（理论物理专业论文）光场的高阶场量及其涨落的测量.pdf

摘要 量子测量是量子力学研究的基本课题之一。在量子力学的发展 过程中，量子测量问题在理论和实验上都得到了广泛的研究，但以 往的研究比较偏重于完备性测量( 即非破坏性测量) 。由于完备性测 量需要进行系统状态的重组，测量过程较复杂，容易受到系统消相 干机制的影响。在有些情况下，我们并不需要获取系统的全部信息， 而只需要提取部分有效信息，因此近些年人们开始研究非完备性测 量( 也称作破坏性测量或瞬时测量) ，这种测量不需要对系统状态进 行重组，测量过程简短，可有效避免系统消相干的影响。我们在本 文中提出了一种测量光场高阶场量的方法，对不可直接接触的场， 通过两能级探测器与光场相互作用后测量探测器的可观测值，然后 通过积分变换推导出高阶场量与所测量的探测器可观测值之间的关 系，即可以获得高阶场量的期望值。我们在第三章研究了光场的k 阶 振幅压缩的测量。我们引入了光场k 阶振幅表达式，介绍了光场k 阶 振幅压缩的主要形式，讨论了k 阶振幅( z 。( 七) ) 和( z ：( 七) ) 、k 阶振幅平 方亿2 ( 七) ) 和( z ；( 七) ) 以及高阶场量( ，( 七) ) 的测量，给出了这些高阶场量 的直接计算结果。在第四章研究了光场的k 阶光子数及其涨落的测 量。我们引入了光场的k 阶光子数定义式刀= ( 口+ 口r ，给出了k 阶光 子数珂t ：( 口+ 口r 按光场的产生( 口+ ) 和湮灭( 口) 算符的正规序展开 的形式，并给出了k 阶光子数涨落的表达形式。讨论了高阶场量 ( 口+ ) 口( 七= 1 ，2 ，扎) 的期望值( ( 口+ ) 矿) 的测量，给出了k 阶光子数期 望值) 和k 阶光子数的涨落( 血) z ：( ( n k ) 2 ) 一i r l k ) 2 ：( 以z ) 一( 矿) 2 的直 接计算结果。在第五章我们研究了光场高阶关联函数的测量。介绍 了光场的高阶关联函数的定义形式，阐述了研究光场的高阶关联函 数对了解辐射光场的量子统计特性的作用和意义，给出了单模量子 场中零时延胛阶归丁化关联函数的表达形式，并重点讨论了单模量 子场中零时延n 阶归一化关联函数的测量。我们发现测量高阶场量 主要通过原子( 探测器) 与光场的多光子j c 型共振相互作用实现， 测量不同的高阶场量，相互作用过程中跃迁光子数应与高阶场量的 阶次相同，另外还需考虑将原子和光场制备在相应的初态，且需选 择系统合适的测量态才能顺利完成测量。根据导出的结果我们可以 看到，所有高阶场量的相关信息都只包含了探测器可观测量( 原子 布居) 在f = 0 时的一阶或二阶倒数，因此只需要在r ：0 的邻域内对 系统作瞬间测量，可大量缩减系统消相干机制对测量结果产生的影 响。这个测量计划在技术上目前已经可以在一些系统( 如c q e d 系统、 囚禁离子系统、或白旋系统) 中直接实验实现。 关键词：瞬时测量、高阶振幅压缩、高阶光子数及涨落、高阶关联 函数 i i a b s t r a c t q u a n t u mm e a s u r e m e n ti so n eo ff u n d a m e n t a lp r o b l e m si nq u a n t u m m e c h a n i c s i tp l a y sa nv e r yi m p o r t a n tr o l eo ns t u d i e so fq u a n t u mt h e o r y a n dt h e i ra p p l i c a t i o n ss u c ha sq u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u m c o m m u n i c a t i o n u s u a l l y , o n ec o n c e r n sw i t hq u a n t u mn o n d e m o l i t i o n ( q n d ) m e a s u r e m e n t s w h i c ha r e c o m p l i c a t e d s i n c ea c o m p l e t e m e a s u r e m e n tn e e d st or e c o n s t r u c tq u a n t u ms t a t e so ft h em e a s u r e d s y s t e m t y p i c a l l y ，ac o m p l e t e s t a t er e c o n s t r u c t i o nw i t hs t a n d a r d t e c h n i q u e sd e m a n dg r e a te x p e r i m e n t a le f f o r t s ，i ss t r o n g l ya f f e c t e db y d e c o h e r e n c em e c h a n i s m s ，a n d ，f r e q u e n t l y ，t h eo b t a i n e d i n f o r m a t i o n e x c e e d so u rr e q u i r e m e n t s h o w e v e r , i ns o m ec a s e sw en e e dn o tk n o w t h ec o m p l e t ei n f o r m a t i o no ft h es y s t e mu n d e rc o n s i d e r a t i o n ，a n do n e o n l yw a n t st oe x t r a c tp a r t i a li n f o r m a t i o no ft h e c o n s i d e r e ds y s t e m i n t h e s ec a s e s ，t e c h n i q u e sf o re x t r a c t i n ge f f i c i e n t l yt h er e q u i r e dp a r t i a l i n f o r m a t i o na r em o s tw e l c o m e da n de v e nn e c e s s a r y t h ep r o b l e mi s e v e nh a r d e rw h e nt h ef i e l di sn o td i r e c t l ya c c e s s i b l ea n daq u a n t u m p r o b eh a st ob eu s e df o rt h ep u r p o s e so fa ni n d i r e c tm e a s u r e m e n t t h e r e f o r e i nr e c e n ty e a r sm u c ha t t e n t i o nh a sb e e np a i dt on o n c o m p l e t e q u a n t u m m e a s u r e m e n tw h i c hi sa ls o r e g a r d e d a si n s t a n t a n e o u s m e a s u r e m e n t i nt h i st h e s is ，a ni n s t a n t a n e o u sm e a s u r e m e n ts c h e m ei s p r o p o s e dt om e a s u r ei n d i r e c t l yh i g h e r - o r d e rm o m e n t sa n dv a r i a n c e sf o r l i g h tf i e l d i nt h i ss c h e m e ，t w o - l e v e la t o m sa r eu s e dt oa c ta sq u a n t u m p r o b e s ，a n dw em a k e u s eo fm u l t i p h o t o nj a y n e s c u m m i n g st y p e 一 ：t i c i g h tf i e l da n d l t o m s t h e v a l u e so ft heinteractions b e t w e e nl l g l a ti l e la n dp r o b ea t o m s l a em e a nv a l u e so im e f i e l do p e r a t o r sc o n n e c tw i t ho b s e r v a b l e so ft h ep r o b ea t o m st h r o u g h i i i i n t e g r a lt r a n s f o r m a t i o n s a l lr e l e v a n ti n f o r m a t i o no ft h eh i g h e r - o r d e r m o m e n t sa n dv a r i a n c e sf o rl i g h tf i e l di sc o n t a i n e di nd e r i v a t i v e so ft h e p r o b ea t o m sa tt h ei n i t i a lt i m e t h et h e s i si sd i v i d e di n t os i xc h a p t e r s c h a p t e r1i sd e v o t e dt o a ni n t r o d u c t i o n c h a p t e r2i si n t e n d e da sa no v e r v i e wo ft h eb a s i c c o n c 印t sa n dt e c h n i q u e su s e di nt h er e m a i n d e ro ft h i st h e s i s i nc h a p t e r 3 ，m e a s u r e m e n to ft h ek t h p o w e ra m p l i t u d es q u e e z i n go fac a v i t yf i e l d i si n v e s t i g a t e d i ti ss h o w nt h a tt h ek t h p o w e ra m p l i t u d es q u e e z i n go f t h ec a v i t yf i e l dc a nb eo b t a i n e db yd e t e c t i n gp o p u l a t i o no fa t o m si n t e r m so fak - p h o t o na n da2 k - p h o t o nj a y n e s - c u m m i n g sm o d e l s i n c h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t em e a s u r e m e n to fh i g h e r o r d e rp h o t o nn u m b e r a n di t sf l u c t u a t i o nu s i n gt w o l e v e lp r o b ea t o m s i nc h a p t e r5 ，w es h o w h o wt od e t e c th i g h e r - o r d e rc o r r e l a t i o nf u n c t i o n so ft h el i g h tf i e l d a s u m m a r ya n da no u t l o o ko ft h i st h e s i sa r eg i v e ni nt h el a s tc h a p t e r k e yw o r d s ： i n s t a n t a n e o u sm e a s u r e m e n t ，h i g h e r o r d e r a m p l i t u d e s q u e e z i n g ，h i g h e r - o r d e rf l u c t u a t i o no fp h o t o nn u m b e r , h i g h e r - o r d e r c o r r e l a t i o nf u n c t i o n i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：秀劢引刎年t 月岁p 日 6 ) 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大 学。同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 导师签名： 日期：砌7 年f ，月岁p 日 日期：卅年，l ，月刀日“ t 光场的高阶场量及其涨落的测量 第一章绪论 量子测量是量子力学研究的最基本的重要课题之一，在量子力 学的发展过程中，无论是在理论上还是实验上都得到了广泛的研究 1 - 9 。为了获得量子系统或量子场态的相关信息，量子测量是必不 可少的技术手段，几乎在量子力学的各个领域都离不开量子测量。 最基本的我们可以测量正交场量的期望值及其涨落、光子数统计等， 从而了解场的统计特性。例如区分光场的不同场态 1 0 - 1 1 ，分析场 态的统计特性( 非经典特性、压缩或纠缠特性、场量之间的关联特 性等) 1 2 - 1 4 ，也可以用于了解媒质的传输特性 1 5 或者用于分析 贝尔不等式 1 6 。通过测量关联函数可以了解场的相干特性、非经 典特性以及光子数的统计分布特性等 1 7 - 1 8 。另外，在量子力学的 许多重要领域，量子测量都有着非常重要的作用。在量子态的鉴别 领域，对于量子混态系统，我们需要通过测量对量子态进行鉴别 1 9 - 2 0 ，而在量子计算方面，通过量子测量可以实现不同的量子计 算方法 2 1 ，通过量子测量还可以制备新的量子态 2 2 - 2 3 1 ，要完成 量子克隆 2 4 ，也是离不开测量的，而利用克隆原理还可以进行联 合测量 2 5 ，在量子通讯、量子隐形传态等方面，也需要通过量子 测量才能获得所传输的信息等等。 量子测量的类型可以根据不同的条件来划分。根据实验过程中 对系统的操作方式不同，可以分为完备性测量( 即量子非破坏性测 量) 和非完备性测量( 也称作量子破坏性测量) 。也可以根据获得测 量数据的方式不同而划分为直接测量和间接测量。在实际的测量问 题中，一般可能同时包含上述两种条件，如根据不同的需要，可以 高校在职硕士学位论文 作直接量子完备性测量，也可以作间接的量子完备性测量。在量子 测量的理论和实验研究过程中，研究人员提出了许多不同的测量方 案，v o nn e u m a n n 在他所著量子力学的数学基础一书中提出了 一种测量方案 9 ，称为y o nn e u m a n n 测量，g m d a r i a n o 和m f s a c c h i 进一步研究了光学v o nn e u m a n n 测量 2 6 。它是以一个 粒子与另一个粒子的关联为基础来测量粒子的位置( 即坐标) 毒， 其模型为两粒子( 目标粒子和探测粒子) 相互作用的哈密顿量可写 成碡：妒，即目标粒子的坐标毒与探测粒子的动量户的乘积，在测 量探测粒子的坐标壹之后很短的时间内，两粒子间的强耦合被关闭， 采用一个正比于目标粒子的坐标毒的量去改变探测粒子的坐标 ，粒 子间的耦合使得目标粒子的坐标与探测粒子的坐标( 可观测指针) 垂 之间是相关联的，通过这种关联即可以获得目标粒子的坐标信息。 另一种测量方法叫做外差法检测( h e t e r o d y n ed e t e c t i o n ) 2 7 ， 主要用于相位测量，外差法检测涉及到被测量的场与一个非常强的 定域振动场( 其振动频率与被测场的频率有一个小的失谐) 的混 合，混合之后测量合成场的强度。在一个典型的外差法检测实验中， 使被测量的场模通过一个5 0 比5 0 的束分器，以便与定域振动场混 合，来自于束分器的两个输出端口光电流的差值就产生一个正交场 量托：a e - o + 口+ 矿的相位测量信息。式中口是被测场模的湮灭算符， 是定域振动场的相位。还有一种常用的测量方法称为零拍探测 ( h o m o d y n ed e t e c t i o n ) ，是由m a n d e la n dw o l f 在他们所著的光 学相干与量子光学一书中提出的 2 8 ，之后也有许多文章对这种 测量方法进行了研究 2 9 - 3 0 。这种方法主要用于正交场量的测量， 零拍探测技术也涉及到被测场与定域振动场的混合，在测量实验中 让一个未知的场在5 0 比5 0 的束分器中与定域振动场混合，束分器 输出端场强的差值就给出了正交场量的信息。除此之外，还有一些 衍生的测量方法，如平衡零拍探测 3 1 - 3 2 、两模外差法检测 3 3 光场的高阶场量及其涨落的测量 等，在此就不一一介绍了。 由于完备性测量需要进行系统状态的重组，测量过程较复杂， 容易受到系统消相干机制的影响。在有些情况下，我们并不需要获 取系统的全部信息，而只需要提取部分有效信息，因此近些年人们 开始研究非完备性测量( 也称作破坏性测量或瞬时测量) 3 4 ， 3 6 - 3 7 1 ，这种测量不需要对系统状态进行重组，测量过程简短，可 有效避免系统消相干的影响。我们在本文中提出了一种测量光场高 阶场量的方法，对不可直接接触的场，通过两能级探测器与光场相 互作用后测量探测器的可观测值，然后通过积分变换推导出高阶场 量与所测量的探测器可观测值之间的关系，即可以获得高阶场量的 期望值。由于这种测量方法与零拍探测很相似，只是增加了一个两 能级探测器，所以也可以将这种方法称为两能级探测后的零拍探测。 本文主要研究光场高阶场量的测量，内容安排如下： 第二章是测量方法介绍。主要介绍了间接测量的几个不同测量 模型，以及间接测量时所测场量与实际可观测量之间的几种数据变 换的处理方法。 第三章研究光场的k 阶振幅压缩的测量。我们引入了光场k 阶振 幅表达式，介绍了光场k 阶振幅压缩的主要形式，讨论了k 阶振幅 ( z 。( 七) ) 和( z ：( 七) ) 、k 阶振幅平方( z ；( 七) ) 和( z ；( 七) ) 以及高阶场量( ，( 七) ) 的 测量，给出了这些高阶场量的直接计算结果。 第四章研究了光场的k 阶光子数及其涨落的测量。我们引入了 光场的k 阶光子数定义式刀：( 口+ 口r ，给出了k 阶光子数按光场的产 生( a + ) 和湮灭( 口) 算符的正规序展开的形式，并给出了k 阶光子 数涨落的表达形式。讨论了高阶场量( 口+ ) 口( 七= 1 ，2 ，力) 的期望值 ( ( 口+ ) a ) 的测量，给出了k 阶光子数期望值) 和k 阶光子数的涨落 ( 锄) 2 = ( ( 矿) 2 ) 一( ) 2 = 仁2 ) 一似) 2 的直接计算结果。 高校在职硕士学位论文 第五章我们研究了光场高阶关联函数的测量。介绍了光场的高 阶关联函数的定义形式，阐述了研究光场的高阶关联函数对了解辐 射光场的量子统计特性的作用和意义，给出了单模量子场中零时延 门阶归一化关联函数的表达形式，并重点讨论了单模量子场中零时 延n 阶归一化关联函数的测量。 第六章我们对本文的工作进行了简要的总结，并对一般高阶场 量a + k a 7 的测量作了展望。 4 光场的高阶场量及其涨落的测量 第二章场正交分量的测量方法简介 2 1引言 量子测量作为量子力学的基本问题，几十年来在理论和实践上 都得到了广泛的研究。量子测量的类型可以根据不同的条件进行划 分。根据实验过程中对系统的操作方式不同，可以分为完备性测量 ( 即量子非破坏性测量) 和非完备性测量( 也称作量子破坏性测量) 。 也可以根据获得测量数据的方式不同而划分为直接测量和间接测 量。在几十年的研究过程中，研究人员提出了许多不同的测量方法， 常用的测量方法主要有v o nn e u m a n n 测量法 9 ，2 6 、外差检测法 2 7 、零拍探测法 2 8 3 0 、平衡零拍探测法 3 卜3 2 和两模外差法 检测 3 3 等。本文讨论的是一种间接测量方式，通过两能级原子与 光场的相互作用将无法直接观测的场量转换成探测原子的可观测 量，从而对各种场量进行测量，由于所需测量时间较短，通常可以 将这种测量方法称为瞬间测量法。采用间接测量方法最关键同时也 是最困难的问题是根据探测器获得的关键数据精确地推导出所要观 测的场量的期望值。对于不同的系统，推导方法也可以有所不同， 下面介绍两种不同系统的推导方法。 2 2 光场正交量的测量方法 文献 3 4 讨论了一个不可直接测量的玻色场正交量的测量，考 虑到其与探测器相互作用的哈密顿量可写为： h = 7 2 g u ( p ，+ p ? 乃) ， ( 2 1 ) l ，j 式中p i 和乃分别表示探测器和玻色场的算符，g 。表示两者的关联强 高校在职硕士学位论文 度。假设存在一个分析系数r ( f ) 使得下式成立 ( ， ：广盯( r ) ( r ) d r ， ( 2 2 ) ( ， = i 盯( r ) ( r ) d r ， ( 2 2 ) 式中尸和尸是场和探测器的可观测量算符，r 是无量纲的探测器和 场相互作用的时间，在实际推导时( 尸) ( r ) 将被测量数据所取代，( f ) 就 是所要求的场量的期望值，( ， 与( 尸) ( f ) 的关系由关联系数r ( f ) 所决 定。可见，找到系数r ( f ) 是完成测量的关键。 现在我们考虑一个两能级探测器与一个单模场通过共振j c 模 型相互作用，在互作用表象中，其哈密顿量为： h h l t = 蛔( c r + a + 仃口+ ) ， ( 2 3 ) 上式中o - + - - l e = 一扣r ) e r e * 乍) 一巩叫机 利用万函数的性质得到 ( = j l 瓦d + 一( ) 】l 。( 2 - 1 3 ) 同理可求 ， 浯 式( 2 1 5 ) 中令彳= i p ) ( p i ，则有 掣= 如) ( 们i 】) = 扣) ( 邶i 曲】) ，( 2 - 1 6 ) 据式( 2 1 4 ) 可得 唰p 慨】= 一击袒( 叽埘矿， ( 2 1 7 ) 将式( 2 - 1 7 ) 代入式( 2 1 6 ) 得到 掣：一i 袒州加) ( 盯+ 埘小( 2 - 1 8 ) 以4 2 考虑离子被制备在初态 p ( o ) = i 缈) ( + 伊lo 乃， 其中 i + 伊) = i 1 ( i g ) e o j p ) ) ，乃是声子态，由此可产生如下的直接计算 v 二 t r i p ( o ) ( 盯+ 一一) 】- 千互is i n 伊州p ，x p 】，。( 2 - 1 9 ) 将式( 2 - 1 9 ) 代入式( 2 1 8 ) 可得 剥御= 争俐( 2 - 2 0 ) 式( 2 - 2 0 ) 中f = 旦2 f 为无量纲的作用时间，式( 2 - 2 0 ) 的结果亦可 表示为如下形式 ( _ ) 2 荔墨丢曙一明叫l 。 ( 2 栩) 从式( 2 - 2 1 ) 知道离子运动态正交量x 。的期望值与f ：0 时刻离子在 9 高校在职硕士学位论文 激发态的布居差的一阶导数有关。 2 4囚禁离子运动正交量的测量( 方法二) 文献 3 7 也讨论了囚禁离子运动正交量的测量，任然考虑一个 质量为m 被囚禁在p a u l 阱中的两能级离子，同时被两束激光照射 ( 两激光频率分别与第一个红、蓝边带共振，其相位吼= 三千缈) ， 那么在l a m b - d i c k 区域和旋波近似条件下，在互作用表象中的哈密 顿量可表示为 h i m i - - 一击徊嘣，( 2 - 2 2 ) 式( 2 2 2 ) 中7 7 = 七如丽是l a m b d i c k 参数，q 是离子与激光关联 的拉比( r a b i ) 频率，q = o r + + 仃一为泡利算符，x 9 = 百1 0 p 印+ 口+ p 却) 二 为离子运动态的正交算符。对应的系统传播子可写为 u ( f ) = e x p 一4 i n 。幻。 ( 2 2 3 ) 我们假设系统的初态为 i 沙( o ) ) = iv t b ) i 一) 。， ( 2 2 4 ) 式( 2 2 4 ) 中i 一) ，= i l 【l g ) 一i l p ) 】是泡利算符仃，的本征态，其对应的 y 二 本征值为一l ；l 哟) 是被测量的振动态。在式( 2 2 3 ) 的传播子相互 作用下，波动方程式( 2 2 4 ) 将演化至末态 1 0 光场的高阶场量及其涨落的测量 g ( t ) ) = 【，( f ) f 沙( o ) ) ， ( 2 2 5 ) 在，时刻泡利算符吒的期望值能够被计算 ( o z o ) ) = ( y ( f ) 仃：f y ( f ) ) = ( y ml s i n 陋r 】y 动) ( 2 - 2 6 ) 在相互作用时间很短且光子数不大的情况下，我们可以线性化算符 s i n 陋矿f ) 历7 似矿f ， ( 2 2 7 ) 利用式( 2 2 7 ) 的结论，则式( 2 - 2 6 ) 可简化为 ( o z ( f ) ) = 却，( y mx p l y 曲) = 厄p ( x 矿) 。 ( 2 2 8 ) 因此，通过对演化内态的统计测量，正交算符x 口与初始振动态 有关的期望值能够很容易地被获得。 光场的高阶场量及其涨落的测量 第三章高阶振幅压缩的测量 3 1引言 量子力学指出 3 8 在对两个不对易的可观测量同时进行测量时 存在固有的不确定关系。一个单模腔场拥有一对相互不对易的正交 场量，因此它们服从海森伯格不确定性关系。电磁场压缩态的产生 提供了一种使电磁场的某一正交方向减少不确定性的方法，但这是 以电磁场另一正交方向的不确定性增大为代价的 3 9 3 。最近几十年 来，压缩现象引起了人们广泛的关注。光场的压缩态及其应用在理 论和实验上都得到了广泛的研究 4 0 - 4 5 。在单模或多模压缩问题 中，通常是考虑场算符线性组合的涨落。普通压缩的概念已经被 h o n g 和m a n d e l 推广到高阶压缩的情形 4 6 。那么h i l l e r y 4 7 提出 了所谓振幅平方压缩的概念( a s s ) ，这种类型的压缩与h o n g 和 m a n d e l 定义的在二次谐振中产生的压缩是不同的。而r o b e r tl y n c h 则对电磁场正交量的四阶压缩进行了较全面地研究 4 8 - 5 0 。在 h i l l e r y 工作的基础上，张志明及其合作者 5 1 引入了k 阶振幅压 缩的概念( k p a s ) ，k 阶振幅压缩包括了普通压缩和振幅平方压缩的 特例。后来杜思德和龚昌德 5 2 证明了k 阶振幅压缩是一种非经典 效应。在量子光学和量子信息科学领域，量子压缩被看作是一种重 要的资源。压缩态的应用涉及到物理学的许多领域，例如量子力学 基础、高精密光学测量、光学信息处理和量子密码术等等 5 3 - 5 5 。 最近，两模压缩态已经被当作量子通道，用来实现连续可变量子态 的量子隐形传态 5 6 5 8 3 。 测量一个可观测量的高阶压缩是一项具有挑战性的工作 高校在职硕士学位论文 3 6 - 3 7 ，5 9 6 1 。最近l o u g o v s k i 3 4 等人提出了一个场正交量的 瞬时测量计划，通过场与探测器之间的关联，对探测器的状态进行 检测就可以获得场正交量的信息。这个方法的主要优点在于测量是 瞬间完成的，因此可以减少系统消相干机制对测量结果的影响。在 本论文中，我们推广了l o u g o v s k i 的计划，将其用于执行腔场k 阶 振幅压缩的测量。在我们的计划中，我们使用一个两能级原子作为 探测器。为了实现腔场k 阶振幅压缩的测量，我们还需要使用一个 k 光子或2 七光子的j a y n e s c u m m i n g s ( j c ) m o d e l 6 2 6 6 。 3 2高阶振幅压缩的形式 关于场的高阶压缩已在许多文献中被广泛研究 6 7 - 7 0 。对一个 频率为国的单模玻色场，我们分别用口+ 和口表示场的产生和湮灭算 符。一对具有k 阶振幅的正交算符可定义为 7 1 z 。( 七) = i 1 + ( 口+ ) 】， ( 3 1 ) z ：( 七) = 去一( 口+ ) ， ( 3 2 ) 它们服从对易关系 z ：】= 去f ( 七) ， ( 3 3 ) 式( 3 - 3 ) 中函数f ( 七) 的形式为 ，( 是) = 口( 口+ ) 一( 口+ ) 口， ( 3 4 ) 那么我们可以得到如下的不等式 ( 蚶( 蚶掣， ( 3 - 5 ) 根据式( 3 - 5 ) 所给出的不确定性关系可知，当光场沿某方向乙的涨 1 4 光场的高阶场量及其涨落的测量 落满足以下关系式时 ( 蚶 掣， ( 3 - 6 ) 我们就可以说光场沿此方向是压缩的。在文献 5 2 中已证明，无论 k 取什么值，满足方程( 3 6 ) 的态都是非经典的。当然若k - - 或k = 2 就成为我们所熟悉的普通压缩和振幅平方压缩效应。 3 3 高阶振幅压缩的测量 正如大家所知道的，测量架起了理论和实验之间的桥梁。通过 测量一个物理系统，我们可以从这个系统获得一些信息，因而我们 可以使用这些信息来检验我们的理论研究是否正确。下面我们将介 绍k 阶振幅压缩的测量。 3 3 1 高阶振幅( z 。( 尼) ) 和( z ：( 七) ) 的测量 我们首先求解高阶振幅z 。( 七) 和z 2 ( 七) 在光场中的期望值，设光场 的初态以矩阵元素可表示为p f = 一p 删i 玎) ( m i 。则有 ( z 。( 七) ) = t r p ，z 。( 七) _ i 妻、i ；i ：；i i j i j i ：；i ：i ；：i i 丽( 。_ + 。，。+ ，。+ 。) 3 7 ) ( z ：( 七) ) = t r p f z ：( 后) 】- 去妻板i 可万f 弋石酉( 岛吨一“柑) - 8 为了测量高阶振幅z 。( 尼) 和z 2 ( 后) ，我们需要考虑一个探测器与光 场之间的k 光子j c 型共振相互作用，在互作用表象中，这种相互作 用模型的哈密顿量可写为： h = 幻【q 口+ 口“正】， ( 3 9 ) 高校在职硕士学位论文 式中k 是一个正整数，叽= i p ) ( g i 和盯一= i g ) ( p l 是原子的升( 降) 算符， g 是原子和场之间的关联常数。这个露光子j c 型哈密顿量描述了在 频率c o o ：k c o 条件下的一个两能级原子和一个单模腔场的相互作用， 式中c o o 是两能级原子i i i i 量间隔。式( 3 9 ) 中以口项描述原子吸收 后光子从低能级跃迁至高能级的过程，而a “正项则描述了一个相反 的过程。这个模型已经被很多文献广泛研究 6 6 ，7 2 - 7 4 。 分析可知系统裸态为l 以，p ) 矛ll n + k ，g ) ，设系统的d r e s s e d 态为 l y ，) = 口。i 刀，p ) + 届i 刀+ 后，g ) ， ( 3 1 0 ) 则有 h ) = 兄j c v ，) ， ( 3 11 ) 式中五是系统的本征值。 将式( 3 - 9 ) 、( 3 - 1 0 ) 代入式( 3 - 1 1 ) 可得 确皿。防i 刀，p ) + 口i 刀+ 后，g ) 】= k ，i h ，p ) + 屈l 玎+ 七，g ) 】， ( 3 1 2 ) 式中q 。= 托i 丽i 万丽。( 3 1 3 ) 根据式( 3 - 1 2 ) 可写出以下方程 一丑+ 啪。屈= 0 ， ( 3 1 4 ) 蠢妒。口，- h i 尼= 0 ， ( 3 1 5 ) 利用式( 3 - 1 4 ) 和( 3 - 1 5 ) 可得行列式 引- o ， 仔 求解行列式( 3 - 1 6 ) 可得 丑= 矗g q 。= + h 9 4 ( n + 1 ) ( 刀+ 2 ) ( 力+ 七) ， ( 3 1 7 ) 1 6 光场的高阶场量及其涨落的测量 将式( 3 1 7 ) 代入式( 3 - 1 5 ) 得 口f = 屈， ( 3 1 8 ) 根据归一化条件可得 1 口，1 2 + l 1 2 = 1 ， ( 3 1 9 ) 将式( 3 - 1 8 ) 代入式( 3 - 1 9 ) 可解得 吒= 孱= 万1 ，( 3 - 2 0 ) 将式( 3 2 0 ) 代入式( 3 一i 0 ) ，于是得到系统的d r e s s e d 态为 = 击i n + k , g ) ) ， ( 3 2 1 ) 根据式( 3 - 2 1 ) 的d r e s s e d 态，系统演化的波函数可以写为 l v ，( f ) ) = 七+ 2 啦目7 k ) 撇一p 卸陬) ， ( 3 2 2 ) 式( 3 2 2 ) 中k ，k 一是由初始条件决定的复常数，r 暑g t 是原子和场 相互作用的无量纲的时间。当f = 0 时，式( 3 - 2 2 ) 可写为 i _ ( o ) ) = 足+ k ) 讹一k ) ， ( 3 2 3 ) 考虑到初始时刻原子和光场无关联，并且原子被制备在初态 。= 击o g ) 卅p ) ) ， ( 3 2 4 ) 光场初始时刻被制备在数态 j 矽) f = 厶i 玎) ， ( 3 2 5 ) 1 7 高校在职硕士学位论文 则根据式( 3 2 4 ) 和式( 3 - 2 5 ) 系统的初态又可写为 j ( o ) ) 。= | 矽) oj 矽) ， = 去0 9 ) 矿圆羔乞i 疗) = 去芝g 枞蠊) p 印巳) ) ，( 3 2 6 ) = 击薹卜t 去慨) 一k ) ) 万1 慨) + k ) ) = 寻主n = o k “矿厶+ ( - c n + k j r e i e c n i 圻) 】 i ：l 较式( 3 2 3 ) 和式( 3 - 2 6 ) 可得 卜吾羔h - i - e i w c n ) 一：昙妻k 。- - e i w c n ) ， ( 3 2 7 i 将式( 3 2 7 ) 代入式( 3 2 2 ) 可解得系统在f 时刻的波动方程为 l _ ( f ) ) = 去艺( + e ，e c nc o s q 。f 一缸。s i n q 。f 】以，p ) v n = o ，( 3 2 8 ) + 去妻g n + kc o s q n t 千l e c ns i n q f 】刀地g ) 则可以求得系统处在相互作用时刻f 三时，在基态i g ) 找到原子的概 率( 原子布居) 为 ( r ) = t r i p l ，i g ) 。! - 。s i n 2 f 2 r 岛+ k , n - e p n , n + k ) ，( 3 - 3 0 ) 令式( 3 3 0 ) 中相位缈= 0 ，则有 巧k ) 一巧亿) = - 主e 薹。s l n 2 t 2 r ( p 枞厂氏。叶) ，( 3 - 3 1 ) 根据式( 2 - 2 ) 、( 3 - 8 ) 和式( 3 3 1 ) 可得如下两式 或 一q 。= r ( f ) s i n ( 2 n 。f ) d f ， ( z ：( 足) ) ：k ( f ) k ( f ) 一巧( f ) k f ， ( 3 - 3 2 ) ( 3 - 3 3 ) 对式( 3 - 3 2 ) 作f o u r i e r 逆变换可求得系数 r ( f ) = 一圭万( r ) ，( 3 - 3 4 ) 将式( 3 - 3 4 ) 代入式( 3 3 3 ) 可得 ( 姒尼) ) = 一扣f ) k 亿) 一巧p f ， 利用j 函数的性质可导出 ( 姒尼) ) = 1 2 旦d rk ( 矿巧( 叱。 ( 3 - 3 5 ) 若令式( 3 3 0 ) 中相位缈= 至2 ，则有 9 ( f ) 一巧，( f ) = 三薹s i n 2 q 。f b 吨。+ 岛肘t ) ，( 3 - 3 6 ) 利用式( 2 - 2 ) 、( 3 - 7 ) 和式( 3 - 3 6 ) 采用类似的方法可求出 ( z 。( 尼) ) = 一1 2 旦d r 阢矿以以。( 3 - 3 7 ) 1 9 高校在职硕士学位论文 3 3 2 高阶振幅平方( z ? ( 七) ) 和( z ：2 ( 七) ) 的测量 根据定义式( 3 - 1 ) 和( 3 2 ) ，我们可得到如下表达式 z ? ( 七) = = 【口2 i + 口( 口+ ) + ( 以+ ) 口i + ( 口+ ) 2 】，( 3 - 3 8 ) z ；( 七) = 一 i 2 t 一口( 口+ ) 一( 口+ ) 口i + ( 口+ ) 2 】，( 3 - 3 9 ) 在式( 3 3 8 ) 和( 3 - 3 9 ) 的表述中，我们定义以下新的场量 a = a 2 + ( 口+ ) 拍，( 3 4 0 ) b = ( 口+ ) a ， ( 3 4 1 ) c = a k ( 口+ ) ， ( 3 - 4 2 ) 则式( 3 - 3 8 ) 和( 3 - 3 9 ) 可重新写为 ( z i ! ( 七) ) = 三( ( 彳) + ( b ) + ( c ) ) ， ( 3 4 3 ) ( z ；( 尼) ) = 言( _ ( 彳) + ( b ) + ( c ) ) ， ( 3 4 4 ) 根据式( 3 4 3 ) 和式( 3 4 4 ) 可知，想要测量高阶振幅平方0 7 ( 七) ) 和 ( z ；( 后) ) ，实际需要测量场量( 彳) 、( b ) 和( c ) ，下面分别进行讨论。 3 3 2 1 场量( 彳) 的测量 因为场量爿的构造形式与高阶振幅z