（理论物理专业论文）光孤子在光纤中传输特性研究.pdf

摘要 本文主要研究光纤中的光孤子的形成和传输问题。主要内容可以 分为三部分： 1 研究光纤中光孤子的形成机理及运动规律。光纤的色散效应 和非线性效应是形成光孤子的本质原因。光纤中的色散效应会导致光 脉冲展宽；而非线性效应会使光在介质中局部出现光能量的会聚，导 致光脉冲压缩。在一定的条下，二者的平衡会使光脉冲在光纤中保持 性状并稳定传输。光脉冲在光纤中的传输由非线性薛定谔方程来描 述，它是可积模型，存在亮孤子或暗孤子解。 2 分析和研究光纤的损耗及光孤子的放大。光孤子在光纤中传 输遇到的首要问题是光纤的损耗，主要有材料损耗和散射损耗。由于 损耗的存在，导致光脉冲能量的损失，使光孤子的波形降低，甚至无 法传输。孤子集总放大系统可以周期地放大能量损失的光脉冲。采用 直接微扰法给出集总放大系统的绝热解和一级修正，结果表明在远离 共振区域，光孤子的形态基本得以维持。 3 研究和分析色敝管理孤子及其传输。色散管理技术是在光纤 中采用周期的色散，并通过对周期色散的管理，使其与光纤的损耗相 抵消，达到光脉冲在光纤中的无畸传输。色散管理可以有效地减少能 量的辐射和频移，保证光脉冲的稳定传输。利用直接微扰法得到了色 散管理孤子传输方程的解，并且在要求能量辐射最小的条件下，证明 只需要不超过四段不同色散常数的光纤就可以得到最佳的传输效果。 关键词：光孤子的形成与传输；光孤子放大：色散管理孤子 a b s t r a c t a b s t r c t i nt h ep a d e r , t h ef o r m a t i o na n dt h et r a n s m i s s i o no fo p t i c a ls o l i t o ni n t h ef i b e ra r ed i s c u s s e d i ti sd i v i d e dt h r e es e c t i o n sa sf o l l o w s ： 1 ) t h em e c h a n i s mo fs o l i t o nf o r m a t i o na n dt h et r a n s m i s s i o no f s o l i t o na r ed i s c u s s e d t h ed i s p e r s i o na n dt h en o n l i n e a re f f e c t si nt h ef i b e r a r et h ee l e m e n t a r ym e c h a n i s mo fs o l i t o nf o r m a t i o n t h ed i s p e r s i o ni nt h e f i b e rs h o u l dl e a dt ob e c o m ew i d ei ni h ep u l s ew i d t h a n dt h en o n l i n e a r e f f e c t ss h o u l dc a u s et h el i g h te n e r g ya s s e m b l i n g a n d1 e a dt on a r r o wi n p u l s ew i d t h u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n ，t h eb a l a n c eo ft w oe f f e c t sc a n m a i n t a i nt h ep u l s ep r o p a g a t eu n d i s t o r t e d t h ee v o l u t i o no f p u l s ei nf i b e r i sg o v e r n e db yn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ，w h i c hi sa ni n t e g r a b l e m o d e l ，a n dt h eb r i g h ts o l i t o na n dt h ed a r ks o l i t o na r ee x i s t e n t 2 、t h ef i b e rl o s sa n dt h es o l i t o n a m p l i f i c a t i o na r ed i s c u s s e da n d a n a l y z e d t h ef i b e ri o s si n c l u d et h em a t e r i a l l o s sa n dt h ed i s p e r s i o nl o s s t h ef i b e rl o s sc a u s e st h ep u l s ee n e r g yd e c r e a s i n ga n ds o l i t o na m p l i t u d e l o w e r i n g t h ep e r i o d i ca m p l i f i c a t i o ns y s t e mo fs o l i t o nt r a n s m i s s i o nc a n e f f e c t i v e l ya m p l i f yt h ep o w e ro fp u l s e b ye m p l o y i n gt h ed i r e c tm e t h o d ， t h ep e r i o d i ca m p l i f i c a t i o ns y s t e mo fs o l i t o ni na no p t i c a lf i b e rl i n ki s s o l v e d ，a n dt h ea d i a b a t i cs o l u t i o na n df i r s t o r d e rc o r r e c t i o na r ep r e s e n t e d t h er e s u l ts h o w st h a tt h es o l i t o nc a np r o p a g a t eu n d i s t o r t e da sf a rf r o mt h e r e g i m eo f r e s o n a n c e 3 1t h ed i s p e r s i o n m a n a g e ds o l i t o ni si n v e s t i g a t e da n dd i s c u s s e d t h e d i s p e r s i o nm a n a g e m e n te m p l o y st h ep e r i o d i cd i s p e r s i o nt oc a n c e lf i b e r 1 0 s ss ot h a tt h ep u l s ec a np r o p a g a t eu n d i s t o r t e di nf i b e r k e yw o r d s ：t h et r a n s m i s s i o no ft h es o l i t o n ；t h es o l i t o na m p l i f i c a t i o n ； d i s p e r s i o n m a n a g e ds o l i t o n 第一帝0 f 高 第一章引言 孤子( s o l i t o n ) 是一种特殊形式的超短脉冲，或者说是一利- 在传播过程中形状、 幅度和速度都维持不变的脉冲状行波。有人把孤子定义为：孤子与其他同类孤立波 相遇后，能维持其幅度、形状和速度不变。 孤子的概念最早是由英国科学家s c o t tr u s s ej 于1 8 3 4 年在一条狱窄的河道中 发现的自然现象，他认为这是流体运动的一种稳定觯，并称之为“孤立波”。一百 多年后的1 9 6 5 年，美国物理学家g a b u s k y 和k r u s k a l 通过用数值模拟方法研究了等 离子体中孤立波的碰撞过程，发现孤立波在相互作用后保持各自的波形不变，并保 持能量和动量守恒，其行为类似于粒子，因此将其命名为“孤立子”或简称“孤子” ”1 。自此丌始，孤子理论的研究得到了蓬勃发展，人们相继发现了声孤子、电孤子和 光孤子等现象。从物理学的观点来看孤子是物质非线性效应的一种特殊产物。从 数学上看，它是某些非线性偏微分方程的一类稳定的、能量有限的不弥散解，即它 能始终保持其波形和速度不变。目前，孤子概念和理论已经被广泛应用于物理学、 天文学和生物学等过学科中。不仅在流体力学、等离子体物理学、基本粒子物理学 和场论等领域，孤子的研究不断深入，而且在凝聚态物理学、超导物理学和非线性 光学等领域中孤子现象也相继被发现。 目前在光纤中的包络型光孤子理论研产生于2 0 世纪7 0 年代。它是2 0 世纪出现 的光纤通信理论的一个重大发展。光纤通信具有传输频带宽、容量大、损耗小、中 继距离长、保密性好和不怕电磁干扰等一系列优点。但通信容量越大，要求光脉冲 越窄，如2 5 g b i t s 系统的光脉冲宽度约为4 0 0 p s 。窄光脉冲经光纤传输后，因光 纤的色散作用会出现脉冲展宽现象而引起码白j 干扰。研究发现，当注入光强度足够 大时，会引起光脉冲变窄的奇特现象，其光脉冲宽度可低达几个皮秒，即所旧的光 孤子脉冲。因此用孤子脉冲可以实现超大容量的光纤通信o “。 1 9 7 3 年， a s e g a w a 和t a p p e r t 在研究出光纤色散引起的光纤通信的团难中，借 助于非线性效应，建立了拙述光纤中包络波的非线性薛定谔方程( s e ) ，并且从理 沦上征明在任何无损耗的光纤中的光脉冲在传输过程中自己能形成孤子后稳定地传 输”“。这一发现立即引起了人们的极大兴趣即将光孤子作为- 4 中信息载体用于 高速通信。 光孤子通信涉及孤子的产生、传输演化、放大整形和传输控制等基本问题。1 9 7 2 光孤了 光纤中传输特性f i j | _ e 年，前苏联科学家z a k h a r o v 和s h a b a t 就利用反散射变换法求解了非线性薛定谔方 程，给出了方程的亮暗孤子解。| 。“1 。而h a s e g a w a 和t a p p e r t 在1 9 7 3 年的工作从理论 一h i 8 示了光孤子形成的机制和传输演化规律，表明在光纤的反常色散区能支持亮孤 子，在正常色散区能支持暗孤子。 光纤中光孤子的传输实验直到1 9 8 0 年在获得了合适的激光光源后刊得以实现。 从1 9 8 0 年到1 9 8 8 年，人们陆续在实验中观察到了亮孤子、暗孤子和狄孤子，并且 实现了孤子在光纤中的无畸变传输“2 。2 。目前光孤子通信的商业化应用已经有报道 】 从目前来看，所自的实验方案都是基j 二密集波分复剧技术，以此束提高单信道 的通信容量。所以，以亚皮秒和飞秒光脉冲作为基本传输信号是必l b 之路。而研究 亚皮秒和飞秒光脉冲传输的微分方程是各类非线性薛定谔方程。因此研究这些方程 的各种解及求解方法是理论研究的重点，它不仅能为实验提供参考，而且本身也有 方法论上的意义。 本文共分血部分，第章为引言，介绍 广孤子概念的产生以及光孤子通信的研 究现状。第二章训论了非线性光纤中的光孤子的形成机理和传输特性，得到了理想 光纤中的光脉冲传输方程( n l s e ) ，并讨论了方程的解。第三章讨沦了有损耗时孤子 的放大传输特性。并存集总放大的基础上，研究了孤子的传输特性。第四章研究色 散管理孤子的性质和传输特性，量要讨i i 仑的是减少能量辐射问题，以及最优化发计 方案，没有涉及频移。最后是列全部工作的总结。 鳓一常光纤中光孤r 的彤成lj 传= f f j 4 第二章光纤中光孤子的形成与传输 光纤的色散效应和非线性效应是形成光孤子的本质原因。光纤中的色散效应 会导致光脉冲展宽：而非线性效应会使光在介质中局部出现光能量的会聚，导致 光脉冲压缩。在一定条件下，非线性效应与色散效应之间的平衡会使光脉冲在光 纤中保持稳定的传输形成光孤子“1 。本章将阐述光纤中光孤子的形成机理与光孤 子在光纤中的传输特性。 2 1 光纤中的色散现象 当一束电磁波与电介质的束缚电子相互作用时，介质的响应通常与光波频率 有关，这科r 特性即色散，它表明折射率与光的频率有关，即月= ”( ) 。根据电 磁场理沦，光在媒质中的传播速度为 由于不同的频谱分量对应于不同的脉冲传输速度，因而光的色散也就是指光的传 播速度与它的频率有关系，即不同频率的光的传播速度是不同的。 在大多数介质中，低频率光比高频率光传播的快，这种色散称f 色散。而对 石英等介质，色散是负的，即低频率光比高频率光传播的慢。在光纤中，光的色 散会使光脉冲展宽并最终坍塌。多模光纤的色散起因有模色散、材料色散和波导 色散，其中以模色敞占主要成分。在单模光纤中没有模色散，主要是材料色散、 波导色散和折射率分布色散。模色散是由于各个传输模的传播系数不同，导致不 同模所经历的光程不同而 - 7j 起的脉冲展宽。材料色散是指光纤材料的折射率不 同，列于谱线较宽的光波，经过传输后，会发生脉冲展宽的现象。波导色散是山 于光频改变时传输模的传输常数随之改变而引起的色散。材料色散、波导色散 在测量上很难分丌，统称为频率色散 5 】。 色散导致脉冲展宽而产生坍塌，这可以用下面的例子来说明“1 。设一维的波 包( 光脉冲) 可以表示为 v ( x j ) 2 去瞄k 8j ( f x - , o o d ( ，( 2 - 2 ) 此式表示波数在k 。刚近2 a k 邻域内的平面波叠加的波包。将在k 。附近展丌 光孤了“光纤中传输特眺究 。+ ( 赛) 。姗甄寨 。n - ， s ， 忽略高次项，仅保留前两项，则得 蝴) ：。叫”w ，a s u ( ) 2 矿( 尼。) ( 瓦d o ) f 象 ( 2 4 ) 式中指数前而的因子是波包的振幅函数。特别地，在坐标原点工= 0 处，振幅最 大值为2 ( ) 龇，振幅值集中的主要区域为熹表示波包的全宽度。由( 2 2 ) 式，可以得到 令f ：0 ，则有 1 一 ( 。) 2 赢l 甲( 螂似”出 ( 女) = 两1 制户出。 ( 2 - 5 ) ( 2 6 ) 1 暇定儿始时渡包为向斯型的 w ( x ，0 1 ：g 。2 i7 i l l , l ， ( 2 - 7 ) 代入( 26 ) 式，得( ) = 。，p 一“，由( 22 ) 则得 蜘，= ( _ 等 ， c z - s ， 其中q = 2 + i 2 h ，这罩利用了础( ) = 自。( 2 8 ) 式仍足一个高斯波包，但波 包的宽度随时i 刚变化。在，= 0 时，波包的宽度是a o ，但是在任意时刻，波包的 宽度龇一。f 等，它随时间而加宽。因此波包在色散效应下会逐渐扩张并 摄终导致坍塌。 第二章光纤中光孤了的形成，传输 殴光波在光纤中的传输系数为，则p ： ) 竺，因此刺前述的波包，有 卢( ) ：n ( 甜) c o ：p 。+ 卢( e o 1 1 ) 0 ) + 三卢： 0 ) - - 0 2 0 ) z + ， ( 2 9 ) 其中是中心频率= ( 筹l ，c 删z ，因而可以得到 肛* 珊鼽。= 等= 古，( 2 - 1 0 ) 舻f z 老+ 鲁 ， ， d = “， 式中是群折射率，k 是包络运动的群速度。压表示群速度色散( g v d ) ，与 脉冲展宽有关。屈= 0 处对应的光波波长叫零色散波长，记为 ，。在光纤光学 中，常用色散参量d 来代替屈 。= 筹一等纷一芸筹。 群速度色散履随波长的增大而减小。当五c b 时，屈，0 ，这种色散称之为正 常色散。在证常色散区，光脉冲的较高频率分量比较低的频率分量传输得慢。而 在 ，时，岛 1 ，则它遵守种周期性的传输方式，即输入脉冲的形状在z = 口2 处得 到恢复，其中卅是整数”m o l l e n a u e r 等人的实验证明，光孤子对微扰特别稳 定，稍微偏离理想条件对于孤子传输是无害的，输入脉冲可以通过调整自身参数 形成基态孤子”1 。f 因为如此，光孤子理论在光传输应用方面有着诱人的前景， 目前在理论研究和应用研究方面都已取得重要进展。 光孤了相- 光纤中传输特悱t i j d c , 第三章光纤中的损耗及孤子放大 光纤中的光孤子产生于非线性效应和群速度色散效应之间的平衡，如果脉冲 要维持其孤子特性，必须保持峰值功率不变。然而，在实际应用中，当光脉冲在 光纤中传输时，光纤会吸收部分光能量，导致光能量的衰减，这将削弱非线性效 应，不能抵消群速度色散效应，从而使基态孤子在传输中被展宽。本章将阐述光 纤的损耗机理，同时介绍光孤子集总放大系统以及传输特性。 3 1 光纤中的损耗 当光脉冲在光纤中传输时，光纤会吸收部分光能量，导致光能量的衰减。描 述光能量衰减的物理量是衰减系数口，其定义为”3 口：一坐l g 旦 ( 3 1 ) 只 式中是光纤的长度，只是输入的功率，只是输出端的功率。由此可得关系式 b = 岛e x p ( 一o ! l ) 。 ( 3 2 ) 光纤中的损耗主要是吸收损耗与散射损耗”。吸收损耗是由于光纤利料和其 中的有害杂质对光能的吸收引起的，它们把光能以热能形式消耗于光纤中。材料 吸收损耗是一科i 固有损耗，是不可避免的。只能通过选择固有损耗较小的材料来 做光纤，如石英存红外波段内吸收较小，足常用的光纤材料。有害的杂质吸收损 耗主要是由于光纤利料中含有金属离子和o h 离了造成的，光纤中只要含有p p m ( 百万分之一) 数量的上述杂质，就会引起很大的损耗。为此常用超纯度的化学 材料来制作光纤。日前的光纤所采用的超纯度原判中基本上没有金属离子，因此 杂质吸收损耗主要是由于0 i i 离子造成的。当采用( ) f 离子含量小于1 印的材料 可以制成极低损耗的光纤。 散射损耗是由_ i _ 卜光纤制作中工艺的不完善而使光纤中出现的微气泡、折射率 不均匀、内应力不为零等引起的。散射损耗中主要是瑞利散射，即光波遇到与波 长大小可以比拟的带有随机起伏的不均匀质点时发t l 的散射。瑞利敞射损耗和波 k 的四次方成反比，因此其j i 要作用在短波氏区，可以表示为 口= c ”2 ， ( 3 - 3 ) 第三章光纤中的损耗拨孤丁放人 常数c 。0 7 ( d b k m ) t t m 4 0 9 ( d b k m ) i t m 4 ，其具体值与纤芯的组分有关。光纤 中常用的光脉冲的波氏为 = 1 5 5 t m ，在此波长处光纤的损耗主要是e b 瑞利散射 引起的。目前实际的光纤在l5 5 t m 处的损耗约为0 2 d b k m 。 当强光注入光纤中时，还会引起所谓的布罩渊散射和拉曼散射。它们是由于 强光引起的非线性敞射损耗。一般在多模光纤中光能密度较小，这种情况不会发 生。但在单模光纤| = 1 ，当光能量密度足够强时，就有可能发生这种损耗。 3 2 带损耗的光脉冲传输方程 在忽略损耗的情况下光纤中光场的慢变振幅满足的方程为非线性薛定鄂方 暑+ ；属等锄m ( 3 - 4 ) 其中卢：是色散常数，y 是非线性常数。如果考虑到光纤的损耗则方程( 3 4 ) 中 将多一项描述损耗的项。f 面我们从m a x w e l l 方程组出发给出带损耗的皮秒数量 级的光脉冲传输方程的推导。 由m a x w e l l 方程组可得描述光场的方程为 v2 e ( 3 5 ) 其中c 为真空中的光速，e 为电场强度，p 为电极化强度。为了完整表达光纤中 光波的传输，还需要找到电极化强度p 和电场强度e 的关系，在远离介质的共振 频率处，电极化强度p 和电场强度e 的关系可唯象地写成 p = fb e + z 2 ：e + z f e + ) ， ( 3 6 ) 如果只考虑与三阶极化率z 3 有关的三阶非线性效应，则感应电极化强度有两部 分组成 p ( r ，f ) = p ，( r ，f ) 十p r o , ( r ，f ) ， ( 3 7 ) 其中线性部分p ( r ，f ) 和非线性部分p n l ( r ，f ) 与场强e 的普适关系为 p 如归氏e z ( h ) t e ( r ) 西， ( 3 8 ) 光孤了柏光纤中传输特性 i j 究 p u l ( r ，) = 。j i j , t ，z 3 ( ，一f i ，f f2 ，f 一，3 ) ；e ( r ，f 1 ) e ( r ，f2 ) e ( r ，) 础1 饥2 折3 。( 3 9 方程( 3 5 ) 以及表达式( 3 6 ) 一( 3 9 ) 给出了处理光纤中三阶非线性效应的一般公 式。但由于它们比较复杂，因此需要做些简化处理。首先，在石英光纤中，极 化强度的非线性部分比较弱，其变化小于1 0 ，因此可以看成是线性部分的微扰。 其次，假定光纤是弱导的，沿光纤长度方向上光场的偏振态不变，从而保证其标 量近似有效。最后，假定光场是准单色的，即对中心频率为。的频谱，其频谱 宽度为，且m 出o 1 ，因为“1 0 ”h z ，故此假设对脉宽o 1 p s 的脉冲成 立。这些假发t ：4 域下的慢变包络近似是一致的。在幔变包络近似下，可以把电 场的快变部分与慢变部分分开 e ( r ，f ) = 当i 陋( r , ) e x p ( 一i ( 0 0 1 ) 十“】， ( 3 一】o ) 式中i 为假定沿x 方向偏振光的单位偏振矢量，e ( r ，) 为时问的慢变函数。类似 地，极化强度分量p ，( r ，) 和p 。，( r ，) 也有相似的表达式。 由于非线性效应，非线性极化p 。( r ，r ) 对电场e ( r ，) 的响应有一定的延迟， 光纤介质的极化率z t 3 对电场的响应时间一般为几十飞秒，因此对于飞秒量级的 光脉冲，般需要考虑非线性色散效应：对于皮秒量级的光脉冲，我们可以认为 非线性口l 应是瞬时的。所以三阶极化率z 1 1 的叫削关系可由三个占( ，) 函数的 积得到。由( 3 - 9 ) 式得 p l ( r ，) = z 3 je ( r ，t 1 ) e ( r ，t 2 ) e ( r ，3 ) 。 ( 3 - 1 1 ) 忽略三次谐波，则有 ( r ，f ) z 。me ( r ，f ) t ( 3 12 ) 其中s 。= ：，z l e ( r , i ) j 2 为介电常数的非线性部分。根据慢变包绍近似和最t 的 微扰假改，可以将e 。作为常数处理。将以上关系式代入( 35 ) 式，有 v2 西+ ( 出) 鲧2 五= 0 ， ( 3 - 1 3 ) 其中k 。= 竺，且介电常数 c f ( ) = 1 + z 茹( ) 十f v ， ( 3 - 1 4 ) 这早置是e 的傅立| _ 变换 笫= 章光纤中的损耗发孤了放人 ) = 陋( r ，i ) e i ( i o - o h 一) l d t ， ( 3 1 5 ) 由于z ”( 甜) 和f 。都是复数，因此介电常数s ( ) 也是复数，习惯上定义 鬲= 一+ 挖2e 1 2 ，昂= 口+ a 2e1 2 ， ( 3 一1 6 ) 对石英光纤，很小，常被忽略。 方程( 4 一1 3 ) 可利用变量分离法求解，假定解的形式为 苗( r ，一甜o ) = f ( x ，y ) 彳( z ，m 一。) e x p ( i f l o z ) 其中f ( x ，) 是光场的模分枷，彳( z ，c o 一0 3 0 ) 是z 的慢变函数 以将方程( 3 - 13 ) 分离为两个关于f ( x ，y ) 和彳( z ，甜一( 0 0 ) 的方程 警+ 等唯( 础秒= 。 f 2 风 _ o a + ，一所净：o 。 ( 3 1 7 ) 风是波数。这样可 ( 3 一1 8 ) ( 3 一】9 ) 在推导方程( 3 一i 9 ) 的过程中，由于假定j ( z ，一国。) 是z 的馒变函数，因而忽略了 其二阶偏导数项a 2 7 o z2 。波数口可以通过本征方程( 3 1 9 ) 来确定。方程( 3 一i 8 ) 可通过一阶微扰理论求解。方程中的介电常数f ( 出) 近似为 s ( 脚) 2 ( n + h ) 2 , n + 2 n a n , 其中 月z 旧i 2 + 2 竺k o 作为微扰a 首先在n = o 的 情形( 普通单模光纤在线性极化情形) 下求得模场分布函数f ( x ，y ) 和对应的波数 ( ) ：然后再考虑a n 的影响。根据一阶微扰理论，用不会影响到模分布f ( x ，) 但是本征值矽将变为： 其中 8 = 6 i a o 、+ g 将卢2 代入方程( 3 一1 9 ) 呵求得慢变振幅爿( z ，f ) 的傅 i - r 。变换2 ( z ，一c o o ) ( 3 2 0 ) ( 32 1 ) 咖一 出一砂 外i 一力 f 一托 驯一陬 m m k 一 = 筇 光孤了m 光纤中传输特g l - ：t d l 究 罢= f 咖( ) 十一卢。口。 ( 3 2 2 ) 这早用到了为小量，并做了近似声! 一廊z2 。( 矽f l o ) 。方程( 3 2 2 ) 的傅早 i - r 逆变换给出了a ( z ，f ) 的传输方程。然而，我们很少能知道( ) 的准确函数形 式，因此，在频率处把卢( 出) 展刀成t a y l o r 级数 卢( 脚) = 风+ ( o ) - - o ) o ) f l l + ；( 出嘞) 2 ：+ - ( c o - 0 0 ) 3 岛+ ，( 3 - 2 3 ) 其中 纷m 。乩z ，1 ，。 若皤宽珊 。，则展丌式中的三次项及高阶项通常都可以被忽略，这与前面 的准单色假定一致。在某些特定的m 。，值，若屈z0 ，即在光纤的零色散波氏附 近，需要考虑三次项。将方程( 3 - 2 3 ) 代入到方程( 3 - 2 2 ) ，并取傅早叶逆变换得 到慢变振幅包络a ( z ，f ) 的微分方程 善属詈一；：窘+ 越脚， c 。一z n ， 其l 二p 口山( 32 1 ) 给定，它包括了光纤的损耗和非线性效应。假发幅度a 是归一 化的，f a i2 代表光功率，把( 3 2 3 ) 代入到方程( 32 4 ) 可得： 警媚署+ 等+ 川2 爿， z s ， 其中，= 棼为非线性碱分( 肚i 川2 蚴) 2 肛i 亿圳4 出咖为有 效纤j 占截面。显然，爿酊依赖于光纤参数，如纤：茁：半径、纤芯一包层折射率差等。 一般地，根据光纤设计的不同，在1 5 脚波长附近a 咿变化范围为 2 0 a n2 10 0 # m ! 。若取 2z2 6 1 0 。1 0 m2 w ，非线性系数y 可在 i w k m 1 0 w “k i n 范幽内蛮化。 第三章光纤中的损耗发孤了破人 方程( 3 2 5 ) 给出了皮秒光脉冲在单模光纤内的传输方程，式中屈、压反映 了光纤的色敝，y 反应光纤的非线陛特性，d 反映光纤的损耗。通过作延时系变 换： r = t z v t = t 一0 1 z ， t 3 2 6 ) 方程( 3 2 5 ) 就化为著名的非线性薛定谔方程 r 罢一譬等w i a i i ：a 爿( 3 - 2 7 ) 非线性薛定谔方程已成功地解释了大量的非线性现象，在非线性光学、流体 力学、电磁学、生物物理、高分子物理等均有应用，特别是被广泛用来描述等离 子物理和光物理中大量的非线性现象，以及孤子的传输。研究已经发现”。，当 群色散参量反 0 时( 对应于f 常色散区) ，光纤中能维持暗孤子的传输。两类 实验已分别于1 9 8 0 年和1 9 8 7 年在实验中得到汪实“。 3 3 有损耗时孤子的传输特性 光孤子产生于非线性效应和色散效应之间的平衡，如果脉冲要维持其孤子特 性，必须保持峰值功率不变。然而，由于光纤损耗的存在造成孤子峰值功率沿光 纤降低，削弱了：作线性效应，从而不能抵消群速度色散效应，这将导致基态孤子 在传输中被展宽。在反常色散区，引入归一化变量替换 u = ( 异) _ 1 2 a ，z = z l t = , - v o ， ( 3 2 8 ) 其中异是初始脉冲功率峰值，瓦是脉宽，上，是色散氏度。再令“= n u ，其中 z ：立：逝， 一lw i 岛l 则方程( 3 - 2 7 ) 可以写成如下形式 ，嘉+土票+i“2h=-2o t三2 r “a z 2 其中 r 一即胬。 ( 3 2 9 ) ( 3 - 3 0 ) ( 3 - 3 1 ) 光孤了钟：光纤中传输特, f 4 ：0 d z 若i 1 ，损耗琐司煮成够扰，方程( 3 3 0 ) 就可直接用变分法求解”1 。在1 7 = 0 时，方程( 3 - 3 0 ) 的解为”“” u ( z ，t ) = r ls e c h d y q ) j e x p i # i 一溯、】。( 3 - 3 2 ) 在无微扰时，q = 屁+ 口。= ( 口2 一占2 ) + 0 0 。在微扰的情况下四个参量随z 变化。引a - 1 2 格朗p l 密度函数“1 k = 2 ( u u - u u ，_ ) 一；( i “j 4 一】2 ) + f ( 删* - - 。e * b t ) ， ( 3 3 3 ) 其中+ 是“的共轭变量，= 一当r “为微扰项。由拉格朗同方程 面3 ( 科c 3 q i , ) + 嘉( 熹卜署= 。，( 3 - 3 4 ) 就可以从( 3 - 3 3 ) 得到( 3 - 3 0 ) 。将拉格朗f t 密度函数对t 积分 三。( ，7 ，占q ) 2i 。厶( 哪+ ，t ) d t ， ( 3 3 5 ) 利用欧拉一拉格朗r l 方程可以从( 3 - 3 3 ) ( 3 - 3 5 ) 中得到方程组 箬峨“( t ) d t ， ( ：；j3 6 ) 瓦d 8 - 1 1 t ij 嘶) t a n h 阻( t - q ) 即w r ， ( 33 7 ) 老一n ，1r e 弘”咖丁，( 3 - 3 8 ) 雾_ i m 弘) 古羽刊t a n 蜥( 丁刊m w 归+ 抄老，( 3 - 3 9 ) 式中r e 和l m 分别代表实部和虚部。 将s = 一z f 代入( 3 - 3 6 ) 一( 3 3 8 ) ，发现只有孤子振幅，7 和相位受光纤 损耗影响，胃+ ，7 ( z ) = e x p ( 一f z ) ， ( 3 - 4 0 ) ( z ) = ( o ) + l f i - c x p ( - 2 c z ) t ( 3 - 4 1 ) 这里假定叩( o ) = 1 ，j ( 0 ) = 0 ，g ( o ) = 0 ，而且占和q 沿光纤长度方向保持为常数。 由于孤子振幅与宽度成反比因此孤子振幅的减小将导致孤子展宽。事实上 山( 3 - 3 2 ) 式，得孤子的宽度为 t ( z ) = e x p ( 1 - z ) = 7 je x p ( ，x z ) 6 ( 3 - 4 2 ) 堑! 兰里垄堑塑塑堑丝塑王些查 孤子宽度随指数增加的规律并非在任意长度都成立，数值解的结果告诉我们，只4 仕, - 以 1 的 区域，脉宽以低于线性介质中的速率线性增加。高阶孤子表现为相似的渐近行为。 由( 3 3 1 ) 式，r = 。= 岂午，对单模石英光纤，口：2 。1 0 一删，标准 光纤在可见光区岛* 5 0 p s2 k m ，在 = 15 5 p m 处岛= 一2 0 p 2 女。对皮秒脉宽 瓦 i p s ，因此r = 0 1 。所以在正常的标准光纤中，方程( 3 3 0 ) 的微扰解都是 成立的例。 “e b n z 幽3 基态孤子在有损耗光纤中脉宽随距离的变化 3 4 光孤子的放大 光纤中的损耗会导致孤子展宽，这种展宽在光纤通信中是不可接受的。为了 克服光纤损耗的影响，常用周期地放大的办法使孤子波的能量恢复到原始笸。e f 静有两种方法将光孤子信号放大，一种是集总放大的方式，另一种是分布放大的 方式引。 在集总放大的情况下t 孤子传输一段距离后，用光放大器将信号能量放大到 入射时的水平，从而使孤子重新调整其参数值直到等于仞时值。不过在这一凋鍪 阶段，一部分能量会以色散波的形式流失，经过多级放大后，色散的能量会累计 到很高的水平，这是我们不希望的。为此常采用减小放大器之间的距离。，使上 易的办法柬解决。因为色教长度上。决定了孤子对外界扰动响应的尺度，当放 大器阃距远小于这尺度，尽管有能量变化，孤子宽度几乎不受影响。在实际应 光孤了托光纤中传输特忡究 用中，色散长度厶，超过1 0 0 k i n ，因此要求上。在2 0 k m 4 0 k m 之刈。 在短脉冲的高比特率系统中，色散长度变得相当短，集总放大不再适用，一 般采用分布放大的方式。常用的分布放大有分布拉曼放大”和铒光纤”，他们都 是沿光纤进行周期性的泵浦。拉曼放大是利用拉曼效应进行工作的。拉曼效应是 指在分子介质中，强入射光波的一部分被介质散射而变为较低频率的波，称之为 斯托克斯波。对于纯石英光纤，频率下移量约为1 3 t i l z 。因此在光纤中，如果用 频率比孤子波频率高1 3 t h z 的光作为泵浦光，则在光纤中，处处有能量补充，适 当调整泵浦光源的输入功率，就可以抵消孤子的损耗。如剥1 5 5 ，t m 区传输的孤 子，泵浦光的2 1 - f i ；频率在1 4 5 ，o n 附近。【出于只有在强光入身寸时，才有町观测的 拉曼效应，因此对拉曼放大器，泵浦功率要超过1 0 0 m w 。 集总放大方案的使用始于1 9 8 9 年”“，自从1 9 9 0 年以后掺铒放大器商用以来， 光纤损耗l 乎都采用掺铒光纤放大器( e d f a ) 来补偿，而e d l ：a 提供的放大都是 集总放大。因此下面我们讨论集总放大的情形。 考虑损耗时的光纤传输方程为”1 f 旦兰+ 旦：姿+ “i2 “：一三r “， ( 3 4 3 ) 式中“描述脉冲包络的慢变振幅，z为无量纲量，r = 比，为损耗 ，0 项。若加上集总放大器，则因为放大是空m 周期地放置的，故损耗项r 可以用一 个周期函数f ( f ) 来代替，使放大的增益包括在f ( f ) 内。f ( f ) 除了在放大器所在 位置急剧变化外，在其它地方等于r 。 引入变换 “( z ，丁) = v ( z ，丁) e x p 一i 1f i = ( f ) d f 】= f l ( z ) v ( z ，丁) ， ( 34 3 ) 将其代入( 21 ) 式，得v ( z ，t ) 满足的方程 ，嘉t 嘉c 驯2 v - o 。 ( 3 4 4 ) 注意到( z ) 是z 的周期函数，刷期为z 0 ：鲁，而。是放大器间距。在每个周 一，j 期内，( z ) = 风e x p 一乏1r z ，在每个周期术端突变为风。 第三章光纤中的损耗艇孤了脓人 考虑到( z ) 以周期方式剧烈变化，引入蹄径平均孤子的概念”。若周期 乙 l ，则孤子在一与色散长度相比很小的距离内传输后几乎不发生变化。在 一个周期内，卢2 ( z ) 变化如此之快，导致其作用是一平均的效果。因此用一个周 期内的平均值来代替2 ( z ) ，则在z 。 l 的情况下，近似结果与实际符合得非常 好。此时方程( 3 4 4 ) 为 r 老t 豢+ ( 硝z ) ) l v l 2 v o 。 与理想的光孤子传输方程相比较，当选择输入功率峰值只使f 卢2 ( z ) ) = 1 时， 光孤子在周期性集总放大的损耗光纤中的传输就等同于无损耗光纤中的传输。设 在每周期术端，山于放大器使输入光的4 庠值功率恢复为p ，故在每一周期内 只( z ) = 只e x p ( 一r z ) 。 ( 3 - 4 6 ) 由于损耗，在到达末端时，功率恰好衰减为理想情况下的异。注意到p ， 疗2 ， 故p2 ( z ) ) = 1 就相当于( 鼻) = 只，由此得理想条件 去班( 1 - e - r z ) = r t(3-47) 即 只=黑1e x p ( f z = 警g 1 只 、 一一 。) 一 ” ( 3 4 8 ) 其中g = e x p ( f z 。) 为放大器增益系数。 这样，只要放大器间距。 色散长度l 并且入射峰值功率增大导訾 倍，就可以完全抵消光纤的损耗。 对理想放大条件还可以表示为另外的形式。实际上，山于工作在平均孤子区 的条件是岛 1 或l 。 柚腹ll 。 ( 3 - 4 9 ) 选耿典型值肛= 一o 5 p s2 k m ，j ：5 0 k m ，则得 5 p s 。孤子通信系统的比 特率b = 1 2 q 。瓦，其中q o 是一系数，选择吼= 5 ，则得b 2 0 g h z ，因此放大 器的应用对比特率和放大器间隔都产生了严重的限制。 没集总放大器间距为。，设周期函数f 取如下的形式“” 光孤了辅光纤中传绚特性1 i j | _ 究 ， = = 厂一2 ( x 厄- o a ( z 一月z 。) f 忙1 ( 3 5 0 ) 其中，是放大器的总数，z 。：_ l4 ，g 是放大器增益系数。a 函数a ( z h z ，i ) 刻 l i ) 划系统在z = n z 处集总放大的特性，因子g 一1 表示在周期放大过程中孤子振 幅的变化。由此方程( 3 - 4 3 ) 可以表示为 粤+ ! i 0 2 u + “：一三r “+ ，( 厄一1 ) 堂占( z - n za ) “。 (3151)az2a t 2 2。 箸。 显然，函数f 除了在放大器所在的位置急剧变化外，其它位置均有f = f ，所以 我们可以做如下形式的函数变换 u ( z ，t ) = f i ( z ) k z ，t ) ， ( 3 - 5 2 ) 其中p ( z ) 表示z 的快变部分，而v ( z ，7 1 ) 表示z 的隆变部分。将( 3 - 5 2 ) 式代入 ( 35 1 ) 式，得到亿) 和、j ( z ，r ) 分别满足的方程 差= 一扣+ ( 插叫誊艿( z - n z , ) f l ，( 3 - 5 3 ) ，i o z 圭筹2 圳， 5 4 ) 求解( 3 - 5 3 ) 式，得 ( z ) = f i ( o ) 窆e 。1 “”圳2 ，( z 一”z 。) 一h ( z 一( 肘1 ) z 。) 】 十f l ( o ) e7 2 。”h ( z n i z 。) 。 ( 3 - 5 5 ) 实际上，此式可以写成更简洁的形式 ( z ) = ( o ) e x p 卜；r ( z 一月z 。) ( h z 。 0 ，胁“和是常数。 一 现在我们来考虑方程( 6 2 1 ) 展丌到一级修正的近似解 v = w + s 日，( 3 6 6 ) 其中满足初始条件 v ( z = 0 ，r ) = v ( z = 0 ，t ) 。 ( 3 - 6 7 ) 根据绝热解的思想，零级近似w 就是所谓的绝热近似解，它与精确解v 具有相同 ) ) ) ) 8 9 0 茸号 埘 瑚 蜘 皓 光孤丁九光纤中传输特悱f l j | _ 究 的形式，只是参数，占，“和与点= 有关。q 是一个保留项，它是绝热近似 解的一级修i f 引入二重尺度展丌a z = a 厶+ z ，其中z 。= s n z ，n = o ，i ，通常 它被看作是两个独立的变量将二重尺度展丌连同表达式( 3 6 6 ) 一一起代入到扰动 的非线性薛定谔方程( 3 6 2 ) ，并使的各个幂次方的系数相等，我们l 目+ 以得到f 面两个方程 f 害+ ；祟w w - o ，( 3 - 6 8 ) 2 瓦+ i 矿+ j ”j 肛叭 ，老t 窘坤，2 q + w 2 m 】，6 9 ) 其中r w = 0 一2 ( z ) j 8 v 3 s e t h3 0 e m ( i 2 v - i 2 v p t a n h 0 + 2 v o ) s e c h o 。一，这 罩 曰= 2 i i ( 7 1 +