11由2012年三道高考解析几何题得到的圆锥曲线性质.doc

由2012年三道高考解析几何题得到的圆锥曲线性质高考题1(2012福建文21)如图1，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上.(I)求抛物线的方程；(II)设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点.证明以为直径的圆恒过轴上某定点.图1 (参考答案：(I)；(II)以为直径的圆恒过轴上的定点(0,1).)高考题2(2012福建理19)如图2，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率.过的直线交椭圆于两点，且的周长为8.(I)求椭圆的方程(II)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.图2(参考答案：(I)；(II)在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点，且点的坐标是(1,0).)高考题3(2012安徽理20)如图1，点分别是椭圆的左、右焦点，经过作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线垂线交直线于点.图3(I)如果点的坐标是(4,4)，求此时椭圆的方程；(II)证明：直线与椭圆只有一个交点.(参考答案：(I)；(II)略.)文献1研究了高考题1,2的一般情形(专著2第55-56页的文章也早就研究了它们)，本文由这三道高考题又得到了圆锥曲线的两条性质.定理1设圆锥曲线(椭圆、双曲线或抛物线)的一条准线及其对应的焦点分别是.(1)若过准线上任一点作两条直线分别与切于点，则点共线且；(2)若过焦点作直线分别与交于点，再过点分别作的切线交于点，则点在准线上且；(3)过上的任一点作的切线能交准线于点，若的与准线垂直的对称轴上的定点满足恒成立，则定点重合且直线与也相切(其中点是直线与的另一交点)；(4)过上的点作直线与准线交于点，则直线与相切.为证明定理，先给出两个引理(见专著2第22页)：引理1 (1)若是椭圆上一点，则该椭圆以点为切点的切线方程是；(2)若是双曲线上一点，则该双曲线以点为切点的切线方程是；(3)若是抛物线上一点，则该抛物线以点为切点的切线方程是.引理2 (1)若是椭圆外一点，切该椭圆于，则切点弦的方程是；(2)若是双曲线外一点，切该双曲线于，则切点弦的方程是；(3)若是抛物线外一点，切该抛物线于，则切点弦的.定理1的证明 先证抛物线的情形.可不防设，得.(1)可设，由引理2(3)，得，所以得点共线.当及时，均易证得.(2)因为直线的斜率一定存在，所以可设其方程为，又设.由引理1(3)，得，所以，即点在准线上.由及，得，所以.又，可证.(3)设，由引理1(3)，得，所以可求得它与准线交于点，又，设，由可证得定点重合.再由结论(2)及同一法，可得欲证成立.(4) 由结论(1)得. 易知点不是的顶点，所以可不妨设点在轴的右方.过点作抛物线的右半支的切线，切点为.由“”的结论，得.又，可得点重合，所以直线与相切.再证椭圆的情形.可不防设，得.(1)可设，由引理2(1)，得，所以得点共线.当及时，均易证得.(2)可设，又设.由引理1(1)，得，所以，即点在准线上.由及,得，即.又，可证.(3)设，由引理1(3)，得，所以可求得它与准线交于点，又，设，由可证得定点重合.再由结论(2)及同一法，可得欲证成立.(4) 由结论(1)得. 这里只证是焦点在轴上的椭圆情形.易知点不是长轴的端点，所以可不妨设点在轴的上方.过点作上半椭圆的切线，切点为.由“”的结论，得.又，可得点重合，所以直线与相切.最后证双曲线的情形.可不防设，得.(1)可设，由引理2(1)，得，所以得点共线.当及时，均易证得.(2)可设，又设.由引理1(1)，得，所以，即点在准线上.由及,得，即.又，可证.(3)设，由引理1(3)，得，所以可求得它与准线交于点，又，设，由可证得定点重合.再由结论(2)及同一法，可得欲证成立.(4) 由结论(1)得. 这里只证是焦点在轴上的双曲线的情形.易知点不是实轴的端点，所以可不妨设点在轴的上方.过点作的上半部分的切线，切点为.由“”的结论，得.又，可得点重合，所以直线与相切.定理2 (1)设是焦点在轴上的椭圆或双曲线(其离心率是，左、右焦点分别为，左、右准线分别为)，过曲线上的任一点(但不在轴上)作的切线交分别于点，则(当存在时)，(当存在时)；(2)设是焦点在轴上的椭圆或双曲线(其离心率是，左、右焦点分别为，直线分别是的过左、右顶点的切线)，过曲线上的任一点(但不在轴上)作的切线交分别于点，则；(3)设抛物线的准线及焦点分别是，的过顶点的切线是，过上的不是顶点的任一点作的切线，与分别交于点，则.证明 (1)由定理1(1)立得.下面再给出一种统一的证明.这里只证双曲线的情形，并且只证(当存在时).设双曲线，可得双曲线过点的切线方程为，所以.可得.由，可得.(2)这里也只证双曲线的情形.设双曲线，可得双曲线过点的切线方程为，所以.可得.由，可得.(3)可不防设，直线即轴，切线，可得，所以无论是否存在，均可