（应用数学专业论文）梯级水库调度中的动态随机最优控制研究.pdf

摘要 多水库联合调度，追求总体经济效益最大，是一个复杂的动态随机最优控制问题， 不仅要解决水库群之间的流量调度问题，还要实现水电站厂内的最优经济运行。本文 以上下游两个梯级水库的联合调度为背景，考虑个中的随机特性，及多个因素随时间 变化的动态特性，以动态随机最优控制理论和方法，给出调度的最优决策，模型的概 化更吻合工程实际，模型的推求严格按照数学理论。其主要内容有： 首先，详细介绍了本文研究问题的物理背景，即水库的基本运行方式和运行特性， 说明多水库发电调度涉及到水库蓄水量平衡、发电流量和机组选择等问题，其中的多 个参量是动态的，是一个复杂的动态随机最优控制问题。以随机过程刻画影响经济效 益的因素( 如来水、水库水位、库容等) ，使得对工程问题的概化更符合实际。 其次，利用极大似然估计法估计径流量分布，并利用期望值模型建立了下游最佳 水位模型、水库调度效益最大模型等。 再次，结合理论分析和水库调度的物理背景，确定目标函数和约束条件，求解非 线性的最佳水位模型和最大发电效益模型。采用泛函极值的变分法确定下游最佳水位， 以确定上下游水库的放水顺序和上游水库的最佳下泄流量：采用极值原理求解带不等 式约束条件的各机组的流量分配，实现厂内经济运行的随机最优控制。 最后，选取一对梯级水库的调度问题，以随机最优控制理论和方法进行了实际求 解。 关键词：水库调度随机过程最优控制变分法期望值模型 a b s t r a c t d u r i n gt h e j o i n to p e r a t i o no f m a n yr e s e r v o i r s ，t h ep u r s u i to f t h eb i g g e s to v e r a l l e f f i c i e n c yi sac o m p l e x d y n a m i cr a n d o mo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m ，w h i c hi sn o to n l yt os o l v e t h ep r o b l e mo f f l o ws c h e d u l i n gb e t w e e nt h er e s e r v o i r s ，b u ta l s ot oa c h i e v eo p t i m a l e c o n o m i co p e r a t i o no f t h eh y d r o p o w e rs t a t i o n i nt h i sa r t i c l e ，t h eb a c k g r o u n di so f t h et w o c a s c a d er e s e r v o i r s ( o n ei su p p e ra n do n ei sl o w e r ) j o i n to p e r a t i o n t h er a n d o m c h a r a c t e r i s t i c sa n dt h ed y n a m i ct i m e - v a r y i n gc h a r a c t e r i s t i co f m a n yf a c t o r sa l e c o n s i d e r e d ， a n dt h eo p t i m u ms c h e d u l i n gd e c i s i o n sa r eg i v e nb yd y n a m i cr a n d o m o p t i m a lc o n t r o lt h e o r y a n dm e t h o d t h eg e n e r a l i z a t i o no f t h i sm o d e li sm o r er e a l i s t i c ，a n dt h em o d e lc a l c u l a t i o ni s s t r i c t l yi na c c o r d a n c ew i t hm a t h e m a t i c a lt h e o r y i nv i e wo f t h e s eg o a l s ，t h ef o l l o w i n g c o n t e n t sa r er e s e a r c h e d f i r s t ，t h ep h y s i c a lb a c k g r o u n do f t h i sa r t i c l ei si n t r o d u c e di nd e t a i l ，i n c l u d i n gt h eb a s i c o p e r a t i o n a lm o d ea n do p e r a t i o n a lc h a r a c t e r i s t i c so fr e s e r v o i r s ，w h i c hi su s e dt oe x p l a i nt h a t t h er e s e r v o i r s j o i n to p e r a t i o ni n v o l v i n gf l o ws c h e d u l i n gb a l a n c e ，t h es e l e c t i o no fp o w e r f l o wa n dh y d r a u l i cu n i t sw i t hm a n yd y n a m i cp a r a m e t e r si sac o m p l e xd y n a m i cr a n d o m o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m t h e nt h ef a c t o r s ( r u n e f f , r e s e r v o i rw a t e rl e v e l ，s t o r a g e ，e t c ) w i l l a f f e c tt h ee f f i c i e n c y ，w h i c ha r ec o n s i d e r e da st h er a n d o mp r o c e s s ，m a k i n gt h eg e n e r a l i z a t i o n o f t h ep r o j e c tm o r er e a l i s t i c s e c o n d ，r u n o f fi se s t i m a t e dw i t hm a x i m a ml i k e l i h o o de s t i m a t i o nm e t h o d a n dt h eb e s t w a t e rl e v e ld o w n s t r e a mm o d e la n dt h el a r g e s tp o w e rg e n e r a t i n ge f f i c i e n c yo fo p t i m a l r e s e r v o i rs c h e d u l i n gm o d e la r ee s t a b l i s h e dw i t ht h ee s t i m a t e dm o d e l t h i r d ，b a s e do n t h et h e o r e t i c a l a n a l y s i s a n dp h y s i c a l b a c k g r o u n do fr e s e r v o i r s c h e d u l i n g ，t h eo b j e c t i v ef u n c t i o na n dc o n s t r a i n t sa r ed e t e r m i n e d ，t h e nt h en o n l i n e a rb e s t w a t e rl e v e lm o d e la n dt h en o n l i n e a rl a r g e s tp o w e rg e n e r a t i n ge f f i c i e n c ym o d e la r es o l v e d t h ev a r i a t i o no ff u n c t i o n a le x t r e m e n e s sv a l u em e t h o di su s e dt os o l v et h eb e s tw a t e rl e v e l d o w n s t r e a m ，w h i c hi su s e dt od e t e r m i n et h el a y i n go r d e ro ft h et w or e s e r v o i r sa n dt h e o p t i m a ld i s c h a r g eo ft h eu p p e rr e s e r v o i r a l s o ，t h ef u n c t i o ne x t r e m e sp r i n c i p l ei su s e df o r s o l v i n gt h ef l o wd i s t r i b u t i o no f t h eh y d r a u l i cu n i t sw i t hi n e q u a l i t yc o n s t r a i n t st oa c h i e v et h e r a n d o mo p t i m a lc o n t r o lo f e c o n o m i co p e r a t i o no f t h ei n n e rp l a n t f i n a l l y , o n ep a i ro fc a s c a d er e s e r v o i rs c h e d u l i n gp r o b l e ms e l e c t e da sa ne x a m p l e ，t h e p r a c t i c a ls o l u t i o ni si n t r o d u c e db yr a n d o mo p t i m a lc o n t r o lt h e o r ya n dm e t h o d k e yw o r d s ：r e s e r v oir ss c h e d ui in g o a i c u i u so fv a r i a t i o n r a n d o mp r o c e s s ，o p tii l i aic o n t r o m o d e io fe x p e c t e dv a i u o 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： 至e 亟沙彳年多月刁日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术 期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或 电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外， 允许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权 河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ：至壁堑 渺7 年弓月刁日 梯级水库调度中的动态随机晟优控制研究 河海大学硕士学位论文 第一章绪论弟一早三百了匕 1 1 研究背景及意义 众所周知，我国能源缺乏电力紧张，不能满足国民经济发展的需要。而我国可用 于发电的水能资源十分丰富，居世界首位，充分利用这一优势，发展水力发电，对缓 解能源紧张具有重要意义。 随着我国水电事业的发展以及越来越多梯级水库的建立，仅仅考虑单个水库的发 电效益，已经不能满足水资源综合利用的需要i “3 1 。在不改变水电站现有动力设备和水 工建筑物的条件下，在既有的运行约束下，运用优化理论、现代控制论和系统工程方 法，充分利用现有水电站的发电能力，综合利用有限的水资源，实现发电量的最大化， 即节水增发电，成为需要考虑的问题。 多水库联合调度，目标是追求总体而非单个机组或水库的效益最大，这里涉及到 汇入流量、下泄流量和机组组合以及发电流量选择等问题，是一个复杂的动态随机最 优控制问题。其不仅要解决兼顾发电和航运等要求情况下水库群之间的流量优化调度 问题，对于各时段的分配水量，还需在各水库机组间进行优化分配，实现水电站厂内 的最优经济运行，即多水库联合调度包括水库( 流量) 最优调度和厂内经济运行两部 分。 1 2 水电站经济运行中的数学问题 一、水库最优调度研究现状 水库调度是一个涉及水利、电力、环保等部门，与政治、经济和社会可持续发展 密切相关的复杂大系统的决策、运行和管理问题，运行调度的基本原则是，在确保工 程安全的前提下，分清发电与防洪及其综合利用任务之间的主次关系，统一调度，使 水库综合效益尽可能最大；当工程安全与满足发电、上下游防洪及其它用水要求发生 矛盾时，应当首先考虑工程安全；当供电可靠性与经济性发生矛盾时，应当首先满足 可靠性要求1 ”。 5 0 年代初优化调度理论与方法的研究在国际上开始。如；李特尔( j d c l i t t l e ) p j 于1 9 5 5 年采用马尔可夫过程原理建立了水库调度模型。1 9 6 0 年霍华特( r a h o w a r d ) 1 6 j 的“动态规划与马尔可夫”一书为马氏决策奠定了基础。7 0 年代初期，单一水库优 化调度的马氏决策规划模型已日趋完善，研究的注意力也已逐步转向了水库群联合运 行。已经成功地运用的理论方法主要有：线性规划、非线性规划、动态规划、遗传算 法、大系统分解协调技术、人工神经网络模型等。其中2 0 世纪5 0 年代，美国数学家 梯级水库调度中的动态随机最优控制研究河海大学硕士学位论文 b e l l m a i l 创立的动态规划法1 7 j ，用以优化一个多阶段的决策过程问题，由于与水电系统 多阶段决策问题比较吻合，因而成为水电系统研究中应用较广泛的方法。 我国关于优化调度理论的研究始于5 0 年代末，从7 0 年代末n 8 0 年代中期，优化调 度的理论研究和实际应用取得长足的发展【8 】。尤其是应用确定性和随机性优化模型编 制水电站及其水库( 群) 调度方案，结合水文预报开展短期预报和实时调度的应用， 为国家创造了巨大的经济、社会效益。这一时期的代表作是“优化理论在水库调度中 的应用”论文集的出版。 水库最优调度，特别是综合利用水库群的最优调度问题，虽然在国内外取得了不 少研究成果，但在实际应用中还存在很多问题【9 l ，主要表现在以下几个方面：一些 研究侧重理论探讨，片面追求算法的完美，难以应用；一些模型要么庞大复杂，操 作起来不方便，要么过于简化，和实际有很大出入；对于水库动态决策问题，一些 方法片面追求最优解，而忽视了水库的复杂性，没有考虑到水库调度决策中伴随着大 量的随机因素，如径流过程的随机性，水库水位和蓄水量的随机性等；现有方法中 大多将水库调度的过程离散化，未引入时间参数，客观上未能反映库水位、机组流量 和出力等因素的动态性，在解决实际问题时存在局限性。本文将影响水库调度的随机 性因素作为随机过程考虑，兼顾其中因素固有的动态特性，尝试了一种水库最优调度 的新方法，在避免上述这些问题方面做了一些努力。 二、厂内经济运行的数学研究及存在问题 由于水库总的下泄流量是不断变化的，对于具有多台机组的水电站，各机组间流 量分配不合理，将导致机组流量高而发电量少，造成水量( 电量) 的很大损失，并且 机组可能在汽蚀、振动区等不利工况下运行，对机组造成损害。因此，研究水电站厂 内经济运行具有重要意义【l “2 。 水电站厂内经济运行的基本任务之一就是研究水电站在给定总下泄流量的条件 下，其厂内工作机组最优台数、组合及启停次序的确定，实现机组间负荷的最优分配， 以期获得尽可能大的经济效益。要做到水电站厂内的经济运行，就要对电站内的机组 运行进行优化，最主要的途径就是根据给定的总流量，在满足约束条件情况下，按照 一定的算法给每一台机组分配合适的发电流量，以使得机组运行在效率较高的区域， 从而使得全部机组的总发电效益最大【l ”。 要实现厂内经济运行最优需要解决两点，一是根据实际物理背景建立符合问题实 质的数学模型；二是选择求解这种数学模型的方法。前者包括确定目标函数和相应的 约束条件。所以厂内经济运行问题，实质上就是一个数学问题。而已有的求解方法主 要有线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、大系统分解协调等1 1 4 6 1 ，常用的 有启发式方法、动态规划法、拉格朗日松弛法1 0 7 】等，这些方法对水电厂经济运行决策 分析具有一定的实用性。 2 梯级水库调度中的动态随机屉优| 孛制研究 河海大学硕士学位论文 厂内经济运行问题，即是在满足流量的一定约束条件下，求使发电效益( 目标函 数) 最大的最优机组组合及流量分配。但机组组合问题是水电站经济运行中的一个高 维数、非凸的、离散的、非线性的、连续变化的优化问题。启发式方法没有严格的理 论依据，虽然计算速度快，占用内存少。但常常找不到最优解。拉格朗日松弛法是一 类有着成熟理论基础的整数( 组合) 优化算法，适合于解决机组组合这种大系统的优 化问题，但拉格朗日乘子的初始值选取和机组组合问题的非凸性限制了这种方法的使 用。动态规划l l 别对机组特性曲线数据没有严格的要求，所建立起来的模型，能较好地 鳃决机组间水量最优分配问题。但由于存在“维数灾”问题而限制了其发展。在动态 规划法基础上改进的迩次逼近动态规划法可有效降低维数，并能收敛到满意解，但尚 没有太多的实践经验i l ”。而且这些方法也未考虑水库水位、蓄水量以及径流等的随机 性，因此，进一步研究并给出电站厂内经济运行方法，也是水库联合调度所要研究的 主要内容。 1 3 本文主要内容及创新点 多水库联合调度的目的是求取既定模型的全局最优解，获得调度的最优决策，其 中包括的水库流量最优调度和厂内经济运行两部分相互关联，相互影响。然而以往这 方面的研究常常只孤立的对一个方面进行分析，难以建立两者间明确的函数关系；而 且所提出的算法或建立的模型通常对径流、水库水位、蓄水量以及下泄流量等随机过 程进行离散化处理，这样要么由于对系统进行降维、逼近、线性化等简化处理，导致 精度不高，收敛速度降低，甚至陷入局部最优解或者漏解而得不到全局最优解，要么 为了提高收敛精度而增加离散点数，很容易趋向“维数灾”，总之，已有算法的快速性 和高精度性往往难以兼得。 本文在前入基础上，将水库最优调度和厂内经济运行联合考虑，来实现调度的最 优决策，即：根据下游供水需要，先对梯级水库进行最优流量调度，计算下游水库的 最佳库水位，确定上下游水库的放水顺序和上游水库的最佳下泄流量；在此基础上， 再对既定流量在厂内按最大效益进行最优机组组合，得出调度的最优决策。本文在模 型概化过程中，全面考虑既有客观物理过程，没有简化问题特性，模型推求严格按照 数学理论。本文的概化及推求更吻合工程实际，所得方案应优于其它方案。本文主要 侧重理论研究，未与现有方案比较。 本文主要创新点有： ( 1 ) 考虑水库经济运行过程中因素的随机性和动态性，以随机过程刻画这些因素， 以随机动态最优控制理论和方法建立求解模型，使得对工程问题的研究更符合实际。 ( 2 ) 利用期望值模型建立水库调度的最大平均效益模型，把随机规划模型转化为 数学规划模型以利于求解。 ( 3 ) 给出了一种机组优选的方法。提出的“功效系数”和“效益系数”的概念， 梯级水库调度中的动态随机最优拧制研究 河海大学硕士学位论文 方便了一定水头和出流下，最优机组组合的选择。可以通过机组的“效益系数”确定 机组的最优选择。 ( 4 ) 分析认为，针对梯级水库联合调度的特点，在下游水库一定出流下，下游水 库存在一个可实现的使上下游水库总发电效益最大的最佳水位。建立了求该最佳水位 的期望值模型，给出了该模型的求解。同时求出了上游水库的最佳下泄流量( 补水流 量) 。 ( 5 ) 结合理论分析和水库调度的物理背景，根据随机分析理论、非线性分析变换 方法和散点图，利用多年的一系列出力、机组流量g 、水头h 的实测值资料，寻找 机组出力的显著影响因子，由此拟合机组出力模型，并采用带不等式约束的泛函极值 原理求解各机组的最优流量曲线，实现厂内经济运行的随机最优控制。 4 梯级水库调度中的动态随机晟优控制研究河海大学硕士学位论文 第二章问题的描述 2 1 研究内容 2 1 1 水库运行方式 为充分利用水资源，通常在某一流域上会建有多个水库，构成梯级分布。对于梯 级水库群，调度某一水库时，要考虑对上、下游水库( 尤其是下游水库) 的影响。通常 情况下可以将梯级水库的调度问题分解成许多个临近的上下游两个水库之间的调度问 题。为循序渐进，本文先只考虑上下游两个水库之i 日j 的调度，进而推广到多个梯级水 库的调度问题。 设上下游两水库分别为a 水库和b 水库。其位置及调度关系如图2 - 1 ： 图2 一l 水量调度系统说明 a 水库位于河流的上游，下游为b 水库，a 水库对b 水库供水，b 水库负责给居民 和进行农业灌溉供水，设a 水库有乞台机组，b 水库有台机组。 当下游居民或农业灌溉需水时，则产生一个调水需求，通常调水需求约为期1 周 或者更长，在保证下游需水量( 出流) 的情况下，在现有水头下，如何调用机组，使 调水计划期闯两个水库总体发电效益最大是本文所研究的主要问题。 梯级水库调度中的动态随机屉优拧制研究河海大学硕士学位论文 2 1 2 水库运行特性及所用符号说明 为了使两个水库在保证出流的前提下，联合调水使发电总效益最大，影响效益的 水库运行特性是我们首先要考虑的因素。水库运行特性多为随机过程，首先介绍随机 过程的一些概念【1 们。 定义2 , 1 设( q ，f ，p ) 是概率空阗，c 是给定的参数集，若对每个f 毫c ，有一个随 机变量x ( t ，e ) 与之对应，则称随机变量族 x ( t ，p ) ，c ) 是( q ，f ，j p ) 上的随机过程，简 记为随机过程 彳( f ) ，t c ) 。c 称为参数集，通常表示时间。 定义2 , 2 设五= x ( ，) ，f c 是随机过程，对任意盯l 和，t 2 ，t n c ，随机向 量( x ( f 1 ) ，x ( t 2 ) ，x ( 0 ) ) 的联合分布函数为 巧。( ，矗) = 尸 x ( ) 五，x ( ) si n 这些分布函数的全体 ，= ，( 五，矗) ，t l ，气c ，甩1 j 称为托= 五，t c ) 的有限维分布函数族。 定义2 3 设随机过程 x ( ，) ，t c ，固定 c ，x ( t ，) 是一个随机变量，其均值与 有关，记为 m ( t i ) = e “) 】 当在c 上变动时( 遍及c ) ，得f 的函数 r e ( t ) = 研x ( ，) 】，t c 称此m ( t ) 为随机过程x ( t ) 的均值函数。若对任意r c ，e ( x ( f ) ) 2 存在，则称x ( t ) 为 二阶矩过程。 类似方法定义： d ( f ) = | d 【x ( f ) 】= e x ( f ) 一m ( f ) 】2 ，t c 为随机过程x ( t ) 的方差函数。 定义2 4 设 x ( ，) ，c ) 是二阶矩过程，对于确定的t c ，如果存在y 日，使得 l i r a x ( t + a t ) - x ( ，t ) ：y m o a t 则称( ，) 在f 处均方可微，称为x ( f ) 在f 处的均方导数，记为x ，) 或竺娑等。如 a l 果x ( t ) 在c 中每一点，c 处都均方可微，则称 x ( f ) ，t c ) 为均方可微过程。此时 ( f ) ，t c ) 的均方导数 x ( ，) ，t c 也是一个随机过程，且仍是二阶矩过程。 定理2 1 如果二阶矩过程 肖( r ) ，t c ) 在c 上是h 阶均方可微的，则 ( f ) ，c ) 的 这些均方导数的均值函数存在，且 6 梯级水库调度中的动态髓机最优控制研究河海大学硕士学位论文 所x ( f ) = e 【x “( f ) 】- 肌( f ) t c 即均方求导运算与期望运算可以交换次序。 定理2 2 设 z ( f ) ，t c 是一个二阶矩过程，相关函数为r ( s ，t ) ，且i i r ( 文t ) d s d t f 存在，则x ( f ) 在c 上均方可积，且有 i e x ( t ) d t = i m ( t ) d t = e p ( f 渺】 c cc 即求均值与求积分也可以交换次序。 定义2 5 对于连续型随机变量x 的k 阶原点矩记为 = = i = 伊 ) a x x 的k 阶中心矩记为 ，= e ( x 一e i ) = 【二( 工一e x ) 矿( x ) a x 又因为 ( x - v o = 础x 牛嵋) ，l o 故有 以= e ( x - v ) = d ( 一嵋) = ( 一嵋) “叶 i - 0 ，t o 特别地有 膨= 吃一砰，鸬= 屹- 3 v z v i + 2 订，一= 1 4 4 吩嵋+ 6 v 2 v ? 一3 订 为便于统一说明，下面介绍水库调度中用到的一些变量及其代表符号，本文以后 的章节中，这些变量的意义不变。 1 、时间 当下游有需水计划时，就会产生一个调度周期r ，即在时段r 内放完下游的需水 量。用r 表示时间，t c = o ，t 】，为以后计算方便，避免混淆，令单位为秒，水库的 运行特性都是随时间f 变化的。 2 、上网电价 上网电价为变量，用p 表示。由于存在峰谷电价，而且各时段电价也会有所不同， 作为理论推导，本文考虑更一般的情况，进而可推广到其它情况。设每台机组的上网 电价各不相同，为时问f 的函数，记为p 0 ) ，单位为元。a 、b 两水库各台机组的上网 电价分别为p o ( i ，f ) ，p b ( j ，f ) ，i = 1 ，2 ，乞，- ，= l ，2 ，厶。一般水库调度过程中也可采用分 段电价制，即对于不同时段的电量，给予不同电价【2 e l 。 3 、径流量 径流是指降水所形成的，沿着流域地面和地下向河川、湖泊、水库、洼地等流动 梯级水库调度中的动态随机最优拧制研究 扣j 海大学硕士学位论文 的水流。天然来水、河川径流的发生具有明显的随机特性，用表示径流量，单位为 立方米秒。则对于每个固定的时间t c ，w ( t ) 是一个随机变量，因此 形( f ) ，t c ) 是 一个随机过程。可知a 、b 两水库的径流量 呒( ，) ，r c ) ， ( ，) ，t c ) 均为随机过程。 由定义2 - 3 记径流量的均值为【1 9 】； e ( 呒( r ) ) = u o ( t ) 门1 1 占( ( f ) ) = 蚝( f ) 、 通过实测值可以求出t 时刻径流量的均值，在水文学中皮一i i i 型曲线被广泛用来描 述径流的随机分布【2 0 1 。 4 、水库水位 径流量的随机性引起水库水位的随机变化，用圩表示水库水位，简称库水位，单 位为米，h ( t ) 表示t 时刻库水位， ( r ) ，t c ) 也是一个随机过程。库水位的变化没有 明显的特征，只是在一定的季节库水位较高，有的季节库水位较低，很难用确定的数 学概念，来有效拟合库水位本身的变化1 。由于实际过程中库水位的随机性，库水位 受径流量、下泄流量和水量损失等的影响，这里把库水位考虑成随机过程，记a 、b 两 水库的水位分别为：吃( f ) ，风( ，) ，均值分别为 e ( 见o ) ) = ) 0 ( f ) ，、 e ( ( f ) ) = y b ( t ) 、。 5 、蓄水量 水库蓄水量汜为v ，v ( t ) 表示r 时刻的蓄水量，单位用万立方米表示。水库水位与 蓄水量是水库调度中经常用到的一对变量，两者一一对应，他们之间存在着一种函数 关系【2 2 j ，称为水位库容关系曲线，可写成： 日= h ( v ) ( 2 - 3 ) 库水位与蓄水量的关系比较复杂，是一种非线性函数关系，一般不易用解析函数 来表达，而往往给出库水位蓄水量的一组实测值来离散地表示它们之间的关系2 3 1 。 在实际计算中，当已知库水位求蓄水量，或已知蓄水量求库水位时，可根据这组实测 数据，按函数插值的方法计算。也可以通过测量得到库水位蓄水量关系表，运用曲 线拟合的方法，对实测值进行分析，拟合出库水位库容关系曲线，求出近似的与之 最适应的解析表达式，这样可以简化函数插值计算的工作量。 由于库水位的随机性，使得蓄水量也具有随机性，本文把蓄水量也考虑成随机过 程，a 、b 两水库的蓄水量分别记为：v o ( t ) ，v a t ) ，均值分别为 e ( k ( ) ) 2 ( ) ( 2 - 4 ) e ( v h ( t ) ) = x h ( t ) 设h ，( f - l ，2 ，n ) 为一个水库所测得的蓄水量值，n 为水库测得的蓄水量值的个 数。用子样的k 阶中心矩近似蓄水量v 的k 阶中心矩，水库蓄水量的t 阶中心矩为： 梯缀水库调度中的动态随机最优控制研究河海大学硕士学位论文 e ( v - e v ) = 亡( v i 一巧) ( 2 5 ) h 一 则令 鸬= 言( v 一巧) 2 由上可以得到 觑矿2嚣意：屹(2-6)e(v砸) ) = 鸬+ 订= 段+ x 印) = 屹 通过变换后令蓄水量均值与库水位均值函数为 j ，( f ) = x ( f ) 】( 2 - 7 ) 6 、下泄流量 水库下泄流量本文用q 表示，q ( r ) 表示t 时刻该水库总下泄流量，单位为立方米 秒。下泄流量是时间，的函数，对于确定的时间，就有确定的下泄流量q ( ) 。对应 着一个水库的下泄流量，存在着一个水库下游水位，简称下游水位，用i l l 表示，h l ( t ) 表示r 时刻下游水位。q 与m 之间存在着一种函数关系矧： h l = k ( q ) ( 2 - 8 ) 下泄流量与下游水位的关系也是一种非线性的复杂函数关系，不容易用解析函数 表达，一般也是给出一组实测数据点。在实际计算中，按函数插值的方法计算。下泄 流量分为两部分：发电流量和弃水流量。记a 、b 两水库的下泄流量和下游水位分别为： q ( f ) ，q 6 ( f ) ，月z 。( f ) ，月z h ( f ) 。 7 、水量损失 兴建水库后，因改变河流天然状态、库内外水力关系所引起的水库水量的额外损 失简称水量损失。水库水量损失包括蒸发损失和渗漏损失等。水库的水量损失是在蓄 水及供水中陆续产生的，而且与水库蓄水量或水面面积有直接关系。水库渗漏损失按 水库平均蓄水量的1 计算拉4 1 ；水库的蒸发损失计算式o n t t 2 5 】： k = ，( p 氐一) ( 2 - 9 ) 其中：卜一水库平均水位相应的库水面面积； e 一蒸发器折算系数； 取一蒸发器水面蒸发量； 玩一库区建库前陆面蒸发量。 在没有陆面蒸发实测资料时，可采用流域降水量与径流量之差( p r ) 代替l ，此时式 ( 2 9 ) 变为： 嚷= l ( e 啄一p + r ) ( 2 。l o ) 式( 2 1 0 ) 即是通常所用的水库蒸发损失计算式，计算中将水量损失简化为常量，记 9 梯级水库调度中的动态随机屉优控制研究河海大学硕士学位论文 为三，单位为立方米秒，a 、b 两水库的水量损失分别为：乞，厶。 8 、机组水头 机组水头用h 表示，简称水头，指单位重量水体通过机组时的能量减小值【2 6 1 ，即 上下游的水位差减去水头损失，单位为米， ( ，) 表示t 时刻的水头，则 o ) = 日( f ) 一h l ( t ) 一 ( 2 1 1 ) 其中幽是包括进口局部水头损失在内的引水道总水头损失，厅为常量，单位为米。 由于库水位的随机特性，则两水库的水头也为随机过程，记a 、b 两水库的水头及其均 值分别为： e ( ( f ) ) = e ( 也( ) ) - e ( h l o ( ) ) 一a 吃2 y o ( t ) - k o ( q ( f ) ) 一6 吃2 z o ( t ) ( 2 - 1 2 ) e ( 阮( f ) ) = e ( 玩( f ) ) 一暑( h l b o ) ) 一哦= j 0 ( r ) 一k 6 ( q o ) ) 一a = z a t ) 9 、机组流量 机组的流量指单位时间内通过机组的水体体积【2 7 1 ，用口表示，单位为立方米秒。 a 、b 两水库不同机组的流量可表示为：q o ( i , t ) ，q b ( j , t ) ，f = 1 ，2 ，= l ，2 ，。一个 水电站一般有多台机组并列运行，各台机组运行时的各特性一般各不相同，研究机组 的最佳流量可以提高水电站厂内的经济运行，增大发电效益。 i o 、机组出力 机组的出力受机组的水头和机组流量的影响，用表示，单位为k w ，记为 n = 9 8 1 r l ( t ) q ( t ) h ( t )( 2 1 3 ) 其中r 为机组的效率。记a 、b 两水库不同机组的效率分别为：t l o ( i ，n r l ( j ，f ) ，出力分 别为 乞( f ) ， 0 ( ，) ，i = 1 ，2 ，厶，= l ，2 ，厶 2 2 总体思路 多水库联合调度问题是一个复杂的随机动态最优控制问题，我们的目的是要在水 库调度计划期间r 内保证下游的需水量，选择合适的机组，分配最佳的流量，使a 、b 两水库总的发电效益最大。用曰表示效益，t 时刻的效益记为b ( t ) ，a 、b 两水库的效 益分别记为玩，玩。分别考虑两个水库，a 水库的发电效益由三个因素决定：a 水 库的水头；a 水库机组的上网电价；a 水库机组的流量。同理，b 水库的发电效益 也由三个因素决定：b 水库的水头；b 水库机组的上网电价；b 水库机组的流量。 由于各个发电机的属性( 即机组的流量出力水头表格) 是已知的，也就是说假 设固定一个机组水头和该时刻的水库下泄流量，则使电厂发电效益最大的机组组合也 应是固定的( 第四章详细介绍) 。因为机组出力由机组水头和下泄流量决定，机组水头 又由库水位及下泄流量决定，从本质上说，机组的选择是由库水位、水库下泄流量决 定的。因此，水库的效益影响因素归结为：上网电价、库水位和下泄流量。他们之间 的关系可用图2 2 表示： 1 0 梯级水库调度中的动态随机最优控制研究 河海大学硕士学位论文 图2 - 2 关系示意图 则不失一般性，可得t 时刻的效益为 b = 吃+ 岛 4 1 = 8 0 ( p o ，4 ，q o c i ) ，r ) + 玩( 见，玩，吼( ，) ，f ) 、 7 由于下游需水已知，假设下游水库在调水期内的下泄流量己知，现在问题化为： 在已知b 水库下泄流量幺( ，) 的情况下，如何求出下游水库的最佳库水位进而确定上下 游水库的放水顺序和上游水库的下泄流量q ( f ) ，之后为了在调度期间内得到最大的效 益b ，如何确定各个水电站的机组运行组合以及在运行机组间如何分配各个机组的发 电流量，也就是研究在已知下游水库的下泄流量的情况下，上下游水库的水量调度以 及水电站的厂内经济运行情况。 2 3 本章小结 本章详细说明了水库的基本运行方式和运行特性，并对随机过程的基本概念作了 介绍，说明了多水库发电调度追求总体效益最大问题，涉及到水库蓄水量平衡、发电 流量和机组选择等问题，是一个复杂的随机动态最优控制问题。从而得出水库调度的 总体思路：首先求出下游水库的最佳运行库水位，确定两水库问的水量调度；然后根 据库水位及下泄流量情况进行厂内经济运行。 梯级水库调度中的动态随机最优拧制研究 河海大学硕士学位论文 第三章理论基础弟二早璀y 匕荃乍函 3 1 数据插值 一、插值法概述【2 8 】 许多实际问题都可用函数来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数 是通过实验或观测得到的。虽然函数在某个定义域上是存在的，有的还是连续的，但 工程问题中却只能给出某定义域上一系列离散点的函数值，即只是一张函数表。有的 函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表。如对数 表、平方根和立方根表等等。为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函 数值。因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数特性，又便于计算的简 单函数，以近似原真实函数。常用的一类简单的函数有代数多项式或分段代数多项式， 并使简单函数在观测自变量值上的计算结果与相应实测函数值一致。这样确定的简单 函数就是我们希望得到的插值函数脚l 。例如，在水库调度过程中，水库水位蓄水量 关系可以根据测量得到有限个实测值，要知道实测值以外的其他点的值，这需要插值 函数。这罩以一元函数插值问题概述插值法。 定义3 1 设函数y = f ( x ) 在区间【口，b 】上有定义，且已知在点 a x o 而 矗b 上的值，y l ，n ，若存在一简单函数p ( x ) ，使 _ p ( ) = 只( f = 0 ，l ，厅)( 3 1 ) 成立，就称p ( x ) 为( x ) 的插值函数，点，而，矗称为插值节点，包含插值节点的区 问陋，b 】称为插值区问，求插值函数尸( x ) 的方法称为插值法。若e ( x ) 是次数不超过n 的 代数多项式，即 尸( 膏) = a o + a l x + + q x 4 ( 3 - 2 ) 其中a l 为实数，就称p ( z ) 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。 从几何上看，插值法就是求曲线y = p ( x ) ，使其通过给定的n + l 点( t ，乃) ， f = o ，l ，以，并用它近似已知曲线y = 八d ，如图3 l ： y o 图3 - l 插值法示意图 梯级水库调度中的动态随机最优控制研究河海大学硕士学位论文 插值法的基本理论和结果在微积分产生以后逐步完善，其应用也日益增多。特别 是在电子计算机广泛使用以后，由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要， 插值法在实践上或理论上显得更为重要。并得到进步发展。近几十年发展起来的样 条插值，更获得了广泛的应用。 二、三次样条插值 定义3 2 若函数s c x ) ec 2 【口，b 】，且在每个小区间p ，工，+ l 】上是三次多项式，其中 a = x o x 1 o ， 0 为两个常数，伽玛函数r ( a ) = - 1 ) t 。这时称善是参数为 ，p ) 的r 分 布的随机变量，相应的分布称作参数为 ，) 的f 分布【3 7 】，i e , y 9 r ( a ，声) 。 由密度函数有以下性质： 梯级水库调度中的动态随机境优柠制研究河海大学硕士学位论文 r p ( x = i 即 f 焉，- l e - 口x 出= i ( 3 s 8 ) 则径流量w 的期望为： 刖= f w 怎( ) a - i e - p ( w - y ) 咖 = r ( w 叫忘( w 训a - i e - 烈, , - r ) d ( w 训 + r ，怎( w 叫a - l e - ：- r ) d ( w 卅 ：! ：；：譬f 。! 堡：= ! 了：( w - y ) t 。+ 一卜t e 一，( w 一，d ( w - r ) ( 3 - 3 9 ) r ) 0r ( a + 1 ) 、 + y r 焉( w 卅- l e - a ( w - ，) d ( w 卅 自式( 3 - 3 8 ) ( 口一a l ! ) ! + ， 2 否+ y 3 4 2 参数估计 要求得径流量的均值先要估计出密度函数中的参数，本文采用极大似然估计【3 柳， 进而利用n e w t o n 迭代法算出口，的估计值五，p ，。 设w i ，为独立同分布的随机变量，其概率密度函数为厂( 们，即式( 3 - 3 6 ) ，则 其联合概率密度函数为： 三= ( w i ，w 2 ，) = 卉r c 生a ) ( 叱一，) “e 叫- ， ( 3 4 。) 对上式两边取对数有 l i l 密c 州讹训 。，删 = h a l n 卢一以1 n r ( 口) + 一1 ) 主i n ( _ 一，) 一窆( m 一，) 则 等= 詈芬 c s 啦， 梯级水库调度中的动态随机睦优挣制研究 河海大学硕士学位论文 警刊咿盯鬻+ 喜h c 一咖。 a 口 r ( 仃) 鲁、j 7 。 等叫铲喀古舢 令z ) = r ) r ( 口) ，z ) 可按下式近似计算【2 0 j z ( 口) = l n ( 口+ 2 ) 一互两1 一i 三忑1 ；j f + i i i i 7 1 ；可 ll1 2 5 2 ( a + 2 1 6 口+ 1口 对上述方程( 3 4 2 ) 和( 3 4 4 ) 联合求解，可得到口，对，的表达式为： u = v ! 智w