ，1 3 ，1 7 ，1 8 ，2 2 ，】，此外大多数存在的 由l y a p u n o v 泛函法和l y a p u n o v 函数法建立的结果一般给出了稳定性的充分条 件，其中包括一些自由调节参量和矩阵参数。因此，最近几年，如何确定这些参 数从而获得较少保守性或最优结果吸引了众多的研究者【1 ，3 ，1 1 ，1 3 ，1 6 1 8 ，2 0 ，2 2 ， 3 9 ，4 0 4 3 1 3 本文的研究内容 本文主要研究一类特殊的不确定时滞系统的稳定性，系统描述如下， r 戈( f ) = “x o ) + 晟o ) a k z ( f 一“( f ”，t “r i 娴 x t o p ) = z ( r 。+ 臼) = 痧p ) ， i l f 0 + 臼e e = 0 p 一靠钟一“( ，) s f 0 ，f f o u k ) 其中展( r ) 与( f ) 均具有不确定性，即这类系统除了时滞是不确定的，具有时滞 的状态矩阵前还具有不确定的参数。本文主要利用r a z u m i k h i n 理论及一些已有的 相关研究得到这类系统相应的一致稳定、一致渐近稳定以及指数稳定的判定条 件，并分析所得结果的优劣。文中还对一些已有结论给出了修正证明，使其在理 论上更加完善。 硕士论文 一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 2 预备知识 在本章中，对本文中所使用的符号进行了简要说明，介绍了所使用的数学知 识以及相关的控制理论方面的概念，主要目的在于为后面各章节的讨论作好铺 垫。所引用的结论均不作证明。 2 1 符号表示与数学预备知识 为了讨论的方便，在本节中酉先对本文中所便用的数学符号以及相关的数学 基础知识作一个统一的介绍。 r = 卜m ，悯) ，r + = o ，栅) ，j = b ，+ a o l 其中j r ；r ”表示，2 维是向量空间， r “”为n h 维实矩阵空间；牙表示矩阵x 的共轭矩阵，x 7 表示矩阵z 的转置， z + 表示矩阵x 的共轭转置，即牙7 ；x o ( x 0 1 表示是半正定的( 正定的) ； x r ( x y ) ，其中x ，y 均为对称矩阵，表示x y 是半正定的( 正定的) ； g = c - - r ，o l r ”) 指的是【_ f ，o 】叶r ”的连续函数映射的b 册口曲空间，其中f 0 是给定的实数；k 伍) 表示对称矩阵x = x 7 r “的最大特征值； x ，p ) 圭x o + 目) r ”，ter , o 【- r ，o 】，贝0 有x ( f ) = ( o ) 。 下面是本文中用到的几种范数：指的是欧几里得向量范数或是由向量2 一 范数诱导的矩阵范数，如当x 震”时，其范数表示为= x r x 声，当肖r 一时， 其范数表示为l i x l l = k 。忸7 x 炉；另一范数，表示为i i 庐1 1 ，= 跚肛p ， 一f s 口蚰 妒p ) e 足”，妒已；l 卅表示ze r 的绝对值。 p o ( p o ) r ”是一个半正定( 正定) 矩阵，我们定义它的平方根尸v 2 如 下， p = p v 2 p v 2 ：并r p i i ：= ( p v ：) 7 o p v ：= ( 尸v z ) r o ) o 我们可以通过谱分解或s v d 来计算p v 2 ， 设p ：u a u ，则 硕士论文 一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 p v 2 = u a l 2 u 其中a = 诫曙饥，丸) ，a v 2 = d i a g ，一，石 ( 见文献 5 】，p 4 8 ) 。 我们容易得到，若p 0 ，那么删i = t i 硐= 五。p ) ，以及 l i ，v 2 1 1 2 = ( j ：硎2 = 五。( p ) 。 令y ：r x r ”寸r + 是一个连续函数。我们定义矿如下， 巧= s u p v o + o ，p ) ) ，r - t 。 矿o ，x o ”= 矿o ，一( o ) ) 定义如下， 矿o ，x o ) ) = 矿o ，_ ( o ) ) = 。l i m + s t l p 去t v o + ，x ( ，+ ) ) 一y ( f ，x 删 = 。l i r a + s 印去k 帆t ( 0 ) + n h ) 一y ( f ，薯( o ) ) 贮，o 其中x o + ) = x ( o ) - - x ，( o ) + f ”，0 ，t 如。 定义2 1 向量空间并上的范数| | i | 是一个非负值函数：x 呻r + 满足 ( 1 ) 例o ( v x x ) , l l x l l = 0 x = 0 ； ( 2 ) l i x + y i s i l x l l + l l y t l ( v x ，y x ) ； ( 3 ) i 陋l l = 例( v 口k 伍为数域，实数或复数l x x ) ， 具有确定范数的向量空间肖称为赋范空间，具有完备性的赋范空间称为b a n 口曲 空间。 2 2 相关知识 考虑由下面的泛函微分方程描述的时滞动态系统， 童o ) = ，( ，) ( 2 1 ) 其中，。指的是右导数。f ：g x c 。呻月”，o ，庐) 在庐连续且满足三扛坫c 砌z 泐f 条件， 4 硕士论文一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 这样对于初始函数x 。= 妒c 。，f = r 。r ，系统( 2 1 ) 在【f o f ，m ) 上具有唯一解 x 瓴，庐x f ) 。假设f ( t ，o ) = o ，v t r ，则x + ；0 是系统( 2 1 ) 的一个平衡点。 定义2 2 m “m ”系统( 2 1 ) 的平衡点x s0 是一致稳定的，如果对于 v r ，v 占 0 ， 都存在占= 占( s ) 0 ，使得当f i 妒1 1 ， j 时，都有 。，庐 叫t 。 定义2 3 “4 ”系统( 2 1 ) 的平衡点x s 0 是一致渐近稳定的，如果它是一致 稳定的并且存在一个独立于“的正数盯 0 ，存在 r = 丁p ) ，当， 0 ，使得对 v ( t 。，) r x c 及，盯，都有0 z ( f 0 ，滩 0 和p 0 ，存在一个丁= 丁p ，p ) ，使得对于v “，妒) r g 及，蔓仃，都 剞阢。，x f 0 ，i i ：r x r ”寸r + 连续，l x l l 丌( f ，x ) o ，x ) r x r ”， n 0 ，x ) 对于给定的x r ”有界，瓦，= s u p i - i ( t + 0 ，庐p ) ) 妒c 。系统( 2 1 ) 的 硕士论文 一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 平衡点x s 0 被称为关于常衰减度， 0 是指数稳定的，如果沿系统( 2 1 ) 的过 o 。，声) er x c 。的解x ( f 0 ，声) ，有 。，x r 肛_ f 。e x p - r ( t - t 。) ，v t t 。 2 3 问题的数学描述 在1 3 中已经简要介绍了本文所要研究的系统模型，为了使概念更加清晰以 及方便后面相关定义的引入，在此详细说明系统的数学描述。 现在，考虑一个具多个时滞的线性定常系统如下： i o ) = a x ( o + 风o h x ( t - r k ( t ) ) ， f t 。r k = l k p ) = x ( t 。 ，o + 0 e “ + 0 ) = 妒p ) ， ：0 t 一“啡- - q r k o ) f 0 ) u f o ) k - i 时，是它的一种特殊情况，如下， 4 0 = 出o ) + a 。x ( t - - c 。，t t 。r k = l t 。p ) = x ( t o t o + 0 e 。 + 口) = 庐p ) ， ：0 一k 啪- - , 1 - 。( f ) ，0 r r 。】l l f 。 女一i ( 2 3 ) 其中g ，x o ) e 胄“，a r ”与a 。r ”，女= 1 , 2 ，m 为常矩阵 0 t k ( f ) r w o ，k = 1 , 2 ，肌为已知或 未知的常数，l 屏o 】儿，k = 1 2 ，m 是有界时变不确定参数， 鼬 o ，足= 1 , 2 ，m 是已知的正数。 对于以上两系统，若他们的时滞项为定常的，又会得到如下更为特殊的系统 文o ) = 一x o ) + e a 。x o 一 = l ( 2 4 ) 6 rlj气l司rlj气l l jt卢 当 硕士论文 一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 其中 f m 0 r ”为任意正定矩阵。 引理3 2 ( s c h u r 补充定理) 设q ，r 为对称阵，则有 降耻啦一妒 。 b z ， 引理3 3 【2 1 假设f ：r x c 。r ”是连续函数，“，v ，w 是r + _ r + 的连续非减函数， 当s 0 时，“g l v b ) 都为正的，且“( o ) = v ( o ) = 0 。如果存在一个连续函数 y ：r r “_ r + 使得 i ) “0 1 并1 1 ) 矿o ，x ) v 0 1 叫1 ) ， f r ，x 冗“( 3 3 ) i i ) 当v ( t + a ，耳o + 口) ) 矿( f ，x )，口e 【_ f ，o l 时 ( 3 4 ) 硕士论文 类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 有1 ) - ( t ，x ) - 1 1 ) ( 3 5 ) 那么，系统( 2 1 ) 的平衡点x + ；0 是一致稳定的。 引理3 4 1 2 1 假设“，v ，w 是r + 一r + 的严格单调增的连续函数，当j 0 时， “o x v g l w o ) 都为正的，且“( o ) = v ( 0 ) = 0 。如果存在一个连续函数 y ：r r 一斗r + 使得 i ) “0 l x 0 ) y o ，z ) v o l x i i ) ，t r ，x r ” ( 3 6 ) i i ) 如果存在一个连续非减函数p 0 ) s ，s 0 ，对于v f 。， 当矿( f + 目，x o + 口) ) p ( v ( t ，工( f ：) ) ) ，口【_ f ，o l , t 。时 ( 3 7 ) 有 娟，x ) 一硼 ( 3 8 ) 那么，系统( 2 1 ) 的平衡点z ；o 是一致渐近稳定的。如果当s j m ，有“0 ) _ + 。， 则系统( 2 1 ) 的平衡点x + s 0 是全局一致渐近稳定的。 以上两个引理是经典的r a z u m i k h i n t y p e 稳定性定理，下面的一个改进的 r a z u m i k h i n t y p e 定理在本文中也要用到。 引理3 5 【1 1 1 假设引理3 4 的所有前提条件均满足。如果存在一个连续函数 矿：r x r ”_ r + 使得 i ) “0 k i i ) - 1 ，对v t o ， 当 有 l i z ( t + o ) l t 。 扎，x ) 一硼 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 j 那么，系统( 2 i ) 的平衡点x s 0 是一致渐近稳定的。如果当s 斗m ，有g ) 哼o i d ， 则系统( 2 i ) 的平衡点x ；0 是全局一致渐近稳定的。 9 硕士论文一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 3 2 一致稳定与一致渐近稳定 现在我们利用第二章的基础知识以及本章上面给出的相关的 r a z u m i k h i n t y p e 定理讨论关于系统( 2 2 ) 零解稳定性的判定条件。 定理3 6 系统( 2 2 ) 的平衡点x ；0 是一致稳定的，如果存在正定矩阵 p 0 芒r ”使得 丸。( p v 2 4 p 一啦+ p m 4 7 户v 2 ) + 薹2 胪”2 4 p _ v 2 忙o ( 3 1 2 ) 证明：令v ( x ) = x 7 p x ，则有 五。( p 删2 矿b ) 丑。( p i i x 9 2 且引理3 3 的( 3 4 ) 式变为 即为 x t + o ) p x ( r + 臼) x ：r ( f 脚o ) ，0 - - r ，o l ( 3 1 3 ) p 2 x o + 口删胪x 婚 o e 【_ r ，o l( 3 1 4 ) 叉由( 3 1 2 ) 式知，必存在一个w 0 月使得 k p 啦俨一2 脚v 2 ) 咭2 鼬| | p v 2 舻嘶卜w ( 3 1 5 ) 由( 3 1 3 ) 一( 3 1 5 ) 式，y 函数的导数为 矿g ) = 2 x r 臌= z x 7 p ( 一x + 喜展( f k x o 一。o ) ) = x 7 p 4 + _ r 尸k + 妻2 展o b r p a 。x ( ，一“( ，) ) = ( p 牡x ) r ( p 1 2 a p 叫2 + ，邮a 7 p 9 2x p i 2 x ) + 芝2 展。如v ：z ) r ( p v ：4 p mx 尸v z x o 一靠o ) ) ) k c p 啦彳2 + p - v 2 a 7 p ”2 肛啦x r + 善：i p t ( o 妒圳2 妒一怛 p t 2 x ( r 1 删 1 0 硕士论文一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 轧。p v 2 a p - v + p - v 2 a r p 2 l i p , 2 x r + 善z 鼬p 舻屯叫| 2 ( k 。( p v 2 a p - i 2 + p - v z a r p l 2 ) + 喜z 鼬胪妒中i i | l p i i 制1 2 = 。c p ) ( a 一( p 1 2 a p - i 2 + p - v z a r p l ，z ) + 善2 卢。妒”2 4 p 邮| 1 l x l 2 一w 2 m 。( p ) | l x l l 2 ( 3 1 6 ) ( 3 1 3 ) 与( 3 1 6 ) 分别满足了引理3 3 的i ) i i ) 两个条件，所以系统( 2 。2 ) 的平衡点x = 0 是一致稳定的。证明完成。 上面的定理3 6 是利用了传统的r a z u m i k h i n o p e 定理得到的一个稳定性的 判据，利用我们在本章开始给出的两个引理，我们会得到下面的l m i 形式的稳 定性判据。 定理3 7 系统( 2 2 ) 平衡点x s0 是一致稳定的，如果存在正定矩阵p 0 r “”， 使得 一删一一7 p 一w p p a ， 船 长p p 0 p a 。 o 上p p 0 ( 3 1 7 ) 成立。 证明：同样地，我们选取v ( x ) = x 7 p x ，同样有( 3 1 3 ) 式成立，显然，引理3 3 的条件i ) 是成立的。 引理3 3 的( 3 4 ) 式变为 x t + o ) p x o + 臼) x 7 0 皿( f ) ，0e 【_ f ，o l( 3 1 8 ) 由引理3 2 知，矩阵不等式( 3 1 7 ) 等价于 一朋一一7 p 一妻。p 爿。p 一，4 ；p + 尸) 0 ( 3 1 9 ) - 1 又由( 3 1 9 ) 式得到，对于任意的x 0 r “，有 硕士论文一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 x 吖削+ a r p + 艺风。p a r p + p ) 1 xx 叫削风。1堆 蔓丑。f rp+pa+a 妻帆p _ 1 a r p + p ) 呐1 2 0蔓丑。1帆p 。1m 旷 0 r 满足 兄。p a + a r p + m p a ap 几。p _ 1 4 p + p ) 1 | | x | | 2 = 一洲2 兄。几。p 。1 4 p + p ) l | | x | | 2 = 一洲2 女= l 这样由引理3 1 以及式( 3 1 8 ) 与( 3 2 0 ) 可知， 矿o ) ：x 7 0 m + 一r p b + 妻2 尻o k r p a k x ( f r 。( f ) ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) x 7 p 爿+ 4 r _ p b + 羔wc c r 删。p 爿； + x r ( t 一“( f i ) _ p 七( f 一“( f ) ) ) i t l _ 0 r “”取为特殊情况p = ，。那么我们就会有下 面两个推论， 推论3 8 系统( 2 2 ) 的平衡点x ；0 是一致稳定的，如果 1 2 硕士论文类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 丸。0 + 爿r ) + 芝2 鼬1 1 - 0 f 3 2 4 ) 九。+ 4 7 p ) + ：( p ( 薏器 i 善鼬忙。i 。和满足1 0 r 使得 五。+ 爿7 p ) + 2 k ( p 透鼬i i o r 和满足1 g 一盘蛆延攀的g 使得 2 2 一p ) i 九。+ 4 7 p ) + 2 9 k ( p 麽如i i ：一w( 3 2 9 ) 我们选择满足( 3 2 9 ) 的g 作为引理3 5 中条件i i ) 中的g ，则由( 3 2 9 ) 及引理 矿g ) = x 7 1p a + 爿7 p ) x + 艺2 尻( f h r p a 。x ( f 一靠( f ) ) k = l 硕士论文 一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 。( p 4 + 彳r 尸】k i l 2 + r n2 i 觑o 】i i x i i i i p i i 1 4 。i i i i z ( r 一。o ) 】i t = k + 爿r p 】悻1 1 2 + 宝2 儿a 。( p 删6 4 i i q l l x i i ：f 九。+ a r p ) + 2 9 旯。( p 透风i i 1 1 x i l 2 = 一w l l x l l 2 由引理3 5 知证明完成。 注3 1 在上面两个定理的证明过程中，当我们选择y ( x ) = x t p x 时，均有 九；。( e i x l l 2s 矿g ) 五一c p 删1 2 成立，显然当寸c o 时，五。c p 删l - + o o ，所以 以上两个定理判定的结果也是全局致渐近稳定的。 注3 2 定理3 1 0 是利用经典的r a z u m i k h i n t y p e 定理给出的结论，而定理3 1 1 是利用一种改进的r a z u m i k h i n t y p e 理论的到的结果。比较两个结论我们很容易 发现定理3 1 1 给出的条件( 3 2 8 ) 要好于定理3 1 0 的条件( 3 2 5 ) 因为除了p = 1 的情删嗍有 矧 i 儿煳有 k 晒+ 一，。p ) 十2 k ( p 疰鼬 k + 爿- ，p ) + z ( p ) ( 薏器 j 薹儿 0 月“是l y a p u n o v 方程p 爿+ a 7 p = 一2 1 的正定解，就得到下面的这两个结论。 推论3 1 2 系统( 2 2 ) 的平衡点x = 0 是一致渐近稳定的，如果 芝k = l 钏小i i 南 矧 j s 硕士论文 一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 其中，p 是下面的l y a p u n o v 方程的正定解 p a a 7 p = 一2 1 推论3 1 3 系统( 2 2 ) 的平衡点x = 0 是一致渐近稳定的，如果 善i i 0 ，( 3 1 9 ) 即对于v x r ”，均有 ，+ 爿7 p b + m 鼬x 7 。鬈尸) f + 芝儿x r 既 o k = l i t i j c ；每一个固定的算r 。均存在， 。 一：竺：! ! 兰：薹k = l 竺= = 竺：! ：兰尘 几x 7 p x 使得 工7 + 一7 尸b + 芝几x 7 。p _ l 一j p x + 芝风驰r o 我们记2 m 。i n _ l q r + 则有 x 7 + 彳7 p k + m 凡x r 。p 一- 4 p k = 1 鼬x 7 p x x 7 + a r p ) x + m 儿x 7 陋。p - 1 i p ) c + r n 鼬g 栅x ，1 既 o ，饥r 一 # = l l ；l 1 6 硕士论文 一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 在引理3 4 中，令p ( s 1 = q m i n j ，则 矿o ) x 7 + 4 7 尸k + 芝风x 7 。一j 户b + 羔阢工r 0 1 ( o ) p x q 一。( f ) ) k - ii - l =x r | + 4 7 p ) + 善i n 凡，一爿j p + g m i 。p ) i x l = li 兄。j 朋+ 爿7 p + 羔几。彳：j p + 。p ) 1 | i x l l 2 t l， = 一、q l x l l 2 其中令a 。f +arp+芝鼬泓。一一；p+q曲p)ipa a r pp q：一w o 。简证完成。其中令a 。l鼬。一；= 一w 0 r “使得 九。c p 啦一j p 叫2 + p 叫2 彳7 p 牡) + 耋2 风忙”2 4 ：- l ，2 1 1 o ( 3 - 3 2 ) 简要证明：式( 3 3 2 ) 意味着，存在满足l e-12360 r ，丽定理3 6 中为 w 0 r 。 注3 4 本章和下一章的结论都是针对系统( 2 2 ) 给出，但对于系统( 2 3 ) 、( 2 4 ) 同样适用。特别对于系统( 2 3 ) ，只要在本章中所得到的结论中令卢0 ：1 即可得 到关于系统( 2 3 ) 的相应的稳定性判定条件。 硕士论文 一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 注3 5 对于系统( 2 _ 3 ) ，我们比较推论3 8 的条件( 3 2 3 ) 与 1 5 1 中得到的一致稳 定性的条件m 晔 r e 0 ) + 0 40 = 0 ，在4 = a 7 r ”时这两个条件只相差在不 k ，l 等号与等号上，显然此时条件( 3 2 3 ) 更好一些。如果一不是对称阵，由于( 3 2 3 ) 为( 3 1 2 ) 的特殊情况，我们说定理3 6 仍旧要好于1 1 5 1 给出的结论。在一致渐 近稳定的结论上同样有这样的分析结果，这一点我们在后面的例3 2 中给出了说 明。 3 3 算例 例3 1 考愿m = 2 时的系统( 2 2 ) ，兵甲 一书5 捌4 _ 兰捌妒f 二蜘 w = 1 4 ，厦 = 1 1 我们选取p = l 。0 4 7 6 0 9 1 4 3：4 5 6 7 9 1 4 3 i 。，那么 五。c p v 2 4 尸_ l 2 + p - l ：彳r p a ) + 羔2 鼬p 4 p 巾0 = 0 0 5 0 2 5 7 0 ，所以推论3 8 不能判断此系统 的稳定性。 此例我们同样可用定理3 7 来判断，利用m a t l a b 中的l m i 工具箱计算得到 可行矩阵变量值为 眯0 篡6 6 7 4 3 。0 嬲6 4 7 7l 。 i 1 i 例3 2 考虑m = 2 时的系统( 2 3 ) ，其中 肚f 习小出捌妒f ：湖 选取户= 1 。0 3 5 0 5 2 6 2 5 ：。3 5 6 2 5 6 9 2 1 1 。，有 硕士论文 一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 五。p v 2 a p - v ：+ p q l 2 彳p 啦) + 羔2 1 1 p v 2 a , p _ 1 2 9 = - 0 0 9 4 8 4 9 0 ( 3 3 6 ) 可见文献 1 5 1 中给出的一致稳定的判定定理不能判断此系统的稳定性。由定理 3 1 4 及( 3 3 5 ) 知此系统还是一致渐近稳定的，但由( 3 3 6 ) 知，文【1 5 给出的 一致渐近稳定的判定条件m 野 r e 五0 ) + l 陋。i 0 同样不能判断此系统的一致 渐近稳定性。 例3 3 同样考虑m = 2 时的系统( 2 2 ) ，其中 爿书7 捌小瞄捌铲f ：期 卢= 2 ，k = 1 , 2 选择p = r 翟：篙地有 k “叫+ z a 。( p ) ( 笔器 _ 喜凡= - o o z ， 0 ，利用定理3 t 1 同样可以判断它的一致渐近稳定性，因为 k + 彳7 p ) + 2 2 。c p ) 凡l = - 0 8 2 0 2 2 0 如同在注3 2 中分析的一样，由o 8 2 0 2 2 t o ( 4 2 ) 引理4 2 “1 假设“，v ：r + 斗r + 是连续非减函数，“o ) v p ) o ， o ，“( o ) = v ( o ) 并 且v ：r 盂“一r + 是一个连续非减函数，它满足 矿( r ，x ) v l 刈)o ，x ) e r r ” ( 4 3 ) ( i ) 系统( 2 1 ) 的平衡点x + ；o 是一致稳定的，如果沿系统( 1 1 ) 的解x ( f 。，) ， 过g ，v t o r ，有 矿( r ，x ( ，) ) 0( 4 4 ) 每当 矿( f ，x ( f ) ) = 瓦，t f 。 ( 4 5 ) ( i i ) 系统( 2 1 ) 的平衡点x + = 0 是一致渐近稳定的，如果存在一个正数口 0 ， 堡圭堡苎 二鲞塑丝垄塑至堕塞堕堂至堕整室丝坌堑 使得沿系统( 2 1 ) 的解x o 。，) ，过妒e ，v t o r ，有 矿( f ，x o ) ) 一口矿( f ，x o ) ) 每当 矿( f ，x o ) ) = 贬e x p - 口o 一“) ，f 0 ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( i i i ) 如果当r 哼o o 时，有“p ) 斗。，则条件( i ) 和( i i ) 意味着全局一致稳定 和全局一致渐近稳定。 引理4 3 令口：j 寸r + 是一个连续函数且y g ) = 石7 a ，x r n , p 0 r 一，系 统( 2 - 1 ) 的平衡点x + s 0 关于时变衰减度口o ) 2 ，t t 。是广义指数稳定的，如果 沿系统( 2 1 ) 的过纯，) j x c 。解x “，妒) ，有 v ( y ，( o ) ) 一口o 沙包( 0 ) ) ， 砂，s 。( 墨p ) )( 4 8 ) 每当 y g r ( o ”= 冗e x 一f 口( r ) ，t t o ( 4 9 ) 其中s 。( 墨p ) ) 定义如下， f s 。( 足，p ) ) = me c 。 i 足。p ) = k ( r + 口) = 吒e x p _ r 。口o j ，矿c y 。( o ”：足，( 0 ) 5 尸v 2 y ，p 2 = l i p w y t ( o ) e x p + 。一如圭口。净) 0 2 0 - r ，o l 以( _ o 。，o l 。t ( s ) = - a ( t 。) v s “ 引理4 4 “3 令矿( x ) = z 7 a ，工r ”且p 0 r n ，那么 f 4 1 0 ) ( i ) 系统( 2 1 ) 的平衡点x s o 是全局一致渐近稳定的加罢沿系统的过 纯，) r x g 的解- x ( t 。，妒x f ) ，有 矿( y ，( o ) ) 0 每当 v ( x ，( 0 ) ) = 瓦 其中鼠。畋) 定义如下， 饥畋) t r o ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 2 、ll、，j 硕士论文 一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 v t y ，( o ) ) = 贬 k p 0 2 口- r ，o l 以( _ 鸭0 l r 4 1 3 ) ( i i ) 系统( 2 1 ) 的平衡点x ；0 是全局一致渐近稳定的，如果存在一个正数 口 o 使得沿系统的过“，庐) r ef 挥x ( t 。，) ，有 矿c y ，( o ) ) s 一口矿( o ”v y ，s o 。0 ，p ) ) 每当 矿k ( o ) ) = 吒e x p - a ( t 一“) ) t - t o 其中s 。( 三，p ) ) 定义如下 ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) l 篙爱肛砷 i p 啦y ，p 2 = l | p ”2 ( o ) e x p 一吉口p 一以廿1 2 臼【- r ，o l 以( _ o 。，o lf 4 2 对时滞系统广义指数稳定判据的修正 引理4 5 t r 是一个对称阵，以r ，k = 1 , 2 ，聊是常矩阵 k o ，q t l ，k = 1 , 2 。，m ，是常数，则 暾m a x 扣h 扮k = 1 卜 其中，= 一l 五。( r ) l y l l 2 + m2 吼i i o 。i i 1 l y l l 21 是常数。 i i， 证明：( 作者重新整理证明) 注意到 ( 4 1 7 ) 、，j g fviii_ = 哌 咖 s c ， 三三 、 i i m“ s 硕士论文一类线性连续不确定时滞系统稳定性分析 蘸。h 眇以) 燃m a x ；。胁静饥z t | ) s i j j m i 薯a x ；。p m “仃l i 川j 2 + 喜2 。t o 。8 1 l y o 州z t j l ) = 群卜川卜砉z 卧i i d 。l l w i i ) = 卜圳1 2 + 砉z 。i i d 。l l w i i k = 一 汪明完成。 4 1 中的引理4 1 是关于广义指数稳定的一个主要的基本理论，作者认为原文 对于此定理的证明有些许问题，在此对这一定理进行了重新的论证。 引理4 1 m 令a o ，p 1 为常数，瑾：，_ r + ，v ：r r “_ r + 分别是两个正的 连续函数。丑l l x u 矿o ，x ) o ，x ) r x r ”，并且对于给定的x e 足”，y o ，x ) 是有界的。 系统( 2 1 ) 的平衡点x ；o 称为关于时变衰减度口( r ) p ，r t 。是广义指数稳定的， 如果沿系统( 2 i ) 的过“，) j x c , a 解x ( t o 矿x f ) 有 矿o ，x o ) ) - a ( t ) v ( t ，x 鲫( 4 1 8 ) 每当 矿( f ，x ( f ) ) 等冗，e x p _