（理论物理专业论文）pdhf方法对偶a核ni的应用.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 摘要 过渡区的原子核具有较复杂的核形状及核能谱，对这些原子核的核能谱及 核性质的研究，远不如对大形变区原子核的研究那样充分。将严格的壳模型或 相互作用玻色子模型应用于这些原子核是非常困难的，且这部分核的核予数较 多，严格的角动量投影乒咿方法的计算工作量很大。因此，我们提出了一种从形 变h f 内禀态投影出好角动量态的近似角动量投影方法，以及一种处理两带混合 的近似形变组态混合方法，系统地研究了三种偶偶核。 由于投影能量的积分只能用数值积分方法计算，而被积函数中的最( 和 日。( 口) 被作为口的函数来计算需要花费大量的计算机时间，因此，考虑到斥( 口) 和日。( 护) 是关于疗，2 对称的，且都具有g a 蜷s 型函数的形状，我们使用了投影 积分的g a u s s 近似。为了进一步简化投影能谱的计算，使计算能谱与实验能谱 更好地符合，我们还可以对参数作轻微的重整化。严格的形变组态混合方法需 要大量的计算机时间，我们考虑两带混合的近似理论。如果强f 能量 e x u p 很接近，则投影能量和也将很接近，在这种情形下需要作带混合。 计算中以”c a 为核心，价核子空间取为k t , ，：2 p 3 ，2 l f , ，2 2 p i ，2 ，两体相互作用 所采用的是修正的表匾艿相互作用矩阵元( 愿) ，在h f 方程的自洽迭代求 解中不区分质子和中子，但在总能量中扣除了库仑能，通过与实验能谱作比较， 给出了计算能谱中所表现出来的许多信息。 这种近似角动量投影形变h f 方法( p d h f ) 及组态混合方法，是一种有 效而实用的方法，这为研究质量数更大的过渡区原子核打下了基础，同时，指 出了有待于进一步考虑的问题，提出了将来的工作目标。 关键词：形变月：f 方法，角动量投影，形变组态混合，投影积分的g a u s s 近似， 修正的表面占相互作用( p d h f ) ，能谱 西南交通大学硕士研究生学位论文 第l l 页 a b s t r a c t t h ea t o m i cn u c l e u so ft r a n s i t i o n a la r e ah a v ec o m p l e xn u c l e a rs h a p ea n d e n e r g ys p e c t r a , t h er e s e a r c ho ft h en u c l e a rs h a p ea n de n e r g ys p e c t r ai s f a r l e s s s u f f i c i e n tt h a nt h er e s e a r c ho ft h eb i gd e f o r m e da r e a i t sq u i t ed i f f i c u l tt oa p p l yt h e s t r i c ts h e l lm o d e lo rt h ei n t e r a c t i v eb o s o nm o d e lt ot h e s en u c l e u s t h e r e f o r e ，w e p u tf o r w a r daw a y t h a tw ec a np r o j e c tag o o da n g l em o m e n t u mf r o mt h ed e f o r m e d h fi n t r i n s i cs t a t ea n dab l e n dw a yo f t w ob a n d st ot h r e ek i n d so f e v e n e v e nn u c l e u s a st h ep r o j e c t e de n e r g yi so n l yb ec o m p u t e db yn u m e r i c a lv a l u ei n t e g r a l ，a n d t h es u mo fi n t e g r a t e df u n c t i o ni sc o m p u t e da saf u n c t i o no f0b yc o m p u t e rw i l l c o n s u m ea l o n gt i m e ，s ow ea d o p tt h eg a u s sa p p r o x i m a t i o no f t h ep r o j e c t e di n t e g a l i no r d e rt of u r t h e rs i m p l i f yt h ec o m p u t eo f p r o j e c t e de n e r g ys p e c t r a ，a n dt om a k et h e c o m p u t e de n e r g ys p e c t r aa c c o r d i n g 晰t ht h ee x p e f i m e n t a le n e r g ys p e c t r a w ec a n r e f o r mt h er e f e r e n c el i g h t l y a st h es t r i c td e f o r m e dc o n f i g u r a t i o nb l e n d i n gm e t h o d w i l lc o n s u m eal o to ft i m e ，w ec o n s i d e rt h ea p p r o x i m a t et h e o r yo ft w ob l e n d i n g b a n d s i nt h e c o m p u t a t i o n ， w eu s e4 0 c a勰n u c l e a r c o r e ，a n d w et a k e l 五，2 2 p 3 2 l 兀，2 2 死，2 雒v a l u en u c l e u ss p a c e t a k i n gt h em o d i f i e ds u r f a c e d e l t a i n t e r a c t i o n ( m s d i ) a n du s i n gas p h e r i c a ls h e l lm o d e lb a s i ss e t w ec a r r yo u tt h e d e f o r m e dh fc a l c u l a t i o ni nt h e 昏s p a c e ，a n do b t a i nt h ed e f o r m e dh f i n t r i n s i cs t a t e s w h i c ha r et h es l a t e rd e t e r m i n a n t sc o n s t r u c t i n gf r o mt h eh f s i n g l e - p a r t i c l es t a t e s c o m p a r i n gt h ec o m p u t e de n e r g ys p e c t r aw i m t h ee x p e r i m e n t a l e n e r g ys p e c t r a , w eo b t a i na l o to f i n f o r m a t i o n t h ea p p r o x i m a t ea n g u l a rm o m e n t u mp r o j e c t e dd e f o r m e dh a r t r e e f o r kfp d h f ) m e t h o da n dt h ec o n f i g u r a t i o nb l e n d i n gm e t h o di se f f e c t i v ea n du s e f u lw a y s ，i tm a k e af o u n d a t i o no ft h er e s e a r c ht ot h eb i g g e rm a s sn u c l e u so ft r a n s i t i o n a la r e a a tt h e s a m et i m e ，w ep o i n to u tt h ef u r t h e rq u e s t i o n sc o n s i d e r e d ，a n db r i n gf o r w a r dt h e f u t u r eo b j e c t k e yw o r d s ：d e f o r m e dh fm e t h o d ，a n g u l a rm o m e n t u mp r o j e c t i o n ，d e f o r m e d c o n f i g u r a t i o nb l e n d i n g ，t h eg a u s sa p p r o x i m a t i o no ft h ep r o j e c t e di n t e g r a l ，t h e m o d i f i e ds u r f a c ed e l t ai n t e r a c t i o n ( m s d i ) ，e n e r g ys p e c t r a 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 问题的提出 第1 章绪论 核物理学的主要任务之一就是确定核的性质，核的结构以及核与核之间 的相互转变规律。从微观角度研究原子核的结构，就是从核子核子相互作用 势出发，导出原子核的一系列在实验上可以观察的性质。胛自洽场理论，是进 行微观研究的有力工具。它早在上个世纪三十年代即被用于原子结构研究。 上世纪六十年代开始，引入核结构领域，开展了大量的研究工作。在对中重核 的计算中，原子核的形变问题得到了满意的描述川，导出了n i l l s s o n 模型所假设 存在的原子核非球形轴对称单粒子势。 对于同一个原予核，不同的状态具有不同的形状，一般来说，我们可以 将其划分为球形，长椭球和扇椭球三种形状，不同的形状有不同的性质，亦 即形状共存。为研究原子核的形变和集体运动而发展起来的胛自洽场方法 是研究这一问题的方法之一。它的有效性在低质量区核结构的计算中已被广 泛证实。对于偶偶核”m ，。，“，能级的研究1 2 1 ，发现存在集体带，关于这 些原子核的能谱和核性质的研究，远不如对大形变区原子核的研究那样充分。 将严格的壳模型计算用于这些原子核，由于需要对角化的矩阵非常大，使得 计算相当困难。例如，在完全的f p 壳空间内，一个简单的七粒子体系的 态空间就非常大，难于计算口，虽然可以采用大空问壳模型程序，但仍无法 在小型的计算机上完成。 而后发展起来的相互作用玻色子模型，取得了很大的成功，但应用于这 个质量区的原子核也是困难的因为这些原子核的形状决定了它们并非相互 作用玻色子模型的三种极限下的情形，而且考虑三种极限的混合或对称性破 缺也是非常困难的i “。 将角动量投影h a r t r e e - f o r c k 方法应用于这个质量区的原子核是可行的。 h a r t r e e f o r e k 方法( h f 方法) 以平均场思想为基础，即每一个核子感受到 一个势，这个势是所有其它核子与这个核子的相互作用的平均效果。对于质 量数较大的非球形核( 形变核) ，我们利用形变捌7 方法，即只考虑一个球形 ( 惰性) 核心外的少数几个核子，这些外围核子的不同组态决定了原子核的 形状。 因为胛自洽势u 不是平移不变和转动不变的，因此胛态不是好角动量 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 页 态。若将日写为： h = h o + 吃，h o = t + u ，风o = e 中 r 为单体项，吃，为剩余相互作用，则h 和风一般说来没有相同的对称 性。例如，h 是球对称的，而。不是球对称的，这意味着与真实的波函数 相反，h 。的本征函数( 即艘波函数) 不是角动量算府的本征函数。或者说 h f 态不具有确定的角动量，是各种角动量态的线性组合。为了得到好角动 量态。p e i e r l s 和y 0 c c o z 发展了角动量投影方法。在进行角动量投影时，可以 进行变分前投影，也可以进行变分后投影。变分前投影，即构造波函数时考 虑对称性，变分不改变变分波函数的对称性。变分后投影，变分波函数用混 合对称性，对结果进行投影。 从不同的形变职内禀态进行角动量投影，得到的是一些不同的转动带。 如果几个带的胛能量很接近，那么属于不同带但角动量相同的态就具有很 接近的投影能量。当相互作用势中含有引起带间相互作用的成分时，就会出现 带间能级混合而改变能级位置。因此，为了使理论谱与实验谱更好的符合， 还需考虑形变组态混合( d c m ) 。 f 一尸壳层一直是核微观理论探讨的一个重要区域，这不仅是由于f p 壳层紧跟在s d 后面，是理论探索的自然次序，更重要的是这个区域中的 原子核表现出异常丰富的实验现象，最特出的是形状共存，近球形内察态与 较大形变内禀态能量相差甚小，几乎共同存在，而且还往往引起互相耦合， 使得对这一区域核性质的理论解释甚为艰难【5 】。 本文用形变艘方法，对f p 壳层的”f ，”，”j 核素的三种偶偶核的形 状及单粒子能谱进行了系统的研究。由于严格角动量投影h f 方法和形变组 态混合方法，应用于f p 区核子数较多的原子核时，要占用大量的计算机 时间，因此，我们采用了快速的近似角动量投影方法及形变组态混合方法， 对所计算的几种偶偶核的能谱进行了详细的讨论，这种近似角动量投影形变 h a r t r e c f o r c k 方法是一种简单、快速、有效的研究原子核能谱及性质的微观 方法。 1 2 国内外的研究现状 h f 方法是研究原子核的形变和集体运动而发展起来的。i k e l s o n 把两 体r o s e n f e l d 势作为有效相互作用，在s d 壳层内详细讨论了h f 方法，得 到了形变轨道的单粒子表示“1 。a p s t a m p 对s d 壳的原子核，利用修正的 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 y a l e 势的等效r 矩阵元进行了职计算，并将h f 解用来计算转动惯量。四 川大学的廖继志教授用k b 矩阵元对偶钛和铬核进行了形交h f 计算，结果发 现h f 单粒子能级不仅随质量数而变，也随组态的不同而不同”1 。 形变舰态不具有确定的角动量，但可以用p e i e r l s y o c c o z 方法投影出好 角动量态c 5 w a r k e m r g u n y e 建立了角动量投影方法的严格的数学形式， 讨论了有限核投影谱的性质，提出了一种只混合两个带的带混合方法，利用 唯象势对s d 壳的九种原子核进行了具体计算，还对s d 壳的其它一些原 子核计算了电磁性质，混合后的能谱比混合前有了明显的改善，但他们采用非 正交基展开核态波函数，计算过程相当复杂，以至于混合的转动带超过两个， 便使得计算难以迸行。形变组态混合方法( d c m ) 是先建立一组正交归一的投 影态，然后作组态混合的一种计算方法，上世纪七十年代，很多人一直在进行 这方面的工作。a p s t a m p 和肘b s p e n c e r 为了简化计算，在计算投影能量时 考虑插入胛态的完备集，但计算出的能谱与实验能谱比较压缩较严重。 h a l a m m e 和e ，b o e k e r 讨论了对于轻核严格的和近似的角动量投影，对柱对 称核8 & 和”c 利用s l a t e r 行列式波函数进行了严格的角动量投影，也讨论了 ”d 的非对称4 p 一4 h 态k = 0 部分的投影“。特别是为了简化计算，提出了一 种近似角动量投影方法，计算了轴对称情形的投影能量和结合能。 早期的工作主要集中在s d 壳层核的研究，后来对f p 壳层核也进行 了一些研究。为了与实验能谱更好地符合，还应考虑组态混合。 a k d h a r ，d r k u l k a r n i ，和k h b h a t t 在投影h f 基础上进行了形变组态混合， 利用修正的脚一，相互作用矩阵元，计算了f p 壳层核”z ，“矿的低能谱 及其有效电荷和e 2 跃迁几率。s s a i n i ，m r g u n n y e盯投影形式，考虑带 混合，利用矩阵元计算了能谱和静态电磁矩等值“，k p a r e k h ) 羽形变组态 混合方法，在角动量投影胛形式下，以”c o 为核心，y u k a w a r o s e n f e l d 势 和船一，为等效相互作用，对f - p 区偶偶核“风”e 进行了详细的讨论，理 论能谱与实验能谱比较，符合的很好“”。 后来，对质量数a = 6 0 9 0 的过渡区原子核也有了一些工作 d p a h a l p a r a ，k h ，b h a t t 和s p p a n d y a 以及c r p r a h a r a j 用形变组态混合方 法对“乙的能谱进行了详细的研究。他们以”f 为核心，在 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 2 e , ，2 l e ，2 2 只，：l q ，2 空间，使用7 r s k u o 的等效相互作用，计算“乙的两个 正宇称带和五个负宇称带，并用带交叉方法对y r a s t 带中j 。= 6 + 处的回弯现 象作了定量说明，计算了几个高自旋态和带内e 跃迁强度，与实验值比较符 合的很好“”。随后，r s a h u 和s 。p p a n d y a 用同样的方法对“e 核进行了研究， 在e ，跃迁几率的基础上划分出了集体正宇称和负宇称带，对近于简并的三重 8 + 态和他们的衰变图作了一定的解释“”而d p a h a l p a r a 和r s a h u 利用角动 量投影h f 方法和r r s k u o 的等效相互作用。并考虑了矩阵元的修正，在 2 e , ，2 2 只，2 1 只。i g ，：价核子空阃，计算了”s ，的能谱和b ( e ：) 值“”，结果相当 好。 台湾一位学者提出了一种近似角动量投影的快速计算方法“”，用 h a r t r e e b o g o l i u b o v 波函数计算了e ，的基态带和两个0 + 激发带，与严格的 角动量投影的结果很相近，并与实验值符合的很好。国内，川大廖继志教授在 角动量投影方面做了大量的工作，提出了一种从形变职内禀态投影出好角 动量态的单参量近似角动量投影方法，即p d h f 方法，计算了偶铬核的能谱， 揭示了自洽的和非自恰的2 p 一2 h 投影能谱的差别。同时用此方法研究了k - - 1 轴对称h f 内禀态的角动量投影能谱，比较了严格的和近似的投影矩阵元，还 讨论了p d h f 波函数用于研究原子核性质的一般问题，给出了多粒子体系的 单体张量算符在形变h f 角动量投影中的矩阵元公式，并讨论了低激发态之 间的电磁跃迁问题“”。 d b a y e 和尸日h e e n e n 发展了格点投影方法和虚数时间步长法，他们把 h f 波函数分离化，求出z ，y ，z 分量，用网格算出节点上的分量，则变分在 网格上进行“”。这个方法的基础是转动算符的矩阵表示。虚数时间步长法是 将解时间相关h f 问题的方法应用于解静态i - i f 问题，可以更有效地更可行地 处理更复杂的体系。 最近，h a r a 等人还用角动量投影方法对稀土区核的高自旋态进行了研 究，g u s h r e i b e r 等人用最大熵原理提出一种近似角动量投影技术，对由s l a t e r 行列式表示的单粒子态波函数作了角动量投影计算。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 由于在a = 6 0 附近的原子核的核子数较多，能谱也很复杂，严格的角动量 投影砸方法的计算工作量很大，因此，寻找一种快速的计算方法是很有意 义的。 本文在详细讨论了角动量投影胛方法及形变组态混合方法的基础上所 提出的近似方法，对于质量数较大的原子核，是一种实用而有效的方法，可 以大量节省计算机时间，且理论值与实验值符合得很好。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 第二章基本理论 2 1h a r t r e e - - f o e k 自洽变分方法 核哈密顿的二次量子化的一般形式为： 胃= ( 口p l ) 口f + i 2 ( c p 旷l 芦砖口：口；口，a 8 ( 2 1 ) 神州 其中，t 是单体部分，v 是两体相互作用，口+ ，a 是产生算符和湮灭算符。 用基态波函数 月 j 呻= 兀a ；i o ) ( 2 2 ) 口- l 作试探波函数，进行变分计算： 即蚓嘲= o ( 2 3 ) 由于能量为实数，则： ( 国俐卿- - 0 ( 2 4 ) 设 鼬) = 班：l 嘞 ( 2 5 ) 则 ( 中k ：日i ) = 0 ( 2 6 ) 将( 2 1 ) ，( 2 2 ) 式代入( 2 6 ) 得： p m ) + 泓叫瓦) = 0 ( 2 7 ) 口t l 则单粒子态系 研满足的肼方程为： ( a l h l p ) = 口 r l p + 似川历) = 毛 ( 2 8 ) 4 - i 其中占。是艘单粒子能。求解方程( 2 8 ) 的问题是一个自洽问题。因为单粒 子态 m 由盯哈密顿h 的本征值问题的解决定，而h 本身又通过( 2 8 ) 式依 赖于 m ，所以只能通过迭代法自洽地求解方程( 2 8 ) 。对于轻核，可以通 过迭代法直接解上述自洽方程而得到单粒子能和单粒子波函数。从而可计算 绝对结合能。”： 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 晶= ( o 俐中) = 毛- 1 2 ( 础川和) ( 2 9 ) 2 2 形变h a r t r e e - - f o c k 方法 对于质量数较大的形变核，可以选择一个惰性核心( 如以钙4 0 为核心 或以镍5 6 为核心) ，只处理这个核心外的核子，原子核的性质是由这些外围 核子所决定的，核形状由外围核子的不同组态所决定，则形变h f 方程为： ( 口l h l p ) = ( 口i 叫) + 窆( 掣叫历) = ( 2 1 0 ) 其中，n 为外围核子数。 选定价核子空间，将h f 态按一个已知的正交完备基展开： l 五) = 口j f ) ( 2 1 1 ) 其中，o 满足： 0 = c t = 色 ( 2 1 2 ) 则能量： e o ：( 中1 日i 。) = 窆以矿i a ) + i 1 窆( 舡旷i 劢 2 4 1 。 ( 2 1 3 ) = z c f c ? i i t i ) + 告c ，c 州f ：p c ： m i 。o 由 去( 凰一莩口) _ o ( 2 1 4 ) 得： 丑( f 即) + e z c ；( 】f l 叫f i 。) # ，= 口 ( 2 1 5 ) 其中，求和是对所有占有态的粒子求和。 ( 2 1 5 ) 式用迭代法求解的步骤为： ( 1 ) 任选一组满足归一化条件( 2 1 2 ) 的初始解c ，： ( 2 ) 计算( 2 1 5 ) 式中方括号内的h f 哈密顿矩阵元，建立起h 矩阵； ( 3 ) 对角化这个矩阵，求得一组新的单粒子态，即一组新的c ，+ 和对应的 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 单粒子能占“，用( 2 1 3 ) 式计算总能量醴，若i 碟。一霹l 叩 ( 玎为指定 精度) ，则用新的印+ 返回步骤( 2 ) ，继续进行迭代，直到i 碟一霹i ，7 ，最 后得到的 和c ，就是所需要的爿f 单粒子能及其对应的单粒子波函数。解的 对称性完全由初始选择决定，因为迭代过程不影响对称性 实际计算时，需要计算矩阵元： h ) = 缸) + ( 献阢l 肛) ( 2 1 6 ) i t l 其中，( 以j f 肜) 为无耦合表象中的反对称化两体矩阵元，单体部分t 可取为球形壳模型单粒子哈密顿： t = 瓦o + l t l l l s + a 2 1 2 ( 2 1 7 ) 用球形壳模型单粒子态1 月枷o ) 来展开态i a ) ，对于轴对称情形： 2 , k = ) = c ：。l 加。) ( 2 1 8 ) 对于非轴对称情形： l a ) = l 加) i r a 系数c 。j 满足条件： ( 2 1 9 ) 。= 屯，q 。= 0 ( 2 2 0 ) i 对j 的求和限于f p 壳层的四个态：1 石，2 2 见，2 l ，2 ，2 p l 2 对名的求和在 f 一尸空间对于k = 1 2 有四项，k = 3 2 有三项，k = 5 2 有两项，k = 7 2 只 有一项。对于偶偶核，态( 2 1 8 ) 和它的时间反演态 1 五，一m 。) = e ( - i ) 7 ”4 c 幺i j - m 。) 有相同的能量，且同时被占据。这样，若质子、中子不加区分，则h f 单粒 西南交通大学硕士研究生学位论文 第9 页 子能级是四重简并的。h 在m 和。中是对角的，但在j 中不是对角的，我们 在i 加) 表象中计算h 的矩阵元： ( 加。吲_ ，。肌。) = 枷。吲，掰。) + 砉( 加a 眈i ，肌勺a ) 而 r l j m r , ) = e ，i j m o ) 又 i j m r 。a ) = l j m r ；) l 加。) 其中， 则 = i 加。了 c hl j ：m 。啊) h 2 萎莩i 肼) g 。丢k ) 眈刀) 卫。 m = m + 脚 ，瓦= 0 + f 嚣 洳r 。z 吲_ ，m l z a 五) = 丢 一,(jmam,ijg)(jmj,m,jm)j1jj 【协：r r = l l v , , i j 五z r _ - 1 ) + ( j j ：刀= l n l ， 刀= k 1 ) 】( 2 2 2 ) 故( j m q j 肌) = 巳巳一。- - 一。c 。i 2 c 盘圭 嘲f j m ) 一一, ( j m a m , l j m ) ( j z j l x 【( 蔹刀- - t l q j 。歹= 1 ) + ( 蔹刀= ”l j 矗刀= k 0 ( 2 。2 3 ) 对粒子数求和改为对轨道标号求和，因为每条轨道是四重简并的，考虑 一因子吼，则每条轨道上的核子数一与填充因子只的关系为： 以l = 1 ，口i = l 4 ：力 = 2 ，口2 = 1 2 ：甩i ：3 。0 4 = 3 4 ；，l l = 4 ，口i = 1 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 则 ( j , i h p m ) = e ，巳+ 以蜀。i ( m ，_ ，：，) i q 乞l l “1 lj ：， 墨叫( 脚，j 2 j 3 ) = 三季l ( 慨 删) ( 慨l 删) + ( _ ，峨一m z l j m ) ( 。嘲一m - j m 。) 】 【3 ( 历刀= l n i ， 刀= 1 ) + ( ：刀= o l v , p 。五刀= o ) 】( 2 2 4 ) 其中，p ，是r 的本征值，即球形壳模型单粒子能。将 矩阵对角化，就可以 得到全部单粒子态 m 和对应的单粒子能巳。于是核的总能量e o 可以通过下 式来计算： 晶= 妻( 五i r i 五) 畦喜，( 和吲硇 = 去【占。+ ( 五l r i 五) 】 = 2 以h + 阮1 2 e j ( 2 2 5 ) 其中，为对轨道标号求和，为每条轨道上的核子数，以为填充因子， 幺= 嘞4 ，具体计算细节问题将在后面部分讨论。 2 3 严格的角动量投影理论 核哈密顿日= 莩z + 三若在时间反演下不变，因此，其本征函数在时 间反演算符作用下也应具有确定的对称性但如果实际的本征函数是h f 近 似波函数，则我们应投影出好角动量波函数以得到同样的对称性。”。在轴对 称情形下，由于单粒子态j 五，k ) 有好量子数七( 单粒子角动量在对称轴上的投 影量子数) ，故得到的行列式内禀态l 吼) 有好量子数j j = 皇，七是总角动量 ，在对称轴上的投影量子数。设r 为时间反演算符， 当k = 0 时t o o = o o 西南交通大学硕士研究生学位论文第”页 当k o m t ， 取k = ( o 。+ m ) z ( 七为整数) 也= ( 中i + f m l ) 1 4 i ( k 为半整数) 则隅= 从o 。投影出好角动量态的投影算符为： = 2 8 j 万+ 2 1 j f , i o n w j ( q ) 尺( q ) ( 2 2 6 ) 投影态为： 中。 ( 2 2 7 ) 为了从h 投影出好角动量态，需使用下列投影算符： = 专f 。如f 。办r s m 脚【( a p t ) + ( - 矿一聪一。) 】x e - ，w r e - 慨e 嘶 投影态为： ( 2 2 8 ) 由于投影态的能量不依赖于肘( + = 磁) ，因此我们只考虑m = k 的投影。则： 可= ( 磁哦1 日l 磁哦) ( 磁吼i 磁) = ( 磁吼h 砝哝) ，( 吃o 。l 嘭中。) 再利用 h ，吆】= o ，砝2 = 砝，可以得到的表达式： ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) = f 以徊) p 。陋1 凹l 。) s i n 伽r 以( 口) 扣。旷肌i 中。) s i n o d 0 = 矗，p 左 对于轴对称形变单粒子h f 轨道 峭；= 础。i 工啊t ) h ( 2 3 1 ) o t 是嵝j 的s l a t e r 行列式，通过繁长的代数运算，可以得到( o 。l 口“l o 。) 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 和p 。i h e “q i o 。) 的表达式( 详细推导过程见附录) 设 ( m 。i e l 嘶j 中。) = 丸( 力，p 。i h e 。峨l o 。) = n p ) 则 噍( 万一口) = 魄( 一目) ，p k ( t r - e ) = p 。( 一目) 所以我们有： ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 磁 ( 2 3 4 ) 上式中当k = o 时，j = 0 ，2 ，4 ，6 ，当k 0 时，j = k + 1 ，k + 2 ，k + 3 2 4 近似角动量投影方法 根据上一节的讨论，由于投影能量的积分只能用数值积分的方法计算， 而被积函数中的以( 力，h k ( e ) 被作为0 的函数来计算需要花费大量的计算机时 间，因此，缩短投影能量的计算时间的关键是简化p 。( 口) ，吃( 口) 的计算。 由于p 。( 印，阮( d 是关于昙对称的且具有高斯型函数的形状，我们考虑 近似f 2 3 】： p k ( 口) = 细。i e - l a ：j 中。) = d 9 ( 口印( d ) d ”( 口谛( 口) ) ( 2 3 5 ) = e 刁“ ( 2 3 6 ) 以( 印= ( o 。 h e “町l o 。) ( 2 3 7 ) 为了确定参数口，口。我们只需选取一个吼值通过( 2 3 5 ) 和( 2 3 7 ) 精确 计算出p k ( 吼) ，也( 岛) ： p 。( 岛) = ( 中。旷m i m 。) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 = d ( ( 岛) ) d “( ( 岛) ) ：p 日咖“( 2 3 8 ) 巩( 岛) = 细。i h e l 帖 o ；) = e ：f e 8 甜 则 口= 一i n p i ( 岛) s i n 20 0 口= - i n ( h k ( 0 0 ) 睇i f ) s i n 2 岛 ( 2 3 9 ) 故 = f 。【碰( 回+ ( - d “矗：一。( p ) 】p - a “z o s i n o d o n an 。j 妒) + ( 一1 ) “( 口) p - = r a z e $ i n o d 0 ( 2 4 0 ) 这样，只需精确计算一点p 。( 岛) 和吃( 吼) 的值，且投影积分中的被积函数作 为0 的函数计算起来相当简单，因此，可以大量节省计算机时间。由于口。口 是由p 。( 口) ，h k ( 0 ) 确定的，即由h f 内禀态l 吼) 确定的，所以这种近似并不破 坏每一个投影态属于一个确定胛态的性质。此外，为了与实验能谱更好 地符合，还可以对参数口作轻微的重整化“”。 2 。5 严格的形变组态混合方法 角动量投影态i 幺) ，l o 么， 是从相互无关的变分过程产生的，因而不 相互正交。但可以用下面的方法把它们正交化，得到正交化的投影基“”： l 中幺) = l 西。) 砝 ( 2 4 1 ) 作线性组合： 使： 唁) = 驯巾么) f 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 ( 唁i 咄) 2 萎”。( 哝嵫i 中r ) ( 玩j ， = 掣n 0 k k ：o ( 2 4 2 ) 把投影态的重叠矩阵【。】对角化： 若彬0 ，有； 0 = ( 。j i 。) ( p 二。) 。” = 或( 吃。) 。1 ” u n 。u 一= 叩气眩( ，以二= ，7 ：屯 “ 善务等嘻2 屯 比较( 2 4 2 ) ( 2 4 5 ) 得： 2 丽v v k ，( 玎j o ) 则 角动量为j 的核态波函数可以用正交归一基( 2 4 7 ) 来展开： f ) = i 咄) 2 ；( ；黝。盘) kv | n ： = k i 么) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ，肼 坠何 。 = 略 西南交通大学硕士研究生学位论文 第15 页 地 小莓涪 h 在正交化的投影基中的矩阵元为： 叫毗。) = ( 艰2 e 。u 搿, u c k h r j , 髟 2 瑚 其中， 日：一2 ( 中幺，l 卜k ) = ( p 如p 如) “2 扣l 咧卜- ) = ( 咄p j ，) 。” ( 2 5 1 ) 纯组态相当子对角元素，现在考虑组态混合，相当于把各个转动带混合。将日 的矩阵对角化，则得混合后的能谱。与严格的角动量投影类似，需要计算： 吃= ( 。吲。) = 三竽r s i l l 雠酬中。p h 矽 吆= p 。l 咧1 。) = 型笋r 血甜二即) 细。陋1 i o 。p 口 同样地， 胁巩) 2 莩c k t i ：m z ) 2 巧2 i 中。) 是协，t = 坍。) 的s l a i e r 行列式。将日在正交化投影基中的矩阵对角化后得 到，则： ( 中纠) = = 普 ( 2 5 3 ) 7 、巩 因此，由爿。的大小，即可以确定组态混合后的带划分具体的计算步骤为： ( 1 ) 选适当的组态( 可参考n i l s s o n 能级) 进行h f 计算，得出基态， 2 p 一2 是态，1 p l 是态等； ( 2 ) 对每一个内禀态进行角动量投影，产生出一系列的好角动量态： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 ( 3 ) 计算重叠矩阵，将其对角化，选出正交归一基； ( 4 ) 核态波函数按正交归一基展开，将日在正交归一基中的矩阵对角 化，得能谱，再根据核态波函数计算p 缸0 甲。) ，从而划分带 2 。6 近似形变组态混合方法 严格的形变组态混合方法需要大量的计算机时间。它不仅需要计算出纯 组态的严格的角动量投影( 对角元) ，还需要计算出日矩阵的非对角元。这 对于核子数较多的原子核，计算工作量相当大。因此，为了节省计算机时间， 我们采用一种两带混合的近似理论o “ 如果h f 能量硭和e 孑很相近，则投影能量和e ：也将很接近，在这 种情形下需做带混合。 混合波函数j 嘭) 可表示为投影波函数l 西么) 和l o 幺) 的线性组合： w j ) l j ) + i 。j ) ( 2 5 4 ) 其中， l 吆) = 放i 中。) 哝i 舷吼) ”2 则： e 。= ( 嘭例屹) ( 叱j 叱) 2 ( 口2 e ：+ 6 2 + 2 a b e 7 x x ) ( 口2 + 6 2 + 2 却二) ( 2 5 5 ) 其中， = 扣。i 印矗j o 。) p 。i p 左l o 。) ( 2 5 6 ) e ：的表达式与的相同，只需把其中的女换成七 = ( 中。瞄l 中。) = ( ，+ 三) r s i n 6 h 6 日盘( 臼) ( 中。l e - + l o 。) 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 = v + 三) r s i n 甜甜盘 ) d 9 ( ) d “( 口筘) ( 2 5 7 ) 彰的表达式与一的相同，只需把腆为| 即得。对口，6 变分，使值最小，得： = 三( e ：+ e ) 一4 哇( 碟一鬈j ) ：邶删； 声( 2 5 8 ) 其中， 彳= 呓- b = ( ) 2 一( + ) 砝 c = 1 - ( 吃) 2 ( 2 5 9 ) ( 2 6 0 ) ( 2 6 1 ) 为了使计算简单，首先忽视掉公式( 2 5 5 ) 中的重叠积分p 。j ，然后近一步 简化带间能量项e 之的计算- 将矩阵元k ( 口一口) 展开为( 争一目) 的级数，忽视 掉4 阶以后的项“”： k ( e - e 。) = ( m 。i n e 4 “”七l 中。) = z - o ”( 2 n ) 】够一e ) 如( o 。i 肼引。) ( 2 6 2 ) 考虑七和后都为o 的情形。则： t l 册纠o 。) = o ( 2 6 2 ) 式中重要的项是一= 0 , 1 ，2 的项， 则： ，( 捍为奇数) ( 2 。6 3 ) 更高级的项贡献较小，可以忽视掉， 气帮) z 。t 吲。，一扣) 2 ( 哦瞅h ) + 去( 毋) 4 吼瞅h ) 将上式代入( 2 5 8 ) 式得的简化表达式： e 乏= ( ，+ j i ) 2 【厶厶( j ) + ( ，) 十五工u ) 】，( p ：p ；) m ( 2 6 4 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 其中， 厶= ( o 。1 日l 中。) 五= ( 吼l 叫h ) = 扣。l 脚引西。) ( 2 6 5 ) ( 2 6 6 ) ( 2 8 7 ) 厶( 力= f s i n 甜a 缘( 口) r 棚s i n e 略( 口) ( 2 6 8 ) 五( - ，) = 一专r s i n 倒拟幺( 毋) f d 秽s i n 8 ( 秽一秽。) 2 矗幺( 秽) ( 2 6 9 ) 2 去r s i n 甜嗾( p ) r 卯s i n 口( 口) 4 略p ) ( 2 7 0 ) 由于互盘与膨无关，我们可以选择枷值，使对于所有的，有： l ( j ) f o ( y ) * c 。， 正( t ，) 厶( ，) * c 2 ， ( 2 7 1 ) c ：，c 4 为常数，则： 0 = ( ，+ 2 + a 2 c 2 + 厶c 4 砺( ，) ( p ：彰) “2 = + 二) 12 9 0 ( j ) ( p ：p k m 乏8 1 0 1 2 1 4 ( b ) 5 司 一1 0 一3 薤； 咱田卜3 ( c ) 5 1 3 1 3 书k ； 咱盱5 瓣： ( d ) 一1 3 5 1 磊； 器罗 图一a ，b ，和c - 为长椭球态，其中a 为o p - o h 态，b 和c 为2 p 一2 h 对激 发态，d 为o p o h 扁椭球态，各组态的单粒子能级及其被粒子的填充情况如图 所示，圆圈代表中子，方框代表质子，能级旁的数字为2 k - 1 0 乏 ：1 2 1 4 6 18 j o = c c l 一1 锄- - - 3 m 一 一 一3 o o = 口一 1 1 1 秘 当；聋 三 蓁 雾 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 8 页 图二e ，f 和g 为三个长椭球态的形变h f 单粒子能级，其中e 为o p o h 态，f 为一对中子被激发的2 p - 2 h 态，g 为一对质子和一对中子被激发的4 p 一4 h 态，各组态的单粒子能级及其被粒子的填充情况如图所示，圆圈代表中子，方 框代表质子 旦1 3 ( i ) 一1 3 旦1 3 磊i 奄睡f 1 龟4 酗 一g 耳；e j 一7 图三：h ，i 和j 为三个扁椭球态的形变h f 单粒子能级，其中h 为0 p 一0 h 态，i 为一对质子被激发的2 p - 2 h 态，j 为一对质子和一对中子被激发的4 p 一4 h 态，各组态的单粒子能级及其被粒子的填充情况如图所示，圆圈代表中子，方 框代表质子，能级旁的数字为2 k 由以上计算我们可以看出： ( 1 ) 在核子数较少时，长椭球态与扁椭球态之间存在明显的差别。在扁 椭球态时j = 3 2 壳层能谱最高，而长椭球态时在j = 5 2 壳层能谱最高，由 于在n i l i s o n 能级图中j = 5 2 壳层的能级最高，