（应用数学专业论文）差集偶与几乎差集偶.pdf

福建师范大学李建周硕士学位论文 中文摘要 在雷达、声纳、码分多址等系统的信号设计中，往往要求信号具有良好的自相 关特性，这样的信号具有能将该信号与自身延迟信号区分开来的特性因此，深入 研究各种最佳离散信号，在理论上和应用上都有非常重要的意义许成谦提出了一 类新的组合设计一差集偶，并研究了最佳二进阵列偶与一类特殊的差集偶的等价 关系 最佳离散信号的研究主要包括循环相关、非循环相关、基于偶的相关信号等几 方面本文主要对新近提出的差集偶和几乎差集偶进行了研究 本文共有二章内容：在绪论中，给出必要的定义和综述第一章，介绍了差集 偶的定义，给出了差集偶的变换性质，并利用分圆方法构造了几类差集偶研究了 差集偶与最佳自相关二元序列偶的关系第二章，介绍了几乎差集偶的定义，给出 了几乎差集偶的变换性质和存在的必要条件，并研究了几乎差集偶与几乎最佳自相 关二元序列偶的关系 关键词：差集偶，几乎差集偶，分圆类，序列偶，h a l l 多项式。 福建师范大学硕士学位论文 中文文摘 在雷达、声纳、码分多址等系统的信号设计中，往往要求信号具有良好的自相 关特性，这样的信号具有能将该信号与自身延迟信号区分开来的特性因此，深入 研究各种最佳离散信号，在理论上和应用上都有非常重要的意义在过去几十年研 究中已取得了大量的重要成果，目前仍在作更深入的研究许成谦在文【1 】中提出 了一类新的组合设计一差集偶，并研究了最佳二进阵列偶与一类特殊的差集偶的 等价关系 1 2 】 文章的结构安排如下：在绪论中，给出了差集、外差族、差集偶和广义相对差 集偶的具体定义，以及它们的研究背景，并给出了一些必要的定义 第一章，给出了差集偶的概念和性质，以及用分圆方法构造出一些新的参数形 式的差集偶并研究了差集偶与最佳自相关二元序列偶的关系 第一节，给出了差集偶的基本概念和变换性质， 第二节，利用分圆方法构造差集偶，主要考虑基于2 阶和4 阶分圆类的差集偶 的构造方法，得到几类具有新的参数形式的差集偶： 定理1 2 1 设q = 2 1 + 1 为素数幂，瑶，研为其2 阶分圆类，日为口阶有 限域，令 u = ( o ，o ) u ( o ) 掰u o x 日；) ， w = o ) 研u 1 ) 霹】， t ，j o ，1 】| 则( 阢) 构成易g 上的一个( 4 ，+ 2 ，2 ，+ 1 ，2 ，) 差集偶 定理1 2 2 设q = 4 f + 1 为素数幂，研( i = 0 ，l ，2 ，3 ) ，为其4 阶分圆类，日 为g 阶有限域，令 u = ( o ，0 ) u o ) 掰u o ) x 研u o ) x 皤u o ) 硪) ， w = o 毋u o ) h ；u 1 ) h p u 1 x 磁) 其中( t ，j ，2 ，h = 0 ，1 ，2 ，3 且i j ，z ) ， 则( 配) 构成恳x 日上的一个( 8 ，+ 2 ，4 ，+ l ，4 1 , 2 1 ，2 1 ) 差集偶 定理1 2 3 设q = 4 f + 1 为素数幂，研g = 0 ，1 ，2 ，3 ) ，为其4 阶分圆类，日 为g 阶有限域，令 u = ( o ，o ) u o ) 皤u o ) 研u _ 【o ) 研u o ) 研) ， i i i 福建师范大学李建周硕士学位论文 w = o ) 研u 1 ) x 霹 - ( 其中t ，j = 0 ，l ，2 ，3 ) 则( 阢) 构成f 2 父日上的一个( 8 ，+ 2 ，4 ，+ 1 ，2 ，) 差集偶 定理1 2 4 设q = 4 厂+ 1 为素数幂，曰( i = 0 ，1 ，2 ，3 ) ，为其4 阶分圆类，日 为口阶有限域，日+ = f q o ) 令u = 硪u 研) ，w = h 1 4u 磁) ，且当厂为偶 数时，( 阢) 构成b 上的一个( 4 ，+ 1 ，2 工2 ，0 ，) 差集偶 利用差集偶的变换性质可以由已知的差集偶构造出更多的差集偶，本节只列出 部分给予描述，具体为推论1 2 1 3 , , - , 1 2 1 8 第三节，讨论了差集偶与最佳自相关二元序列偶的关系，得到以下结论： 定理1 3 1 设a = n 。，a l ，a v - 1 ) ，b = b o ，b l ，k 一1 ) 分别是v 长二元 ( 一l ，1 ) 序列，分别是a 和b 的等价集，i u i = k ，| w i = ，i unw f = e ， 则( 以w ) 是乙上的一个( ，k ，k ，e ，a ) 差集偶的充要条件是序列偶( a ，b ) 的自相关 函数具有如下形式： d，、j 移一2 ( 尼+ k ) + 4 e ，丁= o ； 丘( o 6 ) 【丁户1t ，一2 ( 尼+ k ) + 4 a ，r 0 并且当u = 2 ( k + k ) 一4 a 时，序列偶( o ，b ) 是最佳自相关二元序列偶 定理1 3 2 设u = ( ，1 i 七) ，w = w l ，1 i k ) 为邑上的子 集，幻( z ) ，o w ( x ) 分别是集合u ，w 的h a l l 多项式，则( 阢w ) 是乙上的一个 ( 移，k ，以e ，a ) 差集偶的充要条件是 o v ( x ) o w ( x 一1 ) = e 一入+ a t ( z ) ( 其中丁( z ) = ：三；“) 第二章，研究了几乎差集偶的性质，给出了几乎最佳自相关二元序列偶存在的 一些必要条件，并证明了几乎差集偶与几乎最佳自相关二元序列偶的等价关系 第一节，给出了几乎差集偶的基本概念和变换性质 第二节，给出了几乎最佳自相关二元序列偶存在的必要条件 第三节，研究了几乎差集偶与几乎最佳自相关二元序列偶的关系得到以下结 论： 定理2 3 1 设口= a d ，a l ，a v _ 1 ) ，b = b o ，b t ，k 一1 ) 分别是钞长二元 ( 一1 ，1 ) 序列，w 分别是a 和b 的等价集，i u i = k ，l w i = k ，l unw i = e ， i v 福建师范大学硕士学位论文 则( 阢) 是磊上的一个( 和，k ，k 一a 1 ，a 2 ) 几乎差集偶( n 为奇异点) 的充要条件 是序列偶( a ，b ) 的自相关函数具有如下形式t r 。口柳。丁，： 口v - 一2 2 。( 后k + + k ，) + + 4 4 e a , 2 ，：三： l 口一2 ( k + ) + 4 a l ，7 - 0 并且当 = 2 ( k + 尼) 一4 a 1 时，序列偶( a ，b ) 是几乎最佳自相关二元序列偶 定理2 3 2 设( ) 是磊上的一个( ，七，k ，e ，a a ，入2 ) 几乎差集偶( q 为奇异 点) ，则当k = k ，即( 阢彤) 是等重的几乎差集偶时，u 三o ( m o d 4 ) 且e + a 2 2 a 1 是平方数 定理2 3 3 设u = u ，1 i 七) ，w = ( q ，1 歹后) 为乙上的子 集，( z ) ，o w ( x ) 分别是集合u ，的h a l l 多项式，则( 以w ) 是磊上的一个 ( u ，七，e ，a l ，入2 ) 几乎差集偶( a 为奇异点) 的充要条件是 o u ( x ) o w ( x 一1 ) = e a l + a i t ( z ) 一a l x 口+ a 2 z ( 其中t ( z ) = 4 i = ”01 ) 定理2 3 4 设a = a o ，a l ，一1 ) ，b = ，b i ，k 一1 ) 分别是移长二元 序列，( a ，b ) 是一个周期为口的几乎最佳自相关二元序列偶( q 为奇异点) ，且 u = 铆，1 i 七) ，w = 嘶，1 歹k ) 磊分别是口，b 的等价集，如果 t ，三0 ( m o d p ) ，p 是素数，令m = ：，则以下关于x o ，唧一1 ，y o ，咖一1 的方程 组利e 负整数解： ie i t o x i = 七 l 三：一y i = 1 f = 0 i = p y i x i = a 1 ( m 一1 ) + e i ：磊一1 鼽墨+ q ，= a l ( m 一1 ) + a 2 【e i ? o 一1 犰翰+ t = a x m ( t = 1 ，2 ，d 一1 ，q + 1 ，p 一1 ，其中口7 三a ( m o d p ) ) 福建师范大学李建周硕士学位论文 a b s t r a c t i ns i g n a ld e s i g n sf o rr a d a r ，s o n a ra n dc d m ac o m m u n i c a t i o ns y s t e m s ，g o o d a u t o - c o r r e l a t i o np r o p e r t yi sf r e q u e n t l yr e q u i r e d ，f o rs i g n a lw i t ht h i sp r o p e r t yc a n d i s t i n g u i s hi t s e l ff r o mi t sd e l a ys i g n a l t h e r e f o r er e s e a r c h i n gi n t ot h e s eo p t i m a l d i s c r e ts i g n a l si so fg r e a ti m p o r t a n c eb o t hi nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n c h e n g q i a nx u p r o p o s e dan e wt y p co fc o m b i n a t o r i cd e s i g nc a l l e dd i f f e r e n c es e tp a i r sa n da n n o u n c e d t h ee q u i v a l a n c eo fp e r f e c tb i n a r ya r r a yp a i r sa n das p e c i a lt l y p co fd i f f e r e n c es e tp a i r s r e s e a r c h e so i lt h eo p t i m a ld i s c r c ts i g n a l si n c l u d ec y c l i cc o r r e l a t i o n ，n o n - c y c l i c c o r r e l a t i o na n dc o r r e l a t i o nw i t hr e s p e c tt od u a le t a 1 t h i sp a p e i f o c u s e so nt h e n e w l yp r o p o s e dd i f f e r e n c es e tp a i r sa n da l m o s td i f f e r e n c es e tp a i r s t h i sp a p e rc o n s i s t so ft w oc h a p t e r s c h a p t e ri n t r o d u c t i o ng i v e sn a c e s s a r y1 1 ( 3 - t a t i o n sm i das u r v e y c h a p t e rlg i v e st h ed e f i l , i t i o nm , dt h e ( t r a n s f o r mp r o p e r t y ) o fd i f f e r e n c es e tp a i r s ，c o n s t r u c t ss e v e r a lt y p e so fd i f f e r e n c es e tp a i r st h r o u g h ( c y - c l a u t o m i c ) t e c h n i q u ea n dr e s e a r c h e so nt h er e l a t i o nb e t w e e nd i f f e r e n c es e tp a i l wa n d p e r f e c ta u t o c o r r e l a t i o nb i n a r ys e q u e n c ep a i r s c h a p t e r2g i v e st h ed e f i n i t i o na n d t h e ( t r a n s f o r mp r o p e r t y ) o fa h n o s td i f f e r e n c es e tp a i r sa sw e l la st h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h e i re x i s t e n c e ，a n ds i m i l a r i l y , r e s e a r c h e so nt h er e l a t i o nb e - t w e e na h n o s td i f f e r e n c es e tp a i r sa n dm m o s tp e r f e c ta u t o c o r r e l a t i o nb i n a r ys e q u e n c e p a i r s k e y w o r d s ：d i f f e r e n c es e tp a i r s ，a h n o s td i f f e r e n c es e tp a i r s ，c y c l o t o m y c l a s s ，s e q u e n c ep a i r s ，h a l lp o l y n o m i a l i i 福建师范大学硕士学位论文独创性和使用授权 声明户明 本人( 姓名)李建周学号2 q q 鱼q 昼z 昼 专业应用数学所呈交的论文( 论文题目：差集偶 与几乎差集偶) 是本人在导师指导下，独立进行的研究工作及取 得的研究成果尽我所知，除论文中已特别标明引用和致谢的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果对本 论文的研究工作做出贡献的个人或集体，均已在论文中作了明确说明并 表示谢意，由此产生的一切法律结果均由本人承担 本人完全了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：福 建师范大学有权保留学位论文( 含纸质版和电子版) ，并允许论文被查阅 和借阅；本人授权福建师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文，并按国家有关 规定，向有关部门或机构( 如国家图书馆、中国科学技术信息研与究所 等) 送交学位论文( 含纸质版和电子版) 。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 学位论文 签名日期 指导教师签名 绪论 绪论 0 1 研究背景 在通信工程中对所处理的最佳信号提出如下两个条件( 或其中之一) ：1 ) 信号集 里的每一个信号都很容易与其自身的时延信号区分开来；2 ) 信号集里的每一个信 号都很容易与其它信号以及它们的时延信号区分开来目前已研究出许多符合这样 条件的最佳信号如最佳二进阵列、b a r k e r 序列、仇序列、g o l d 序列，平方剩 余码、辛格码、雅可比码、霍尔码、光正交码等在判定上述这些码的最佳性时使 用的自相关函数，是用序列与其自身时延序列的共轭序列的内积来表征的( 目前在 研究各种最佳信号的自相关函数时都用此定义，或类似方法) 这种方法不仅限制了 最佳码的存在空间，而且在工程中应用时，还要求发送序列与接收机中计算自相关 函数时所用的本地序列是同一序列所以，寻找新的意义下的最佳信号形式，以克 服这一局限性是有重大的理论意义和工程应用价值的 1 3 l 通过对雷达、声纳、码分多址等系统中信号检测过程的初步研究，发现发送的 序列与接收机中所用的本地序列可以不必是同一个序列，而只要这两个序列( 称为 序列偶) 满足一定条件，就完全可达到工程上对最佳信号的要求这样，原来意义 上的最佳信号是这种最佳信号的特例( 即两个序列相同) 序列偶中两个序列的互相 关函数定义为这个序列偶的自相关函数，以此为依据可广泛研究各种形式上的最佳 信号 在过去的几十年中，经国内外学者不断地努力，在这方面取得了不少突破性成 就，成功地设计出许多类同时具有良好循环自相关和互相关特性的序列和阵列，特 别是从理论上给出了循环相关函数的性质和码限这对于进一步研究具有良好循环 自相关和互相关特性的序列和阵列有重要的指导意义，同时，由于具有良好循环相 关特性的最佳序列或序列族往往与一些著名的区组设计等价，致使对于最佳信号序 列的研究不但有重要的实际意义，而且还有重要的理论意义这种信号序列由两个 相同阶数的序列组成，这两个序列的互相关函数定义为这个序列偶的自相关函数 序列偶在通信、雷达、声纳等系统中可以作为地址信号来使用其方法是当系统用 1 福建师范大学李建周硕士学位论文 序列偶作地址信号时，任选序列偶中的一个序列作为传输地址信号，而用另一个序 列作为接收机的本地序列，通过计算序列偶的自相关函数( 即这两个序列的互相关 函数) 来达到提取信息的目的基于偶的相关信号也可以分为循环相关信号和非循 环相关信号由于本课题的研究主要涉及到循环相关，所以主要阐述在循环相关准 则下最佳离散信号设计的问题 1 2 】 基于偶的相关信号从提出到目前为止只有十几年时间，该类最佳信号的设计还 处于初级阶段，在文献【4 7 】中对最佳二元阵列偶及最佳二元互补阵列偶进行初 步的研究，已经获得了可喜的成果但是，该思想还未获得广泛的关注，基于偶思 想的最佳信号设计还有很大的提升空间偶的思想可以和传统上的许多最佳信号的 设计思想相结合，从而获得更多、更好的最佳信号如：最佳多元阵列偶、最佳多 元互补阵列偶、最佳并元阵列偶、准最佳二元阵列偶、最佳屏蔽二进序列偶等基 于偶思想的最佳信号的形式和设计思想与传统的最佳信号的形式和设计思想是不同 的，因此以往研究最佳信号所使用的数学工具在此不能发挥作用文献f 6 j 提出了 一类新的最佳信号；最佳二进阵列偶应用这种阵列偶可以使系统的接收端使用与 发送端不同的信号进行相关信号检测，通过计算阵列偶的自相关函数( 两个阵列的 互相关函数) 来达到提取信息的目的基于二进阵列偶的研究背景，文献 1 】提出了 一类新的组合设计一差集偶，并研究了最佳二进阵列偶与一类特殊的差集偶的等 价关系差集偶及其推广形式是刚提出不久的新概念，有关于它们的性质和构造方 法等很多深层次问题需要进一步研究对于这些问题的研究既能够开辟一个数学研 究领域，同时又将为新的最佳信号设计提供有效的数学方法，进而推进最佳信号的 研究基于差集偶理论设计出的新的最佳信号将使扩频通信系统的设计具有更广泛 的地址码选择范围 【1 】 o 2 基本概念和符号 定义0 2 1 1 8 设a = ，a l ，a v 1 ) ，b = b o ，b l ，儿一1 ) 分别是u 长二 元序列，称a ，b 组成一个 阶自相关二元序列偶，记为( a ，6 ) 此序列偶的循环自 2 绪论 相关函数定义如下： 一1 r ( 。 6 ) ( 7 ) = 啦巩+ r ，7 = 0 ，1 ，u 一1 i = o 其中下标( i + 丁) r o o dv ，当7 - = 0 时，将r ( 蚰) ( 丁) 称为( a ，b ) 的同相自相关函数， 当丁0 时，将r ( 。，6 ) ( 7 - ) 称为( a ，b ) 的异相自相关函数 定义0 2 2 【8 】设口= o 。，a l ，一1 ) 为一个u 长二元序列，集合u 是乙 上的一个子集，若有下式成立： 非，- 1 ， e u ； i 1 ，i 磊以 则称集合u 是序列a 的等价集，序列a 是集合u 的特征序列 定义0 2 3 【8 】设a = o 。，a l ，a v - 1 ) ，b = b o ，b 1 ，k 一1 ) 分别是u 长二元 序列，序列偶( a ，b ) 间的汉明距离定义如下t d ( a ，b ) = l t ，0 i u 一1l 砚兢) 定义0 2 4 设u = 蛳，0 i k 一1 】为乙上的k 元子集，若九( z ) = 耋：z 毗则称钆 ) 为集合u 所对应的h a l l 多项式 例0 2 1 设u = 2 ，3 ，8 ，9 ) 是z l o 的子集，则集合u 的h a l l 多项式为 儿( z ) = z 2 + z 3 - t - x 8 + z 9 定义0 2 5 1 9 l 设d 是t ，阶a b e l 群磊的一个子集，k 为集合d 中元素的个 数，即： k = i d i ，若对乙中的每个非零元g ，方程 z y 三g ( m o d v ) 恰有a 个解对( z ，可) ( d ，d ) ，则称d 是乙上的一个( t ，k ，a ) 一差集( d i f f e r e n c es e t ) ， 简记为d s 一( ，k ，a ) 现在已知的差集种类很多，其中比较著名的有以下两种形式： ( 1 ) h a d m a r d 差集： ( u ，尼，a ) = ( 4 n 一1 ，2 佗一1 ，佗一1 ) ，4 n 一1 为素数幂； ( 2 ) s i n g e r 差集：( u ，k ，a ) = ( 碍竿，符，专旱) ，q 为素数幂，钆2 3 福建师范大学李建周硕士学位论文 定义o 2 6 1 5 1 设( g ，+ ) 为t ，阶加法群， d l ，d a ，d u ) 为x 上u 个两 两不相交的子集组成的集合，i d l l = l d 2 i = = l 仇i = c 如果对口一1 个非零 元g g ，方程 z y = 夕，( z ，y ) d ix 功( i j ) 恰有a 个解，则称 d 1 ，d 2 ，d u ) 为g 的一个( ，c ，a ) u 一外差族，简记为 ( ，c ，a ) u - e d f ( e x t e r n a ld i f f e r e n c ef a m i l i e s ) 例o 2 2 在磊中，d t = 1 ，4 ) ，d 2 = 2 ，3 ) 构成( 5 ，2 ，2 ) 2 一e d f 对于勘阶加法群( g ，+ ) 上的( ，c ，a ) u - 外差族，显然有以下这个基本的必要 条件： a ( 一1 ) = u ( t 正一1 ) c 2 定义0 2 7 【1 】设乙= o ，l ，口一1 ) 是模t ，的剩余类加群，u ，w 是磊 的两个子集，i u l = k ，l w i = k 7 ，i unw i = e ，若对磊中的每个非零元夕，方程 z y 三g ( m o d v ) 恰有入个解对( z ，y ) ( 以) ，则称( 以) 是磊上的一个( ，k ，k ，e ，a ) 差集偶 ( d i f f e r e n c es e tp a i r s ) ，简记为( ，k ，e ，a ) - d s p 显然地，若存在( u ，k ，k ，e ，入) 差集偶则有以下必要条件成立 k k = e + a 一1 ) 例o 2 3 取u = 1 4 ，u = o ，2 ，4 ，6 ，8 ，l o ，1 2 ，w = 1 ，2 ，4 ，8 ，9 ，1 1 ) 则( 以w ) 是z 1 4 上的一个( 1 4 ，7 ，6 ，3 ，3 ) 差集偶 许成谦在文【1 】中提出了一类新的组合设计一差集偶，利用差集偶可以构造 最佳二进阵列偶，而这种阵列偶可以使系统的接收端使用与发送端不同的信号进行 相关信号检测同时，对于许多二元序列偶来说，其自相关函数是多值的。而不是 二值的，因此许成谦等人又把差集偶推广到广义相对差集偶 定义0 2 8 1 2 1 设v l ，忱，n 2 是两两互素的正整数， t ，= n 仇，玩= r i = l o ，1 ， 一1 ) 显然u 有2 - 2 个形如兀。的真因子，其中u h 。_ 口1 ，u 2 ，) ，7 = t - - l 4 绪论 1 ，2 ，n 一1 移的这2 n 一2 个真因子的集合为a ，令口：a b = 2 ，3 ，2 n 1 ) a ( 1 7 仇) = 仇，m b 为任意双射再令 i = 1 丑= z 磊：任意都不能整除z ，j = 1 ，2 ，佗) = x 玩： o h 。i z ，t = 1 ，2 ，r ，但任意吻都不能整除z ，隹 o h l ，v h 2 ， k ) 设u ，y 为磊的两个子集，若，y 满足以下两条，则称( 以y ) 为乙上一 个( v l ，1 ) 2 ，v n ；k ，k t ；入1 ，a 2 ，a 2 n 一1 ) 广义相对差集偶，其中l u i = 七，f v f = ( 1 ) 对于任意7 t x ，同余方程z y = r ( m o d v ) ，x u ，y v 恰有入1 个解 ( 2 ) 对于任意r ，m = 2 ，3 ，2 n 一1 ，同余方程z 一秒= r c m o d v ) ，x u ，y v 恰有a m 个解 例o 2 4 取口l = 3 ，忱= 5 ，口= 1 5 ，令口( 3 ) = 2 ，q ( 5 ) = 3 ，则7 1 = 1 ，2 ，4 ，7 ，8 ，1 1 ，1 3 ，1 4 ，t 2 = 3 ，6 ，9 ，1 2 ，t 3 = ( 5 ，l o 令u = 7 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 3 ) ， v = 2 ，3 ，9 ，1 0 ，1 1 ，则( 以v ) 构成( 3 ，5 ；5 ，5 ；2 ，l ，i ) - 广义相对差集偶 我们注意到差集、外差族、差集偶和广义相对差集偶有以下关系： 1 当u = v 时，差集偶( 阢y ) 就退化为通常的差集 2 当k = k 7 且t = 0 时，差集偶( 以y ) 就为( t ，k ，2 a ) 2 一e d f 3 当入1 = a 2 = = a 2 一1 时，广义相对差集偶就退化为通常的差集偶 文【1 0 】、【1 2 】给出了差集偶和广义相对差集偶的一些性质，利用这些性质可以 从已知的差集偶和广义相对差集偶构造出新的差集偶和广义相对差集偶 5 福建师范大学李建周硕士学位论文 第1 章差集偶 在雷达、扩频通信、移动通信等众多领域中，经常需要设计各种序列，并 判定这种序列是否为最佳信号此时，一般用序列的循环自相关函数序列的异相 循环自相关函数值越小越好，若为零值，则此序列为最佳信号文献【6 】提出了一 类新的最佳信号：最佳二进阵列偶应用这种阵列偶可以使系统的接收端使用与发 送端不同的信号进行相关信号检测，通过计算阵列偶的自相关函数( 两个阵列的互 相关函数) 来达到提取信息的目的基于二进阵列偶的研究背景，文献【1 】提出了一 类新的组合设计一差集偶，并研究了最佳二进阵列偶与一类特殊的差集偶的等价关 系本章利用分圆类的方法，构造了新的参数形式的差集偶，为利用差集偶构造新 的最佳离散信号提供了理论基础 1 基本概念和性质 定义1 1 1 1 1 】设乙= o ，1 ， 一1 ) 是模t ，的剩余类加群，u ，w 是磊 的两个子集，i u l = k ，i w i = k ，i unw i = e ，若对乙中的每个非零元9 ，方程 z y 兰9 ( m o d v ) 恰有a 个解对( z ，y ) ( 以) ，则称( 阢w ) 是磊上的一个( ，k ，k ，e ，a ) 差集偶 ( d i f f e r e n c es e tp a i r s ) ，简记为( 钉，k ，k ，e ，入) - d s p 显然地，若存在( 口，k ，k ，e ，a ) 差集偶则有以下必要条件成立t k k 。= e + a 一1 ) 例1 1 1 取秒= 1 4 ，u = o ，2 ，4 ，6 ，8 ，1 0 ，a 2 ，w = 1 ，2 ，4 ，8 ，9 ，1 1 则( 以) 是历4 上的一个( 1 4 ，7 ，6 ，3 ，3 ) 差集偶 定义1 1 2 f 1 j 对于一个周期为 的二元序列偶( a ，6 ) ，如果它的所有异相自相 关函数都为0 ，则称这个序列偶( a ，b ) 为最佳自相关二元序列偶，具体地，其自相关 函数可表示为： r c 口，c 丁，= 参o ：蓁三： 6 第l 章差集偶 定义1 1 3 设q = e fh - 1 为素数幂，日为q 阶有限域，日= b 0 设 u 为日的本原元，e = u 。，令 研= u ，u e ，u 2 ，u ，一1 ) = u ，0 i e i 则称皤，研， 定义1 1 4 或等价地， ，距l 为日的e 阶分圆类 1 9 1 设q = e f - fi 为素数幂，对0 i ，j e 一1 ，令 ( t ，歹) e = i ( 。，y ) i x 月? ，矽月：，z - f1 = y ) ( i ，歹) e = i ( 研- fi ) nz - ； 则称( i ，j ) e 为e 阶分圆数当无需指明e 时，也常将( i ，歹) 。简记为( t ，歹) 容易证明如下引理： 引理1 1 1 设g 磁，则方程 。- i - g = y ，z 研，y 蟛 的解的个数为( i 一七，歹一尼) 引理1 1 2 【9 】分圆数有如下一些性质。 ( 1 ) ( t 7 ，j ，) e = ( z ，歹) 。， 其中i 三( m o d e ) ，歹7 三j ( m o d e ) c 3 ，c t ，歹，e = g 2 善，；+ ；，。，耋耋1 0 ( 4 ) 踹n = 六f - - l 瑟啦j ( 5 ) 珈c = ，f - - l , 耋例j = o ： 下面我们给出差集偶的变换性质，利用这些变换性质我们可以由已知的差集偶 7 福建师范大学李建j 司硕士学位论文 定义1 1 5 m l 设磊= o ，1 ，v - l 是模 的剩余类加群，u = _ u 1 ，u 2 ，u | c ) 是磊的k 元子集，贝l j ( 1 ) u + r = 牡1 + 丁，u 2 + 7 ，t 正七+ 1 - ) ； ( 2 ) q u = q u l ，q u 2 ，q u k ，( q ，口) = 1 ； ( 3 ) u = 磊m 分别称为的平移，采样，互补集 引理1 1 3 1 0 l 设玩= _ o ，1 ，t ，一1 ) 是模 的剩余类加群，( o r , w ) 是乙 上的一个( u ，k ，k e ，a ) - d s p ，则 ( 1 ) ( o r + 7 ，+ 丁) ，( q u , 口) 为玩上的( 口，k ，k ，e ，a ) - d s p ，( 口， ) = 1 i ( 2 ) ( 可，w ) 为五，上的( ，u k ，k ，k 一c ，k 一a ) 一d s p ； ( 3 ) ( 阢- ) 为磊上的( 口，k ，u k ，k e ，k a ) - d s p ； ( 4 ) ( 可，刀) 为玩上的( u ，钞一k ， 一，t ，一k 一+ e ，u k k + 入) 一d s p ； ( 5 ) ( 彬u ) 为磊上的( ，k 。，k ，e ，a ) - d s p 引理1 1 4 【1 3 】设存在( t ，h ，k 2 ，入，a ) - d s p ，( ，七i ，磁，入7 ，a ) - d s p ，则存在 ( u 7 ，尼l 尼i ，k 2 磁，入入，a a ) 一d s p 证明：设( u ，y ) 构成( t 7 ，七l ，入，x ) - d s p ，( u 7 ，v 7 ) 构成( 7 ，磁，入7 ，入7 ) 一d s p ， 由( u ，口) = 1 ，令u = ( z ，y ) ：z y u 7 ) ，v = ( z ，y ) ：z ky v 7 ) 贝0 ( ，) 构成( v u 7 ，后1 尼：，七2 k , 2 t ，h a 7 ，入a 7 ) - d s p 引理1 1 5 1 3 1 设( 以v ) 构成模t ，的( ，m ，七，e ，a ) 一d s p ，( 以v 7 ) 构成模t ， 的( 秒，仇，k 7 ，e ，a ) - d s p ，并且l ynv 7 i = ，则( 阢yuy 7 ) 构成模 的( 秒，m ，k + k ，e + e ，入+ 入7 ) 一d s p 1 2 差集偶的分圆类构造方法 本节我们将给出基于2 阶和4 阶分圆类的差集偶的构造方法，得到几类具有新 的参数的差集偶 定理1 2 1 设q = 2 1 + 1 为素数幂，砺，研为其2 阶分圆类，日为q 阶 有限域，令 u = ( o ，0 ) u 0 ) 瑶u o ) h i ， 8 第1 章差集偶 w = ( 【o ) 田u ( 1 ) 碍) ， i ，j 0 ，1 ) 则( 以) 构成f 2 日上的一个( 4 ，+ 2 ，2 f - i - l ，2 s ，) 差集偶 证明：显然有，i u i = 2 s + 1 ，i w l = 2 f ，i unw i = ， 对任意的g ( 昂b ) ( o ，o ) ，记 = i ( u - i - g ) nw i = i 【( o ，0 ) + g 】n o ) 研l + i 【( o ，0 ) + g 】n 1 ) 研 + i ( 【o ) h g + g ) n o ) 研i + i ( o ) 瑶+ 夕) n 1 ) 聊i + i ( 【o ) h ；- i - 9 ) n ( 0 ) 研i + i ( 【o ) 研+ 夕) n 1 ) 够；i 以下分3 种情形讨论： ( i ) 当g ( o ) 磁，( k = 0 ，i ) 时， ：j ( o k , i 一尼) + ( 1 一七，i 一七) = ， 当t 尼； i1 + ( 0 一k ，0 ) + ( 1 一k ，0 ) = 1 - i - ，一1 ，当t = k 根据引理1 1 2 ( 5 ) ，得。 ：，当t 后； i ，当i = 七 ( 2 ) 当g 1 ) 磁，( k = 0 ，1 ) 时，类似地可计算得： ：j ( o 一尼，歹一) + ( 1 一七，歹一七) = ， 当j 尼； 【1 - i - ( 0 一尼，0 ) + ( 1 一尼，0 ) = 1 + 厂一1 = s ，当j = k ( 3 ) 当g = ( 1 ，0 ) 时， 厶= 0 - i - 0 - i - 0 - i - 1 七0 七0 = 。 故对任意的9 ( 岛日) ( 0 ，0 ) ，方程z y 三g ( m o d v ) 的解的个数恰有，个 解对( z ，y ) ( 阢) ，从而( 仉) 构成易马上的一个( 4 ，+ 2 ，2 ，+ 1 ，2 ，) 差集偶证毕 9 福建师范大学李建周硕士学位论文 = = = = = = = = 2 ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ：= = = ：= = = = = = ；：= ：= = = ；= = = = 例1 2 1 取q = 7 ，3 为f 7 的本原元， 则珊= 1 ，2 ，4 - ，研= 3 ，6 ，5 ) ，令 u = ( ( o ，0 ) u ( o x 皤u 0 ) 研) = ( 1 ，3 ，5 ，7 ，9 ，1 1 ，1 3 ， w = o ) 墙u 1 ) x 瑶) = ( 1 ，2 ，4 ，8 ，9 ，1 1 ) 则可验证( 阢w ) 是z 1 4 上的一个( 1 4 ，7 ，6 ，3 ，3 ) 差集偶 以下先给出4 阶分圆数 1 4 】，这些分圆数由q = 4 y + 1 的分解式x 2 + 4 y 2 ，z 三 l ( m o d 4 ) 唯一决定 ( 1 ) 当，是偶数时，这些分圆数关系由下表给出： ( i ，j ) 0 123 0abgd 1bdee 2cece 3deeb 其中 a = 鼍半，b = 学，c = 地1 6，d = q - 3 + 1 2 6 x - 8 y ，e = q + l l r - 2 z ( 2 ) 当，是奇数时，这些分圆数关系由下表给出。 ( i ，j ) 0 l23 qabcd 1 e edb 2aeae 3edrr 其中， a = 仁等丝，b = 鲢学，c = 吐生1 6 曼苎，d = q + l + 1 2 6 z + 8 y ，e = 旦= 丝1 6 兰 定理1 2 2 设q = 4 ，+ 1 为素数幂， 研( i = 0 ，1 ，2 ，3 ) ，为其4 阶分圆类， 日为q 阶有限域，令 u = ( o ，o ) u o 皤u o 研u ，且 当，为偶数时，( 阢) 构成日上的一个( 4 ，+ 1 ，2 ，+ 1 ，2 f ，2 y ，) 差集偶 证明t 由定理1 2 4 和引理1 1 3 即得 推论1 2 1 7 设口= 4 f4 - l 为素数幂，研( i = 0 ，1 ，2 ，3 ) ，为其4 阶分圆类， b 为g 阶有限域，日= 日【o ) 令u = 掰u 毋) ，w = o ) u 掰u 磁) ，且 当f 为偶数时，( 阢) 构成日上的一个( 4 厂- i - 1 ，2 f ，2 ，4 - 1 ，2 厂，) 差集偶 证明：由定理1 2 4 和引理1 1 3 即得 推论1 2 1 8 设口= 4 f4 - 1 为素数幂，研( i = 0 ，1 ，2 ，3 ) 为其4 阶分圆类，日 为g 阶有限域，日= b o ，令u = o ) uh tu 明) ，w = ( o ) u 刚u 明) ， 且当，为偶数时， ( 阢) 构成局上的一个( 4 ，+ 1 ，2 ，+ 1 ，2 ，4 - 1 ，1 ，厂- t - 1 ) 差集 偶 证明：由定理1 2 4 和引理1 1 3 即得 其他推论不再一叙述 1 3 差集偶与最佳自相关二元序列偶的关系 定理1 3 1 设a = a o ，a l ，a v _ 1 】，b = 6 0 ，b l ，k 一1 ) 分别是口长二元 ( 一1 ，1 ) 序列，u ，w 分别是a 和6 的等价集，i u i = 忌，l w l = k ，i unw i = e ， 则( 以) 是磊上的一个( t ，七，e ，入) 差集偶的充要条件是序列偶( a ，b ) 的自相 关函数具有如下形式t r c n ，6 ，c 7 ，= ：二主 蹇：箬；：三叉：蓁三： 并且当口= 2 ( k + k ) 一4 a 时，序列偶( 口，b ) 是最佳自相关二元序列偶 证明：令 鼽= 瑟阢俄= 瑟 1 5 福建师范大学李建周硕士学位论文 因为a ，b 分别是u ，w 的特征序列，所以可得a i = 1 2 p l ，玩= 1 2 依，( i = 0 ，i ，影一1 ) 又由 从而 i = v - 1 ( 1 - 2 p i ) - ( 1 2 q i + ，) i = 0 ( 1 2 挑一2 吼+ r + 4 a 吼+ r ) = t ，一2 ( 七十) + 4 l i ，i + r w 成立的充要条件是 = v - 2 ( k + k ) + 4 e , 菇 l i e u , i - l - r c w - - r 薯 这等价于( 玩彬) 是磊上的一个( u ，后，e ，a ) 差集偶又由定义1 1 2 知当 = 2 ( k + k ) 一4 a 时，序列偶( o ，b ) 是最佳自相关二元序列偶 定理1 3 2 设扩= 铭i ，1 i 耐，w = 7 1 3 i ，1 i 】为玩j ：的f f - 集，( z ) ，o w ( x ) 分别是集合u ，w 的h a l l 多项式，则( 阢w ) 是乙上的一个 ( 彭，奄，k ，e ，入) 差集偶的充要条件是 o u ( z ) o w ( z - 1 ) = e a + a t ( z