（应用数学专业论文）正交异性复合材料断裂力学中的偏微分方程边值问题研究.pdf

正交异- i 生复合材料断裂力学中的偏微分方程边值问题研究摘要复合材料由于其材料性能具有突出的优点，因而在工业领域得到了越来越广泛的应用其断裂力学分析对材料的优化设计至关重要，由于复合材料中的动态断裂行为非常复杂，从而使得其数学研究更加困难应用合适的数学方法，解出复合材料中裂纹的应力场及位移场，进而预测和判断复合材料中失效的发生和发展过程，对于解决工程实际断裂问题等都具有十分重要的理论价值和现实意义但目前的研究工作中，对复合材料裂纹尖端应力场和位移场理论解析解的研究还比较少，大部分集中于数值求解针对这一问题，本文对正交异性复合材料板i 型、i i 型、l + i i 混合型裂纹尖端的应力场和位移场进行了研究应用弹性力学知识和断裂力学理论，将复合材料断裂问题化为一类偏微分方程的边值问题，通过算子变换将偏微分方程化为广义重调和方程巧妙地构造了新的应力函数，运用复合材料断裂复变函数方法和待定系数法，有效地求解了一类偏微分方程边值问题，得到：1 ) 正交异性复合材料i 型裂纹尖端应力场和位移场的理论公式：2 ) 正交异性复合材料i i 型裂纹尖端应力场和位移场的理论公式：3 ) 正交异性复合材料i + i i 混合型裂纹尖端应力场和位移场的理论公式本文得到的正交异性复合材料板裂纹尖端附近应力场的理论公式表明：当r 趋于0时，呱，o v ，k v 趋于无穷大，在裂纹尖端存在应力集中现象，且具有，：奇异性这些理论结果为解决工程实际断裂问题提供了理论依据关键词：复合材料：正交异性：裂纹：应力场：位移场b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nf r a c t u r em e c h a n i c so fo r t h o t r o p i cc o m p o s i t em a t e r i a la b s t r a c tc o m p o s i t em a t e r i a l sh a v eb e e nm o r ea n dm o r ea b r o a da p p l i e di n t oi n d u s t r yd o m a i nb e c a u s eo fs u p e r i o r i t yo fm a t e r i a lp e r f o r m a n c e 1h et r a c t u r e一m “m e c h a n i c sa n a l y s i si si m p o r t a n tt ot h eo p t i m i z e dd e s i g no fm a t e r i a l i nc o m p o s i t em a t e r i a l st h ed y n a m i cf r a c t u r eb e h a v i o ri sv e r yc o m p l e x ，w h i c hd i c u l t v 。, t h e m a t i cs t u d s ob yo f 印tmathematicleadst om o r ed i f f i c u l t yi nm a t l a e m a t l cs t u a y b oo yu s eo im a m e m a t l ca pm e t h o d s ，s o l v i n gt h es t r e s sa n dd i s p l a c e m e n tf i e l d so fc r a c ki nc o m p o s i t em a t e r i a l s ，f o r c a s t i n ga n dj u d g i n gt h eh a p p e n i n ga n dd e v e l o p m e n tp r o c e s sa r ei m p o r t a n tt os e t t l i n ga c t u a lf r a c t u r ep r o b l e m si ne n g i n e e r i n g b u ti nc u r r e n ts t u d i e st h e r ea r es e l d o ms t u d i e do na n a l y t i cs o l u t i o n so fs t r e s sa n dd i s p l a c e m e n tf i e l d sa tc r a c kt i pi nc o m p o s i t em a t e r i a la n dm o s tc o n c e n t r a t ei nn u m e r i c a lv a l u es o l v i n g f o rt h i sp r o b l e m ，i nt h i sp a p e rt h es t r e s sa n dd i s p l a c e m e n tf i e l d so fim o d e ，i im o d e i + i im o d ec r a c ka tc r a c kt i pi no r t h o t r o p i cc o m p o s i t em a t e r i a l sa r es t u d i e d b yu s eo fe l a s t i cm e c h a n i c sk n o w l e d g ea n df r a c t u r em e c h a n i c st h e o r yt h ec o m p o s i t em a t e r i a lf r a c t u r ep r o b l e m sa r et r a n s f o r m e di n t oac l a s so fe d g ev a l u ep r o b l e mo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a n db yo p e r a t o rt r a n s f o r m a t i o n ，t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sb e e nt r a n s f o r m e di n t oa b r o a ds e n s er e p e t i t i v ec o n c o c t i o ne q u a t i o n b ys u b t l yc o n s t r u c t i n gn e ws t r e s sf u n c t i o na n du s i n gc o m p o s i t em a t e r i a lf r a c t u r ec o m p l e xf u n c t i o nm e t h o da n du n c e r t a i nc o e f f i c i e n tm e t h o dac l a s so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ne d g ev a l u ep r o b l e mi ss o l v e de f f e c t i v e l y g e t1 、) t h et h e o r e t i cf o r m u l a eo fim o d ec r a c ks t r e s sa n dd i s p l a c e m e n tf i e l d sa tc r a c kt i pi no r t h o t r o p i cc o m p o s i t em a t e r i a l ；2 、it h et h e o r e t i cf o r m u l a eo fi im o d ec r a c ks t r e s sa n dd i s p l a c e m e n tf i e l d sa tc r a c kt i pi no r t h o t r o p i cc o m p o s i t em a t e r i a l ；3 ) t h et h e o r e t i cf o r m u l a eo fi + i im i x e dm o d ec r a c ks t r e s sa n dd i s p l a c e m e n tf i e l d sa tc r a c kt i pi no r t h o t r o p i cc o m p o s i t em a t e r i a l t h et h e o r e t i cf o r m u l a eo fs t r e s sa n dd i s p l a c e m e n tn e a rc r a c kt i pi no r t h o t r o p i cc o m p o s i t em a t e r i a lo b t a i n e di nt h i sp a p e rs h o w ：w h e nra p p r o a c h e sz e r o ，呱，q ，k ya p p r o a c hi n f i n i t e ，a n dt h e r ea r es t r e s sc o n c e n t r a t i o np h e n o m e n o na n ds i n g u l a r i t yo f ，2 t h e s er e s u l t sp r o v i d et h e o r e t i c a lb a s i si ns e t t l i n ga c t u a lf r a c t u r ep r o b l e m si ne n g i n e e r i n g k e yw o r d s ：c o m p o s i t em a t e r i a l ；o r t h o t r o p i c ；c r a c k ；s t r e s sf i e l d ；d i s p l a c e m e n tf i e l di i i承诺书承话吊本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立完成的，学位论文的知识产权属于太原科技大学如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相关的内容，将承担法律责任除文中已经注明引用的文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果学位论文作者c 签孰潍李奇2 0 0 驴年乡月fe l引言引言o 1 研究目的及意义纤维增强复合材料【l 刁j 是由纤维和基体通过一定的工艺混合而成的两相或多相材料由于纤维的高强度和高刚度以及基体的低密度，使纤维复合材料具有独特的高比强度和高比刚度，因此在航空航天、汽车、火车、船舶等需要轻质高强度材料的领域得到大量的运用纤维增强复合材料在加工和运输【4 】及使用过程当中不可避免地受到外来的损伤，如果因为一些小的损伤【5 j 如裂纹就放弃使用，必将造成巨大的浪费，因此有必要了解裂纹这样的损伤究竟如何影响材料的性能在未完全清楚这些影响之前，工程中常采用增大安全系数的办法来保证使用的安全性这显然没能充分利用材料的优良性能，造成一定程度的浪费，所以，对纤维复合材料裂纹的研究同样具有十分重要的工程意义单向纤维复合材料是纤维复合材料层合板的基本单元，因此，研究单向纤维复合材料的断裂性能是全面深入了解纤维复合材料断裂力学性能【6 明的基础单相断裂力学的基本任务是寻找控制界面裂纹开裂和扩展的物理参量，如裂纹尖端的应力场、应变场以及应力强度因子等，并建立扩展准则【9 lo 】，一旦找到这样的物理量，就可以在材料的制备和使用过程中，寻找合适的途径来抑制界面裂纹的开裂和扩展【1 1 13 1 0 2 国内外研究动态由于纤维增强复合材料的良好性能及其可设计性，在许多领域都得到了越来越广泛的应用由于复合材料一般是含有初始缺陷及损伤的情况下工作，自从先进复合材料广泛应用于现代工程领域以来，人们就一直投入很大精力研究复合材料的损伤问题对垂直纤维方向的基体裂纹的研究是纤维增强复合材料断裂力学的热点之一s e l b a d u r a l 矛l l s i n g h 1 卅研究了各向同性弹性体中环形裂纹的工型应力强度因子，并将边值问题归结为求解三角积分方程组c h o ia n ds h i e l d ”1 研究了各向同性弹性体中t o r o i d a l 形裂纹的i 型应力强度因子，并将边值问题归结为求解f r e d h o l m 积分方程l ic h t m y u 1 6 】等用有限元方法研究了功能梯度圆柱体中币形裂纹和圆周裂纹的i型应力强度因子c l e m e n t s 和a n g t l 7 1 研究了各向同性弹性体中环形裂纹的i 型应力强度因子，并将边值问题归结为求解f r e d h o l m 对偶积分方程s h i n d o 1 8 1 研究了均值基体中环形裂纹的i 型动态应力强度因子n i d e g l e r d o g a n t l 9 1 研究了长空心圆柱中圆周裂纹的i 型应力强度因子和裂纹张开位移l i u t 2 0 】等研究了有限半径的复合材料圆柱中l正交异性复合材料断裂力学中的偏微分方程边值问题研究圆周裂纹的i 型应力强度因子w i j e y e w i c k r e m a t 2 卜2 3 1 等研究了均质无限大基体中和有限半径基体中，环绕纤维的环形裂纹在不同位置时的i 型应力强度因子在以上的文献中，著者们都采用奇异积分方程方法对含裂纹体的i 型边值问题进行求解王清【2 4 】等人用奇异积分方程的方法分析了圆柱型界面裂纹的尖端应力场y u ei 和l t a n g 2 5 】研究了含裂纹和夹杂的复合材料圆柱在扭转载荷下的应力场，并将问题归结为求解含奇异积分方程和非奇异积分方程的方程组s h i n d o l 2 6 l 研究了均质基体中环形裂纹的i i i 型动态应力强度因子k e e r 和w a t t s 2 7 】研究了半圆柱壳中圆周裂纹的i i i 型应力强度因子h a n 2 8 】等人研究了非均质基体中环形纤维的环形裂纹的i i i 型应力强度因子在以上的研究中，都是采用数值求解方法，得到裂纹尖端应力场和位移场的数值解杨维阳、张少琴在复合材料单层板平面断裂【2 9 。4 1 、反平面断裂及弯扭断裂【3 s , 3 6 1做了大量研究，并取得了卓有成效的成果如：关于复合材料单层板裂纹尖端的应力场、应变场和位移场：裂纹尖端的应变能释放率 3 7 - 3 9 】和j 积分【4 0 4 8 】等0 3 本文研究的主要内容、方法及意义0 3 1 本文研究的主要内容1 建立正交异性复合材料板平面断裂问题的基本方程，应用弹性力学知识和断裂力学理论，结合i 型、i i 型和i + i i 混合型裂纹的边界条件，将基本方程转化为相应的三类偏微分方程边值问题2 求解上述偏微分方程边值问题，对正交异性复合材料板三种类型裂纹进行力学分析，并得到裂纹尖端应力场和位移场的理论解0 3 2 本文研究的主要方法应用弹性力学知识和断裂力学理论，将复合材料断裂问题化为一类偏微分方程边值问题，通过算子变换将偏微分方程化为广义重调和方程巧妙地构造了新的应力函数，采用建立在z i 平面上的复变函数方法和待定系数法，有效地求解了偏微分方程边值问题，推导出i 型、i i 型和i + i i 混合型纹尖端应力场和位移场的解析解0 3 3 本文研究的意义引入新的应力函数研究正交异性复合材料板i 型裂纹与传统的应力函数比较有很大的创新研究正交异性复合材料板i 型、i i 型和i + i i 混合型裂纹尖端的应力场和位移场，以及分析了相关材料参数对它们的影响，为工程技术人员提供技术支持2第一章预备知识第一章预备知识1 1 复合材料弹性力学1 1 1 各向异性体的应力一应变关系纤维增强复合材料是由高强度、低密度的纤维材料与基体所组成，从传统的力学观点来看，纤维增强复合材料可以认为是具有线弹性各向异性力学性能的单一材料线弹性各向异性材料是指每一点的各个方向上的弹性性质不尽相同的材料对于线弹性各向异性材料，应力与应变之间满足广义胡克定律：应力是应变的齐次线性函数，反之应变也是应力的齐次线性函数【4 9 ，5 0 1 ，即q 1 l9 2 lq 3 l幺。q 5 lq l9 4q 2 4g 。纰珐。线9 5鲮，q 3 5q 4 59 5q ，或 叮，) = 【q 】 s ，)( 1 1 )其中仃，仃y ，仃：是正应力，r f = r 刁，f 3 = r 嚣，f 拶= r 弦是剪应力，如图1 1图1 1 微元体与应力记号3qq 足kk 6666669qg 级g 绒9qgg 珐姨222222qqg 玖g 姨j：l xyqi 。_ ，旺kk 正交异性复合材料断裂力学中的偏微分方程边值问题研究示，s ，e yg ：是线应变9 。y 芦，y3 ，夥是剪应变； 仃，) 是应力列阵；列阵；【9 】是刚度矩阵，q ，是表征弹性特性的材料常数，称为刚度系数可以证明：刚度矩阵豳】是一个对称矩阵，即q 9 = qj l因此对于各向异性材料而言，豳】只有2 1 个独立分量表示式( 1 1 ) 可改写为jy：y 弦y 嚣y 种s 1 4s 1 5s 1 6s 2 4s 2 5s 2 6s 3 4s 3 5s 3 6s 4 4s 4 5s 4 6s s 4s 5 5s 5 6s “s 6 5 & s ，) 是应变( 1 2 )即 占j = 【s 】( 仃，( 1 3 )其中i si 是柔度矩阵，s 。是另一类表征弹性特性的材料常数，称为柔度系数显然，刚度矩阵和柔度矩阵是互逆的，即p 】= 豳】_ 1 ，妇】= i s 。1( 1 4 )并且柔度矩阵阵l 也是一个对称矩阵，只有2 1 个独立分量1 1 2 正交异性体的应力一应变关系线弹性正交异性材料是指通过每一点都具有三个相互垂直的弹性对称平面的材料因此，由弹性对称可以证明：q 。= q ，= g 。= q 2 4 = q ，= q 。= 级= q ，= q 。= q l ，= 瓯= 9 _ 5 。= 0( 1 5 )从而，应力- 应变关系( 1 1 ) 简化为) l lq 2 q 30o0ys ，) 1 2q 2q 2 30000s y) 1 3 绕3q 3000 s ：000 瓯000y 弦0000幺508y 。00000 瓯秒或 仃，) = q 】 s ，)( 1 6 )这时，独立的刚度系数只有9 个类似地，应变应力关系( 1 3 ) 简化为4ryt ：xy以咖j莎和锄锄222222晶& & & & 繇舅兜舅函&风，工y：zxy办咖以和红砌第一章预备知识s jt t：y cy 口y n s 1 1s 1 2s 1 2s 2 2s 1 3s 2 30000oos 1 300s 2 300s 3 3000s “000s 5 50o0或 s 。) = 【s 】 仃，( 1 7 )独立的柔度系数也只有9 个对于正交异性体，由式( 1 7 ) 可知，正应力不引起剪应变，剪应力不引起线应变；反之亦然1 1 3 正交异性体的弹性常数若用弹性常数：杨氏模量，泊松比和剪切模量代替应变应力关系( 1 7 ) 中的柔度系数s 有( 1 8 )其中e l 、e ：、e ，是正交异性材料沿弹性主方向x 、y 、z 的杨氏模量；，。：是x 方向伸、缩时决定y 方向缩、伸的泊松比，；是x 方向伸、缩时决定z 方向缩、伸的泊松比，其余类推；g ：，、g 3 。、g 1 ：是决定y 方向和z 方向、z 方向和x 方向、x 方向和y 方向之间夹角变化的剪切模量通常弹性主方向的弹性常数，称为主弹性常数，以区别任意坐标系中的弹性常数将式( 1 7 ) 和( 1 8 ) 对照，得到柔度系数与弹性常数关系：2 去 ：一等一蛩焉，一酱一i 1 , 3 1= 瓦1 ，= 一等一等焉= 击5j?i i=x)qq 吐kk viiiiiioiiiii儿60ooo0 咒工yi =xy吒q kk ooooo，一吼oooo上瓯oooo，一吆oo堕b一易上岛ooo一一一幺。一最一如ooo一一。一巨一日一eooo一一qotkk 正交异性复合材料断裂力学中的偏微分方程边值问题研究乳2 壶 s = 击氏2 去，乳2 毒s s2 毒 s2 毒由上式，得到互v 2 l2e 2 ，1 2 ，e 2 ，3 2= e 3 v 2 3 ，e 3 v 1 35e l ，3 l由式( 1 4 ) ，通过求逆矩阵，推出刚度系数可用柔度系数表示为o i i =q 2 =其中$ 2 2 s 3 3 一s 丢s 3 3 s l 】一s 三1，、2 f ，姥56 “，q 1 2 =s 1 3 s 2 3 一s 1 2 s 3 3s 】2 s 1 3 一s 2 3 s l ls：上，瓯= 一，s 一”1s 6 6，9 3 =，2 3 3 =s 1 2 s 2 3 一s 1 3 s 2 2s l l s 2 2 一s 三s = s 1 1 s 2 2 s 3 3 + 2 s , 2 s 2 3 s 1 3 一s l l s 丢- s 2 2 s 三- s 3 3 s 三将式( 1 9 ) 代入式( 1 1 1 ) ，式( 1 1 2 ) ，得到刚度系数与弹性常数关系：幺。=9 2 =酉1 - v 2 3 v 3 2 ，2 2 = 器，q 3 3 = l 牛- - v 1 2 ：v 2 1 。，q 2 3 =v 2 3 + v 2 1 v 1 3互e 2 a五b = q 3 2 ，缆= g 2 3 ，幺5 = g 3 1 ，瓯= g 1 2其中是用弹性常数表示的式( 1 1 2 ) 中的s 值=1置v 1 2互v 1 3e lv 2 1e ，1e ，v 2 3e ，应变能密度函数1 一v 1 2 y 2 l v 2 3 、，3 2 一，3 l v l 3 一：撕1 2 ，2 3 、，3 le l e 2 e 3阿，= 三 仃， r s ，) = 互1 ，) r 6 ，)恒取正值将式( 1 6 ) ，式( 1 7 ) 代入式( 1 1 5 ) ，有6= q 3 。，( 1 9 )( 1 1 0 )( 1 1 1 )( 1 1 2 )( 1 1 3 )( 1 1 4 )( 1 1 5 )第一章预备知识矿= ：三 ，) 7 【1 2 】 ，) = = j i 。，) 7 【s 】 。，)因此刚度矩阵和柔度矩阵都是正定的，从而有【5 0 5 1 5 2 1a21 二! ! 丝! 二! ：! ! i 竖! ! j 二型! ：坚垒 oe l e 2 己e l 0 ，e 2 0 ，e 3 0g 1 2 0 ，g 2 3 0 ，g 3 1 0i 一，2 3 ，3 2 0 ，i v 1 3 y 3 l 0 ，1 一v 1 2 v 2 l 0一 ( 鲁) ，f v 刘 ( 鲁 ，爿 ( 每) ，p 一 ( 每) p 一 ( 鲁) ，1 3 l ( 每) 利用表示式( 1 1 7 ) ，式( 1 1 0 ) 和式( 1 1 8 ) ，可推出表示式：v ：，v ，。 圭( ，一v 乞鲁一v ；：每一v 2 ：。每) j 1三个泊松比的乘积小于0 5 1 2z ；平面上的柯西一黎曼方程以复数2 为自变量的函数w = “+ i v 称为复变函数，记作w = ( z )其中u ( x ，y ) = r e w ，v ( x ，y ) = i m ww = r e w + f i m w即任何复变函数w = 厂( z ) 都确定了两个二元实变函数u ( x ，j ，) 和v ( x ，y ) 复变函数w = ( z ) 和复数c 满足：r e w = i m ( i w ) i m w = - r e ( i w )r e c w = r e c r e w i m c i m wi m c w = r e c i m w + h n c r e w设复变函数w = 厂( z ) 在区域d 内有定义，气为d 内一点，若极限7( 1 1 6 )( 1 1 7 )( 1 1 8 )( 1 1 9 )( 1 2 0 )( 1 2 1 )( 1 2 2 )( 1 2 3 )( 1 2 4 )( 1 2 5 )( 1 2 6 )正交异性复合材料断裂力学中的偏微分方程边值问题研究l i m a w ：l i r a f ( z o + z ) - f ( z o )：- + o 位t w + oz存在，则称w = 厂( z ) 在白处可导，记作m ，= 乱：l i r a 丛鱼竺! 二坠2a z - - , o业( 1 2 7 )若w = 厂( z ) 在区域d 内处处可导，则称w = f ( z ) 在d 内可导导函数w ( z ) 也是复变函数，由式( 1 2 6 ) 有w ( z ) = r e w7 ( z ) + i i m w ( z )( 1 2 8 )复变函数的求导公式，法则和实变函数的求导公式，法则完全相同【5 3 】( c ) 7 = 0 ，c 为复常数( z n ) = 彪，行为正整数【( z ) g ( z ) 】7 = f ( z ) g7 ( z )【厂( z ) g ( z ) 】= f ( z ) g ( z ) + f ( z ) g7 ( z ) 嚣】，= 赤脚心川艄列删。( 厂 g ( z ) 】) = f ( w ) g7 ( z ) ，w = g ( z )厂k ) = 歹b ，w = 厂( z ) 与z = 妒( w ) 是两个互为反函数的单值函数，且9 ( w ) 0( 1 2 9 )若复变函数w = ( z ) 在z 。及的邻域内处处可导，则称w = f ( z ) 在气处解析若w = f ( z ) 在区域d 内每一点都解析，则称w = f ( z ) 在d 内解析，并且满足柯西一黎曼方程1 5 3 , 5 4 罢：芸，孚：一宴( 1 3 0 )一= 一一= 一一i l i ，-。、，优d 1 ，c 9 o x解析函数w = 厂( z ) = u ( x ，y ) + i v ( x ，y ) 的导数公式是八z ，= 罢+ z 象= 考一，考8第一章预备知识叭加警+ ，警= 警一r 掣c r y3 ，c 戗dv解析函数w = 厂( ：) = u ( x ，y ) + i v ( x ，少) 的实部u ( x ，j ，) 和虚部v ( x ，y ) 都是调和函数，即u ( x ，y ) ，v ( x ，y ) 有连续的二阶偏导数，且同时满足拉普拉斯方程v 2z ，= 0 ，v 2 1 ，= 0 ，即v 2r ew = 0 ，v 2i mw = 0( 1 3 2 )特别地，有下列公式呈r e c 训2 = - - 砂- 0r e p c ，( o x矿们- r e 杀a“。z 【z ，一j去i m c q 吲) l 2 】- - 专r e p 丢t哆卅卢2 】= h 赤】( 1 3 3 )出。y，么i z ，一口j 1 一其中z j = x + t j y = x j + y ju = 1 ，2 )p j = a + i 3 j ( = 1 ，2 )( 1 3 4 )而c 为复常数事实上，z j 平面的柯西一黎曼方程和导数公式依次为毒r e c ( 铲) 1 ，2 = 参h c ( 铲严丢n n c 哆- 口) l ，2 = 一参& 卅( 1 3 5 )弼c = 弼c 他弼cm 3 6 、= - - 毒一口)+，夏c(乃一口)jr e c ( z joi m注意到式( 1 3 4 ) ，有蚤a 瓠| 8 劬l8一= 一二一+ 一- 上= 一8 xa x j 瓠瓠j 瓠8 xj导= 专等+ 毒等= 口，考+ 卢，参一= 一一十一一= i 上一十i ) 一a ya xi 匆瓠 印j 融| _ 砂j9正交异性复合材料断裂力学中的偏微分方程边值问题研究由此解出a8a伐。81a一= ：一一= 瓠j融jo yjjo xpjo y将式( 1 3 7 ) 代入式( 1 3 5 ) ，有声，昙r e c ( 乙一酬坨 + a ，丢m c ( 乙一酬佗 = 一号h n c ( 乃一纠他a ，去r e c ( 乙一佗 + 卢，丢m c ( z ，一酬坨 = 茜r e c ( 乃一酬佗解之，得到丢r e c c 乙一口，2 = 专r e 吾c 乙一口，2 丢- m c c 乃一口，2 = 一号- m ，号c z ，一口，“2 由上式及式( 1 3 6 ) 可知，式( 1 3 3 ) 显然成立1 0( 1 3 7 )第二章偏微分方程边值问题第二章偏微分方程边值问题2 1 正交异性复合材料平面断裂问题的基本方程，5i ，占j = _ ，y 妙= _ + i( 2 1 )积。c y0 3 ,出鲁o y + 争= 亿2 ，一叶- 一= 一，l2叙2苏却一7卟害 = 可a 2 u 一丽a 2 u( 2 3 )仃，2 可仃，2 可，一丽( 2 3 ) 主 = 孳警b 1 2 耋 耄c 2 一其中b ，b 1 2 ，b 丝，蚝为弹性主方向的柔度系数将式( 2 3 ) ，式( 2 4 ) 代入式( 2 2 ) ，得到害+ ( 2 6 l ：筹+ 6 l 。害= 。( 2 5 )i 1 两0 4 u + ( - 去2 - 2 并，害罟+ 击等= 。c 2 q2 2 正交异性复合材料平面断裂问题的常见边界条件正交异性复合材料断裂力学中的偏微分方程边值问题研究ayoix图2 1 正交异性i 型裂纹板黝- o ，时：害叫o ，一舄= 。当i y i 专砒害玛一茜= 。当l 枷m 一等= 。( 2 7 )2 2 2i i 型裂纹边界条件对于正交异性纤维增强复合材料板的i i 型裂纹，受斜对称载荷t 作用，如图2 2所示，其边界条件为：黝- 0 ，l 叫 砒萨0 2 u 鸣= o ，一器 = 。当i 叫专矾罟q o ，一舄= t当l x i 专m 一舄= t1 2( 2 8 )第二章偏微分方程边值问题f- - - - - 卜- - - - j - - - j - - - - - - - | - -_ - - 一_ - - - 一- - 一 _ 一图2 2 正交异性i i 型裂纹板2 2 3i + i i 混合型裂纹边界条件对于正交异性纤维增强复合材料板的i + i i 混合型裂纹，同时受对称载荷仃作用图2 3 正交异性混合型裂纹板1 3正交异性复合材料断裂力学中的偏微分方程边值问题研究和斜对称载荷r 作用，如图2 3 所示，其边界条件为：劫- o ，h 0 时，方程( 3 2 ) 的解为s l = 班l ，s 2 = 班2 ，s 3 = s l ，s 4 = s 2( 3 4 )其中其中耻等一班警+( 卢2 卢l 0 )( 3 5 )当厶 0 时，将式( 3 4 ) 代入式( 3 8 ) ，有x 1 = x ，y l = 卢l y ；x 2 = x ，y 2 = 卢2 y( 3 9 )当a 0 时，将式( 3 6 ) 代入式( 3 8 ) ，有x l = x + a y ，y l = 砂；x 2 = x a y ，y 2 = 缈( 3 1 0 )由式( 1 3 4 ) ，式( 1 3 7 ) 以及柯西黎曼方程( 1 3 0 ) ，则基本方程( 2 5 ) 可化为( 善+ 研0 2 ，c 爵0 2 + 羲，u = v 弼2 u = 。或c 篆+ 篆，c 善+ 磊，u = v ：2 v ；u = 。c 3 m ，众所周知，重调和算子v 2 v 2 - - ( 导+ 矿0 2 ) 2 ，众所周知，重调和算子( 告+ 可) 2 ，出咖故此可将v m 2 = + 研0 2 ，c 碡0 2 + 篆，或v ：2 v ；= c 篆+ 羲，嚼+ 嚣，称为广义重调和算子3 1 2 引入新应力函数比较方程( 3 1 1 ) 和式( 1 3 2 ) ，易知方程( 2 5 ) 在z 平面上有实值解析解5 3 ，5 4 1 ，引入新的应力函数，可设为如下形式：u ：圭卜蹦乃万，一孑小t m ( 乃可一酬( 3 1 2 )其中瓦= 瓦( 乃) ，玩= 玩( z 歹= 1 ，2坐d z j = e ，等= q ，警= q ，同，2( 3 1 3 )将表达式( 3 1 2 ) ，式( 3 1 3 ) 代入式( 2 3 ) ，利用式( 1 2 8 ) 及柯西- 黎曼方程( 1 3 0 ) ，求出应力场如下丙0 2 u = 善2h 腻+ 乃叼) + 气i n l ( q + z ，彰) 雾= 封啦( s ；乃q - 屯i i l l 。弘+ j ；硼1 6第三章正交异性复合材料裂纹尖端应力分析即器= 喜 啦呜q q hl m h u j 蝎乃q ) ( 3 1 4 )q = 主 qr 吣；u + s ；：，q ) + b jl m ( s ；+ s ；：，q ) l = lf 刁= 一芝 qr s j u j + s ，刁蟛) + b jl m ( s ，u j + 5 ，：，彰) ( 3 。1 5 )j 。l3 2 正交异性复合材料板i 型裂纹应力分析3 2 1 应力分析及待定系数求解通过求解偏微分方程的边值问题方程( 2 5 ) 和边界条件( 2 7 ) ，可以得到i 型裂纹尖端附近的应力场考虑到受对称载荷仃作用，选取新函数可得：哆= 7 ( 刁) = 一( z ，2 一口2 ) 由式( 3 1 6 ) ，式( 3 6 ) 可知黝= o ，x 0 的复合材料，将式( 3 1 5 ) ，式( 3 4 ) ，式( 3 1 8 ) 代入边界条件( 2 7 ) ，得到b l + b 2 = 0 ，卢l a l + 卢2 口2 = 0a 1 + a 2 = l ，卢l6 l + 卢2 6 2 = 0( 3 2 1 )其中第4 个方程同时满足边界条件( 2 7 ) 的第4 、5 两个条件解该方程组，有口】= 万f 1 百2 ，“：= 一万f l 百lb l = b 2 = 0( 3 2 2 )对于厶 0 的复合材料，将式( 3 2 2 ) ，式( 3 4 ) ，式( 3 2 0 ) 代入式( 3 1 5 ) ，得到i 型裂纹尖端附近的应力场公式【6 0 l 为铲参篇 压南咱r e 赤旷参彘卜赤一屈心南铲每器h 赤一赤其极坐标形式为1 8( 3 2 5 )第三章正交异性复合材科裂纹尖端应力分析呼南器卜南咱r e 南q = 南击卜e 面啬咱r e 丙南k = 当万盟i i l l l= 帝煮h l( c o s # + s ls i n o ) 1 陀( c o s o + s 2s i n o ) 17 2( 3 2 6 )其中 ，s 2 如式( 3 4 ) 所示对于厶 0 的复合材料，由应力表达式( 3 2 5 ) ，应力应变关系式( 2 4 ) ，应变位移1 9正交异性复合材料断裂力学中的偏微分方程边值问题研究夭糸式( 2 1 ) ，并注恿剑式( 1 2 5 ) ，式( 1 2 6 ) ，式( 1 3 3 ) ，则i 型裂纹矢瑞附近的位杉场的表达式为粘k ，焘阶履也) r e ( z 2 - 口严电( 咿1 2 6 l ：) r e ( 矿州，= k 赢 卢阳2 膨- 6 2 2 ) h 心_ 口) 啦一废( 啪? 也) i m ( 毛叫1 2 ( 3 2 9 )其极坐标形式为材= k 。万( 2 r 百) v 2 m ，卢；- b l = ) r e ( c o s0 + s = s i n0 ) i 2一卢2 ( 6 。卢1 2 一b 1 2 ) r e ( c 。s0 + s 。s i n 日) 1 7 2 v = k 。j 蹁 卢，2 ( 6 。：卢；一6 ：) i m ( c o s0 + s 2s i n0 ) v 2( 3 3 。)一f l ；( b 。：p 1 2 6 ：) i r a ( c o s 0 + s 。s i n p ) v 2 对于 0 的复合材料，由应力表达式( 3 2 7 ) ，应力- 应变关系式( 2 4 ) ，应变一位移关系式( 2 1 ) ，则i 型裂纹尖端附近的位移场的表达式为材= 每扣e b l i ( a2 ) + 6 l ：j r e 瓴- 口) 啦坤：口) 啦- ，e b , 。( a2 + 卢2 ) - b i ： i m ( z 。一口) v 2 + ( z ：一口) v 2 ，每丽舳 鼢+ 6 2 2 ( 朗 r e ( 严七：计( 3 3 1 )+ 2 b 2 ：a 卢i m e ( z 。- a ) 啦+ ( 7 2 - - a ) 啦 )其极坐标形式为材= k 。( ；) 吉 ab l 。( a2 + p2 ) + 岛：jr e ( c 。s 9 + 置s i n8 ) v 2 + ( c 。sp + j ：s i nd ) v 2 一卢 6 l 。( a2 + 卢2 ) 一b 。：ji me ( c 。s 0 + s 。s i n9 ) 1 肛一( c o s0 + s 2s i n 日) 1 7 2 )v 竭( 争j瑾( 岱2 + 卢2 ) 6 ，：( 口2 + 卢2 ) 2 + b 2 2 ( a2 一卢2 ) - j r e ( c 。s 0 + s is i n p ) v 2一( c 。s 0 + s ：s i n p ) v 2 + 2 b ：口卢i me ( c 。s 0 + s ls i n p ) v 2 + ( c 。s 0 + s 2s i n p ) v 2 )( 3 3 2 )3 3 正交异性复合材料板i i 型裂纹板应力分析3 3 1 应力分析及待定系数求解通过求解偏微分方程的边值问题方程( 2 5 ) 和边界条件( 2 8 ) ，可以得到i i 型裂纹尖端附近的应力场 3 4 3 f 1 考虑到受斜对称载荷r 作用，选取新函数卟q ( z ，) - 华掣，j = l ，2( 3 3 3 )，可得嘲。小志2 一华( 巧一口2 ) 弓由式( 3 3 3 ) ，式( 3 3 4 ) 和式( 3 6 ) ，有当y = o ，x 0 时的复合材料，将式( 3 1 5 ) ，式( 3 4 ) ，式( 3 3 5 ) 代入边界条件( 2 8 ) ，得到6 1 + 吃= 0 ，口l 届+ 口，卢，= 0q + 口2 = 0 ，岛屈+ 6 2 皮= - 1f 3 3 8 )其中第4 个方程满足边界条件( 2 8 ) 的第4 、5 个条件解该方程组，有口l - 铲o ，6 - 一6 2 = 去( 3 3 9 )对于厶 0 时的复合材料，将式( 3 。3 9 ) ，式( 3 4 ) ，式( 3 3 7 ) 代入式( 3 1 5 ) ，推出k 1 1q2 嚣墨仃y2 尹卢：一卢。卢：一声；k 2 溃二厂l 卢2 2i mlh n 卢2 - 3 。其极坐标形式t = 南仃j ，2墨。( 2 r ) 一卢112 卢：一屈铲南p ：一。( z 2 - a ) 17 2( 毛一口) 2rl 及r el厂l 卢2 2i ml一屈2i m( 7 , 2 - a ) 2( z 2 一口) m( z 1 一日) m一届r e( 五- a ) 2二(cos0+s2s i n 0 ) 2 邓1 2i m 丽瓦高酽( c o s 0 + s 1s i n 0 ) 1 7 2 ( c o s 0 + s 2s i n 0 ) 17 2其中而，s 2 如式( 3 4 ) 所示出两磊1 面矿一ak 面啬( 3 4 0 )( 3 4 1 )( 3 4 2 )( 3 4 3 )对于a 0 的复合材料，由应力表达式( 3 4 2 ) ，应力- 应变关系式( 3 4 ) ，应变一位移关系式( 3 1 ) ，则i i 型裂纹尖端的位移场可表示为材镯惫卢；一6 1 ：) i m ( 乞_ 口) 啦一( 2 j i 卢1 2 也) i m ( 叫啦1 ，= 墨- 百瓦荔- 丽 殷( 6 l ：卢1 2 6 2 ：) r e ( 毛一口) 啦一届( 6 i ：所一6 2 z ) r e ( z ：一口) 啦 ( 3 4 6 )极坐标形式为z ，瑙一黯 ( 6 l l 班6 1 2 ) i m ( c o so + s zs i n0 ) i 2一( 6 。卢，2 一b 1 2 ) i r a ( c o s0 + s 。s i np ) 1 7 2 v 喝- 焉 聃：卢1 2 - - b 2 2 ) r e ( c o s o + s s i no ) l 2( 3 4 7 )一卢。( 6 。：卢；一b 2 2 ) r e ( c o s 0 + s ：s i np ) 啦对于4 0 的复合材料，混合型裂纹尖端的应力场为铲参器卜赤柏r e 南每矗 咖由前h 南：量2 17 ：卢：一卢。卢：一卢。k f 彤2 而6x仃y屈卢：卢：一卢1卢：一卢。- ph n 第三章正交异性复合材料裂纹尖端应力分析( 毛一口) 1 ，21( 毛一口) - m ( 互一a ) m厂l 卢2r el( ：2 一口)一卢lr e( ：2 - a ) 1【z 2 一口一卢lr)e( 之- a ) 1l7 2( ：l 一口) m对于 0 的复合材料，混合型裂纹尖端的位移场为k 材2 茄k ，= 莎2 ，7 22卢：一局2卢2 一卢l( 乙- a ) 2 届( 6 1 。卢卜6 l ：) r e ( z ：一口) 一p ：( b l 。卢3 - b l ：) r e ( z 1 - - 口) 1 陀 ( 6 l 。卢；一6 l ：) i r a ( z ：- 口1 2 - - ( b l ，, 6 3 - 6 1 ：) i m ( z 。- 口) “2 2卢。卢：( 卢：2卢。)+ )( z 2 - a ) 2( 3 5 4 ) 卢。2 ( 6 ，：卢；一6 ：) i m ( z ：一a ) m e 2 2 ( 6 。：e 2 6 ：) i r a ( z 。一口) 卢，卢：( 卢：一卢。) p ：( 6 。：卢1 2 6 ：) r e ( z 。一口) 1 位- 3 。( 岛：p ；一6 ：) r e ( z ：一口) 2 ( 3 5 5 )叠少+生少+。l鱼严+鱼少+对于 o 的复合材料，混合型裂纹失瑞的位移场为”= 鲁吉 ae 心2 + 卢2 ) + 6 l ： r e ( z , - a ) 2 + ( z 2 - - a ) “2 一卢 b 。( a 2 + 卢2 ) 一b l ： i m ( z 1 - - a ) 2 一( z 2 - a ) 2 )+ 鲁* 岛。( a 2 - - 卢2 ) + 岛： r e 匕训2 一( 乞叫2 + 2 岛。& 卢i i i l ( z l 一口) m + ( z 2 一a ) 1 坨 6 1 2 ( a 2 + + 6 2 ：( a