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山东师范大学硕士学位论文 螺旋相位板及其在光学信息处理中的应用研究 中文摘要 螺旋相位板( s p i r a lp h a s ep l a t e ，简称s p p ) 是一种光学厚度与旋转方位角 成正比的纯相位衍射光学元件，入射平面波通过s p p 的出射光束具有螺旋相位 波前。s p p 作为一种新型的衍射光学元件，已在光信息处理、光学微操纵、生 物医学、形貌测量、天文观测等诸多领域得到实际应用。目前，对s p p 的研究 已经发展为现代光学的一个重要领域。本论文主要研究螺旋相位板作为一种新 型滤波器在光学信息处理中的应用，如实现径向希尔伯特变换、产生任意形状 和阵列光学涡旋、螺旋相衬显微成像以及基于螺旋相位滤波的相移数字全息 等。论文的主要内容包括以下几个方面： 1 概述了螺旋相位板的基本结构、主要类型、研究进展以及主要应用。 2 介绍了螺旋相位板的衍射基本理论，并系统地分析了阶梯型螺旋相位板 的涡旋输出特性。另外，还介绍了其他几种常见的实现螺旋相位变换的 方法：液晶空间光调制器法、干涉型全息图法和相息图法，以及各种方 法的优缺点。 3 分析了螺旋相位滤波成像系统的基本理论及其基本特性，介绍了螺旋相 位板在光信息处理中的主要应用，包括基于螺旋相位滤波器的径向希尔 伯特变换、螺旋相位滤波产生任意形状和阵列光学涡旋以及螺旋相衬成 像，并对螺旋相衬成像的相关结论进行了数字模拟验证。 4 在相移数字全息的理论基础上，基于螺旋相位滤波器的特点，提出了一 种共路相移数字全息成像系统基于螺旋相位滤波的共路相移数字全 息系统：在成像系统的频谱面上放置一个中心带有一通光孔径的螺旋相 位板，在输出面上记录输入物体经螺旋相位滤波后的输出像；如果将螺 旋相位板绕轴旋转一定角度，则通过中心光孔的零频成分与其他高频成 分之间会产生一个与旋转角度成正比的相移。利用这一特点，我们可以 通过记录多幅对应不同旋转角度的输出光场的强度分布图，再利用一定 的相移算法来实现纯相位或一般复振幅物体的记录和再现。通过对上述 方法的理论分析和计算机模拟实验研究，证明了该方法是实际可行的。 关键词：螺旋相位板，光学涡旋，相移，数字全息，径向希尔伯特变换 分类号：0 4 3 8 山东师范大学硕士学位论文 s t u d y o ns p i r a lp h a s ep l a t e sa n di t sa p p l i c a t i o n si no p t i c a l i n f o r m a t i o np r o c e s s i n g a b s t r a c t a s p i r a lp h a s ep l a t e ( s p p ) i sa no p t i c a le l e m e n tw i t ha l lo p t i c a lt h i c k n e s st h a t i n c r e a s e sw i t ht h ea z i m u t h a la n g l es ot h a ta l li n c i d e n tp l a n ew a v ee m e r g e sw i t ha h e l i c a lp h a s ef r o n t a san o v e ld i f f r a c t i o no p t i c a le l e m e n t ，s p ph a sp l a y e da n i m p o r t a n tr o l ei nm a n yr e g i o n s ，s u c ha so p t i c a li n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ，o p t i c sm i c r o m a n i p u l a t i o n ，b i o m e d i c a lp h y s i c s ，t o p o g r a p h ym e a s u r e m e n t a n da s t r o n o m i c a l o b s e r v a t i o n i nt h i st h e s i s ，w ee x p l o r e dt h ea p p l i c a t i o n so fs p pi no p t i c a li n f o r m a t i o n p r o c e s s i n ga san o v e ls p a t i a lf i l t e r ，w h i c hp e r f o r m i n gr a d i a lh i l b e r tt r a n s f o r m ， g e n e r a t i n go p t i c a lv o r t i c e s ，s p i r a lp h a s ec o n t r a s ti m a g i n ga n dp h a s e s h i f t i n gd i g i t a l h o l o g r a p h y t h em a j o rc o n t e n ta n d r e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 w ed e s c r i b e dt h es t r u c t u r ea n dt y p e so fs p p ，a n di n t r o d u c e dt h ed e v e l o p m e n t o fs p pr e s e a r c ha n di t sa p p l i c a t i o n s 2 w em a d ead e s c r i p t i o no fd i f f r a c t i o nt h e o r yo fs p p ，a n da n a l y z e dt h eo p t i c a l v o r t e xd i f f r a c t i o np r o p e r t i e so fs p p w ea l s oi n t r o d u c e ds o m em e t h o d st o a c h i e v es p i r a lp h a s et r a n s f o r m ，s u c ha su s i n gal i q u i dc r y s t a ls p a t i a ll i g h t m o d u l a t o r ，c o h e r e n tc o m p u t e rg e n e r a t e dh o l o g r a m sa n dp h a s eh o l o g r a m s 3 w ea n a l y z e dt h et h e o r yo fs p i r a lp h a s ec o n t r a s ti m a g i n gs y s t e ma n di t s c h a r a c t e r i s t i c s ，a n di n t r o d u c e dt h ea p p l i c a t i o n so fs p pi no p t i c a li n f o r m a t i o n w h i c hc o n s i s to fp e r f o r m i n gr a d i a lh i l b e r tt r a n s f o r m ，g e n e r a t i n go p t i c a l v o r t i c e sw i t ha r b i t r a r ys h a p ea n da r r a ya n ds p i r a lp h a s ec o n t r a s ti m a g i n g f u r t h e r m o r e ，w ev e r i f i e dt h es p i r a lp h a s ec o n t r a s ti m a g i n gm e t h o db yd i g i t a l s i m u l a t i o n 4 o nt h eb a s i so ft h ep r o p e r t i e so fs p i r a lp h a s ef i l t e r , w ep r e s e n t e dan e w p h a s e s h i f t i n gd i g i t a lh o l o g r a p h y ，i e ，c o m m o np a t hp h a s e s h i f t i n gd i g i t a l h o l o g r a p h ys y s t e mb a s e do nas p i r a lp h a s ef i l t e r i n g t h i st e c h n i q u eu s e sa s p i r a lp h a s ep l a t ew i t has m a l lc e n t r a la p e r t u r ep l a c e do nt h ef o u r i e rp l a n eo f a ni m a g i n gs y s t e m i ft h es p i r a lp h a s ef i l t e ri sr o t a t e db yac e r t a i na n g l e a r o u n di t sc e n t r a la x i s ，ap h a s es h i f tb e t w e e nt h ez e r o o r d e rs p a t i a lf r e q u e n c y c o m p o n e n ta n dt h er e m a i n i n go ft h eo b je c ti sp r o d u c e d ，a n dt h em a g n i t u d eo f t h i sp h a s es h i f ti sp r o p o r t i o n a lt ot h er o t a t i o na n g l e u s i n gt h i sp r o p e r t y ，w e v 山东师范大学硕士学位论文 c a nr e c o r das e q u e n c eo f i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o no ft h eo u t p u tb e a m s c o r r e s p o n d i n gt od i f f e r e n tr o t a t i o na n g l e s ，a n dt h e nd i g i t a l l yr e c o n s t r u c tt h e p u r ep h a s eo rc o m p l e x a m p l i t u d eo b je c t sb yu s i n gap h a s e s h i f t i n ga l g o r i t h m b o t ht h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n ds i m u l a t i o ne x p e r i m e n tr e s u l t sd e m o n s t r a t e t h ef e a s i b i l i t yo ft h i sa p p r o a c h k e yw o r d s ：s p i r a lp h a s ep l a t e ，o p t i c a lv o r t e x ，p h a s e s h i f t i n g ，d i g i t a lh o l o g r a p h y ， r a d i a lh i l b e r rt r a n s f o r m s c l cn u m b e r ：0 4 38 v f 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 一( 注： 如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：刘舒凄芋 一字：鲫乃。砖 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权堂撞可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位 论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：京i 功予埒 聊替团 签字日期：2 0 0 年月 日签字日期：2 0 0 年月日 山东师范大学硕士学位论文 第一章综述 螺旋相位板( s p i r a lp h a s ep l a t e ，简称s p p ) 是一种新型的纯相位衍射光学 元件，其透过率正比于e x p ( i l 矽) 。其中矽为绕板中心点的方位角，常称为s p p 的拓扑荷。s p p 作为一种新型的衍射光学元件，可用于产生具有重要理论和实 验研究价值的光学涡旋、实现光学径向希尔伯特变换及相衬显微等，并得到了 越来越广泛的应用。例如，由这种s p p 生成的光学涡旋场的特殊波前结构为研 究涡旋场的生成、相互作用及其传播动力学提供了一种易于观察和测量的研究 对象。光学涡旋的特殊轨道角动量特性在光学微操纵、原子光学、光量子信息 处理等领域具有重要的应用价值。基于s p p 的涡旋相位滤波成像系统在光学图 像处理、相衬显微和天文观测等领域也己显示出独特的优点。因此，近年来对 s p p 及其所产生的光学涡旋的研究已经发展成为现代光学研究领域一个重要前 沿研究课题的；在理论上产生了新的奇点光学理论( s i n g u l a ro p t i c s ) ；在实验 上，已经展示出了广阔的科学应用前景。 1 1 螺旋相位板的研究进展及主要应用 早在1 9 9 2 年，s n k h o n i n a 等人就提出了用s p p 滤波器实现图像边缘增强 的方法【1 1 。他们将利用光刻技术制作的s p p 放在系统频谱面内，输入物体为由 准直h e n e 激光照明的孔径光阑，输出面上得到输入孔径光阑的轮廓图像，虽 然实验结果与数字模拟结果并不是完全吻合，但还是可以看出输出图像具有边 缘增强的效果。2 0 0 0 年，j e f f r e ya d a v i s 等人利用s p p 将一维希尔伯特变换推 广为二维各向同性希尔伯特变换【2 】，即径向希尔伯特变换( r a d i a lh i l b e r t t r a n s f o r m ) ，并进行了理论分析与实验验证；实验中通过在液晶空间光调制器 ( l c s l m ) 上加载相应的相息图来实现螺旋相位滤波，得到了输入图像( 圆 孔、狭缝) 理想的各向同性的边缘增强效果。2 0 0 6 年，c h e n g s h a ng u o 等人提 出了一种新型的拉盖尔高斯空间滤波器【3 】，与普通螺旋相位板相比，利用这种 滤波器实现径向希尔伯特变换可以得到质量更高的边缘增强图像；同年，w e i w a n g 等人提出了利用这种拉盖尔高斯空间滤波器产生的相位奇点进行位移测量 的方法【4 | 。 山东师范大学硕士学位论文 利用螺旋相位滤波器实现径向希尔伯特变换这一方法的提出，为二维图像 信息处理开辟了一个新的研究领域。2 0 0 5 年，s e v e f i nf t t r h a p t e r 与a l e x a n d e r j e s a c h e r 等人指出这种方法不仅可以用于处理宏观振幅型图像( 圆孔、狭缝 等) ，还可应用于光学显微术中来观测微观复振幅或纯相位物体，即螺旋相衬 显微成像 5 1 。螺旋相衬显微成像是将螺旋相位滤波系统与显微观测系统相结合 的方法，这种方法特别适用于观测相位物体，可以得到高对比度、高亮度的相 衬图像，与传统方法( 普通相衬成像法、暗场法) 相比，成像质量明显提高。 若将螺旋相位滤波器的中心区域稍作修改【6 】，即改变滤波面上零频成分的相 位，使零频成分与其它高频成分之间产生一定的相位差，则所得相衬图像中还 会产生定向的阴影效应。阴影的方向可随零频成分的相位改变而连续变化，形 成物体的浮雕状边缘增强效果，更易于观察物体的凹凸细节与形貌轮廓。因 此，螺旋相衬成像可用于检测晶体位错、低相衬生物组织的显微成像等，在光 学显微术中具有良好的应用前景。 螺旋相位板还可用于天文观测，如提取隐藏于亮光源炫光中的弱背景信号 【7 1 。在较亮星体附近的背景信号往往被星体的炫光所遮盖而显得暗淡，利用螺 旋相位板可以通过在亮光内部形成一个暗核的方法来分辨两个光源，这种方法 可显著提高天文观测系统的分辨能力。基于以上特性，螺旋相位板还可用于日 冕仪中，称为光学涡旋日冕仪【8 l ，这种日冕仪利用螺旋相位板可以消除强烈的 恒星光，从而可以清楚地观测到行星。 螺旋相位板还是产生光学涡旋( o p t i e nv o a e x ) 的重要元件。入射平面波通 过s p p 的出射光束具有螺旋相位波前，光束中心具有相位奇点，相位奇点处光 强为零，这种光场称为光学涡旋场。光学涡旋是一种比较独特的光场，它具有 独特的螺旋波前结构和确定的光子轨道角动量，因此可作为新型光镊来控制微 观粒子【9 l ，在光学微操纵领域有很好的应用前景。2 0 0 6 年，c h e n g s h a ng u o 等 人提出利用螺旋相位滤波产生任意形状光学涡旋与阵列光学涡旋的方法【l0 1 。该 方法将螺旋相位板置于4 厂系统的频谱滤波面处，利用计算机程控的s l m 编码 不同的输入图像，则在输出面上即可得到相应的不同形状的涡旋分布，这样可 以通过计算机程控的s l m 实现实时动态的控制输出涡旋场的形状与阵列。这种 方法可应用于复杂结构微粒的操纵、光学涡旋孤子阵列的研究等。另外，根据 s l m 产生的基元光学涡旋的形状，还可判断反射式s l m 的表面变形信息，再 山东师范大学硕士学位论文 根据g e r c h b e r g s a x t o n 算法( 一种迭代相位恢复算法) 可对s l m 的表面变形进 行矫正，这种方法称为利用光学涡旋图形对s l m 的波前矫正法】。 目前，螺旋相位板的类型主要有：( 1 ) 浸入折射率匹配液中的大螺距螺旋 相位板【1 2 】；( 2 ) 通过多重蚀刻技术在石英材料上制作的阶梯型螺旋相位板 【1 3 】：( 3 ) 利用激基激光烧蚀技术在聚酰亚胺衬底上制作的阶梯型螺旋相位板 【1 4 】；( 4 ) 首先由高精密计算机驱动车床的金刚石工具制作一个模型，再向模型 中注入聚合物，然后由紫外线固化，形成螺旋相位板【1 5 】；( 5 ) 利用有裂缝的有 机玻璃板制作的可调型螺旋相位板【1 6 】；( 6 ) 电子束写入感光胶片形成螺旋相位 板【1 7 】：( 7 ) 多层汽相沉积法制作的螺旋相位板1 8 】；( 8 ) 液晶螺旋相位板( l c s p p ) 1 9 】；( 9 ) 利用加载于计算机程控的液晶空间光调制器( l c s l m ) 上的计 算全息图作为螺旋相位板【1 0 ，2 0 1 。国内较常用的为第( 9 ) 种，其优点是利用 l c s l m 的可程控性，通过计算机编码不同的全息图加载于l c s l m 上，可以实 现实时动态的螺旋相位变换。 阶梯型螺旋相位板( m u l t i 1 e v e ls t e ps p i r a lp h a s ep l a t e ，简称m l s p p ) 也是一 种常用的螺旋相位板。理想的螺旋相位板的相位变化是平滑连续的，但由于制 作工艺的限制，所以实际应用中常用阶梯型螺旋相位板来代替，其相位以阶梯 的形式步进，表面结构类似于旋转阶梯。2 0 0 4 年，k s u e d a 等人用实验证实了 可以用阶梯型螺旋相位板产生l g 光束【l8 1 ，他们通过多层汽相沉积技术制作了 一个直径为8 c m 、拓扑荷l = 1 的1 6 阶的m l s p p ，这种m l s p p 可工作于超短 高强度激光脉冲，将l g o o 模转换为l g 0 1 模；经实验分析，利用m l s p p 所得 的实验结果与利用理想螺旋相位板的数字模拟结果几乎完全吻合，即所制作的 m l s p p 可以代替理想螺旋相位板来使用。2 0 0 5 年，q w a n g 等人分析了阶梯 型液晶s p p 的阶梯数与产生光学涡旋拓扑荷的纯度之间的关系【19 1 ，并得出光学 涡旋拓扑荷纯度高于9 4 时所需m l s p p 的最小阶梯数。 此外，若m l s p p 的相位阶梯数固定不变，当相邻两阶的相位差取某些特 定值时，输出涡旋光场会具有不同重要特性，如纯度最高、轨道角动量最大等 【2 ，这些不同特性的涡旋光场可用于不同目的的光学微操纵。 综上所述，入射平面波通过s p p 的出射光束具有螺旋相位波前，即光学涡 旋场。作为产生光学涡旋的种高效光学元件，s p p 可应用于冷原子的光波 导、高效激光捕获、激光光镊等领域。同时，s p p 还可作为一种新型空间滤波 山东师范大学硕士学位论文 器用于图像信息处理中，如产生径向希尔伯特变换、相衬显微成像及天文观测 等。 1 2 本论文的主要研究内容 作为一种新型光学衍射元件，螺旋相位板日益受到人们的重视，对螺旋相 位板的研究已经逐渐成为现代光学的一个重要领域。本论文对螺旋相位板的基 本理论及其衍射特性进行了较系统的分析，并介绍了螺旋相位板在光学信息处 理系统中的应用。本论文研究和论述的主要内容包括： 1 第二章首先介绍了螺旋相位板的衍射基本理论，并系统地分析了阶梯型 螺旋相位板的涡旋衍射特性。另外，还介绍了其他几种常见的实现螺旋 相位变换的方法：液晶空间光调制器法、干涉型全息图法和相息图法， 以及各种方法的优缺点。 2 第三章分析了螺旋相位滤波成像系统的基本理论，总结性的介绍了螺旋 相位板在光信息处理中的应用，主要包括基于螺旋相位滤波器的径向希 尔伯特变换、螺旋相位滤波产生任意形状和阵列光学涡旋以及螺旋相衬 显微成像，并对螺旋相衬成像的相关结论进行了数字模拟验证； 3 第四章首先介绍了相移数字全息技术的发展，并在相移数字全息的理论 基础上，基于螺旋相位滤波器的特点，提出了一种共路相移数字全息成 像系统基于螺旋相位滤波的共路相移数字全息系统，并通过理论与 计算机模拟证实了该方法的可行性。 山东师范大学硕士学位论文 第二章螺旋相位板的衍射特性 螺旋相位板( s p p ) 作为重要的衍射光学元件，目前已应用于光学微操 纵、光信息处理等诸多领域。螺旋相位板的衍射特性是其应用研究的理论基 础。本章首先介绍螺旋相位板的近场与远场衍射基本理论，并着重分析阶梯型 螺旋相位板的衍射特性。 2 1 螺旋相位板n 1 螺旋相位板是一种光学厚度与旋转方位角矽成正比的纯相位衍射光学元 件，其透过率正比于e x p ( i 矽) ，其中，常称为s p p 的拓扑荷。入射平面波通过 s p p 的出射光束具有螺旋相位波前，光束中心具有相位奇点，相位奇点处光强 为零，这种光场称为光学涡旋。光学涡旋是一种比较独特的光场，它具有独特 的螺旋波前结构，并且光场中每个光子都具有确定的轨道角动量扬。图2 1 为 卢1 时s p p 的输出光学涡旋的螺旋波面示意图。 图2 1s p p 输出光学涡旋的螺旋波面( 卢1 ) 螺旋相位板的复振幅透过率函数可表示为： h ( p ，矽) = e x p ( i l q k ) ， ( 2 1 ) 其中，( p ，) 为s p p 所在面内的极坐标，为拓扑荷( 一般为整数) ，为为绕 板中一t s , 点的方位角，绕中心一周的相位变化为2 l e t 。 考虑l = 1 的情况，观察面光场的复振幅分布f ( p ，z ) 由s p p 所在面内复振 幅分布通过汉克尔fh a n k e l ) 变换得到： m 肌垆( 唧( i 云k 户2 r 唧( ? 叁广! ) “乡卜， 2 ， 山东师范大学硕士学位论文 式中忌为光波波矢，r 为s p p 的通光半径，z 为s p p 到菲涅耳衍射区内观察面的 距离，( 户，少) 与( r ，y ) 分别为观察面与s p p 所在面内的极坐标，j ，( x ) 第一类的 一阶贝塞尔函数。 已知积分公式 j c o e 坤( 一胁2 ) ( “) x 出= 蠢( 詈) “2e x p ( r 8 b ) f l 讥。f ，。s b l ) + 以( 嘉) ，c 2 - 3 ， 其中j o ( x ) 为零阶贝塞尔函数。 若假设( 2 1 ) 所描述的s p p 的通光半径r 为无穷大，由平面单色光照明， 则由( 2 2 ) 、( 2 3 ) 式可得到菲涅耳衍射区内相干光场光强的径向分布表达 式 咖，z ) = l f ( p 肌z ) 1 2 = _ x 2 以( x 2 ) + 彳( x 2 ) ， ( 2 4 ) 其中x = ( p 2 ) ( k z ) “2 。 由( 2 4 ) 式可看出：光在s p p 后传播时，光束中心的低能区范围随z 的增 大而扩大；低能区范围的有效半径与( z k ) “2 成正比。 ( 2 4 ) 式是在假定s p p 的半径r 为无穷大的情况下得到的，当p 趋于无穷时光强7 并不随之减小而是 近似的趋于一个确定值。 另一方面，( 2 1 ) 所描述的s p p 的夫琅和费衍射区光场复振幅分布为： f ( p ，) = 手e x p ( z 少) r 。( 手，p ) ，咖， c 2 5 ) 式中厂为傅里叶透镜的焦距。 已知积分公式 r 州x ) x w = 吾x m ( x ) - 4 ( x ) 一山( x ) q ( x ) ， ( 2 - 6 ) 其中( 石) 为s t r u v e 函数。 由( 2 5 ) 与( 2 6 ) 式可得平面单色光照明时，s p p 后远场衍射区的光强分 布： 咖) = 匕甜 州帆_ 卟) 2 ， ( 2 - 7 ) 山东师范大学硕士学位论文 其中x = f k r f ) p 。 ( 2 7 ) 式表明光强的径向分布从，( p = 0 ) = 0 增大到最大值，当p 趋于无 穷时，l ( p 1 以p 一的形式减d 、。光强最大值位于p o 2 f 2 r 处，其中 五= 2 万k 。 ( 2 - 7 ) 式所描述的光场就是光学涡旋。图2 2 为l = i 时s p p 的输出 光学涡旋的相位分布与强度分布。 卜| 一赣j 一划 ( a ) 相位分布( b ) 强度分布 图2 2 ，= 1 时s p p 输出光学涡旋的相位分布及强度分布 2 2 阶梯型螺旋相位板及其涡旋谱分析叫1 理想的螺旋相位板的相位变化是平滑连续的，但由于制作工艺的限制，所 以实际应用中常用阶梯型螺旋相位板( m u l t j 1 e v e ls t e ps p i r a lp h a s ep l a t e ，简称 m l s p p ) 来代替，其相位以阶梯的形式步进，表面结构类似于旋转阶梯。 m l s p p 由多个相位单元组成，用分立的相位阶梯来模仿连续平滑的相位 坡道。图2 3 为一个阶梯型螺旋相位板的简图【2 2 1 。 图2 - 3 阶梯型螺旋相位板 当光束通过透明的螺旋相位板时，由于s p p 的螺旋形表面使透射光束光程 的改变不同，引起相位的改变量电不同，从而使透射光束产生一个螺旋相位因 山东师范大学硕士学位论文 子。在光束发散量较小并且螺旋板的步幅高度h 不算很大的情况下，s p p 对透 射光束的强度基本上没有影响，可以认为是一个纯相位型的调制工具。 s p p 的厚度h 与旋转方位角痧成正比【22 1 ，即 向：+ 九兰， ( 2 8 ) 二以 式中h 。为s p p 的基底厚度，h ，为台阶厚度。 s p p 使入射光束产生的相位延迟为 n ， 小一2 万l ( ，2 一n o ) 红矽 o ( 矽，五) 27 z 刀- l 半 z 刀 ( 2 9 ) 式中行、行。分别为s p p 的折射率及其周围介质的折射率，五为入射光波长，a o 的大小取决于旋转方位角矽。取s p p 的拓扑荷为，= h ，( i l n o ) i x ，则当矽由。增 大到2 s t 时，o 的增量( 相移量) 为2 l e t ；若m l s p p 有m 个相位阶梯，则相 邻两阶的相位差为2 l r c m 。 图2 4 为拓扑荷为3 的理想螺旋相位板和阶梯型螺旋相位板的相衬图。( a ) 为理想螺旋相位板，它的相位改变是连续的；( b ) 为阶梯型螺旋相位扳，其相位 改变是阶梯状的，共有2 4 个相位阶梯，相邻两阶的相位差为万4 。 哆v 图2 4f _ 3 的理想的螺旋相位板和阶梯型螺旋相位板( 相衬图) 2 2 1 阶梯型螺旋相位板的涡旋谱分析 阶梯型螺旋相位板的透过率可表示为 山东师范大学硕士学位论文 帅脚刊以铷p 卅。d ( 蛾鲥c 警2 万 ， 陆 其中r 为m l s p p 的有效通光半径，a o 表示相邻相位阶梯的相位差，函数 c e i l ( x ) 给出大于等于z 的近似整数，m o d ( x ，y ) 给出x y 的余数，c i r c ( p r ) 表 示半径为r 的圆形孔径函数。 由于h ( p ，矽) 是方位角矽的周期函数，周期为2 x 。所以我们可以将其展开 为傅里叶级数 + h ( p ，矽) = 咖c ( 等) c i , e x p ( i l o ) ， ( 2 11 ) 上l ，= 一 其中， c f ，= 去卜【f 毗纵等) e x p ( 卅d = 去h 卅吾) 一恪出一引垅 o p 我们可以假设，= m a 事5 _ 2 n 为整数，称为m l s p p 的本征( 或固有) 拓扑 荷，则上式可简化为 c ，- e x p ( i - 刍- - ) s i n c ( 台) ，卜卜胍k = 0 , + 1 , + 2 , - - - 。( 2 1 1 3 ) 【0， o t h e r s 由以上的分析可以看出，平面波入射时，经过m l s p p 后的透射光场仅含 有拓扑荷满足，= ，一k m 的光学涡旋分量，其中k = o ，1 ，2 ，。拓扑荷为z ，的 涡旋分量的相对强度为 l 啪1 2 = 8 i n c 2 ( 备) ， r _ ，一脚，拈0 ，+ 1 ，+ 2 ，。 ( 2 - 1 4 ) 【0 ， o t h e r s 图2 - 5 为3 6 阶m l - s p p ( m = 3 6 ) 的输出涡旋谱分析图，( a ) 一( d ) 对应相邻两 阶相位差a o 分别为2 n 9 、耽、2 兀3 与冗的情况。 山东师范大学硕士学位论文 1 0 0 8 参 o t - 0 6 c 宝0 4 仍 罡0 2 o 0 参 历 c 旦 g 2 肖 面 叱 一2 0 0 一，5 0 1 0 0 5 005 01 0 0 5 02 0 0 t o p o l o g i c a lc h a r g e ，7 1 0 o 8 o 6 0 4 o 2 套 。历 c m 妄 之 旦 叱 - 2 0 0 1 5 0 1 0 0 一5 005 01 0 01 5 02 0 0 t o p o l o g i c a lc h a r g e ， 1 o o 8 j m 1 - 0 6 c 詈0 4 啊 罡0 2 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 05 01 0 01 5 02 0 02 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 5 00 5 0 1 0 01 5 02 0 0 t o p o l o g i c a lc h a r g el tt o p o l o g i c a lc h a r g el r ( c )( d ) 图2 53 6 阶的m l s p p 的输出涡旋谱，相邻两阶的相位差分别为： ( a ) 2 n 9 ，( b ) n 2 ，( c ) 2 n 3 ，( d ) 兀。 由涡旋谱分析可知，当相邻两阶相位差a o 小于2 n 9 ( 或m i 9 ) 时， z = ，的涡旋分量( 称为主光学涡旋) 占总能量的9 6 ，这说明出射光为高纯度 的光学涡旋。当a o 增大( 即，增大) 时，主涡旋分量减少，次涡旋分量增加。 图2 - 6 为主涡旋分量的相对强度与a o 的关系曲线。 0 8 6 4 2 l o 0 0 o 山东师范大学硕士学位论文 图2 - 63 6 阶m l s p p 的输出主涡旋分量的相对强度与o 的关系曲线 由以上分析可知，可利用3 6 阶的m l s p p 产生纯度高于9 6 的，4 的涡 旋光。 因为光学涡旋的轨道角动量正比于拓扑荷与光子数( 光强) 的乘积，我们 可以在( 2 1 4 ) 式的基础上进一步计算出各涡旋分量的轨道角动量： 只，= 彳，s i n c 2 ( 吾) ，= ，一k m ( 尼= o ，1 ，2 ，) ， ( 2 - 15 ) 其中a 为一常量。 出射光场的总轨道角动量为 e t o i 彳驯勺1 2 = 彳荟( j 一脚) s i n c 2 ( 古卅 ：筌挚竺二! 壶二生。2 舶) 万2 羔( ，一k m ) 图2 7 为出射光场的轨道角动量与之间关系的模拟曲线。模拟过程中， m l s p p 的阶数m = 3 6 ，的变化范围限定在一万刀之间。图2 7 中的曲线 a 、b 、c 分别给出z = ，的主涡旋分量、，= ，一k m ( 或，= z + k m ， o ) 的次级涡旋分量以及全部出射光的轨道角动量与的关系。 山东师范大学硕士学位论文 图2 7 出射光场轨道角动量与的关系曲线 由图2 7 中曲线a 可看出，主涡旋分量的轨道角动量在1 3 n 1 8 ( ，1 3 ) 处达到最大值。次级涡旋分量的轨道角动量( 见曲线b ) 为反方向， 因为 万( 或k m ) ，其大小依然随中的增大而增大，且在= 刀处达到 与主涡旋相同的值。由曲线c 可看出，出射光场的总轨道角动量在石2 ( 或m i , 4 ) 处取最大值，且此最大值小于主涡旋轨道角动量的最大值，这是 因为存在两组相反拓扑荷的涡旋分量相互抵消的结果。当= 石( 或m l = 2 ) 时，出射光场的总轨道角动量减小为0 。这种情况对应于图2 。5 ( d ) ，出射光 的涡旋谱关于零点对称：例如，主涡旋与次涡旋的拓扑荷绝对值相同，能量也 相同( 约占总能量的4 0 ) 。 根据以上分析可知，对一阶数固定的m l s p p ，我们可以通过选择特定的 而得到如下不同特性的输出涡旋光场：高纯度的光学涡旋、输出光场总轨 道角动量最大、主涡旋具有最大轨道角动量：输出光场总轨道角动量为零。 2 2 2 阶梯型螺旋相位板涡旋谱的数字模拟 图2 8 为2 2 1 中所述四种情况的数字模拟结果，m l 。s p p 的阶梯数 m = 3 6 ，图2 8 ( a 1 ) 为o = 2 n 9 ( 或卢4 ) 的m l s p p 的相衬图，与其对应的 聚焦输出光场如图2 8 ( b 1 ) 所示，可看作7 - 4 的纯光学涡旋，占总能量的 9 6 ；若增加相邻相位阶的相位差，当7 2 ( 或卢9 ) 时，m l s p p 的相衬 图及相应的聚焦输出光场分别如图2 8 ( a 2 ) 、( b 2 ) 所示，此时输出光场的总 角动量取最大值，可用于操纵尺寸大于主涡旋环的微粒。图2 8 ( a 3 ) 、( b 3 ) 一n毋一e三coeoe j e | n a c 山东师范大学硕士学位论文 为o = 1 3 7 r 1 8 ( 1 = 1 3 ) 的情况，即输出光场的纯度( 6 4 ) 较低，但主涡旋环 具有最大轨道角动量，这种结构非常适用于操纵尺寸等于或小于主涡旋环的微 粒，不受位于主涡旋环外的其它涡旋成份的影响。最后，图2 8 ( a 4 ) 、 ( b 4 ) 为= 石的情况，此时主涡旋与次涡旋的拓扑荷大小相等( 川= m 2 ) ，但 涡旋方向相反。主涡旋与次涡旋相干叠加，结果使主亮环变为如图2 8 ( b 4 ) 所 示的环状周期性点阵，可作为光学齿镊用于光学微操纵。 山东师范大学硕士学位论文 图2 8 ( a 1 ) 一( a 4 ) 为= 2 ；r 9 ，7 2 ， 13 万18 与刀时的3 6 阶m l s p p ( 相 衬图) ；( b 1 ) - ( b 4 ) 为相应的聚焦输出光场强度分布。 总之，m 阶的m l s p p 输出光场由拓扑荷，= ，一k m ( k = 0 ，1 ，2 ，) 的 涡旋分量组成，为m l s p p 的本征拓扑荷。我们可以通过改变m l s p p 的相邻 相位阶的相位差( 或改变比值m ) ，从而获得具有不同重要特性的输出光 场。以上结论为设计不同用途的阶梯型螺旋相位板提供了重要的理论依据。 实际实验中所使用的阶梯型螺旋相位板可以通过激光直写、多阶汽相沉积 及二元光学等技术途径来实现，但制作工艺较复杂，并且制作完成后其相位调 制特性就不可改变了，灵活性较差。利用液晶空f 司光调制器代替阶梯型螺旋相 位板来实现螺旋相位变换，可以克服这方面的缺点，实现实时动态波面变换。 液晶空间光调制器( l i q u i dc r y s t a ls p a t i a ll i g h tm o d u l a t o r ，简称l c s l m ) 是一种基于液晶分子电致双折射效应的有源波面变换器件。根据写入信号的不 同，空间光调制器可分为光寻址型和电寻址型两种，其中电寻址型空间光调制器 因带有计算机视频接口，具有良好的可程控、数字化和动态实时显示特性，得 到了广泛应用。l c s l m 在投影显示等几何光学成像的应用中，涉及的主要是其 对入射光强度的调制特性。而在现代光学信息处理中，则主要是把l c s l m 作为 衍射波面变换器件来使用。例如，把计算机设计的衍射光学元件直接显示到计 算机实时控制的空间光调制器上，利用衍射光学和程控高分辨率液晶空间光调 制器相结合形成的动态全息波前变换技术，可实现对入射光波的实时或动态调 制【2 3 ，2 4 1 。 因此，我们可以将2 2 1 中设计好的m l s p p 加载于在计算机实时控制的 l c s l m 上，作为螺旋相位板来使用，具有快速、便捷的优点。另外，还可以将 计算全息图显示在l c s l m 上，实现螺旋相位变换。 山东师范大学硕士学位论文 2 3 螺旋相位变换的计算全息法 计算全息是利用计算机设计制作全息图或衍射光学元件的技术。与传统的 光学全启、不同，计算全息利用计算机程序对被记录物波的数学描述或离散数据 进行处理，形成- - ：r e 可以光学再现的编码图案，即计算全息图f c o m p u t e r g e n e r a t e dh o l o g r a m ，简称c g h ) 。由于编码的多样性和波前变换的灵活性， 以及近年来计算饥技术的飞速发展，计算全息已经成为一种较通用的实现光学 波前变换的滤波方法。传统的计算全息图是先在计算机上计算出全息图，再用 绘图或打印设备转移到透明片上制成的，现在随着高分辨率液晶空间光调制器 的出现，将计算全息图直接显示在l c s l m 上的计算全息波前变换得到广泛应 用。 2 3 。1 干涉型计算全息图法 干涉型计算全息图法是在入射的高斯光束中引入相位奇点，由于奇点的引 入，全息图一般都是中心存在位错的周期型光栅，位错的数目即螺旋相位滤波 器的拓扑荷，。用基模高斯光照射全息图时，再现的一级衍射光波就含有 e x p ( i b ) 相位因子。图2 9 ( a ) 是用于螺旋相位变换的典型计算全扈、图，其中心错 位数为f 5 ，图2 9 ( b ) 是与该全息图相应的输出涡旋光场的强度分布。 图2 - 9 ，= 5 的干涉型计算全息图及其相应的输出光场强度分布 图2 - 9fa ) 所示的干涉型全，皂、图是由平面参考波与螺旋波前函数e x p ( i l b ) 干 涉得到的，其透过率函数为2 5 山东师范大学硕士学位论文 啪m 唧卜s ( 2 z r 刮) ( 2 - 1 7 ) 式中( 户，矽) 为全息图面内的极坐标，人为全息光栅的周期，其大小由设计全息 图时所用参考平面波与光轴的夹角决定，口是用于显示该全息图的l c s l m 的 相位调制幅度，h o 是吸收系数。 另外，还可利用球面波与螺旋波前函数干涉所得全息图来实现螺旋相位变 换2 6 1 。干涉型全息图法实现螺旋相位变换的优点是：灵活、便捷、容易控制输 出光学涡旋的参量；缺点是衍射效率较低。 2 3 2 相息图法 1 9 6 8 年，l e s e m 2 7 】等人提出了一种全新的计算全息图形式：相息图。与一 般计算全息图不同，相息图是在假设待记录光波的振幅为常数的前提下，只记 录光波相位信息的全息图。相息图的最大优点是衍射效率非常高，原因在于相 息图只改变入射光的相位，不改变其强度。用光束照明相息图后仅产生单一的 波面，没有共轭像或多余的衍射级次。 传统制作相息图的方法依赖于对胶片的显影和漂白处理，通过改变胶片的 光学厚度来调制物波相位