（概率论与数理统计专业论文）几类具有相依性的风险模型的研究.pdf

摘要 风险理论是精算学的基础，而其核心问题是破产理论的研究。本 文中我们在经典风险模型的基础上构造了三类随机变量具有相依性 的风险模型并对它们进行了研究，得到了与破产相关的一些变量的表 达式或性质。 本文主要由六部分组成。 在第一章中我们简单介绍了风险理论的历史沿革、发展现状及主 要成果，其中重点阐述的是有关古典风险模型的问题，而且给出了本 文研究的主要内容和主要结果。 在第二章中，我们简单介绍了条件期望、卷积、l a p l a c e 变换， 点过程、鞅等一些基础知识，并列出了文章中几个常用的定理。这些 知识是本文的理论基础。 第三章我们研究了索赔到达计数过程相依的双险种风险模型。模 型中我们考虑：发生了两类索赔，其中一种索赔( 称为主索赔) 导致 另一种索赔( 称为副索赔) 的发生并且主、副索赔发生的计数过程相 依。文中首先给出了主索赔以齐次p o i s s o n 过程到达的情况下、保费 以常数率收取时零初始盈余的破产概率及初始盈余为时的破产概 率。文中也对保费到达为随机过程时的破产概率进行了讨论，得到了 连续时间情形中破产概率的表达式及l u n d b e r g 上界估计，并给出了 一般证明方法和鞅方法证明。 第四章我们研究了索赔时间间隔与索赔额相依的风险模型。模型 中我们将单险种经典风险模型中索赔时间间距序列与索赔额之间由 原来的独立改进为相依的风险模型，并引入了一阈值随机变量么与索 赔额进行比较，得到了保费到达过程为齐次p o i s s o n 过程、初始盈余 为o 时的破产概率的确切表达式以及更一般的保费收取为随机的情 形下的l a p l a c e 变换表达式。 第五章我们研究了索赔额、保费与索赔时间间隔相依的风险模 型，本章在第四章的基础上从另外一个角度改进了经典风险模型。模 型考虑单险种、保费随机收取，且保费的收取随索赔额的变化而变化， 索赔时问间隔也相应变化的情况。我们得到了这种情况下破产概率的 积分方程。 第六章是内容相对独立的一章。本章我们考虑了常利率离散时间 更新风险模型。首先给了本模型下总索赔过程的概率分布函数递推表 达式，然后得到了有限时间生存概率的递推表达式和最终生存概率的 递推表达式，最后对最终破产概率给出了指数上界估计。 关键词风险模型，破产概率，l a p l a c e 变换，鞅，相依 a b s t r a c t t h er i s kt h e o r yi st h eb a s i c d i s c i p l i n e o f l e a r n i n g f i n a n c i a l m a t h e m a t i c sa n dt h ea c t u a r i a lm a t h e m a t i c so fi n s u r a n c ea n di t sc o r ei s t h es t u d yo ft h er u i nt h e o r y i nt h i st e x t ，b a s e do nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ， w ec o n s t r u c ta n dr e s e a r c ht h r e ek i n d so fn e wr i s km o d e l sw i t h d e p e n d e n c e f i n a l l yw eo b t a i ns o m ee x p r e s s i o n so rc h a r a c t e r so ft h e v a r i a b l e sa b o u tr u i n s i xc h a p t e r sc o n s t i t u t et h i st e x t i nt h ef i r s tc h a p t e r , w es i m p l yi n t r o d u c et h eh i s t o r y , t h ep r e s e n t d e v e l o p m e n to ft h er i s kt h e o r ya n dt h em a i nr e s u l t ，a n dw ee s p e c i a l l yp a y m o r ea t t e n t i o no nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l f i n a l l yw ep r e s e n tt h em a i n c o n t e n to ft h i st e x ta n dt h em a i nr e s u l to f m yr e s e a r c h i nt h es e c o n d c h a p t e r ，w eo u t l i n e t h e k n o w l e d g e a b o u t c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n ，l a p l a c et r a n s f o r m ，p o i n tp r o c e s s ，m a r t i n g a l ee t c w ea l s oo u t l i n es o m eu s e f u lt h e o r e m s t h i sk n o w l e d g ei sa l s ot h e f o u n d a t i o no ft h et e x t i nt h et h i r dc h a p t e r , w es t u d ya n dc o n s t r u c tan e wd o u b l e m u l t i p l e r i s km o d e lw i t hc o r r e l a t e dc l a i ma r r i v i n gp r o c e s s i nt h em o d e l ，w e c o n s i d e rt h a tt h e r ea r et w ok i n do fr i s kh a p p e n e d o n e ( m a i nc l a i m ) r e s u l t si nt h eo t h e r ( b y c l a i m ) a n dt h e i ra r r i v i n gt i m ei sc o r r e l a t e d i nt h e p a p e r , w eg e tr u i np r o b a b i l i t i e sw h e nb e g i n n i n gr e s e r v ei se q u a lt oz e r o a n dug i v e nt h a tm a i nc l a i m sa r r i v e sb yp o i s s o np r o c e s sa n dp r e m i u m r e c e i v i n gb yc o n s t a n tr a t i o f i n a l l yw ed e r i v et h er u i np r o b a b i l i t i e sa n d l u n d b e r gu p p e rb o u n dw h e np r e m i u mr e c e i v e sb yr a n d o mw a y , a n db y t h ew a yw ep r e s e n tb o t hc o m m o np r o o fa n dm a r t i n g a l ep r o o f i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w es t u d yar u i nm o d e lw i t hd e p e n d e n c e b e t w e e nc l a i ms i z e sa n dc l a i mi n t e r v a l s i nt h em o d e l ，w ei m p r o v e i n d e p e n d e n c ei nc l a s s i c a lr i s km o d e la b o u tc l a i ms i z e sa n dc l a i mi n t e r v a l s b yd e p e n d e n c e ，a n di n t r o d u c ear a n d o mv a r i a b l e w h i c hc o m p a r e s w i t hc l a i ms i z e s f i n a l l yw ed e r i v et h er u i np r o b a b i l i t i e sa l g o r i t h m sw h e n p r e m i u ma r r i v i n gp r o c e s sl sc o n s t a n tr a t i oa n db e g i n n i n gr e s e r v el sz e r o ， a n dg e n e r a l l yw h e np r e m i u ma r r i v i n gp r o c e s si sp o i s s o np r o c e s sw eg e t l a p l a c et r a n s f o r ma l g o r i t h m so fr u i np r o b a b i l i t i e s i nt h ef i f t hc h a p t e r w es t u d yar u i nm o d e l 、析t hd e p e n d e n c eb e t w e e n c l a i ms i z e sa n dp r e m i u ms i z ea n dc l a i mi n t e r v a l s i nt h i sc h a p t e r , w e i m p r o v et h er i s km o d e lf r o mt h eo t h e rp o i n to fv i e wb a s e do nc h a p t e r f o u r w ec o n s t r u c tt h em o d e lb y c o n s i d e r i n gp r e m i u mr e c e i v i n gr a n d o m l y a n dc l a i mi n t e r v a l sa r ea f f e c t e db yc h a n g e so fc l a i ms i z ea n dp r e m i u m s i z e w eg a i ni n t e g r a le q u a t i o n sa b o u tt h i sm o d e l i nt h es i x t hc h a p t e r , w ec o n s i d e rad i s c r e t et i m er e n e w a lr i s km o d e l u n d e rc o n s t a n ti n t e r e s tr a t e w eo b t a i nr e c u r s i v ea l g o r i t h mf i n i t e t i m e n o n - r u i np r o b a b i l i t y , a n df i n i t e - t i m en o n - r u i np r o b a b i l i t ya n di t s u p p e r b o u n d k e yw o r d sr i s km o d e l ，r u i np r o b a b i l i t y , l a p l a c et r a n s f o r m ，m a r t i n g a l e ， c o r r e l a t e i v 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名： 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留j 使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文：学校可根 据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 丛 年且月干日 硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 本章分三部分来简单介绍风险理论的实际背景与模型的数学描述、发展 历史与现状以及本论文研究的模型和内容提要。 1 1 风险理论简介 当今社会无论是自然环境还是社会环境中都充满着风险，而处理风险的有效 方法之一就是保险。于是保险公司应运而生。保险公司是经营风险的特殊金融服 务机构，它经过评估保险标的的风险大小，以收取合理的保费为条件，一旦保险 标的发生损失，公司即按保险合同规定的保险责任赔付被保险人的损失。保险公 司在考虑其实际资产与实际负债的差额是否超过了“破产临界点时，往往强调 的是“破产”这个后果发生的概率，那么保单的定价、利率的波动、分红以及通 货膨胀等等这些因素都会对保险和理赔产生影响，这些问题解决的好坏对公司能 否顺利运营起着至关重要的作用。风险理论就是通过建立和分析这些保险业务的 随机风险模型从而对承保项目进行可行性研究的理论。现已公认，风险理论的研 究溯源于瑞典精算师f li pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文，至今已有近 百年的历史。事实上，一类最重要的随机过程，即p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在那篇论文里提出的。不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学严格标准。 它的严格化是以h a r a l dc r a m e r 为首的瑞典学派完成的乜钉h 副。他们建立了风 险理论与随机过程理论之间的联系。关于风险理论系统的论述当推g e r b e r 和 g r a n d e l l 。 近几十年来，随着随机过程研究的深入及其一般概念与结果在风险理论的地 位不断提高，应用随机过程的已有结果来研究风险理论的方法，极大的促进了风 险理论的发展，这不仅大大简化了一些经典结果的证明，而且可以解决许多新问 题，如平均破产时间、破产瞬间前后的盈余额的分布、破产前最大盈余额的分布、 引起破产的索赔额分布以及破产到恢复期间的最大盈余额的分布等等。这些方法 主要有鞅方法和更新方法，还有部分是利用强马氏性，如哺1 。并且人们对风险理 论的研究更加趋向于实用化，特别是d a v i s ( 1 9 8 4 ) 的专题文章，针对 p i e c e - d e t e r m i n i s t i cm a r k o vp r o c e s s 解决了广义算子生成域结构问题，为鞅 理论在风险理论领域的应用铺平了道路，从而为一系列模型的提出与建立找到了 理论根据，从而使风险理论的研究达到了个新的层次 硕士学位论文 第一章绪论 一般说来，风险模型可由以下三个过程组成： ( i ) 保费收入过程 尺( f ) ，t 0 ) ，r ( f ) 表示( 0 ，幻内收到的总保费； ( i i ) 索赔到达的计数过程 o ) f o ) ，( f ) 表示( 0 ，0 内发生索赔的总次数； ( i i i ) 累计索赔额过程 s ( d ) ，s ( f ) ( 与索赔到达计数过程有关) 表示( 0 ，t 】时 间段内的总索赔。 于是保险公司的盈余过程可表示为： u ( t ) = 材+ r ( t ) 一s ( t ) ( 卜1 ) 其中，u ( u o ) 表示保险公司的初始资本。 随着时间f 的变化，盈余可能在某一时刻为负，当首次出现这种情况时，我 们说保险公司发生了破产。当然，这里所说的破产并不是指保险公司要面临倒闭， 这样做只是为了数学上的处理方便而已。如果把财务上其它影响盈余的因素都考 虑在内的话，当保险公司出现微小赤字时，该公司仍能继续运转，盈余u ( o 仍然 可能为正的或者可能恢复为正的。然而，我们所研究的破产概率| l f ， ) 仍是衡量 一个保险公司或者所经营的某个险种的金融风险的极其重要的尺度，它可以为保 险公司决策者提供一个早期风险的警示手段，也可以为保险监管部门对保险公司 偿付能力的监管提供依据。因此，破产概率的研究对保险公司的经营和保险监管 部门的监管都有着非常重要的指导意义。 在我国保险公司的运作过程中，保费收入是主要收入来源，理赔则是主要风 险因素，保险公司最基本的经营目标就是提高它的偿付能力，确保稳定地运作。 因此，科学地预测保险公司未来的收入、可能发生的理赔额，以及估计保险公司 的破产概率等等都是十分重要的课题。 1 2 风险理论研究现状及主要成果 1 2 1 经典风险模型 破产理论最早是从研究经典风险模型的破产概率开始的，发展到今天，经典 风险模型( 即复合p o i s s o n 模型) 的理论己趋于成熟。它是由瑞典精算师f i l i p l u n d b e r g 于1 9 0 3 年首次提出的。模型如下： 令( q f ，p ) 表示一个完备的概率空间，以下的随机过程( 变量) 均定义在该 空间之上。 ( f ) u ( f ) = 甜+ 甜一z ， b 1 ( 1 - 2 ) 其中，u ( t ) 表示保险公司在t 时刻的盈余，z f 0 为保险公司的初始资本，c 2 硕士学位论文第一章绪论 为保费收入率，是一个常数。 u ( t ) ，t 0 ) 表示到时刻f 发生索赔的次数是强度 为力( 名 0 ) 的齐次泊松过程，z ，是恒为正的、独立同分布的随机变量序列， 表示第i 次的索赔量，期望为= e z 】= i 。( 1 一f ( z ) ) d z 0 为相对安全负荷。 u ( t ) ，t 0 ) 的 以 一条样本轨道如图所示： j l ， 。石五乃互7 图1 一l 定义在某一瞬时，盈余过程取负值，称保险公司“破产 。令丁为保险公司 首次破产的时刻，简称破产时刻，即令 t = i n f ( t ：u ( t ) 0 ，则t = 0 0 ) 定义保险公司的最终破产概率( 简称破产概率) 甲( z ，) = p r ( u ( t ) 0iz ，0 ) ，v u 0 显然，破产概率可作为评价保险公司偿付能力的一个数量指标。 关于破产概率，主要有以下结果： 1 ( 1 ) y ( 0 ) 2 击； o u ( i i ) 少( ”) 2f 苦g 州“印( z ，服从指数分布) 令办( ，) = rp ”d f ( z ) 一l ，则有： ( iii ) c r a m e r - l u n d b e r g 逼近： 熙矿m 甜) 2 南 月 门i l 一钐 ( i v ) l u n d b e r g 不等式： 3 硕士学位论文 第一章绪论 杪( u ) e r 。 其中，r 为h ( r ) = 睾的正解，称为调节系数。 以 为了更加精确地描述“破产”的严重程度，g e r b e r 等n 1 引入了函数 g ( 甜，y ) = p r ( 1 u ( t ) l ) ，t i u ( o ) = 材) ( 1 3 ) 其中i u ( t ) i 表示破产时的赤字，g ( ，y ) 描述了破产赤字的分布。g e r b e r 等给出了g ( ”，y ) 满足的积分方程。随后d u f r e s n e 和g e r b e r 又引入了函数 f ，x ) = p r ( u ( t 一) t 丁 0 ，当h 一0 时 尸( m 2 ) = o ( h ) 有独立增量 ( 3 ) p ( o = 0 ) = l 有平稳增量 几乎处处有序 有独立增量 硕士学位论文第二章预备知识 ( 4 ) p ( 0 = 0 ) = 1 对任意的h 0 ，当h 专0 时 p ( m p 。= 1 ) = a h + o ( h ) ，p ( m 2 ) - - o ( h ) 有独立增量 ( 5 ) p ( n o = 0 1 = l 对于任意正整数k ，实数0 0 ，t 0 尸( m 一。= 1 ) = 名( f ) + d ( 办) 尸( ，一。2 ) = 口( 办) ( 3 ) 有独立增量 这里的名( f ) 是r 上的非负函数，它在任意有限区间是可积的，我们把由 人( 沪名( 5 p 定义的函数称作过程的累积强度函数 定义2 6 有限值计数过程 f ：t o ) 称作非齐次泊松过程，如果它满足以下条 件： ( 1 ) 尸( o = 0 ) = l ( 2 ) 对任意的h o , t 0 尸( f ，f + 。2 ) = d ( 厅) ( 3 ) 有独立增量 定义2 7 随机过程勰；，0 称作复合p o i s s o n 过程，如果它可以表示为如下的 形式：对任意的t 0 ， s = 艺 其中 f ；f o ) 是带时倚强度a ( f ) 的p o i s s o n 过程，戤，刀= 1 ，2 ) 是独立同分布 的随机变量序列，并且过程 f ；，0 ) 和序列 ，刀= 1 ，2 ) 是相互独立的 特别地，若 n t ；t o ) 的强度为常数a ，那么 n t ；t _ 0 就是齐次p o i s s o n 过 1 2 硕士学位论文 第二章预备知识 程对于这样的复合p o i s s o n 过程，有如下重要定理： 引理2 1 设s ，是，s 为相互独立的复合p o i s s o n 过程，则我们有 s = 巧， j = 1 ，2 ，k 其中 ( f ) ，t 0 ) 相互独立而且i ( f ) 是参数为a ，的齐次p o i s s o n 过程，对于同一 个7 ，巧为独立同分布的随机序列( 简记作) ，其分布函数为( 少) ，则s = 芝z ， f = 1 ( r )七 还是一个复合p o i s s o n 过程，设为s = z ，其中( z ) 是参数为a = b 的齐次 i = 1i = 1 1七 p o i s s o n 过程且吃= 去a i 气( z ) v i = 1 本定理的证明参见 3 2 2 2 更新过程 定义2 8 设 乙，胛= 1 ，2 ，) 是一串相互独立同分布的非负随机变量，它们的共同 分布函数是f ( x ) ，如果我们把五看作是一个点过程的第甩一1 个和第n 个点事件 之间的时间间距，则第n 个点事件的发生时间是 e = z ， 刀1 ：再定y - s o = 0 ，我们把由f = s u p n ：邑t ) 定义的计数过程 m ：t 0 ) 称作 更新过程 更新过程大体分为普通更新过程，延迟更新过程和平衡更新过程三类普通 更新过程也就是我们上面的定义，而对于其它的两类更新过程这里有必要稍微交 代一下： 定义2 9 设 乙，? = 1 ，2 ，) 是一串相互独立的点间间距，其中第一个点间间距石 有分布g ，其余的 乙， t = 2 ，) 有共同分布函数是f ( x ) ，我们令： 氐，鼠2 酚 剜 d = s u p n ：最t ) 则我们称d = s u p n ：最t ) 为延迟更新过程 定义2 1 0 在上面的定义中若g ( ，) = 三j ：( 1 一f ( x ) 磁其中为分布函数f ( x ) 的数 学期望则这样的延迟更新过程就称为平衡更新过程 硕士学位论文 第二章预备知识 2 3 l a p i a c e 变换、卷积 定义2 1 l 设( x ) 是定义在【o ，o o ) 上的任意函数，我们把由吵( s ) = f p 叫厂( f ) 衍 定义的函数称为它的拉普拉斯变换 性质2 3 ( 1 ) 刀个相互独立的非负随机变量五x ：，以之和y = 五+ 置+ + 以 的三一s 变换等于这，2 变量的三一s 变换中，( s ) ，：( j ) ，。( s ) 的乘积即： ，( s ) = 。( s ) ：( s ) 。s ) ( 2 ) 设一t 是一串相互独立同分布的非负随机变量序列，它们共同的 l - s 变换是m ( s ) ，又设是一个独享于 一，i = 1 ，2 ，) 的非负随机变量，它的 概率母函数是g ( s ) ，则随机变量z = 置的三一s 变换：( s ) 是： 西：( j ) = e p ( s ) j = g ( 中( s ) ) 定义2 1 2 设x ，y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是 f ( x ) ，g ( x ) 则z = x + 】，的分布函数是 日( z ) = 尸( z z ) = j a f ( x ) 粥( y ) = e g ( z x 矽( x ) = f 奎g x + y z 称为f ( x ) ，g ( x ) 的卷积 性质2 4 设置，置，x 。是甩个相互独立的随机变量并且设它们的边际分布分别 为( 薯) ，i = l ，2 ，3 ，刀，则s = 五+ t + + 以的分布函数f ( z ) 可以表示为： f ”( z ) = e 木f ”1 其中f ( 1 ( z ) = 曩( z ) 2 4 鞅 定义2 1 3 设在概率空间( qf ，p ) 上有一个非降仃一代数族 f ；f t 以及实随 机过程碹；f t ) ，若随机过程辑；f 丁) 对( q f ，p ) 适应，则称为豫；f 丁) 鞅，如 j 僦e l 善i 0 0 而且对于任意j t ，有e ( 毒i c ) = 乞成立 定义2 1 4 设在概率空间( q ，f ，p ) 上有一个非降盯一代数族 f ；f t ，一个取值 于tu ( o o ) 的随机变量r ( c o ) 称为一个相对于它的停时，如果对于v t t ，有 缈，f ( 国) f ) 鼻成立 引理2 2 如果m ( f ) 为一个鞅，f 是一个停时，那么过程 m ( 丁 f ) 是一个鞅， 尤其是对于任何的t ，我们有删( f f ) = 肼( o ) 引理2 3 若m ( ，) ，0 f t 是一个平方可积鞅，那么存在一个可料过程日( ，) 满 1 4 硕士学位论文 第二章预备知识 足：e j ：何2 ( s ) 凼 o o ，m ( f ) = m ( o ) + j ：( s ) a s 引理2 4 若日( f ) 为一个可料过程，满足e ：h 2 ( s ) 凼 0 0 ，则 】，( f ) = e j ：h 2 ( s ) 扔( s ) o f 丁是一个平方可积鞅 引理2 5 若m ( f ) 为个鞅，则 ( 1 ) 若r k o 。是一个有界停时，则肼( r ) = 删( o ) ( 2 ) 若m ( f ) 是一致可积的，则对于任意的停时f ，有e m ( r ) - 圈v i ( o ) 引理2 6 若m ( f ) 为一致可积鞅，并且巧 0 为保险公司的初始准备金，以下随机变量都定义在完备概率空间 q ，f ，p ) 上。 ( 1 ) 设 n lo ) ；f 0 ) 是一个一般的点过程，表示险种i 的索赔到达计数过 程； ( 2 ) n ：( 晚，0 ) 是这样一个点过程：它表示险种i i 的索赔到达计数过 程，它的点发生时刻形成的点过程 m ( 晚f 0 ) 为 n 。( 班f 0 ) 的一个p 一稀疏， 而在各个点发生时刻发生的点数是由相同分布 p 。，刀= 1 , 2 ，3 ，) 的独立随机变量 矾，即p r w k = 刀 = p 。； ( 3 ) 。o ) ；f 0 ) 和 m ：( 哦，0 ) 是两个独立的随机点过程，分别表示险 种i 和i i 的保费到达计数过程； ( 4 ) 正值随机变量序列 x ，；f ：1 , 2 ，3 ，) ， r ；f - 1 , 2 ，3 ，) 分别是险种i 和 i i 的索赔额，它们都是独立同分布的，分别与，】，同分布，分布函数分别为 以( x ) ，e ( y ) ，且各自的期望分别为“，：，方差亦存在； 1 6 硕士学位论文 第三章索赔到达计数过程相依的风险模型 ( 5 ) 正值随机变量序列 a = 1 , 2 ，3 ，) ， b ，；扛1 , 2 ，3 ，) 分别是险种i 和 i i 的保费额，它们都是独立同分布的，分别与a ，b 同分布，各自的分布函数分别 为e ( x ) ，冗( x ) ，期望分别为口，b ，方差也存在； ( 6 ) 所有随机变量序列中的变量各自是独立同分布的。 风险模型表达式为： m l ( r )m 2 ( f )n 1 ( f )n 2 ( f ) u ( o = 甜+ 4 + b i 一x i 一z ，t 0 ( 3 一1 ) i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 一般而言，多险种风险模型处理起来总要难于单一险种模型特别是保费也随 机收取且两险种还具有相依性的情况下，但本模型有它的特殊性所在，所以我们 考虑用特殊的方法去处理，即将模型( 3 - 1 ) 中的相依索赔转化为独立索赔。