（应用数学专业论文）线性模型m估计及其应用研究.pdf

摘要 摘要 本文研究线性模型的一种重要的稳健性理论线性模型中的m 一方法，主要研究在损失 函数取凸函数时所得m 估计的某些大样本性质及其数值模拟算法。 首先，在i i d 大样本情形下，研究了断1 的极限特征及讨论了一般线性模型下m 估计的 弱相合的充分性条件。利用细致的投影分析方法并结合其统计背景得出s ：1 的结构形式，在 一定条件下证明了当聆+ 时断1 主对角元本身具有并且同时从整体上决定了其他各元的 下降特征，这在m 估计弱相合性的证明中是非常重要的。 其次，在i i d 大样本情形下，研究了d 。= m a x l ；，。x ，s 1 x ，的代数特征及对于非齐次线性 模型下m 估计强相合性的充分性条件。主要证明了在一定条件下或= m a x ；。x ：断1 x 。的 某些很有用的性质，特别是在线性变换下具有不变性，即：d 。= m a x 。x ：s ：x 。比1 更 能反应线性模型的本质；并且在与文献【3 】7 6 7 7 页中结果相比更弱的条件下，证明对于非齐 次线性模型下m 估计的强相合性的一个充分条件是 d 。= m 酲l f ；。( 一一焉) 巧( x ，一磊) = 0 0 。) ，其中o 占 1 。并证明若要占= 1 结论依然 成立须稍加强条件 最后，对于一类很重要的m 估计一一l a d e ，我们给出了在一定条件下求其估计值的数 值算法并把l a d e 与l s e 同时运用于含有“异常值”( o u t l i e r ) 的多元数据分析问题，结 果表明在该种情况下l a d e 优于经典的估计方法一l s e 。 关键词：线性模型； 正交投影： 弱相合性； 非齐次线性模型 大样本： 谱分解： 强相合性 稳健性。 摘要 r e s e a r c ho fm - e s l l m j u 1 0 ni nl i n e a r m o d e l sa n di t s a p p l i c a t i o n a b s t r a c t t h i s p 印e rs t u d i e st h et h e o r ya b o u tr o b 嘶e s so fl i n e 盯m o d e l s m - m e t h o di nl i n e 盯 m o d e l s m a i n l y ， l a r g cs a f n p i e sp r o p e r t i e s 锄dn l l i i l e r i c a ls i m u l a t i o na l g o r i t l l ma 他s t u d i e dw h e n c o n v c xf h n c t i o n sa r et a k e na sl o s sf u n c t - o n s 。 f i r s t l y ，i nt h ec a s eo fi i d 1 a r g es 锄p i e s ，t l l ei i m i t i n gc h a r a c t e ro f 西1a r es t u d i e d 锄d s u 伍c i e n tc o n d i t i o n so fw e a kc o n s i s t c n c yo fme s t i m a t o r si nj i n e 盯m o d e i sa r ed i s c u s s e d 。t h e s t n l c n 鹏o f 断1 i sg o tb yt h em 劬o do f p r o j e c t i o n 姐a l y s i su n d e r i t ss t a t i s t i c a ls u r r o u n d i n g 。l t i ss h o w nm a tm a i nd i a g o n a le i e m e n t so f 断1 i sd e s c e n d i n gt 1 1 e m s e j v e sw j l 锄刀 ，w b j c h m a k e sl l i ea l l l e re l e m e n 乜o f 1 d e s c e n d i n g o nt 1 1 ew h 0 1 ea tt i l es 锄et i m e 。 s e c o n d l y ， i n也ec 鹊e o fi i d 1 a r g es 锄p i e s ， t h e a l g e b m i c p m p e r t i e s o f d n = m a ) ( 1 甜如xj s ：1 x i a n ds u m c i e n tc o n d m o n so fg 奸o n gc o n s i 删o fm e s t i m a t o r si n i n h o m o g e n e o u s l i n e 8 rm o d e l s呲 s t u d i e d c a r e 削l y 。 s o m eu s e f u l p r o p e n i e s o f 以= m a x 如z j 1 x ja 他p r o v e d 硼d e rs o m eg i v e nc o n d i t o n s ，e s p e c i a n yc o n t 拍tp r o p c n j e s u n d e r1 n c 耵仃蛳s f o m 。t h a t st os a y ， 以= m a 】【i g 如x ：断1 x ，m n e c 乜t t i ee s s e n c eo f l i n e 耵 m o d e l sm hb e 船r t h 卸断1 。w h a t sm o 咒，蛐d e rs o m ew e a k e r c o n d i t o n st h 柏t h e m s p o n d i n gm e o r yi np 鸭e7 “7 7o fp a p e r 【3 】，o mo ft l i es u f n c i e n tc o n d i t i o n so fs 仃o n g c o 啮i s t e n c y o fme s t i m a t o i 葛i n i n h o m o g e n u s l i n e 盯 m d d e j sj s 瓯= m 姒i “( x ，一瓦) 。巧1 ( x 一瓦) = d ( 一6 ) w h e r e0 占( 1 、 ，1 1 e n 占= 1 ，c o n d n i o n sm u s t b es 仃c n g i i i e n e dt om a k e 吒= d ( h 1 ) t o y e t b es u 茄c i e mc o n d i t i o n s 。 f i n a l l y ，t 0o n ec l 黜o fv e r yi m p o r t 蚰tme 鲥m 呦r s - l a d e ，n 啪e r j c a la l g o r i t h m so n h o w t o 鲈t m ev a i u eo f l a 亡) ea 把s n j d ；c d 咖d e r m eg i v e nc d i t i o n s 。l a d e 锄dl s e a nb o t l l a p p i l e dt om ep b l 啪sa b o u tm u t i v a r i a 主ed 呱矗眦i y s i sw h i c hi n c l u d 髓o u t l i e 体蛐dn u m e r i c a l s i m u l m i o n 他s u l t ss h o wm a tl a d ei sb e n 盯t h 觚l s ei nt h i sc a s e j 始yw d ，协： l i n e 盯m o d e l ： + o n i l o g o n “p m j e c t i o n ； w b a l c c o n s i s t e n c y ： i n h o m o 弘n e o 峭l i 眦m o d e i s l 岫g es 咖p l e s ： s p e c n 训d e c o m p o s i t i o n s ”o n gc o n s j s t e n c y ： i 如b u s 臼i e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的内容以外，本论文不包含其他人已发表或撰 写的研究成果，也不包含为获得 或其他教育机构的学位和证书而使用过 的材料。与我一起工作过的同志对本研究所做的贡献已在论文中作了明确地说明并表示谢 意。 学位论文作者签名 签名日期：年一月- 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 在线性模型中，经典的估计方法是最小二乘方法( l s ) ，它在很长时期、很大程度上占据 这一领域的中心位置。但是也不可否认，l s e 在某些方面表现不甚理想。于是，统计学家提 出了许多替代方法，m 方法是其中最重要的一种。1 9 6 3 年，h u b e r 在文献【1 伸就位置参数 模型首次提出m 方法的概念。1 9 7 3 年，h u b e r 在文献 2 】中把该方法推广到一般线性模型。 此后几十年，特别是上个世纪九十年代至今，m 方法成为统计学研究的热点之一，且成果 迭出本文主要从事这方面的研究。 第一章主要介绍m 方法的定义。首先介绍m 估计家族中最重要的成员l s e ，同时说 明m 估计的缘起( 第一节) ；然后介绍m 估计的两个常见定义及其基本定理( 第二节) ：最 后介绍论文的主要研究内容及问题的基本性质。 1 1 线性模型中的经典估计理论l s 方法 考虑线性回归模型 r = x ：+ e ， f = 1 ，2 ，l ( 门1 ) ( 1 1 ) 其中卢是未知的p 维回归参数向量；r 、x 、e 。分别是第f 次观察或实验时目标变量( 因变 量) 、因素或解释变量( 自变量) 和随机误差的取值r 和z 。已知，分别为1 维和p 维：p ， 是不可观察的，因而其值未知。该模型的含义是：y 与x 之间是有关的，基本上是线性的， 但并未确切的为线性，而是受随机误差e 的干扰。 针对线性模型，1 8 0 5 年，l e g e n d r e 发明最小二乘法( l s ) 。1 8 0 9 年，g a s 引进正态误 差理论。1 8 2 3 年，g a 啊s 证明了l s 估计的基本性质，即g 8 雌s m a r k o v 定理，加上1 9 世纪 h e l m e r i 、p i z t t i 等人在有关残差平方和的分布理论上的贡献。为这个模型的理论和应用打 下了坚实的基础1 9 世纪末统计学家p r s 发现此模型与多维正态分布的联系，开辟了把 此模型应用于社会经济学和生物学的门径把当时刚发展起来的相关回归分析纳入此模型的 门下到1 9 2 0 年统计学家f i s h e r 将此模型自变量取值离散化，使由人工试验产生的数据 磷北大学硕士学位论文 豹分辑氇霹戳纳入戴模型孛。其维栗裁是著名戆方差分辑法。经避g u s 、鹣a f s o n 、秘f i s h 嚣r 这三位大师的里程碑式的工作，线性模型概括了大部分戚用统计的领域，成为数理统计学中 照有影响的模型。 l s 方法历史悠久，无论燕理论研究还是实际应用，在回归分析领域审都可以谎占据中 ，控差。双实器应羽豹是瘦露畜，箕舔困在于：、l s 健诗易求麓为线搜，便于计算瘦弱； = 、l s 估计具有某些最优性质，其中g m 定理具有根本的重要性。从理论研究的角度丽 肖其原因在于：、l s 估计是一个形式简单的显式表达式；= 、基于前者，l s 估计的 绕计性质翁于研究。 无论献耱史还题递辑静角发看，l s 继诗都其寄穰强懿生命力，僵是纛些情躐下，l s 估计表现不好，却也是公认的事实。其中之一就是数据巾混入少慧的“异常值”( o u t i i e r ) ， 郓该数据瓣瓣僵与冀他的观涮值不悬来自于同个模型。 先看一个简单的饲子。 倒l t l 1 设占( 0 ，仃2 ) ，叮= o 。6 ，剩用随机数产生6 个独立观测德：最，龟， 对给定的x ，按如下的模型产生r 的观测值： 数据如表1 1 1 j i = 一2 _ x f + 占f ，i = l ，2 ，3 ，4 ，5 乓一2 一x 6 + 1 2 + 氏。 袭l 。l 。l - i e a l r 2 f 置 l2 4 s 2 0 9 2 4 4 230 7 3 o 4 2 - 0 3 3 3- 2谁。秘 趣。2 7 。1 2 41 一1 4 41 5 9 o 5 4 5o 1 3 2 1 3 9 o 5 5 6l o oo 7 5 1 1 氍 擞然，第6 缎数据是“鼻豢焦”。 2 在不知情的情况下 由上表6 组数据可求y 与x 的一元回归方程为； 多= o 0 6 9 3 o 0 8 1 5 。 ( 1 2 ) 其圈如下赢线f l ，残营1 r 。虽然系数与真实模型相差甚远，但是其“异常点”( 圪) 的残羞并不大 若去掉第6 点，由上表5 组数据可求y 与x 的一元回归方程为： 多一1 8 7 2 - 0 - 9 7 7 “ 其图如下宣线? 2 ，残差2 e 。其回归系数与真实模型相当接近。 一 i 一 ： ； l ； ； ! ；一一 i ； _ r 蜷l1i n n n 弋 、警蓼直线 n 上例表明：当数据中混入少量的“异常点”后- 会对回归系数的估计产生很大的影响 而有时其对应的残差并不大。 为什么会出现这种情况呢? 我们知道残差表达式为： e ：l ，一p = ( ，一h ) y 其中 h = x f x ) 一x 。( ) 一 l ，= ( k ，y 2 ，l ) ， 矿：( e ，圪，只) + ， x = ( x l ，x 2 ，。p ) 3 面髫 西北大学硕士学位论文 设 个点中，仅有第f 个点因某种过失造成误差r ，即其正常值应该是f + ，而现在观 测到的是r = r + y ：。 在上述情况卜，用e ，e ；，e ：表示用，r 一，r ，r + l ，匕求得正常误差，用 q ，e ：，表示用x ，r + r ，j ：。，k 求得的带异常观测点的误差。 则在第f 点的残差为： e 】f ：一一一鱼。r + j - t = ( 1 一红，) r 一一 j t l 同理 巳= ( 1 一) 】：一l ， j t j 从而 q e ? = ( 1 一曩，) f 当 。很接近于1 时，8 ，与p j 的差异可以很小。在其他点上，譬如在第k 点上的残差 p ：= ( 1 一k ) k 一 r 一 。r j j t 巳= ( 1 一k ) k 一 ，一凡一 j 1 k 从而 气一e ：= 一k z 只要k o ，当| i f 较大时：第k 点残差将会变大。 由以上分析我们知道从残差不一定能判断“异常点”。下面一节就引进一种存在异常 点对，对回归系数的估计影响不大的方法，它常被人们称为是种“稳健性”的方法。 1 2 m 估计的一些基本概念 一、稳健性问题 由上面的实例及理论分析我们知道，在某些场合下，l s e 的表现不甚理想，甚至与实际 情况相去甚远特别的，在数据中混有少量“异常点”的情况下，使回归系数失真( 偏离过 大) 用统计学的术语来说：l s e 的稳健性较差 何谓稳健性? 4 西北火学硕j ：学位论文 所谓稳健性是指，统计推断关于统计模型即假设条件具有相对稳定性。这就是说，当 模型假设发生某种微小变化时，相应的统计推断也只有微小改变。这时，我们就说统计推断 关于这种微小变化具有稳健性。现在，我们指的是样本观察值发生某种异常波动( 如：少量 较大或较小的“异常点”的出现) ，回归系数的估计值所具有的稳健性。 在最小二乘估计方法中，是按偏差平方和最小的思想来估计参数值的。可以说取的损失 函数是p ( x ) = x 2 ，该函数随h 的增大而迅速增大，这就使得，偏差平方和对“异常点，非 常敏感，闵而使估计失真，如：例1 1 1 中，使回归直线，2 的位置变到了，的位置，出现了显 然的偏离。 为了减少“异常点”对估计的影响，就要设法找到一个函数p 代替x 2 该函数除了随h 的增大速度应比h 2 慢以外，其他性质应与其类似。这便是m 估计的想法。 总之，对稳健性的追求是引进m 估计的最初动力。关于该方面的文献可参看文献 8 、 【9 】、【1 6 】。 二、m 估计 定义1 1 设函数p ：矗1 寸r 1 ，令 日，( ) = p ( r z ) ( 1 3 ) 称庶为的m 估计，如果 胃，( 反) = m i n 日，( ) ：r ( 1 4 ) 当然，我们可以马上对该定义提出以下两个问题：i ) m 估计是否一定存在? i i ) 若m 估计存在，则其是否唯一? 关于第一个问题，有以下的结果 定理1 1 设以下的三条件成立 l 、p 在月1 上处处连续 2 、存在口使得p ( ”) 当m 芝口时非降且不恒等于一常数；当川s 口时非增且 不恒等于一常数 5 西北大学硕士学位论文 3 、矩阵x = ( x l ，x 2 ，x 。) 的秩为p 。 则存在反r ”，使式( 1 4 ) 成立。 其证明参看文献【3 】。 关于第二个问题，我们通过后面第四章的引理4 1 1 可以看到m 估计不一定唯一。 设有线性模型( 1 1 ) ，用( 1 4 ) 定义的m 估计，并设p 的导数p 在r 1 上处处存在，则必满 足方程 少( r x ；) 墨= o 于是有学者在文献( 如文献 2 1 卜【2 3 】) 中干脆以此作为m 估计的另一个定义 定义1 2 设函数妒：r 一只1 ，称a 为的m 估计，如果 窆少( r x ：危) = 0 ( 1 5 ) 当然，对于该定义我们照样关心其存在性，有以下结果。 定理1 2 假定矿在r 上处处连续，且满足以下两个条件之一： 1 、存在口使当“口时，矿( ”) o ，且不恒等于零；当“ o = p ( 口) 综上据定理1 1 存在鼠r 9 ，使式( 1 4 ) 成立 6 西北大学硕士学位论文 v 在r 1 上处处连续， p ( “) 在r 1 上处处可导，且导函数为p 1 ) = 妒 ) 处处成立。 夙满足( 1 5 ) 。 若2 成立，则有 渺在尺1 上处处连续，且不是非负或者非正。 j 口，使矿( 口) = 0 。 又利用y 在r 1 非降，且不是非负或者非正，知：y 满足1 、的条件。 证毕1 | 三、p ) 作为损失函数 考虑线性模型( 1 1 ) 定义 赡o ) = 印( p ，+ f )( 点p ( e ，+ f ) 啊( o )( f o ) ( 1 6 ) 为什么要这个条件呢? 因为此时 e h p t e hp ( p 0 这就是说有更多的机会使 日，( ) h ，( 风) 因为m 估计使日，( ) 达到最小，上式意味着使日。( ) 达到最小的点，即m 估计应 有更多的机会在真值附近，而不是在远离真值的某个地方。反之，若( 1 6 ) 不满足，则相反的 情况就可能发生。这解释了( 1 6 ) 的必需性质。当然，( 1 6 ) 也可以不满足，相关的事例参 看文献【3 】p 4 5 4 6 。 我们经常研究一类具有很好性质很重要的损失函数p 以) 凸函数。关于这方面的文 献可参看文献【1 7 卜【2 0 】。 定义1 3 函数，：r + r 。称为凸函数如果 ，( 无+ ( 1 一a ) “2 ) s 矽( ) + ( 1 一五) ，( “2 ) ( v “l ，”2 r 卢v a r ) 7 西北大学硕士学位论文 若当“i “2 且0 日，( 风) ，则当卢曰时，必 有印( ) 局d ( 风) 。 这是凸函数一个重要的性质定理，尤其是3 ，在后边某些证明当中，我们会更明白这一 点。 在引入下一个定理之前，先列出几点凸函数的常见性质： 性质1 2 1p 在r 1 上处处连续。 性质1 2 2 设 旦! 竺12 二旦! 竺q ! a 2 一a oo l l a 0 旦壁1 2 二2 堕! ! ! 竺! ! 二生! 竺q2 口2 一口i口l 一口o 上面两性质的证明参看文献【1 7 】，很容易有下面的推论； 推论1 1 1 v r r 1 p 在胄不一定处处可导。但左导y 一 ) 和右导y + ( x ) 在r 上 处处存在；v 口，6 r ，口 6 有 设函数：月。- + r 。满足 y 一( 口) y + ( 口) 茎y 一( 6 ) 茎缈+ ( 6 ) 。 妒( x ) s 矿( 曲茎矿+ ( x )( 1 ，7 ) 0 西北大学硕士学位论文 显然函数v 在r 。上非降。 凸的性质与条件( i 6 ) 有密切关系，有下面定理。 定理1 4 p ) 为尺1 上的凸函数，帆( x ) 、矿一( 工) 、缈( z ) 的意义如上，又e 为随机 变量。则 e l p ( p 。+ f ) 一p ( p ，) i o ，使风d ( 风，氏) c 蜀 任意固定一个正数岛 0 ，满足( 岛 n 订此时 _ 亘墼兰堡丝墼苎 ，7 ：1 = d 州g + d ；1 g p + + d ? 。g ? 1 f f = g f 一玎f m o 叩f h = d ；“2 g ；”2 + d ；“2 g ；啦+ + d 2 g 2 f p 2 = g ：山一叩h ) o 需要注意的是：g ；”比g j l 要多出n 2 一啊个分鹫，但是g j 的前啊个分量与g ，的相同。 所以若记钎、叩卜分别由科、可：的前个分量构成的列向量，有 栌“2 妒+ 妒+ + d ? 2 “= 一1 一咿o 因而有： i i f f 1 1 2 = 忙：叩，1 1 2 ，其中瑁：为g p 在( g ，g ? ) 上的正交投影 i 陌。= 怕f 一町f 1 1 2 ，其中叩；。为g p ，在( g ，g ? 一，) 上的投影 所以有 刖i 2 而 肾一妒4 2 所以， 雌p ，2 即：f 防”r 单调上升，当n 斗o o 时。 由上得：巳l 0 ，且已l 单调下降。 当然，j q2 0 ，使得c jc l 0 ，当n 哼时。 根据引理2 l 2 交换g f ”与g j ”的位置则新得的c ：，= c 。i ，c ：l ：c 。 再按上面的证明方法得，c 。、lc ，芝0 当n _ 时o = l ，2 ，”) 。 证毕0 引理2 l 4 ( 谱分解定理j 钼；何对称矩阵彳p 。p 都可以分解为 爿= r a r = 苁，) 一j ) 口 j t l 其中，人= 幽曙( ，五2 一，z p ) 是有一，。p 的特征值所组成的对角阵 r 2 ( ，( 1 ) ，( 2 ) 一，( m ) 是由爿p ，的标准化特征向量 组成的正交矩阵。 证明：参看文献【3 】 1 8 西北大学硕士学位论文 定理2 3 的证明：沿用定理2 2 中的记号 因为断1 是对称的，根据引理2 1 4 对其作一个谱分解： s 二1 = r 人r 。 其中r = ( y ( 1 ) ，y ( 2 ) ，以p ) ) ，a = d l 昭( ，旯2 ，a p ) 的意义如上，据引理3 3 ，这里西1 是 正定的，其各特征值无 o 。令 ii s = r ”r = ( s l ，s 2 ，j 。) ， 其中a = 讲昭( ；，五2 ，a ，o ) ，s ，= ( 墨，s 2 ，j ，) 1 为s ，的第f 列。 当然满足 断。= s s ， 11 且s ，是正定的，当然是对称的。 设s ：。= ( d 。) ，则 d q = s t s i 根据柯西一布涅柯夫斯基不等式 s ：s ，忡， ( f ，_ ，= 1 ，2 ，卯) 即 喀万万，( f ，= 1 厶，p ) 若c 。= 巩jo ，( f = l ，2 ，p ) 则九一。 当然 西1 斗0 证毕0 把定理2 2 与定理2 3 结合起来，很快就推出下面的结论。 推论2 1 1 若西1 存在( 即：，( 以) = p ) ，记其主对角元依次为c m c 。2 ，c 。，且 娇1 一o 不成立，当月_ a 。时t 则存在一个主对角元，记其下标为f ，使得c 。山c ， 0 当疗 o o 时 证明：根据定理2 3 ，当h 。时，若断。寸o 不成立，则c 。 0 ( f = l ，2 ，打) 不成立，即 至少存在一个主对角元，记其下标为f ，使c 。呻0 不成立而根据定理2 2 ，此时 1 9 西北大学硕士学位论文 c 。、lc ，0 ，所以c ，j ，c 0 ，当 寸时。 证毕| 二、l s e 的弱相合问题 为证明后边的定理，先引入下面的引理，注意下边的讨论均在r ( z 。) = p 时做的。 沿用前边的记号，令 铲( 皋) 忙啦肝， 当然 = ( 届，：，)p ( ”) = ( 声，( ) ，度( n ) ，p 。( ”) ) e = ( e l ，e 2 ，e h ) x ? = 卵，x = ( 秽，秽，g ，) 耻( 乏 ：f l f 目_ 川2 【z “可一 其中，州卅当然也是正定的 彳m 1h 4 。j2 k 。 g z 1 硝州j 引理z 1 s 试证：矗( 玎) 一届= 每，其中，乙= 喜( “一。s 五 一p 弦 一。= ( x 。一丑：。s 丢。s ：。x ：2 1 ) 2 。 l i 证明：据引理2 1 2 有， 据l s e 的定义 一函2 ，s 丢5 2 h ) 一j 急q 2 。( 毛i 。一s 2 s i ：s i h ) 爿l 斌一h ， 矗一届= 剐z 归对( 罩，善罩 睦 h s ， 、 j i 西北大学硕士学位论文 所以，p，(。)一，：娶一。矗。窆。：。(。：。一。：。i：。：。)一-xj：，。 似触) 一届5 i j 矗五i 吖急擎2 胁”叫2 1 h 栅2 h 厂x 烨 将右边化简得：舳) 一崩= 考。 证毕6 沿用上一引理中的符号，有 引理2 1 6 若爿。= 碥个c i l o ，则 1 ) v f ， ，) 有界； 2 ) 3 自然数子序列 j ) ，使得l i m j 。 = d ， o ，j 6 0 ，_ ，o 当_ ， ，j o j m ，使瑶 疗2 如此反复下去 即得序列 h j ) ，满足：l i m j = d ， t 时，有下面的不等式： = 喜瑶妻瑶喜磁= 寺 固定一k ，让行+ a o ，有 去茎喜砰吉 让t 寸a 。，有 去喜砰去 所以，砰= c i l 。 证毕j j 4 )v 占 0 上上上1 6 薯鬈= 刀一刀= 一刀c 一艺名 曲“f - lf l l o l f i l i t l - 矾= c 一 ( f = l ，2 ) ( 2 1 ) 西北大学硕士学位论文 j 钆，使圭砰 叮- 一詈 ，；l 司b ，当j j o 时， 此时 证毕0 当，一o 。时 一( 量砰一要) 占 l ：l z 引理2 1 7 己知上述序列 ，为一p 在均方收敛意义下的极限，且 p ，) 满足g m j - l ，e ( _ ，莩刀一c ，喜或q 2 斗。 2 ) “，。壹厶b 山。不成立。 证明：，d 巳，喜厶q q 喜4 q ) 2l = e f ( 巳，莩- ，j q q 善z q 2i + 矿2 q 未节 ， ：e l f 哳毒厶q + _ 。耋厶。，一c 毒珥。，一。壹每。， 2l + 口2 c l 艺砰 = e lf - 厶q + c 厶e ，一c l 珥e ，一c 。艺每e fll + 口2c l 芝砰 l “l 6 + l f 1 t 4 “l哥l d ( 喜厶巳一q 妻珥岛 2i + ，旷，笔露+ c 。旷薹砰+ 盯_ ，未由引理z j ，。，当p ，。时，t ，口2 刀+ 丢 j 曲+ l 叶 3 ”6 0 ，有妒萎砰 眉 b 一q ，2 时，有 e f 吒，圭一一q 圭一q 2 卜 * l9 1 j 2 。? 盯z 量，一一) 2 + 2 ( 一c 。) ：仃：量力 占 o ，影2 ，当， ，2 时 e c 。，喜，q q 喜d ，q 2 0 ，还是根据定理2 1 ，不妨设第一元 据引理21 5 有 c _ q 0 腼m = 鲁( 意义柚 据引理2 1 6 存在 n ，) 满足该引理条件，有 矗( n ，) 一届= 巳，。芝乃，e 据引理2 1 7 c 兰厶q 山。不成立。 所以，屈( ”，) 一届卫辛0 不成立。 因而，届( n ) 一届上o 不成立。 与已知矛盾。假设不成立 得证| | 我们通过下图仔细观察矗( n ) _ 属，断1j o 。哳( 夕( n ) ) 斗o ，矗( 一) 哼卢 之间的逻辑关系： 嘶，：一矿 西北大学硕士学位论文 2 2 一般m 估计的弱相合问题 一、m 估计相合性的充分条件 除了l s e ，一般m 估计的相合性要复杂的多，主要是由于l s e 可以有一个显式表达式， 而其他m 估计却往往无此优点。关于一般m 估计的必要条件，至今为止尚无一般结果，对 于其充分条件，1 9 9 2 年，赵林城等在文献 1 4 】中得到了一个简洁的结果。其他相关文献请参 看文献【2 4 卜 2 9 】。 考虑线性模型( 1 1 ) ，设尸非单调的凸函数，妒一，妒+ 分别为其左右导数。 定理2 5 设在模型( 1 1 ) 中巳，p 2 ，为i i d ，又存在函数y 满足( 1 7 ) 以及以下诸条件： 1 ) e y ( p ) = o ； 2 ) 存在常数c 0 o ， 0 t 使 i e y 0 ，+ “) 险c oi “i ，j “i 3 ) 存在常数) o ，使 e 妒2i ( q ) i c l o ，满足群吃斗o 。设c = ( c ”，c 。) 的第 一元c o ，作p 阶方阵 q = c l ，c 2 ，c h o o k ， 0 其中为p - l 界单位阵，令 成o = q 风z 。= 包工，( 1s f 一) 把模型( 1 1 ) 改写成( 2 2 ) 的形式，记：墨= x 。x j ，则 l l i - i p 断1 c u 一一i幸 、 群峨j 寸。 据定理2 5 有：怠鼠。上哼。 所以，c 1 怠一c 。屁山。 证毕0 西北_ 人学硕士学位论文 第三章m 估计的强相合问题 m 估计的强相合性问题要比弱相合问题要复杂。迄今为止，在强相合性方面所取得成 果甚少，尤其在必要性条件方面更少，并且所得结果都还很初步。l s e 情形，1 9 7 6 年，a n d e r s o n 发表论文证明在正态条件下其强相合性的必要条件；1 9 7 9 年，t ll a i ( 黎子良) 等发表 文献【4 8 】，在很一般的条件下证明了其强相合性充分条件；加上1 9 7 6 年，d r y g a s 在文献 1 0 中证明了其充分条件，至此基本问题获得圆满解决。但是对于一般m 估计情形，进展确是 艰难的，在文献 3 】中在条件全面加强时，对于m 估计提出了一个充分条件；在必要性方面， 至今无很好的结果。 本章主要分两节。前一节主要证明