（理论物理专业论文）对撞机物理和非粒子物理的唯象研究.pdf

叭帆m吣m删b8m8y1714 0 8 8 帆 c o l l i d e rp h y s i c sa n dp h e n o m e n o l o g i c a lr e s e a r c ho n u n p a r t i c l ep h y s i c s a u t h o r ss i g n a t u r e ： s u p e r v i s o r ss i g n a t u r e ： e x t e r n a lr e v i e w e r s ： e x a m i n i n gc o m m i e x a m i n i n gc o m m a d a t eo fo r a ld e f e n c e ： s e p t e m b e r2 0 0 9 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 羧伟 l 签字隰川年夕月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有权保留并向国家有关部门或机构送交 本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权浙江大学可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 糊槲始关叩 签字日期：切。7 年 7 月iq 日 l | 导师签名： 签字日期： 摘要 摘要 本文系统分析了对撞机物理的基本技术，并给出了l h c 上模拟硬散射过程的基 本程序实现办法，包括p d f 的读取、动力学部分的生成、运动学处理、蒙特卡罗积分 和运动学分布等。应用这些技术分析了h i g g s l e s s 类模型预言的高质量矢量k k 激发 态z 1 在l h c 上的信号。z 1 衰变主要是两个衰变道z 1 一w + w 一和历_ 况据此我们 选取两个特定的观测道：p p _ 力+ 萨+ 萨- t - 勋和即一j j j j + 萨+ 萨+ 勋。我们 得到的结果是，l h c 观测h i g g l e s s 类模型中的历，在l o o f b _ 1 的积分亮度和5 盯的置信 度下，假设1 0 0 的衰变宽度，使用第一个道，其探测的质量极限可以到达6 5 0 g e v ， 使用第二个道，可以到达5 6 0g e v 。在z 1 质量为5 0 0g e v 时，在1 0 0 b _ 1 的积分亮度 和5 仃的置信度下，探测z 1 一w + w 一的衰变分支比可以到达2 5 ，探测五_ 亡f 的衰 变分支比可以到达6 0 。本文还分析了非粒子物理在z 峰上的唯象行为，以试图用 其解释l e p 上b 夸克的前后不对称性的测量值与标准模型拟合值的背离问题。我们 认为在其它物理可观测量的限制下，大部分的参数空间都被排除。只有在非粒子项 与标准模型粒子耦合是矢量型主导，并且其与b 夸克耦合远大于其与其他夸克耦合 时，才有一定的参数空间以解决a 鼻名的反常问题。 关键词：对撞机物理蒙特卡罗截断无希格斯类模型对撞机信号非粒 子物理精确测量 浙江大学博士学位论文 摘要 a b s t r a c t t e c h n i q u e so fc o l l i d e rp h y s i c sa r es y s t e m a t i c a l l yr e v i e w e di nt h i st h e s i sa n dh a r dp r o c e s ss i m u l a t i o na tt h el h ci sa n a l y z e di nd e t a i l a sa na p p l i c a t i o n ，w es t u d yt h el h c s i g n a t u r e so fn e w n e u t r a lg a u g eb o s o nz 1w h i c hi sp r e d i c t e db yh i g g s l e s sm o d e l s z 1c a n d e c a yt owp a i r o ri f , w h i c hp r o v i d et w od i f f e r e n tc h a n n e l st oo b s e r v ez i w ei n v e s t i g a t e d b o t ht w oc h a n n e l sa n dc h o o s et w os p e c i f i ci n t e r a c t i o nc h a i np p 一歹j + 土+ 粤士+ 勋a n d 即一歹歹歹歹+ z 士+ 它士+ 勋f o re a c hc h a n n e l b o t hc h a n n e l sa r ep r o m i s i n gt od i s c o v e rh i g g s l e s sz 1a tt h el h c i n b o t hc a s e s ，w ep r o p o s et of o c u so nt h em u l t i j e t + 萨萨+ 勋f i n a l s t a t e s w ef i n dt h a ti ti sp o s s i b l et oo b s e r v et h e 历r e s o n a n c eu p t o6 5 0g e va ta5 al e v e l w i t ha ni n t e g r a t e dl u m i n o s i t yo f10 0f b 一1f o rad o m i n a n t 彤c h a n n e l a n d5 6 0g e vf o ra d o m i n a n to ft t - c h a n n e l 。t h eu n p a r t i c l ep h e n o m e n o l o g yo nt h ez p o l ei sa l s os t u d i e di nt h i s t h e s i s 。w i t ht h eh o p et os o l v et h e3 aa n o m a l yo fa i 。o f , b bb yu n p a r t i c l es e c t o r u n f o r t u n a t e l y , f o rm o s tp a r to ft h ep a r a m e t e rs p a c ee x c e p tc e r t a i np a r t i c u l a rr e g i o n s ，t h ea n o m a l yc o u l d n o tb ee x p l a i n e da w a yp l a u s i b l y , w h e nc o n s t r a i n t sf r o mo t h e rl e po b s e r v a b l e sa r et a k e n i n t oa c c o u n t k e y w o r d s ：c o l l i d e rp h y s i c s ，c u t , h i g g s l e s s ，u n p a r t i c l e ，l h c ，z 1 i 浙江大学博士学位论文 i v 目次 日次 摘要i 目次 1 绪论。 1 2 程序实现模拟对撞机物理的基本技术 7 2 1 散射截面及运动学分布 7 2 2 初态1 0 2 3 动力学1 2 2 4 运动学。1 4 2 5 改进的模拟1 9 2 6 程序技术小结3 4 3 h i g g s l e s s 类模型中z 1 的对撞机唯象3 7 3 1 h i g g s l e s s 模型简介3 7 3 2 h i g g s l e s s 模型对撞机唯象简介4 2 3 3 输入参数和选择的反应道4 2 3 4 l h c 上历的信号4 7 3 5 本章小节5 4 4 非粒子物理在z 峰上的唯象分析5 7 4 1 背景介绍5 7 4 2z 峰上的物理可观测量【1 5 6 5 9 4 3 非粒子物理6 1 4 4 唯象分析6 3 4 5 非粒子物理在z 峰上的唯象小结6 7 5 结论6 9 附录。7 1 参考文献7 5 v 浙江大学博士兰位堡茎 _ - _ _ _ _ _ _ - _ - _ l - _ - _ _ _ i - _ - - _ _ _ _ - _ - - _ - _ - _ - _ 一一一 一 攻读博士学位期间主要研究成果8 5 致谢8 7 v l 图目录 图目录 部分子分布函数11 能动量分辨率对z 峰的改变2 2 t o p 夸克重建2 3 散射截面的运动学分布2 7 弱电玻色子散射( w b f ) 过程3 1 强子对撞机里面巨大的q c d 背景3 2 在质子质子对撞机中一个典型的对撞事例3 3 大型强子对撞机( l h c ) 的全模拟3 4 树图阶的w w 散射过程3 8 w w 散射过程d ? h i g g s 作用3 9 w w 散射过程中引入磊用于幺正性保持3 9 w + w 一一w + 一过程的幺正性4 3 历的产生4 4 l h c 对撞能量为i o t e v 和1 4 t e v 下历的产生率4 5 2 j - l - g 士萨+ 励末态过程信号道w 士历_ w 土w + w 一和标准模型背景 w 士w + w 一的散射截面随p t ( j e t ) m 的归一化分布，其中m z ，= 5 0 0 g e v ，m j 已作截断。4 9 信号和背景在坞j 和p t ( j e t ) m 雠截断后的地j 分布，其e e m z ，= 5 0 0 g e v 。5 0 3 9 p p _ 彬士五_ 亡肼士一句+ 萨萨+ 勋过程及标准模型背景棚矿士的 散射n n p t ( j e t ) m a 咱归一化分布，其e e m z 。= 5 0 0 g e v 。5 1 3 1 0 对印_ w 士z 1 _ t t w 士叶4 j + g 士萨+ 勋过程及标准模型背景拥矿士， 散射截面随尬蚴的分布，其中耽。= 5 0 0g e v 。 5 2 v 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 浙江大学博士学位论文 v i 3 1 l ( a ) 在历重建后，3 盯和5 仃置信度下探测需要的积分亮度；c o ) 在1 0 0 f b l 的积分亮度和5 a 的置信度下，探测能达到的分支比( b r ( z i w w ) 和b r ( z 1 一厕) 。5 4 4 1 z 峰上前后不对称性随勘的改变，其中( a ) 所示过程为e + e 一一6 5 ， 纵轴值的单位为a i c a ( v ) u 1 2 ，c o ) 所示过程为e + e 一_ 订，纵轴值的 单位为i c a ( v ) l d 2 。实线、点线、短虚线和长虚线分别代表如下情 况：( i ) c a 2 d = 咖，( i i ) c a l l = 一c v l g ，( i i i ) c 蹦0 ，c a , = 0 ，( i v ) c a , 0 ，c v l 4 = 0 。6 3 4 2 z 峰上非粒子项随不同也值对强子散射截面的贡献。为了说明情 况，值取为4 。在( b ) 、( c ) 、( d ) 中入取负值是为了l e p 实验上需要其 对a f 0 , b b 有一个负的贡献。在( a ) 中，对任何一个给定符号的入值，非粒 子项对a 鼻笔的贡献的符号总是随毗值震荡。这里为了方便我们取正 值，但是我们的结论不依赖这种特定的选取。从上往下个各条实线 分别代表c a ( v ) u 不同的输入值：0 2 5 、0 2 、0 1 5 、o 1 、0 0 5 、和0 0 1 。 水平虚线代表1 仃的实验误差限。6 5 4 3 z 峰上非粒子项随不同比值对亿的贡献。参数和其他变量约定同图 4 2 。6 6 4 4 z 峰上非粒子项随不同勘值对左右不对称性的贡献。参数和其他变 量约定同图4 2 。6 7 4 5对非粒子项与标准模型粒子耦合的参数空间的扫描，其中本文中所 讨论的所有物理可观测量的限制都已经包括。这里我们取= 4 ，6 是为了说明情况。实线表示的是对a 鼻名，非粒子项可以提供l e p 测量 与标准模型拟合背离的中心值。虚线表示的是1 仃的实验测量误差。 灰色( 绿色) 区域是被其他与标准模型拟合符合的观测量排除的参数 空间。6 8 术语表 表目录 2 1 第一级触发的例子( 亮度c = 1 0 3 4 ( 1 0 一3 3 ) 咖一2 8 1 ) 2 8 3 1 p p _ g + g 士+ 2 j + 翳末态过程的信号、背景对比和统计显著度，其 中五质量尥。= 5 0 0g e v ，分支比b r ( 磊_ 彤十w 一) = 1 0 0 。 4 8 3 2 p p _ 句+ g + g 士+ 勋过程的信号、主要标准模型不可约背景对比和 统计显著度，其中尥。= 5 0 0g e v 。5 3 4 1 物理可观测量：z 峰上的测量值和标准模型的全参数拟合值【5 9 1 。6 1 i x 浙江大学博士学位论文 x 绪论 1 绪论 对撞机是高能物理研究的主要实验手段。其主要的研究目标是自然界最基本的 相互作用，参与这些相互作用的基本粒子的性质以及自然界的对称性。一方面我们 需要更高的对撞能量发现新粒子和新的对称性，直接探测新的共振态，另一方面我 们需要分析这些粒子的性质和耦合。这也构成了对撞机物理的主要分析目标：其一 是分析新物理在高能对撞机上的信号特点，并构造一些可观测量和技术截断以从杂 乱的背景中探测出信号；其二是分析新物理的效应会不会在以往的实验中体现，并 用以往实验对新物理进行限制。 目前，对撞机实验的一个主要发展方向是高能量。2 0 0 9 年末大型强子对撞 机( l h c ) 即将开始正式运行，它对探测t e v 能标的物理具有里程碑式的意义。 l h c 将围绕着两个最为基本方向进行探索：弱电自发破缺机制和t e v 能标新物理。 粒子物理的标准模型获得了实验很好的检验，但是人们相信在弱电能标之上应该有 新物理的存在。在实验之前，我们需要对新物理的信号作基本的分析，并给出事例 选择的参数以及标准模型背景。在实验到来之后，我们就可以很快地进行物理分 析。使用对撞机物理的技术，我们可以来模拟l h c 上的各种新物理信号，并给出相 应的预言。 一般而言对撞机唯象研究的基本过程是：首先根据模型定义新的自由度和耦 合，写出完整的拉氏量或在相应实验能标的有效拉氏量，接着计算信号强度和背景 强度，然后使用某种办法压低背景提高信噪比，最后选取某种观测量进行观测。在 选择合适的观测道作分析时，我们只需要知道此观测道涉及的粒子和耦合，当然必 须要把理论和以往实验对其的限制考虑在内。在计算具体的散射截面和其运动学分 布时，我们必须把量子场论的办法数值化，其中涉及到很多数值计算的基本技术， 比如蒙特卡罗办法，样本事例数的除权等等。在进行事例选择时，我们必须考虑探 测器本身的探测能力限制和实验上为了提高效率人为放入的选择机制。l h c 作为强 子对撞机有其自身的特点，比如初态具有不确定性，因此我们无法得到每个事例的 质心系；具有很大的q c d 背景等，这些都是在模拟中需要考虑的。虽然硬散射过程 浙江大学博士学位论文 在整个事例中是最重要的，但真实的事例模拟涉及到部分子簇射( p a r t o ns h o w e r ) 、 强子化( h a d r o n l i z a t i o n ) 、强子衰变、探测器模拟、事例重建等过程，这些过程会影 响事例的甄别和效率。本文第二章将重点分析部分子层面模拟l h c 实验的基本技 术，并介绍一些其它过程的模拟，而第三章是1 ) j , h i g g s l e s s 类的模型为例，运用此具 体技术分析其预言的而的信号。 规范玻色子质量是弱电自发破缺( e w s b ) 的结果，但是弱电自发破缺的机制 在实验上并没有被发现。等价性定理认为，弱电自发破缺项所产生的g o l d s t o n e 粒子 可以看成是w 和z 粒子的纵向部分，弱电自发破缺的机制可以通过研究耽和玩的 散射进行探寻。标准模型引入一个标量场的s u ( 2 ) l 二重态用以解决弱电自发破缺 和幺正性的问题。弱电对称性自发破缺之后，标量场二重态的其它几个分量成为 矢量规范玻色子的纵向分量而留下一个物理标量场：h i g g s 粒子。h i g g s 粒子保证 了毗和况散射振幅的幺正性。如果在理论中移去h i g g s 场，纵向极化的耽和况的 散射振幅是随着对撞能量平方发散的，幺正性会在4 丌m w 9 1 5t e v 能标破坏【1 1 。 同样的，费米子散射过程，一时眩也有一个幺正性的极限，这个极限的能量尺 度是1 6 7 r 讵g f 坞，其中对夸克= 锈，对轻子= i t 2 1 1 酗t o p 夸克有一个很大 的质量，所以其中最大的限制来自于t o p 夸克散射，其能量尺度为3 5t e v 3 1 。 最近有一种理论认为，在额外维的框架下，规范对称性自发破缺可能可以通过 边界条件发生，且幺正性可以由k k 激发态磊和进行保证【描】。在某些情况下，物 理i 钓h i g g s 场可以被移去，这样的模型被称h i g g s l e s s 模型【7 1 。一般情况下，引入矢 量k k 激发态，其质量以及与标准模型粒子的耦合会被精确测量实验严重限制。但 是在h i g g s l e s s 模型中我们可以让这些k k 态和轻夸克和轻子退耦，这样可以逃脱大 多数的实验限制，而使得矢量激发态很轻。 本文将着重选择同号轻子加多喷注( j e t ) 末态研究h i g g s l e s s 模型在l h c 上的信 号，主要探讨第一代的中性矢量k k 激发态历。k k 态对散射振幅的贡献会被其质量 压低，而其耦合受到幺正性的限制，根据幺正性的考虑，我们可以得到k k 态耦合的 求和规则，这样我们就获得了第一代k k 态与标准模型矢量粒子以及重夸克的耦合 的上限。在其他k k 态的大质量极限下，可以忽略其对幺正性的贡献，因而认为这个 上限就是第一代k k 态与标准模型粒子的耦合。因此我们可以做模型独立的分析。 2 绪论 本文选取的产生道是卯_ 彬历，因为历与轻夸克退耦，所以我们需要的输入 参数仅有z 。的质量和其与彬彬的耦合g w w z l 。在幺正性要求下，这两个参数也不是 互相独立的，因此实际上的输入参数只有一个。我们将在z 。的两种衰变模式下讨论 不同末态的信号特点。由于z 。可以与标准模型的矢量粒子耦合，也可以与大质量 夸克t o p 祸合，因此其衰变模式主要是到w 土对和涮。 当历主要衰变到w 士时，我们选取的观测道是即_ w z l _ 力+ 萨+ 萨+ 肠， 其中粤代表肛子和电子，在探测器中它们能被很好地探测到，歹代表喷注( j e t ) ，一般 由轻夸克末态而来，野代表不可见横向能量，一般是因中微子或其他不可探测粒 子引起。这里历衰变产物中的其中一个w 和与五一起产生的那个同号的w 都半轻 子衰变到轻子，这样末态中就有了两个同号轻子，选择同号轻子的好处是可以压 低q c d 背景。另外一个w 则强子型衰变到两喷注末态，用此重建w 也可以压低大 量的q c d 背景。剩下的主要背景就是标准模型不可约的士士w 千过程。因为信 号的喷注来自于一个大质量的五，它们的横向动量分布应该比标准模型的j e t 横向动 量分布要硬，我们的分析表明，通过对最硬喷注( 横向动量最大i 钓j e t ) 的横向动量 作截断，可以大大减少不可约背景。只是此处因为有两个w 发生了半轻子衰变，我 们很难完全重建五，也无法判断哪个轻子来自历。这里因为来自z 1 的轻子和j e t 的 不变质量小于五的质量，选取小的轻子加j e t 的不变质量组合m t 2 j 可以对历进行重 建。选取一定的重建窗口o 6 尥， m e 2 ， m z ，可以在五大质量时压低标准模 型背景。我们的最终计算结果认为，在l h c 上寻找互，假定1 0 0 的衰变分支比， 用即叶力+ 萨+ 萨+ 野的探测道，在1 0 0 f b - 1 的积分亮度下，探测z l 的质量极限 在5 盯的置信度下可以达至1 1 6 5 0g e v 。 因5 t o p 夸克具有大的质量，因此z 。可以耦合n f f t o p 夸克与其他夸克不同的 是，其质量很高，并且在强子化之前就衰变掉了，因此在分析上可以看成是自由夸 克。在对撞机上，t o p 因为其特点能够与其它轻夸克区分，而一般新物理又和重夸克 有更大的耦合，所p f l , t o p 夸克信号的研究本身就非常重要。如果t o p 对衰变成为z 1 的 主要衰变模式，我们选择t o p 对其中一个发生半轻子衰变而另一个是强子型衰变， 那么我们得到的末态是2 个同号轻子“个喷注+ 不可见横向能量。两个同号轻子的 存在可以使得q c d 过程大为减少，i 面t o p 夸克的重建又可以压低大量的弱电可约背 浙江大学博士学位论文 景，这样我们对背景的分析最主要关注不可约的标准模型f f w 过程。依据与w w 衰 变模式相同的办法，通过对最硬的j e t 作截断，可以大大减少不可约背景。在对历进 行重建时，我们可首先重建出强子型衰变0 9 t o p 夸克，然后让剩下的一+ j e t 和两个 同号轻子作组合计算其不变质量。因4 - 卜j e t 和从历衰变过来的轻子的不变质量小 于五的质量，故取小的j e t 加轻子的不变质量的组合，再- 与t o p 衰变出来的3 + j e t 作组 合可以得到4 爪j e t 和轻子的不变质量必4 f ，用其可重建历。用同样的办法，选取一 定的重建窗口0 8 m z ： 舰4 f 的流形式。他的标准过程 是：c a l lf v l x x x ( h ，v c ，g ，f m a s s ，f w i d t h ，f v i ) ，前两者代表o n s h e l l 的费米子 和玻色子，g 是耦合常数，而f m a s s 和f w i d t h 决定b r e i t w i g n e r 传播子的形式，输 出一个f v i 流。因为有左右手的耦合所以g 是一个二维数组，实际上对应于费曼规则 左右手费米子分别与矢量粒子耦合相加再乘上另一个费米子传播子的过程。这样完 成了一个基本的流形式后就进行与其他流的耦合。其他的流可以是粒子也可以是其 他相互作用流，但是需要两者的流是配对的，o f f - s h e l l 粒子要能相接。最后输出一 个相互作用的初末态具有自旋的散射振幅。这个自旋散射振幅可直接用于具有不同 自旋或极化末态的过程，也可以计算其他带极化或自旋的初末态的散射过程，然后 将这些散射振幅对初态的自旋求平均末态自旋求和，得到自旋平均的总散射振幅。 这样我们可以很容易得出一个使m a d g r a p h 2 和h e l a s 3 计算不变矩阵元的标准 流程。第一步，我们需要定义模型，而模型含有的最关键的两部分是粒子及其相互 作用。粒子及其属性的定义包括粒子反粒子的表示和类型( 旋量，标量或是矢量 场) ，他们的质量、电荷、色单态还是多态等等。我们还需要定义粒子间的相互作 用，基于h e l a s 3 的程序因为子程序有自己的输入输出标准，所以在定义顶点时需注 意顺序。在m a d g r a p h 2 中，将每个顶点的粒子按顺序写入，并定义他们的耦合，便完 成了相互作用的定义。第二步，我们需要生成不变矩阵元。m a d g r a p h 2 可以自动按 照输入的初末态生成不变矩阵元的子程序并输出费曼图的p s 文件。因为强子对撞机 上的硬散射过程是部分子散射，所需要的子过程随末态粒子数增多而快速增长，我 们需要归类这些子过程或写脚本自动生成所有过程。这是程序上遇到的最大困难。 第三步就是把生成不变矩阵元的子程序接入我们的主程序中。因为不变矩阵元实际 浙江大学博士学位论文 上是初末态粒子动量的函数，所以主程序中用离散化的办法生成的动量可以直接接 入子程序，然后将子过程求和就是我们需要的不变矩阵元。需要注意m a d g r a p h 生成 的子程序输入参数的数据类型以及它所要的动量都是质心系下的。这样我们实际上 就完成了动力学部分的数值计算。粒子的衰变虽然也是动力学过程，但在我们的计 算中将其归入运动学部分。但是如果需要中间粒子的自旋信息和衰变粒子的角分布 信息，我们就不能直接用衰变的办法而需要让中间粒子o f f - s h e l l ，因为其动力学根 据粒子类型是不同的。 2 4 运动学 运动学的部分是我们主程序的主要部分，实际上可以归结为用蒙特卡罗的办法 实现高维积分和对末态粒子衰变、重建、观测和运动学截断的处理。因此主程序里 也相应包含以下几部分内容：初始化，包括模型参数初始化和对撞机参数初始化以 及积分初始化，初态动量的随机生成，p d f 的读入，末态动量的随机生成，衰变，重 建，运动学截断，接入计算不变矩阵元的子程序，相空间计算，高维积分，作分布数 据等等。 l h c 上质心系下质子的对撞能量为单个7 t e v ，也就是既= e b = 7t e v ，我们 定义沿质子管方向为z 方向( 纵向) ，垂直管的两个方向为x 和y 方向，那么两个质子 初态的动量就为：巧= 一= m v ，磁= 一磁= 碟= 一磋= 0 。因为硬散射过 程实际初态是部分子，按式子2 2 1 可以定义部分子的能动量，其中，由随机函数 生成。运动学上，要发生a ，b _ 1 ，2 ，3 一厂的过程，必须保证a 、b 的质心系总能量不小 f f - 粒- z - l ，2 ，3 f 的总质量屿= m 。那么对z 。和的投点也不是随意的。我们采 用以下的投点算法保证a 、b 在质心系下的总能量平方= z 凸8 不小于m ；： ：丝8 + 1 一竽胁：x d ，”一x 0 1 ) 兄。 铲丝x a 8 + 【1 一筹= 硒+ ( 1 一硒 ( 2 4 1 ) 其中冗l 、r 2 是【o ，1 区间的随机数。我们很容易就能证明诟= 丽屿且o z 口1 ，0 铂1 。只是在积分时我们需乘以一个j a c o b i n , 数： 1 4 j = 象象= x d - 木x d 2 亿4 力 程序实现模拟对掩机物理的基本技术 其中的x d l 和x d 2 由式2 4 1 定义。 模型参数的初始化包含基本的标准模型参数初始化，比如标准模型粒子质量输 入，各种耦合等等。一些非稳态粒子我们还需要定义他们的宽度，原则上宽度可以 根据理论计算出来，但是直接输入会使程序变得更加简单。这些初始化都放在一 个c o m m o nb l o c k 下，各种子程序都可以随意调用。当然如果含有新模型定义的粒子 及耦合，我们需要把他们的质量、耦合和宽度都放n c o m m o nb l o c k 里面并加以初始 化。在实际的计算中，我们并不需要定义所有新物理参数，因为有很多参数根本无 法用上。所以，我们只需要按我们选取的反应道，初始化所有会在新图中出现的参 数就可以了。一些参数，比如耦合和粒子宽度需要模型给出，因此之前我们必须根 据模型计算出这些参数并放入初始化部分。 对积分初始化的部分，主要设计蒙特卡罗投点的个数以及积分次数。更多的投 点数和积分次数有利于减少计算误差，但是这也需要更多的计算时间。并且在很多 情况下，投点数和积分次数在一定的范围内就已经足够了。显然积分维度的增多和 费曼图计算个数的增多会增加计算时间，并减少计算的精度，因此在这些情况下我 们必须增大投点个数和积分次数。这里我们使用的积分程序是s a m p l e ，它不仅可以 根据定义生成不同维度的随机数，而且可以生成非加权事例，非加权事例可以直接 用于作散射截面的运动学分布。 根据初态动量的初始化，我们可以定义部分子分布函数p d f 。p d f 在某个能标 下一般是动量分布函数z o ，x b 的函数，但是随对撞能量的不同，p d f 的尺度不变行为 被破坏，一般我们将p d f 所在能标放在一半质心能量上，其中质心能量q 定义为： 其中s 是质子在质心系下总能量平方s = 1 4 0 0 0 2 ( g e v 2 ) 。所p 汰p d f - - 般是z n 、x b 和q 的 函数。p d f 一般以表的形式存放在一个文件中，而且根据辐射修正的不同，表的 数据也是不一样的。树图阶的计算一般用领头阶的p d f 就行了，我们使用的p d f 表 为c t e q 6 l 。主程序中我们使用一个读取函数根据、2 7 b 和q 读取各部分子的p d f ， 如果表中没有，则采用内插法计算读取的部分子分布函数将根据式2 2 2 ，对应不 同子过程的不同初态直接乘在单个子过程的不变矩阵元上，并相加所有子过程得到 浙江大学博士学位论文 总的不变矩阵元，而对r 1 、r 2 的积分放在同产生末态动量的随机数一起，作高维的 蒙卡积分。 生成初态动量后，我们可以根据能量守恒生成末态的动量。末态动量的投点实 际上与n 体的相空间函数有密切关联，在实际操作中我们必须把n 体的相空间函数 化为某个系数乘以高维随机数体元：p s n 木( d r 3 牢d r 4 ，i c 木d r 3 n - 2 ) ，这样我们才 可以作蒙卡积分。两体的相空间函数可以很简单进行计算： 鳓= 南 4 - p b - - p l - - p 2 ，鲁爱= 南学亿4 其中立体角元d q 可以写为： d q = s i n o d o d = - d c o s o d e = - d ( 1 2 r 3 ) 木d ( 2 7 i r 4 ) = 47 ：r d r 3 d r 4 ( 2 4 5 ) 兄3 、凰也是o 到1 2 _ 间的随机数。那么据散射截面的计算公式2 1 4 我们可以得到： d 如= 两1 翳i - 1 i r 1 1 1 2 4 7 r d r 3 d 风 = 丽1 木譬木i m l 2 删r 4 = f 2 木p s 2 木s 木d r 3 d r 4( 2 4 6 ) 其中i 西m i 是质心系- f ；i 妻中一个出射粒子的动量大小，f 2 是初态系数( 习惯上我们 把l ( 2 z r ) ( 3 一4 ) 系数吸收到这个系数里面，因此针对不同末态数量可能此系数也不 同) ，p s 2 是二体相空间系数，s 是不变矩阵元，j 是初态j a c o b i 系数。质心系下我们根 据能量守恒很容易就能计算出： 西m i = l 西m i = ( 2 4 7 ) 其中入( z ，y ，z ) = ( z - i - y z ) 2 4 x y = 一y z ) 2 4 y z ，这个函数在我们计算多体 相空间时经常会用到，知道两体的不变质量和两个粒子质量，我们就可以用此函数 计算它们其中一个动量大小的最大1 勤伽四。 根据上节所述，计算不变矩阵元l m l 2 我们还需要知道末态各粒子质心系的四动 1 6 程序实现模拟对撞机物理的基本技术 量，这里我们有了出射粒子动量大小和角度，就可以得到2 体问题的质心系动量： 硝= 一磋= l 西m is i n o c o s 硝= 一理= i 并肘is i n o s i n e 1 = 加丽 易= 加而 ( 2 4 8 ) 其中0 、西的大小由式2 4 5 给出。在使用散射截面时候一般我们需要的单位 是 c m 2 或 b a r n 】( 其中l c m 2 = 1 0 2 4 b a r n ) 而这里计算用的单位制都是自然单位制， 所用的单位只有一个( g e v ) 所以我们要进行转换： c ：1 g e v 2 ：3 8 9 3 7 9 6 6 2 3 1 0 2 8 c m 一2 = 3 8 9 3 7 9 6 6 2 3 1 0 8 p b 一2 = 3 8 9 3 7 9 6 6 2 3 1 0 1 1 f b 一2 ( 2 4 9 ) 这样我们就得到了所有二体问题计算散射截面的参数。包括上面定义的 的f 2 、p s 2 和s 外，还有初态j a c o b i 系数j ，单位转换系数c 。那么即_ 1 2 过程的总微 分散射截面可以记为： d a 2 = c 术j 术f 2 木p s 2 木s ，i cd r l d r 2 d r 3 d r 4( 2 4 1 0 ) 对于更多末态的问题，我们将他化解为多个二体问题得到各自能动量并求出 多体相空间系数。比如三体问题我们可以先将2 、3 末态作为一个整体2 3 ，他们的 不变质量平方为m 2 3 = + m 一2 q e l 。在2 3 和1 的质心系下用总能量q 和不变质 量平方，按式2 4 7 计算出1 的动量大小最大值p 僦z ，用随机函数得到动量大小p 1 ， 然后计算出角度部分和能量且，2 、3 则在质心系下使用m 2 。的不变质量平方用同样 的办法按式2 4 7 得到其中一个动量大小，算出角度后按四动量守恒确定另一个， 再b o o s t 至1 2 3 和1 的质心系下，就得到了1 、2 、3 所有末态能动量。而三体的末态相空 间系数可由以下式子得到： d p s 3 = d p s 2 ( $ 肌pp 2 3 ) 宰d p s 2 ( m 2 3 , p 2 , p 3 ) 警 ( 2 4 11 ) 更高体相空间系数的具体结果参见附录一。更高体的问题，相空间系数的计算则可 以参照式2 4 1 1 化为多个二体问题，或化为多个其他已知多体问题。比如四体相空 浙江大学博士学位论文 间系数可以化为三个二体系数进行计算，也可以化为一个三体一个二体系数，在计 算时需要注意中间量的传递。而在生成多体末态动量时，我们一般的办法是将其分 解为多个二体动量，然后逐级生成，最后逐级b o o s t 至0 初态质心系下，其基本的思路 可参照下式： d p & = d p , _ q 2 ( g 帕pp 2 n ) 木d p s 一1m 2 们p 锄) ，i c 警 = d p ( ，p l ，p 2 n ) 木d p m 2 n ，p 2 ，p 3 t i 木d p & 一2 ( m 3 t l ，p 3 ，p n ) d m ；n 。加；n 十一十一 2 7 r2 7 r = = d p & ( ，p l ，p 2 n ) ，i cd p 岛m 2 n ，p 2 ，p a n ) d 尸m n 一1 ，n ，p n 一1 ，p n ) 水警木警札木警( 2 4 1 2 ，2 7 r2 丌2 7 r 7 其中m 2 佗代表2 到n 的所有粒子的不变质量，而p 2 n 代表在1 粒子和2 到n 的粒子在质 心系下生成的2 到n 所有粒子的动量矢量合成，和p 1 方向相反，大小相等，实际上是 先将2 到n 粒子看成一个粒子，将问题变成2 体问题，后面的所有变量以此类推。附录 一亦给出了三体和四体末态动量生成的过程。 同样的，对n 体末态散射截面的计算我们可以化为对3 n 2 个0 到1 2 _ 间随机数的 积分 o n = d a n = 卜“灯胍p s n 木s 术d r l d r 2 拙( 3 _ 2 ) =1 d r lf o d r 2 f o d r ( a n - 2 ) f ( r 1 , 尼冗( 3 一2 ) ) ( 2 4 13 ) 这个积分实际上是在3 n 一2 维的高维空间下对函数厂( 兄1 ，r 2 r ( a n 一2 ) ) = c 木j 木 f n 木p s 木s 求平均，我们使用蒙特卡罗积分的办法完成这个计算。 蒙特卡罗的办法实际上就是将这样的一个高维连续积分化为离散化的取 样并求平均。做法是取m 个样本，每个样本生成一组n 维的o 到1 之间的伪随机数 列z 1 ( i ) ，x 2 ( i ) z n ( t ) ，代入函数，中生成一个取样值f ( x l ( i ) ，z 2 ( z ) ，x n ( t ) ) ，然后对 所有取样值求平均，得到函数厂的估计值，。 厂= 1 0 1d x 。z 1d x 。1 0 1 蚶( x l ，x 2 x n ) = 击喜m 施加2 ，施) ) ( 2 4 1 4 ) 根据中心极限定理，我们可以得到估计值耐实际值的误差正比于1 砑，在一 维时比起其他积分办法的误差( 正比于1 m ) 比起来，误差的收敛显得比较慢，但 程序实现模拟对撞机物理的基本技术 是在高维时，它的误差仍旧是正比于1 、砑，而其他办法的误差是一个- 9 维度n 有关 的函数( o ( 1 m t n ) 收敛性变得极差。因此在高维时，蒙特卡罗办法是唯一可信的 积分办法。 将散射截面的公式换成计算粒子衰变宽度公武，就可以用蒙卡积分的办法计算 粒子宽度。 这样我们就得到了计算散射截面或粒子宽度的基本流程：首先根据末态数量 生成一组维度为几= 3 n 一2 的【o ，1 】之间的随机数( 计算宽度时维度为3 n 一4 ) 作 为一个取样，其q 2 个用于初态部分子动量生成和p d f 的读取，3 n 一4 个用于末态 动量的生成。然后读取模型初始化参数，p d f 初始化并读取相应初始动量和能量 的p d f 值。再根据末态的运动学生成所有末态动量，计算出末态相空间系数值。接 着将初末态动量输入到不变矩阵元的计算子过程中，乘上p d f 并求和所有子过程得 到不变矩阵元的取样值。这样将初态函数，j a c o b i 系数，单位转换系数，相空间系数 和不变矩阵元取样值乘起来得到一个样本的函数值，然后记录这个值并回到取样， 生成另外一个样本。最后将所有取样值加起来并除以总的投点个数就是我们需要的 散射截面或粒子宽度。 2 5 改进的模拟 上节所述的仅仅是初步的计算。实际的模拟涉及到更多的问题，比如上面的积 分办法是无法用于作截面的运动学分布的，还有一些非稳态粒子的衰变，真实末态 的测量，对探测器的模拟，背景分析等等。我们i j , l h c 上的即_ 国均过程为例，说 明如何进行进一步的模拟。 按上节的办法我们可以得到两个末态t 吾的四动量。t o p 夸克的衰变链一般 是t _ w b j j b g