（理论物理专业论文）一维关联无序系统中电子态的研究.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 自从a n d e r s o n 在1 9 5 8 年指出无序系统的局域性后，无序系统的局域 特性就受到了人们极大的关注，并且成为理论和实验的研究热点。1 9 6 1 年m o t t $ 1 t w o s e 指出一维无序系统中不可能存在扩展态。而且后来的标度 理论证明，即使在无序强度墩其微弱的情况下，一维完全无序系统中也 仅有局域化的电子，没有扩展态电子的出现，因此并不存在金属一非金 属态转变。 在最近几十年中，人们用各种方法研究了很多低维关联无序模型， 包括短程关联无序体系和长程关联无序体系。这些模型的共同特点是有 扩展态存在。长期以来，对无序系统电子局域性的研究经常采用局域长 度、l y a p u n o v 指数等测度。也有学者考虑了并发纠缠作为无序系统测度 的可能性，并发现在短链和较长链的长程幂率关联无序体系中，并发纠 缠随无序度的变化曲线中存在带结构。 许多物理问题最终都会归结为求解本征值和本征矢的问题。在无序 体系中，虽然那些与周期性有关的物理量不再适用来描述体系的性质， 但是本征值、本征波函数、态密度等物理量仍有明确意义。我们要知道 的是本征波函数和本征能量是否也可以作为无序体系电子局域性的测 度。本文对这些问题进行了探讨。也进一步探讨了并发纠缠作为测度的 可能性。作为关联a n d e r s o n 模型的例子，本文还研究d n a 分子链的并发纠 缠，并基于此分析了其电子局域性质。 关键词：无序系统，局域性，关联，并发纠缠 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t ，s i n c ea n d e r s o np o i n t e do u tt h el o c a l i z a t i o no ft h ed i s o r d e r e ds y s t e m si n 1 9 5 8 ，t h el o c a l i z a t i o np r o p e r t i e so ft h ed i s o r d e r e ds y s t e m sh a v eb e e no fg r e a t c o n c e r n ，a n db e c o m et h ef o c u so ft h et h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a lr e s e a r c h s u b s e q u e n t l ys c a l i n gt h e o r ys h o w e dt h a tt h e r ea r en o te x t e n d e db u tl o c a l i z e d e l e c t r o n i cs t a t e s i no n e - d i m e n s i o n ，t h e r e f o r et h e r ei sn om e t a l n o n m e t a l t r a n s i t i o n i nr e c e n td e c a d e s ，p e o p l eh a v es t u d i e dal o to fl o w - d i m e n s i o n a ld i s o r d e r - e dm o d e l si nav a r i e t yo fw a y s ，i n c l u d i n gd i s o r d e r e ds y s t e mw i t hs h o r t - r a n g e c o r r e l a t i o na n dl o n g - r a n g ec o r r e l a t i o n t h ec o m m o nf e a t u r eo ft h e s em o d e l s i st h a tt h e r ee x i s te x t e n d e ds t a t e s o v e rt i m e ，l o c a l i z a t i o nl e n g t ha n dl y a p u n u - o ve x p o n e n tw e r eo f t e nu s e da st h em e a s u r e st os t u d yt h ee l e c t r o n i cl o c a l i z a t - i o np r o p e r t i e so ft h ed i s o r d e rs y s t e m s o m eo t h e r st h i n kt h a tt h ec o n c u r r e n c e m a y b e u s e da san e wm e a s u r eo ft h ee l e c t r o n i cl o c a l i z a t i o np r o p e r t i e so fd i s - o r d e r e ds y s t e ma n db a n ds t r u c t u r ew a sf o u n dt oe x i s ti nt h ec a l v e so fa v e r a g e c o n c u r r e n c ew i t hd i s o r d e rd e g r e ew h e n t h e yc o n s i d e r e dt h ep o w e r - l a wc o r r e l a t i o n si nt h es h o r ta n dl o n g e rc h a i n s f o rm a n yp h y s i c a lp r o b l e m s ，w ew i l le v e n t u a l l yc o m e d o w nt os o l v i n g e i g e n v a l u e sa n de i g e n v e c t o rp r o b l e m s i nd i s o r d e r e d7 s y s t e m ，a l t h o u g ht h o s e p h y s i c a lq u a n t i t i e sr e l a t e dt op e r i o d i c i t ya r eo nl o n g e ra p p l i c a b l et od e s c r i b e t h ep r o p e r t i e so ft h es y s t e m ，b u tt h ei n t r i n s i cv a l u e ，i n t r i n s i cf u n c t i o n ss u c h a sd e n s i t yo fs t a t e ss t i l lm a k es e n s e t h e n ，w ew a n tt ok n o ww h e t h e rt h ei n t r i n s i cw a v ef u n c t i o na n dt h ei n t r i n s i ce n e r g ya l s oc a nb eu s e da sm e a s u r e so f t h ee l e c t r o n i cl o c a l i z a t i o no ft h ed i s o r d e r e ds y s t e m s t h i sp r o b l e mi sa n a l y z e d i nt h i sp a p e r a n dw ef u r t h e ra n a l y z e dt h ep o s s i b i l i t yo fe n t a n g l e m e n ta sam 内蒙古师范大学硕士学位论文 e a s u r e a sa ne x a m p l eo fc o r r e l a t i o na n d e r s o nm o d e l ，t h ee n t a n g l e m e n to f d n am o l e c u l a rc h a i nw a ss t u d i e d b a s e do nt h a t ，w ed e m o n s t r a t e dt h e e l e c t r o n i cl o c a l i z a t i o np r o p e r t i e so ft h ed n ac h a i n s k e yw o r d s ：d i s o r d e r e ds y s t e m ，l o c a l i z a t i o n ，c o r r e l a t i o n ，e n t a n g l e m e n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：堕熟虹 日期： 7 口如年乡月：3 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：密移虹 导师签名： 争俄 日期：嘞年奎月3 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 无序是相对于有序而言的，在固体物理中无序是指相对于完整晶体中原子排列的 高度有序状态的偏离。而在传统的固体物理学中，认为原子排列具有周期性，其微观 结构存在长程有序性的凝聚体被称为晶体，那么原子排列不具有周期性，微观结构也 不存在长程有序性的凝聚体被称为无序体系。在固体物理的研究范畴内，无序体系一 般包括非晶态固体材料，如玻璃、金属玻璃、磁性玻璃、非晶半导体等；也包括了无 序合金、含杂晶体、纳米材料、有机高分子材料等。但实际上可以说只要是自然界存 在的一切其组成或密度都是无规起伏的体系都可以说是无序体系，所以说无序材料应 该是自然界存在最多，最广的一种材料。 然而由于无序体系微观结构的不规则性使得其研究具有一定的难度，适用于晶体 的一些理论和方法也失效了。直到近几十年来，随着电子计算机的发展，以及制备工 艺的改进，一系列具有独特物理性质和广泛应用前景的新材料相继研制成功，人们对 无序体系的结构和物理性质的研究，在实验和理论上才有了蓬勃发展。 1 2 无序体系的基本思想 1 9 5 8 年美国著名学者a n d e r s o n 在文章某些随机晶格中扩散的缺失n 1 ，中利 用一个简单的物理模型( 后被称为a n d e r s o n 模型) 论证了无序将导致电子的局域化。 这篇文章为无序研究奠定了理论基础。根据米泽口1 的准粒子模型，哈密顿量可表述为 如下形式： 疗。；一e t + 荔。，簟岛 ( 1 - 1 ) 其中簟( 岛，) 是产生( 湮灭) 算符，厶是随机对角位能，其变化范围是 一w 2 ，w 2 ， 是无序度，白，是最近邻格点z 与f 之间的跳跃矩阵元。 当格点间能量不存在关联效应时，则第f 个格点处的能量q 与第j 个格点处的 能量j 之间不存在相互作用，关联函数为： ( 叩，) ；岛 l ( 1 2 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 当考虑各格点能量之间的关联作用时，各格点的能量乞不再是独立无规变量，其 关联函数可表示为： ( 气岛+ ，) 暑c u ) ( 1 - 3 ) 关联的引入可视为从无序向有序的变化，电子的局域性可能会被破坏，使系统表 现出新的物理性质。而在a n d e r s o n 模型中，若。取为无规变量，且f 旷仍具有平移对 称性，称为对角关联无序体系；若f 圹取为无规变量，而具有平移对称性，称为非 对角关联无序体系。如果。和f ，都是无规变量，则称为关联完全无序体系( 或复杂无 序体系) 。 目前由于受计算水平的局限，对于完全无序体系的研究很少，在对角关联无序体 系中，目前研究最多的就是长程高斯关联d 1 和长程幂率关联h 1 。 长程高斯关联的产生方法如下d 】： 1 、在l w ，w l 区间内产生一组均匀分布的无序随机位能f ； 2 、高斯关联随机位能可以通过以下平均值公式产生： 形。! ! 三型二堕二丛! ! ：! ( 1 4 ) ”。 芝e x p ( 一i m 一万1 2 ，72 ) 其中叩表示局域长度。 长程幂率关联位能可以用傅立叶滤波法产生，一维长程幂率关联位能具体产生过 程是嘲： 1 、产生一组具有一定分布( 如高斯分布或均匀分布) 的一维关联随机数序列 l 瓴) ，计算出它的傅立叶变换系数p d ，且= 产( 亏弦前蛭，其中亏为第i 个格点 的位置矢，面是波矢； 2 、计算关联函数c u ) 的傅立叶变化( 即谱密度) ：s ( q ) 一r c ( 亏弦前5 厩，然后可以 得出 q 的傅立叶变化系数【厶 ：如s 国) r 2 “。； 3 、计算出。的逆傅立叶变换k ：q = 专口e 嘶，其中n 为一维无序系统的总 格点数，由此得到一组具有长程幂率关联的格点能量。 1 3 无序体系理论研究进展 2 第一章绪论 a n d e r s o n 局域最初是在讨论电子在无序势中传播时提出的，目前的研究主要集 中在以下几点： 第一，局域化的实验验证。代表性的工作是ts c h w a r t z ，sf i s h m a n 等人2 0 0 7 年发 表在n a t u r e 上的文章1 。他们利用光子晶体获得了光波局域化的确切证据。一些实验 研究并观察到在随机光介质( 绝缘体材料的粉或悬浮物) 中的强局域效应口1 。这些实 验研究了高分散介质的传输特性，局域性在此表现为传输强度随样品密度以指数衰 减。因此，在实验上的挑战是去获得拥有足够高的散射系数和低的吸收率的样品，因 为吸收也会导致传输的指数降低。t s c h w a r t z 等人近期研究了光散射在无序介质时的 局域性d 1 。研究发现，当一光束在对称六边形光子品格中沿z 方向传播时，x - y 是翻转 空间，晶格由无序度控制，其折射指数沿传播方向变化，当胆0 时；光属于一种弹道 式的传输，其宽度随传播距离线性增加；当j i j f 0 时，在无序的影响下，光束在翻转空 间变为局域，而且在整个传播过程中，其宽度不变。 第二，关联无序的a n d e r s o n 模型( c o r r e l a t e dd i s o r d e rm o d e l s ) 。原始a n d e r s o n 无序模型中位能占；是简单的随机分布，即电子能量之间没有任何关联。关联无序的 a n d e r s o n 模型中位能和跃迁矩阵元则是满足某种关联分布的随机能量序列。 近来，徐慧等人利用传输矩阵方法计算了一维对角长程关联无序系统中局域长度 随能量的变化关系，在关系图中出现能带结构，发现关联的引入影响了系统态密度的 分布，系统能带也有了很大的展宽，另外，系统中不存在长程关联时，仅在能带的带 顶和带底存在两个态密度峰值，而当关联指数口2 0 时，态密度峰值增加为六个， 也就是出现范霍夫奇点的数目显著增加h 1 。 刘小良等人利用d a y 和m a r t i n o 的负本征值理论及w u 的无限阶微扰理论和传输 矩阵方法，分别对一维无序二元系统中电子波函数本征态、局域长度等量进行了计算。 结果发现该固体模型中电子波函数是局域的；并且在系统的局域长度随本征能量的变 化图中出现带结构，在能带中心部分，局域长度大：而在远离中心的部分，局域长度 小。说明在能带的附近，电子波函数的局域化程度弱聃，。 第三，低维关联无序系统的局域纠缠阳。1 。量子计算机的研究包含两部分，即量子 信息和量子计算。纠缠态是量子信息最重要概念之一，其测度一般用冯诺伊曼熵( y o n n e u m a n ne n t r o p y ) 或并发纠缠( c o n c u r r e n c e ) 表示。当只考虑自旋纠缠时，一个格点 上有4 个态，即一个格点上有0 个自旋( 0 ) ；1 个向上的自旋( f ) ；1 个向下的自旋 ( 1 ) ；2 个指向相反( 向上向下) 的自旋( f1 ) 。目前取得的结果显示：纠缠态 的相变点良p m i t ( 金属一绝缘体) 相变点，量子纠缠是相变的指示器。另一方面，如果 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 仅考虑空间纠缠，则一个格点上只有两个态：占居( 1 ) 或不占居( o ) ，比较简单。我 们下面的讨论不包括自旋，即是所i 胃s p i n l e s s 粒子。长期以来，金属一绝缘体相变、局 域和退局域转变，都用局域长度来衡量。有没有更好的测度能更直观更方便地描写金 属一绝缘体相变、局域和退局域转变? 能否用纠缠来做金属一绝缘体相变、局域和退局 域转变的指示器? 这是目前人们非常感兴趣的问题。研究显示，关联与纠缠有关，而 纠缠与局域一退局域或金属一绝缘体相变有关。 第四，非线性a n d e r s o n 模型。近期，a s p i k o v s k y 等人利用数值法研究了一维 无序分离非线性薛定谔晶格处于局域初态的波包的传播n 射。发现非线性对局域性的破 坏存在一临界强度p 。，若非线性特征系数夕 夕。，则运 动是有规律的，也一直保持局域分布。还发现场会沿着晶格无限的亚传播，而这种传 播o c t4 ，口的范围一般在0 3 - 0 4 。 长期以来，对无序系统电子局域性的研究经常采用局域长度、l y a p u n o v 指数等测 度。也有学者考虑了并发纠缠作为无浮系统测度的可能性，并发现在短链和较长链的 长程幂率关联无序体系中，并发纠缠随无序度的变化曲线中存在带结构。 许多物理问题最终都会归结为求解本征值和本征矢的问题。在无序体系中，虽然 那些与周期性有关的物理量不再适用来描述体系的性质，但是本征值、本征波函数、 态密度等仍有明确意义。那么本征波函数和本征能量是否也可以作为无序体系电子局 域性的测度? 本文对这问题进行了探讨。也进一步探讨了并发纠缠作为测度的可能。 1 4 无序体系电子态的常用测度 无序体系中电子局域化问题在过去几十年来引起了人们很大的兴趣。自然界中的 固体，例如金属、合金、玻璃等，它们因为杂质缺陷等原因，总是存在一定程度的无 序，组成它们的成分一原子的排列也远不是那么完美有序，它们的物理属性在相当大 程度上有随机决定，所以这就给研究带来了难度，自从1 9 5 8 年a n d e r s o n 提出无序导 致电子局域化以后，其发展经历了一个漫长的过程。 有序晶体与无序系统电子态特征的主要区别在于具有严格周期性的有序品格是 平移不变的，单电子态可用波矢量七标记并形成能带，能带电子的状态由布洛赫函数 表示： 妒七( f ) = “七( f ) e 髓彳 4 ( 1 - 5 ) 第一章绪论 所有的电子均在有序晶格中作公有化运动，且各格点周围振幅u 。扩) 相同，这种状态 在整个晶体中的扩展特征是长程序效应的反映，因此布洛赫态又可称为扩展态。具有 扩展态是有序晶格的特点。当有序晶格中( 如半导体) 掺入少量杂质后，周期性被局 部破坏，势场不再是周期函数，电子本征态波函数也不再是布洛赫函数，电子本征态 可以分为两类：扩展态和局域态。它们之间以迁移率边e 、e 为分界。这时将有电子 或空穴被束缚在杂质上，并在导带之下或价带之上( 能隙区中) 形成施主和受主能级， 这些电子( 或空穴) 的波函数是指数衰减型的局域函数： 妒七( 尹) e x p ( - f 考) ( 1 - 6 ) 当称为局域化长度。这时电子在杂质附近作局域化的运动，有别于扩展在整个晶体中 的公有化运动，称为电子的局域态，由此可知存在局域态是无序的标志。 - 无序材料作为自然界存在最广的一种材料，其电子局域化问题已越来越为国内外 人们所重视，下面介绍下局域态的几个测度。 1 4 1 局域长度 在对无序系统电子态的研究中，米泽的准粒子模型哈密顿量被广泛应用。在瓦尼 尔表象下，考虑紧束缚近似，系统的哈密顿量可写为： 日2 驯槲| + u e t i i i ) ( 川( 1 - 7 ) 在讨论系统的电子态时，毛是电子在格点的能量，i 一i 代表格点能量的变化范 围，即体系的格点能量无序度职岛是电子在f 与j 格点之间转移的跳跃矩阵元，反映 处于不同格点处电子之间的相互作用势，关于勺的形式一般有两种，一种是d a y 和 m a r t i n o n 5 1 提出的幂函数式，其表达式为： 和 勺一- 2 ( 1 i - j l + 1 ) ， t i i 。0 ， 卜i _ ls m l i 一_ l m 另一种是c h i n g 和h u b e r n 6 1 提出的指数函数式，其表达式为： 白a - t oe x p ( - a i - ：i ) 5 ( 1 - 8 ) ( i - 9 ) ( 1 - 1 0 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 其中，乞和口为常数。一般我们采用第一种表达式，并取胆2 ，即只考虑包括次近邻 在内的格点间的相互作用，这也是由于受到计算方法的限制，而不考虑长程相互作用。 若巨为哈密顿量的本征值，l 妒) = 识i f ) 为与能量本征值巨相对应的本征态，其 中2 代表在d n a 序列中格点f 发现电孚的几率，则薛定谔方程可表示为n 7 】： 骂谚= - 2 谚- 2 + 卅谚- 1 + 乞谚+ ，f “+ 1 + j + 2 谚+ 2 ( 1 11 ) 利用负本征值理论和无限阶微扰理论n 耵，可以求解d n a 分子链的本征方程。我们 将系统的波函数表示成格点轨道波函数基的线性组合伊= 谚i f ) ，系统h 作用在缈上， 则可表示成h 1 ： r， i e 谚= 毛谚+ f ( 谚+ ，一谚一。) ( 1 1 2 ) 其中占是与电子波函数相对应的能量本征值，芒取为一l ，将( 1 - 1 2 ) 式进行变换，得 到如下的回归形式： 附哆 ( 1 - 1 3 ) 由于无序导致电子波函数呈现局域化，其局域程度可用局域长度来描述，且电子波函 数在给定的能量e 处系统的局域长度a ( e ) 可表述为： 南= 脚纠纠 ( 1 - 1 4 ) 其中n 为系统格点数，并选择九= a = ，结合( 卜1 3 ) ， ( 卜1 4 ) 可以得到局域 长度入。 局域长度越大，表示系统的局域化程序越弱，当局域长度大到一定程度时，系统 就由局域态转变为扩展态，系统表现出金属性。反之，局域长度越小，表示系统的局 域化程度越强，可认为是一个绝缘体。 徐慧等“删一些学者研究了引入长程幂率关联和不引入长程幂率关联情况下一维 无序a n d e r s o n 模型，得出了一些非常有意义的结论。 6 以 0孚1 m 第一章绪论 徐慧等人计算了一维对角长程关联无序体系中局域长度入随能量的变化关系，并 且对不同的关联指数p 下的局域长度进行了计算。得出结论为长程关联改变了一维无 序系统中的局域性质，在能带中心范围内电子态的局域长度随着关联指数p 的增大而 发生很大变化，特别是当p 2 0 时，系统中的某些能量范围内的局域长度大于系统 尺寸，表明此时有扩展态存在，即关联的引入使得一维a n d e r s o n 无序系统中发生了 部分局域态向退局域态的转变h 1 。 马松山等人计算了不同参数下的d n a 分子链中间能带 - 2 ，2 的电子波函数的局 域长度。结果发现d n a 分子链中存在大量的电子局域态，其电子波函数扩展范围远小 于链长，同时在能带中间部位，电子局域态的局域长度大，而在远离中心的部分，局 域长度小，说明在能带的中心附近，电子波函数的局域化程度要弱，这一结论和莫特 的关于迁移率边的理论是相一致的。在莫特的理论中，系统的扩展态总是率先出现在 能带的中心，而局域态则往往出现在带尾处n 。 1 4 2l y a p u n o v 指数 邓超生等人啪一利用重正化之后，系统的n 阶哈密顿量矩阵随之变为二阶的有效 哈密顿量矩阵形式，即 州叫豁挈】：( 曷】 为了能够得到系统的l y a p u n o vm i n t ( e ) ，引入矩阵元为： 吒( e ) 】= 所l 刍b ( 1 - 1 6 ) 格林函数瓯。( e ) ，并经过大量的迭代之后，得到l y a p u n o v 指数7 ，( e ) 可表述为： y ( e ) - l i m r 1 - n l 蹦忙l i 叫m ( 丢尹忡) i ) m ) ，( e ) 的一个重要特性如下：如果在系统的整个能区范围内，y ( e ) 的取值都为某 个不为零的有限值，则表明该系统中所有的电子态都为局域态，而如果在系统的某一 能量范围内r ( e ) 的取值等于零，则表明在该能量范围内系统中出现了局域长度大于 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 系统尺寸的扩展态。 邓超生等人利用，( e ) 讨论了关联指数和无序度对系统的影响。得出结论为：1 无序度是研究一维长程关联无序系统中的电子态时必须考虑的一个重要参量，它在很 大程度上影响着系统中局域化退局域化的转变。当关联指数p 一定而无序度形增大 时，系统中心能区范围内由于长程关联而引起的扩展态逐渐向局域态转变，并且存在 所有扩展态均转变为局域态的临界无序度彪，同时当关联指数p 增大时，髭也随之增 大。2 足够大的关联强度能够使得一维长程关联无序系统中出现关联诱导的局域化向 退局域化的转变，而足够大的无序度又能使得该系统中出现无序度诱导的退局域化向 局域化的转变，这两种参量在系统局域化退局域化转变中起着相反的作用m 1 。 1 4 3 并发纠缠 在量子力学中不能表示成直积形式的态称为纠缠态。纠缠态之间的关联不能被经 典地解释。所谓量子纠缠指的是两个或多个量子系统之间存在非定域、非经典的强关 联。有人认为并发纠缠可以作为无序系统波函数局域、扩展态的一种有效测度。 郭子政在考虑长程幂率关联或高斯关联两种情况下，对一维a n d e r s o n 模型基态的 并发纠缠作了对比，计算了短链( n = 2 0 0 0 ) 情况下的并发纠缠n 2 l 。并发现考虑长程幂 率关联时，并发纠缠曲线中出现了带结构。且随着i | j f 的增加，。并发纠缠不仅在短链情 况下会出现带结构，而且在较长链中也出现了带结构。宣治国又发现较长链( y ：5 0 0 0 ) 也会出现带结构。同样仍是上面的带与较高的并发纠缠对应，下面的带与较低的并 发纠缠对应。同样，在较长链中，也可以看到曲线的跳跃，该跳跃既可发生在带间， 也可发生在带内，而且这些跳跃总是从平均并发纠缠高的地方向平均并发纠缠低的地 方跳跃。由于并发纠缠反映系统波函数的性质，因此可以确定存在跳跃的地方，系统 状态的局域程度定会有很大变化。 1 5 本文主要研究内容及研究意义 本文研究a n d e r s o n 无序系统的本征能量和本征波函数，观察其是否能反映关联的 特征。进一步探讨利用并发纠缠作为无序系统的测度的可能性。作为关联系统的例子， 研究d n a 系统在准周期模型和无序模型下的并发纠缠，并基于此分析其电子局域性。 随着对无序材料以及自然现象不断深入的研究，人们发现在许多无序领域如d n a 序列哑瑚1 、心脏跳动口4 1 、气候变化嘲、材料科学脚等，它们的空间无序是相互关联的， 也就是系统中格点的能量并不是独立的无规变量，而是存在有长程关联。我们的计算 结果可以对这些工作的进一步研究提供理论支持。 8 第二章一维长程幂率关联无序体系的本征波函数和本征能量 第二章一维长程幂率关联无序体系的 本征波函数和本征能量 2 1 引言 在量子力学中，微观粒子的状态是用波函数来描述的。波函数由振幅乘以一个相 因子所组成，波函数与经典的波函数一样，满足叠加原理。波函数随时间的演化由薛 定谔方程所描述。因面微观粒子有类似于波的。些现象：干涉、衍射等。一般来讲， 波函数是空间和时间的函数。而无序体系的电子结构不同于具有周期性结构的晶格 体系电子结构，其电子波函数呈现局域化特性。 许多物理问题，最终都会归结为求解本征值和本征矢的问题。在无序体系中，虽 然那些与周期性有关的物理量不再适用来描述体系的性质，但是本征值、本征函数、 态密度等还有意义。这一章我们研究了一维关联无序体系的本征波函数和本征能量。 我们探讨无序度和关联指数对本征波函数及本征能量的影响，并观察其是否可以反应 关联的特性。 2 2 模型和方法 产生长程幂率关联的格点位能的另一种方法是利用表达式1 1 2 1 ： ；耻时。h 警+ 叫 ( 2 - 1 ) 通过改变关联指数a 来产生幂率关联位能，这里是位数，九是n 2 个独立随 机相，且均匀分布在 0 ，2 z 范围内。本文就是采用此方法，并把幂率关联位能标准 化到 一职j i j i i 范围内。 考虑紧束缚近似，a n d e r s o n 模型的哈密顿量为： 肌e 驴c n c n + ， ( 2 2 ) 在此只考虑对角无序系统，则可取t 为常数。仅计及最近邻格点之间的跳跃积分， 取z 一1 ，上式可写为： 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 即 膏。；一 + 磊，占： 疗。e 乞+ ；辑。e t 4 ) 系统的本征值方程可以表示为： h 叩| e | l 把式( 2 4 ) 带入薛定谔方程中得到下式： ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) f ( 妒。“+ 妒。- 1 ) 4 g n t d 。= e q j 。 ( 2 6 ) 这个方程可以写成矩阵的形式： g l - - t - - t 占2 of 00 0o 0o 0o o0 3 - l - - t 气 0o 00 0o 00 0o 0o e 一l - - t - - t n 缈l 妒2 妒3 妒4 ： 缈一1 qn e 妒l 妒2 妒3 妒4 妒一l 妒 ( 2 - 7 ) 由于只考虑最近邻格点之间的相互作用，所以取t 一1 ，上面方程的哈密顿量通过 子程序l a p a c k 程序库中的子程序d s t e v 很容易被对角化从而得到本征值和本征矢。 2 3 不同关联指数情况下本征波函数的对比 在引入长程幂率关联情况下，我们利用以上方法求出了一维a n d e r s o n 模型 ( - 2 0 0 0 ) 引入长程幂率关联情况下的对角无序系统的前1 6 个激发态的本征波函数， 并认为位能均匀分布，只考虑最近邻格点之间的相互作用，因此取t = l 。 图2 一l 为关联很小( 口= 0 5 ) 时，2 0 0 0 个格点上前1 6 个态的波函数图，我们发 现第n 个态的波函数图中就有n 个节点。很明显，当引入关联后，波函数曲线并不是 很光滑，而是有波动。而且其波函数曲线不规则，振幅不相同，随着态数的增大，其 节点变得比较清晰，波函数比较规则。当继续增大关联指数a 时，我们发现波函数波 1 0 第二章维长程幂率关联无序体系的本征波函数和本征能量 动更小了，节点更清晰了，而波函数尾部波动稍大，曲线倾斜度变小，直至a = 2 5 时，曲线如图2 - 2 所示，如果继续增大关联指数，曲线基本不变。 通过对比两幅图，我们发现关联虽然对其有影响，但无从体现电子态局域性的变 化，所以可知本征波函数不足以反映关联特性。 图2 - 1 ：无序有关联( 籼0 0 5 口= o 5 ) 图2 - 2 ：无序有关联( # a - - 0 0 0 5口- - 2 5 ) 2 4 不同态的本征能量 内蒙古师范大学硕士学位论文 图2 - 3 显示了一些态的本征能量随无序度的变化情况，由图可知，1 - 1 0 0 0 态的 本征能量均为负值，且随着无序度矿的增大而逐渐降低；相反，1 0 0 0 - 2 0 0 0 态的本征 能量均为正值，而其大小将随着无序度w 的增大而逐渐提高。构成成键态和反键态现 象。 图2 3 ：2 0 0 0 个态中的几个不同态的本征能量随无序度的变化 ( 胆2 0 0 0 ，口= 2 0 ) 由于w 是最低能量和最高能量的分布范围，所以最低能量、最高能量会随而变 化。但相对而言，基态和2 0 0 0 态的能量随无序度的变化更大，也就说在1 - 2 0 0 0 个态 中，中间态的能量改变更少，两边的态即初态和末态的能量改变会越来越多。 2 5 关联对本征能量的影响 1 2 第二章一维长程幂率关联无序体系的本征波函数和本征能量 图2 4 ：关联指数对基态与2 0 0 0 态本征能量的影响 由图2 4 ，我们观察到基态本征能量会随着无序度的增大而下降，而2 0 0 0 态的 本征能量会随着无序度的增大而提高，构成反键态和成键态。这与图2 3 情况相同， 基态是反键态，2 0 0 0 态是成键态。这里，我们主要研究了关联指数对基态和2 0 0 0 态 的能量的影响。由图2 4 ，可发现当引入关联后，基态能量提高；而2 0 0 0 态能量下 降。这是由于基态关联效应大，当引入关联后，能量提高，构成反键态。2 0 - o o 态关 联效应小，当引入关联后，能量下降，构成成键态。 相对来说，基态能量的变化更大，也就是说关联指数对基态的影响更大。出现一 奇怪现象：对于基态：当a 2 时，其 本征能量随关联指数增大而减小：对于第2 0 0 0 态：当a 2 时，本征能量随关联指数增大而增大。所以导致无论是基态还是 2 0 0 0 态，当关联指数a = 2 时，能量变化最大。对于基态，a = 2 时的能量提高最多； 对于2 0 0 0 态，a = 2 时能量降低最多。而且无序度越大，效果越明显。 另外，我们还观察到无论是基态还是2 0 0 0 态，几条曲线随无序度变化的过程中， 虽然单调性一致，但并不是一直平行的，无关联的曲线( 即口= 0 ) 随无序度变化的更 快一些。这是由于无序度与关联竞争的原因导致的。 图2 4 说明了关联的引入对基态和第2 0 0 0 态本征能量有影响，以下我们讨论关 联的引入对其它态是否有影响。 图2 5 研究了有无关联两种情况下，不同态本征能量随无序度的变化。由图2 - 5 看出有无关联都会出现成键态和反键态现象，这与图2 - 4 相同。当引入关联后，1 - 1 0 0 0 8 7 6 5 3 2宅4r毒 j 内蒙古师范大学硕士学位论文 态( 包括1 0 0 0 态) 的各态能量均提高了；1 0 0 0 - 2 0 0 0 态之各态能量均降低。这说明 关联的引入不但对基态和2 0 0 0 态有影响，而且对1 2 0 0 0 这2 0 0 0 个态中的各个态的 本征能量均有影响。 山 图2 - 5 ：在不同态下，本征能量随无序度的变化 ( 实心曲线代表a = o 0 ，空心曲线代表口= 2 5 ) 通过以上研究可知关联对本征能量有影响，并表现出一些规律性，但无法反映出电子局域性 的变化，所以不能作为无序系统电子态的测度，也不足以反映关联的特性。 2 6 本章小结 通过对本征波函数的研究，我们得到如下几个结论： 1 第几个态的本征波函数就有几个节点，而节点在最初几个态不是很清晰； 2 关联指数的增大使得最初几个态的节点变得更清晰，波函数尾部波动明显。 虽然关联指数对波函数有影响，但无从判断局域性变化，所以这些都不足以反映 关联的性质。 通过对本征能量的研究可以得到以下结论： 1 关于无序度对本征能量的影响：1 - 1 0 0 0 态的本征能量都是负的，并且其值都 随着无序度w 的增大而逐渐降低；相反，1 0 0 0 - 2 0 0 0 态的本征能量均为正值，而其大 小将随着无序度w 的增大而逐渐提高。构成成键态和反键态现象。 2 关于关联指数对本征能量的影响：a 引入关联后，1 - 1 0 0 0 态( 包括1 0 0 0 态) ， 1 4 第二章一维长程幂率关联无序体系的本征波函数和本征能量 各态能量均提高了；1 0 0 0 - 2 0 0 0 态，各态能量均降低了。这说明关联的引入不但对基 态和2 0 0 0 态有影响，而且对1 2 0 0 0 这2 0 0 0 个态中的各个态的本征能量均有影响。 b 关联指数大小对本征能量的影响以a = 2 为界，所以无论是基态还是第2 0 0 0 态，当 关联指数a = 2 时，能量变化最大。对于基态，a = 2 时的能量提高最多；对于2 0 0 0 态， a = 2 时能量降低最多。而且随着无序度越大，效果越明显。 由此我们可知虽然关联对各态的本征能量都有影响，但我们根据这些影响无法判 断其局域性的变化，所以关联对其的影响都不足以反映空间关联的特性。 内蒙古师范大学硕士学位论文 第三章并发纠缠弟二早升：复纠理 3 引言 纠缠是量子理论中一个非常基本的概念，它只存在于非局域、非经典的量子系统 中，可以用它来测量这种非局域的关联。这样，就可以很容易理解强局域可降低纠缠。 因此，一些学者认为纠缠可以作为一种新的研究无序系统的测度。 因此，若只考虑基态波函数，平均并发纠缠公式可写为n 0 1 ： 。啪m ) 2 - 1 】 ， 这里，m = ( 一1 ) 2 ，妒；是i 处基态波函数。 郭子政利用此方法求得了在考虑高斯关联或长程幂率关联情况下，基态平均并发 纠缠与无序度的变化关系。发现了两种情况下平均并发纠缠都会随着无序度的增加而 减小，并且在考虑长程幂率关联时，发现在短链或较长链情况下，平均并发纠缠与无 序度的关系图像都有带结构出现，并且有两个带结构，关联指数口2 对应并发纠缠 较高的带，关联指数a 2 的曲线在上面那个带对应于 平均并发纠缠大的带：a 1 0 0 0 时，曲线变化很小，当链数达到5 0 0 0 时，曲线逐渐趋于平缓，也就是 说此时平均并发纠缠基本上已不随链数变化。 4 4 准周期模型与位能随机分布模型的并发纠缠的对比 为了将准周期模型与无序模型做比较，我们将位能在 7 7 5 ，9 1 4 e v 范围内均 匀随机变化来产生一系列无序随机d n a 序列。图4 - 2 的两幅图分别显示了准周期模型 1 ，模型2 与位能随机分布模型的比较。图中表明，准周期模型与随机分布模型相比， 平均并发纠缠增大了，原因要归结为关联，得出结论为关联使并发纠缠增大。由图 我们可以观察到随着链数的逐渐增加，位能随机分布模型与准周期模型的曲线趋于一 致，这说明链增长到一定程度，关联效应会变得越来越不明显。 第四章d n a 分子链的并发纠缠 图4 - 2 ：位能准周期模型和位能随机分布模型的数值比较 4 5 本章小结 本章我们研究了d n a 分子链的平均并发纠缠，我们发现准周期模型的平均并发纠 缠随着链数的的增大而减小，当链数达到5 0 0 0 时，曲线逐渐趋于平缓，也就是说此 时平均并发纠缠基本上已不随链数变化。我们还将准周期模型与位能随机分布模型相 比，准周期模型的平均并发纠缠比位能随机分布模型普遍大，原因要归结为关联，所 以我们得出结论为关联使并发纠缠增大。从而证明了并发纠缠可以体现关联特性。 2 1 内蒙古师范大学硕士学位论文 第五章总结 本文主要研究一维关联无序体系的电子态。首先介绍目前关联无序电子态的研究 进展，分析了电子态的常用测度，在此基础上尝试寻找新的测度。 本文研究工作及结论： 1 通过研究本征波函数，我们发现关联指数对本征波函数确实有影响，但不 足以反映空间关联特性； 2 本征能量：( 1 ) 发现各态本征能量与无序度的变化关系图中出现了成键态 和反键态现象；( 2 ) 关联指数对基态和2 0 0 0 态本征能量的影响：f l 。引入 关联后，1 - 1 0 0 0 态( 包括1 0 0 0 态) ，各态能量均提高了；1 0 0 0 - 2 0 0 0 态， 各态能量均降低了。b 关联指数大小对本征能量的影响以a = 2 为界，所以 无论是基态还是第2 0 0 0 态，当关联指数a = 2 时，能量变化最大。对于基态， a = 2 时的能量提高最多；对于2 0 0 0 态，a = 2 时能量降低最多。而且随着无 序度越大，效果越明显。结论：本征能量不足以反映关联特性； 3 并发纠缠：我们发现第_ 激发态的平均并发纠缠随无序度的关系图中发现 其态局域程度强，且其局域性会随着无序度的增大而变的越来越强；而2 0 0 0 态的平均并发纠缠随无序度的关系图中发现其局域程度相当弱，且其局域 性会随着无序度的增大而越来越弱。所以我们说这2 0 0 0 个态中每个态局域 程度都有着很复杂的变化。所以我们得出结论：并发纠缠足以反映关联特 性。 4 作为关联a n d e r s o n 模型的一个例子d n a 分子链来说，我们将d n a 链链长扩 长到5 0 0 d 、，将位能准周期模型与位能随机分布模型的并发纠缠与链长的变 化关系图做了对比，发现准周期模型的平均并发纠缠比位能随机分布模型 的普遍大，原因要归结为关联，是关联效应使得平均并发纠缠增大。所以 我们证明了并发纠缠足以反映空间关联特性这一结论。 内蒙吉师范大学硕士学位论文 参考文献 1 a n d e r s o npw a b s e n c eo fd i f f u s i o ni nc e r t a i nr a n d o ml a t t i c e j p h y s r e v l e t t ， 1 9 5 8 ，1 0 9 ( 5 ) ：1 4 9 2 1 5 0 5 2 李正中固体理论( 第