（应用数学专业论文）三类非自治模型的数学分析.pdf

摘要 本文主要研究了三类非自治模型，一类是具有出生率密度制约的非自治s i r s 模型， 一类是具有双周期时滞的非自治捕食被捕食模型，还有一类是具有连续时滞和扩散的非线 性捕食被捕食模型三个模型从不同的生态学角度进行了分析，得到了这些模型的定性性 质 首先介绍了生物数学这门学科的研究背景及发展现状，阐述了本文所研究模型的背 景，给出了本文研究所需的一些预备知识 其次分析了第一类模型，即具有出生率密度制约的非自治s i r s 模型获得了疾病持 续和绝灭的阈值，得到了疾病持续存在和绝灭的充分性条件 接着分析了第二类模型，即具有双周期时滞的非自治捕食被捕食模型，利用重合度理 论我们建立了这类系统的正周期解存在的一个充分性判据 最后分析了第三类模型，即具有连续时滞和扩散的非线性捕食被捕食模型，分别运用 比较原理，时滞泛函微分方程原理和已知文献推导证明了该模型在一定条件下的持续性， 然后通过比较原理获得了捕食者种群灭绝的充分条件该模型及结果是对一些已知的模型 及结论的改进和推广，目的是使之具有更丰富的生态学意义 关键词：出生率密度制约，阈值，周期时滞，重合度，非线性 i i t h et h r e ek i n d so fn o n a u t o n o m o u sm o d e l sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r t h e f i r s to n ei sn o n a u t o n o m o u ss i r sm o d e lw i t hd e n s i t yd e p e n d e n tb i r t hr a t e ，t h es e c o n do n e i sap r e d a t o r _ p r e ym o d e lw i t ht w op e r i o d i cd e l a y s ，t h el a s to n ei san o n l i n e a rp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hd i f f u s i o na n dd i s t r i b u t e dd e l a y s w ea n a l y 7 z et h em e t h o d sf r o md i f f e r e n t e c o l o g i c a lp e r p e c t i v e sa n dd e r i v et h eq u a l i t yo ft h et h r e em o d e l s f i r s t ，w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n ts i t u a t i o no ft h es u b j e c t ， a l s o ，w eg i v es o m et h e o r e t i c a lt o o l sa n dp r e l i m i n a r i e ss e r v i n gt h ed i s c u s s i o ni nt h ep a p e r s e c o n d l y , w ed i s c u s st h ef i r s tm o d e l ，w h i c hi san o n a u t o n o m o u ss i r sm o d e lw i t h d e n s i t yd e p e n d e n tb i r t hr a t e ，f i n d i n go u tt h et w ot h r e s h o l dv a l u e s ，o b t a i n i n gt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h ep e r m a n e n c ea n de x t i n c t i o n m o r e o v e r ，t h es e c o n dm o d e li sd i s c u s s e d ，w h i c hi sap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t ht w o p e r i o d i cd e l a y s u s i n gt h ec o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n s f o rt h i sm o d e li so b t a i n e du n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s f i n a l l y , t h et h i r dm o d e li sd i s c u s s e d ，w h i c hi san o n l i n e a rp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t h d i f f u s i o na n dd i s t r i b u t e dd e l a y s b yu s i n gc o m p a r i s o nt h e o r e m ，f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o nt h e o r yo rt h el i t e r a t u r ek n o w n ，t h ep e r m a n e n c eo ft h es y s t e mu n d e rs o m ea p p r o p r i a t e c o n d i t i o n si sp r o v e d ；b yc o m p a r i s o nt h e o r e m ，as e to fs u f f i c i e n tc o n d i t i o nw h i c he n s u r et h e e x t i n c t i o no ft h ep r e d a t o rs p e c i e sa r eo b t a i n e d t h e s er e s u l t sa r eb a s i c a l l ya ne x t e n s i o n o ft h ek n o w nr e s u l t sf o rn o n a u t o n o m o u ss y s t e m ，w h i c he n r i c h e se c o l o g i c a lm e a n i n g si n i i i m o d e l s k e yw o r d s ：d e n s i t yd e p e n d e n tb i r t hr a t e ，t h r e s h o l dv a l u e s ，p e r i o d i cd e l a y , c o - i n c i d e n c ed e g r e e ，n o n l i n e a r i v 摘要 a b s t r a c t 第一章绪论 目录 i i i i 1 1 1 学科概述 1 1 2 研究背景及现状 3 1 3 预备知识5 第二章具有出生率密度制约的非自治s i r s 模型9 2 1 模型的建立与描述 9 2 2 持续性和绝灭性 1 0 第三章具有双周期时滞捕食被捕食模型的周期解 1 9 3 1 模型的建立与描述1 9 3 2 周期解的存在性。，。， 2 0 第四章具有连续时滞和扩散的非线性捕食被捕食模型 2 9 4 i 模型的建立与描述2 9 4 2 持续性和绝灭性 3 1 第五章结论 参考文献 致谢 3 7 3 9 4 3 v 攻读学位期间的科研成果 独创性声明和论文使用授权说明 4 5 4 7 用数学统计及一些别的方法的方法估算过人口增长的速度，他说：“头三十年为一世”，即 人口大致每3 0 年增加倍这是最早把数学应用于生态问题的例子1 6 6 2 年，j g r a u n t 在研究了伦敦人口的出生和死亡率之后做出推断：如果略去移民，伦敦的人口每6 4 年将增 加倍生物数学早期主要应用于这些零碎的工作1 9 0 0 年，意大利著名数学家v o l t e r r a 在罗马大学做了一次演讲，题为“应用数学于生物和社会科学的尝试”，1 9 0 1 年英国统计 方面的专家p e a r s o n 创办了生物统计杂志( b i o m e t r i k a ) ，标志了生物数学的发展进入 个新的阶段人们根据生命现象中多次重复、大量出现、随机性等常见特点，以生物统 计学为基础解决了生命现象所面临的一些问题这一阶段的研究仅限于对生态问题和生命 现象作静止的、定量的描述，所使用的数学手段也仅仅是几何学、统计学和一些初等的解 析方法后来d a w t h o m p s o n 认真研究和总结了这一时期的研究成果，写出一部巨著 1 三类非自治模型的数学分析 论生长与形式，这是生物数学萌芽阶段的代表作这本书中有许多古典的生物数学问 题，直到今天仍然有一些专家学者在对其进行研究和讨论2 0 世纪2 0 年代开始，数学 在生物中的应用不再静止、孤立的描述生命现象，逐渐开始分析生命现象复杂的过程，并 探索其规律性人们开始使用各种数学工具，建立了各种各样的数学模型来模拟各种生命 现象数学物理方法把许多微分方程模型带进了生物学领域，生物数学的发展进入第二阶 段美国生态学家l o t k a 在1 9 2 1 年研究化学反应和意大利数学家v o l t e r r a 在1 9 2 3 年研究 鱼类竞争时分别提出了现在已经成为生物数学研究中的经典模型之一的l o t k a - v o l t e r r a 系统同时代的另外代表人物还有： k o s t i t z y n 、k o l m o g o r o v 、r a s h e v s k y 等【1 】 2 0 世纪4 0 年代末电子计算机的发展使生物数学进入一个新的阶段由于生命现象的 复杂性，给生物数学带来大量运算，只有利用电子计算机，一些生物数学问题的求解才可 能成为现实，因而算机成为发展生物数学的基础在此基础上许多生物数学的分支学科， 如数量分类学、生物控制论、生物信息论等在2 0 世纪5 0 年代以后如雨后春笋般相继产 生，并得到了发展 1 】 尽管数学方法迅速运用于生物学，但生物数学的快速发展还是近3 0 年的事由于生 物学研究的需要和各门学科的大规模渗透，。生物数学”继“生物化学”和“生物物理” 之后于7 0 年代成为一门独立的学科，其重要标志就是1 9 7 4 年联合国教科文组织第一次 明确的把生物数学归入生命科学类，与生物化学、生物物理等并列在一起 2 , 3 】 尽管经过了几代人的努力，但当今的生物数学仍处于发展的初级阶段，不少理论和研 究方法还不是很完善，其应用虽然取得了一些成功，但水平还不是很高许多更复杂的实 际问题目前仍未能找到相应的数学方法进行研究但年轻的生物数学正在以强劲的势头， 突飞猛进地向前发展展望未来，2 1 世纪将是生命科学的世纪，是一切科学由定性逐步 走向定量的世纪生物数学既兼有生命科学和量化科学的特征，又要以信息为依据，以计 2 第一章绪论 算机技术为工具，因此它必然会迅猛发展和走向成熟 1 2 研究背景及现状 功能反应函数函数g 表示单位时间内每个捕食者消耗掉的食物数量，通常称之为 功能反应函数。( x 表示食饵密度) 最常见且具有单调性的功能反应函数夕( z ) 有以下几种形式： ( 1 ) l o t k a v o l t e r r a 型： 当0 z n 时，9 ( z ) = 警， 当x a 时，夕( z ) = b ， 其中b 0 ，它适用于藻类和细胞等低等生物； ( 2 ) m i c h a l i s m e n t e n 型： 夕( z ) = 彘 0 6 o ， 它适用于无脊椎动物； ( 3 ) s i g m o i d a l 型： 夕( z ) = 羔，n ，6 ，钉佬 。， 它适用于脊椎动物 此外还有具有单调性的i v l e v 型，即 夕( z ) = 1 一e - 妇，入 0 ， 3 三类非自治模型的数学分析 以及非单调的i n h i b i t i o n 型，即 夕( z ) = 尚 还有我们称作比率依赖( r a t i o d e p e n d e n t ) 的功能反应函数，也就是说单位捕食者 的增长率是一个被捕食者与捕食者成比率的函数一般地，比率依赖捕食被捕食模型具有 如下形式： 士( ) = x f ( w ) 一9 ( 詈) ， 1 7 ( t ) = 叼9 ( 詈) 一d y 另外还有所谓的b e d d i n g t o n d e a n g l i s 功能反应函数，形如 夕( z ) 2 再而o l x 的形式，这个功能反应函数已经被很多文献研究，如 4 - 7 】等 模型的产生背景与研究现状生物数学是在生物学的不同领域中应用数学工具对生 命现象进行研究的学科随着生物数学的迅猛发展，其研究内容已经形成了一个庞大的体 系 其中传染病动力学是生物数学的一重要分支，是数学与流行病学结合的新兴学科近 2 0 年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，许多学者和专家使用大量的数学模型分析 各种各样的传染病问题这些数学模型大多是适用于各种传染病的一般规律的研究，也有 部分是针对诸如麻疹、艾滋病、疟疾、肺结核、s a r s 等诸多具体的疾病这些模型涉及 接触传播、垂直传播、媒介传播等不同感染方式，考虑到疾病的潜伏期，对病人的隔离， 因病或因接种而获得的免疫力以及免疫力的逐渐丧失，因病死亡率，不同种群之间的交叉 感染，种群自身不同的增长规律，以及种群的年龄结构，在空间迁移或扩散等因素与早 期的传染病模型相比，近期所研究的模型更加贴近实际，大致三个发展方向：模型所涉及 4 二二二二一 模型更复杂和接近实际，理论研究不断面临一些新的困难在研究方法上除了一些经典方 1 3 预备知识 或 定义1 3 1 【1 1 】设有微分方程 圣= f ( t ，z ) ，f c ( g = ，d r r n 月p ) ( 1 3 1 ) 圣= ，( z ) ，f c ( d 兄n ，冗n ) ( 1 3 2 ) 给定的微分方程( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 就相当于在相空间形的区域d 内分别给定了向 量场f ( t ，z ) 或f w ) ，但这两个向量场有本质的区别过域d 内任一点z 确定着唯一的方 向f ( x ) ，称方程( 1 3 2 ) 为自治系统；过d 内同一点可能有多个( 甚至无穷多个) 方向， 它们将随着t 的不同而不同，称方程( 1 3 1 ) 为非自治系统 5 三类非自治模型的数学分析 定义1 3 2 8 】( 正的不变集) acx 称作是正的不变集，如果任意从a 中出发的解当 t 0 时仍滞留在a 中 定义1 3 3 【5 】( 全局吸引子) acx 称作是全局吸引子，如果它是紧的，正的不变的， 并且对任何有界子集合bcx ，有t l 。i m 。0 6 ( x ( t ，x o ) ，a ) = 0 ( z o b ，x ( t ，黝) 表示从b 中 出发的解，6 表示距离) 定义1 3 4 【4 4 1如果存在紧集dci n t x ，使得系统每一个满足初始条件的解都进入 并滞留在集合d 中，则称系统是永久持续生存的 引理1 3 5 ( 不动点定理) 【4 5 】设x 是度量空间，t ：x _ x 是一个映射，若存在 q ，0 o t 0 ，作行列式 6 第一章绪论 a 1 = a l ，2 = a 他= a la o a 3a 2 ，a 3 = 0 1a o 0 a 3a 2a l a 5a 4a 3 a 1a o 000 0 3口2 口1o o0 a 2 n - - 1a 2 n - 2a 2 n - 3a 2 n 一4 a n = a n a n 一1 ， 其中a i = o ( 对一切i 礼) 那么，方程的一切根均有负实部的充分必要条件是下列不等式 同时成立： n 1 0 ，a 2 0 ，a 3 0 ，a n 一1 0 ，a n 0 定理1 3 9 【1 1 】( 比较定理) 设有c a u c h y 问题 c 历，= 专。三f 兰：，c 易，= 专三竺： 其中，与f 均在域g 冬rxr 内连续，满足局部l i p s c h i t z 条件，( x o ，y o ) g ，并设 ( 局) 与( 易) 的解均在闭区间a ，6 】上存在，分别记作y = y ( x ) 与y = y ( z ) ， a z b 若 则 f ( x ，y ) f ( z ，y ) ，v ( x ，y ) g 可( z )y ( z ) ，x o z b ， y ( x ) y ( z ) ，a z x o 7 第二章具有出生率密度制约的非自治s i r s 模型 第二章具有出生率密度制约的非自治s ，兄s 模型 本章研究了一类具有出生率密度制约的非自治s i r s 模型，获得了疾病持续和绝灭 的阈值几和彤，证明了当r + 1 的时候疾病将持续存在；当r + 1 的时候疾病将会 消亡 2 1 模型的建立与描述 关于传染病传播数学模型的研究是从e n 7 k o ( 1 8 8 9 ) 开始的作为奠基性工作是1 9 2 7 年k e r m a c k 和m c k e n d r i c k 所做的他们将总人口分为易感者，染病者和恢复者三个群 体，利用动力学的方法建立了s i r s 传染病模型，并对其传播速度和流行趋势进行了研 究，对传染病的传播与否提出了阈值理论近年来，国际上对传染病动力学的研究进展迅 速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题，构成了丰富多彩的传染病动力学 模型 在传染病模型的研究中，自治系统被广泛的研究【1 2 1 6 】例如宋和马 17 】研究了如 下具有出生率密度制约的数学模型 f雪( 亡) = - s ( t ) i ( t 一 ) 一p s ( 亡) + 6 ( 1 一譬g 器) j ( t ) ：p s ( ) j ( 亡一九) 一弘2 ，( ) 一a i ( t ) ( 2 1 o ) 扈( t ) = a i ( t ) 一# 3 r ( t ) 然而，非自治现象经常发生在很多现实的传染病模型中就我们所知，关于非自治传 染病动力学模型的研究还比较少 1 8 ，1 9 】因此，对于这些模型的研究工作是非常重要的 9 三类非自治模型的数学分析 在本文中，我们将要考虑如下具有出生率密度制约的非自治s i r s 模型： l 雪( ) = 一p ( 亡) s ( ) ，( 一九) 一肛1 ( ) s ( ) + b ( t ) o 一错) + ( t ) r ( ) l ，( t ) = p ( t ) s ( ) ，( 艺一九) 一t t 2 ( t ) ( 亡) 一入( ) ，( t ) ( 2 1 1 ) 1 i r ( t ) = a ( t ) i ( t ) 一p 3 ( ) r ( 亡) 一f ( t ) r ( t ) 这里n ( t ) = s ( t ) + i ( t ) + r ( t ) 代表在t 时刻人口总数；s 是易感者，是染病者，r 是 恢复者相应的，假设新生儿都是易感者p ( t ) 是日常接触率，也就是每天平均接触的人 数；p ( 亡) ，p 2 ( ) ，t 3 ( t ) 分别是易感者，染病者和恢复者的平均死亡率，相应的，入( ) ，( ) 分别是从染病者人群和恢复者人群中的平均移出率，函数6 ( t ) ，尻( ) ( o 尻 1 ) 分别代 表出生率以及出生率人口密度之间的关系时滞h 是非负常数，是易感者感染成为染病者 所需要的时间给出( 2 1 1 ) 的初始条件如下 s ( e ) = 妒1 ( 口) ，i ( e ) = 妒2 ( p ) ，r ( e ) = 妒3 ( p ) ，一h 日0( 2 1 2 ) 这里妒= ( 妒l ，妒2 ，垆3 ) c ，使得( 口) o ( - h 8 o ) c 表示把区间 - h ，0 】映射到r 3 上连续函数的b a n a c h 空间c ( - h ，o 】，r 3 ) ，且用i i = s u p l i 0 因此，对于所有的t 0 ，t 1 ) 一定满足，( ) 0 若不成立，那么存在t 2 ( 0 ，t 1 ) 使得 i ( t 2 ) = 0 ，在【0 ，t 2 ) 上，( ) 0 对系统( 2 1 1 ) 第二个方程的两边从0 到t 2 进行积分，得到 i ( t 2 ) = ，( o ) e 印( 一2 ( p 2 ( s ) + a ( s ) ) d s ) + 后2f l ( s ) s ( s ) i ( s - h ) e 印( 丘( 肛2 ( ) + a ( ) ) d ) d s 0 这与i ( t 2 ) = 0 发生矛盾，所以对于所有的t 【0 ，t 1 ) ，i ( t ) 0 成立从系统( 2 1 1 ) 的第 三个方程我们也得到了再 0 ，t 1 ) 上有r ( ) r ( o ) e 印( t ( 肛3 ( s ) + f ( s ) ) 幽) 0 因此， 即) _ 6 ( ( 1 一肿) 群) 州踯，) 。 三类非自治模型的数学分析 这与s ( h ) 0 发生矛盾，所以证明得到对于所有的t 0 ，q ) ，s ( t ) 0 通过以上步骤， 对于所有的t 0 ，o t ) 显然有，( t ) ，r ( t ) 0 ，因此当t 0 ，o t ) 时 = b ( t ) o 一尻( ) 丢) 一p 1 ( ) s ( t ) 一p 2 ( t ) ，( ) 一p 3 ( ) 冗( ) 6 ( ) ( 1 一p 1 ( ) 丢端) 一p 1 ( t ) s ( ) 一p 1 ( ) ，( t ) 一肛1 ( ) r ( t ) b ( t ) 一p 1 ( ) ( t ) 可以推出： 。皇s u p 删( 石b ) m 也就是说，( s ( 亡) ，( t ) ，兄( t ) ) 在 0 ，q ) 上是一致有界的，从文献 1 0 中我们有q = + ， 证毕 引理2 2 2 系统( 2 1 1 ) 具有初始条件( 2 1 2 ) 的解( s ( ) ，( t ) ，冗( ) ) 满足 。里t n fs ( t ) ( 万暑黼) l 全m ( 2 2 3 ) 证明：由引理2 2 1 对于任意的，有一个足够大的t 1 0 使得当t t 1 时， m ) ( 石b ) m + sp l 因此，考虑系统( 2 1 1 ) 的第一个方程，当t t l + h 时 ) 刈吼1 一肿) ) 一帅) ( ( 去) m 刊+ 州圳踯) 即 撬i n r ) ( 赢端) l 注意到可以是任意小的正数因此结论成立引理2 2 2 证毕 1 2 由于r 。 1 ，那么存在两个正常数口和p 使得： 这里记 即 职等等九1 一唧【- ( 肛 + q 朋面品 1 构造l y a p u n o v 函数 舻= ( 筹茄 1 一蚓叱 + q 艄 p l s ( p 2 + a ) m 帅) = m ) + 仁 触川跏+ ( u ) d u ( 2 2 5 ) 沿系统( 2 1 1 ) 的轨线求导得： 矿= 咿( + n ) s ( t + h ) 一m ( t ) 一入( ) ，( 亡) 眵l s ( t + h ) 一( p 2 + 入) m l i ( t )( 2 2 6 ) 我们认为对于所有的t t l ，( t l 是任意非负常数) ，( t ) o l 是不可能的假设此说法错误， 1 3 三类非自治模型的数学分析 那么当t t l + h 时， 雪= 一p ( ) s ( t ) ， 一 ) 一肛1 ( 亡) s ( ) + 6 ( ) ( 1 一错) + ( ) 冗( t ) 一q p m s ( ) 一p 1 ( ) s ( ) + 6 ( ) ( 1 一夙( t ) ) ( 2 2 7 ) = 6 ( ) ( 1 一p 1 ( t ) ) 一( p 1 ( 亡) + q p m ) s ( t ) 当t t 1 + h 时，对上面不等式从t 1 + h 到t 求积分，得 s ( ) s ( t 1 + h ) e x p ( 一片+ ，l ( p 1 ( s ) + a z m ) d s ) + + ，i6 ( s ) ( 1 一历( s ) e x p ( 片( p 1c o ) + q m ) d 口) ) d s + 妻末最桫( 肛( s ) + a 3 m ) e x p ( f ( p - ( p ) + q p m ) d e ) d s ( 警车器密) l + h ( p + q p m ) ) e x p ( 片( p + q p m ) d s ) d s ( 署莩磊离) l + ( p + q p m ) ) e x p ( p + q 卢m ) ( s 一) d ( s t ) ( 警车善离) l ( 1 一e x p 一( 肛 + p m ) 一t 一 ) 】) ( 2 2 8 ) 当t t 1 + h + p ：at 2 时 踯) ( 等等九1 一e x p 七 + 扩) p 】) = s ( 2 2 9 ) 通过上面不等式，对于所有的t t 2 我们得到： 矿 p l s 一( p 2 + 入) m 】，( t ) 记扣口黜。】，( t 2 + h + 口) 接着，我们要证明对于所有的t t 2 有i ( t ) i 假设它不成立，那么存在t 0 使得对 所有的t 2 t t 2 + h + t 有i ( t ) 皇，( 2 + h + t ) = i 和，( 2 + h + t ) 0 另一方面， 1 4 第二章具有出生率密度制约的非自治s i r s 模型 通过系统( 2 1 1 ) 第二个方程，当t = t 2 + h + t ， i = ( ) s ( ) ，( 亡一h ) 一p 2 ( ) ，( z ) 一a ( t ) i ( t ) ( f i n s 一( 肛2 + 入) m h 0 这里出现矛盾因此，对于所有的t t 2 ，有i ( t ) 主相应的，对于所有的t t 2 ，我们 有： 矿归l s 一( 肛2 + a ) m 量 0 从以上可以推出当t _ + 时，v ( t ) _ + o o 根据引理2 2 1 ，v ( t ) 是有界的，矛盾出 现因此，认为对于所有的t t l ( t i 是任意非负常数) ( ) 口是不可能的论断是正确的 所以我们将要讨论接下来的两种情况： ( 1 ) 对于所有的大t ，i ( t ) q ( 2 ) 对于所有的大t ，i ( t ) 关于q 振荡 最后，我们将要证明对于足够大的t ，有i ( t ) a e x p - ( # 2 + a ) m ( + p ) 显然我们只需 要考虑情况( 2 ) 让t l 和t 2 是充分大使得 i ( t 1 ) = i ( t 2 ) = q ，t ( t l ，t 2 ) ，i ( t ) h + p ，对于所有的t t 1 ，t 1 + + 翻那么很 明显有i ( t ) a e x p 一( p 2 + 入) m ( + j d ) 通过( 2 2 9 ) ，可以得到对于t t l + + p ，t 2 】，有 s ( t ) s 因此，我们认为在【t l + + p ，t 2 】上有i ( t ) q e x p - ( p 2 + a ) m ( + p ) 】假如不 成立，那么存在个t + 0 使得对于所有的t i t l ，t 1 + + p + t 】有i ( t ) a e x p - ( # 2 + a ) m ( 九+ 力】，( t l + h + p + t + ) = ae x p 一( 肛2 + a ) m ( 尼+ p ) ，和j ( l + h + p + t 4 ) s0 15 三类非自治模型的数学分析 通过系统的第二个方程，当t = t l + h + p + t + 时，可以进一步得到 ，= p ( ) s ( 亡) ，( 亡一h ) 一p 2 ( ) ，( t ) 一a ( t ) i ( t ) ( p l s 一( p 2 + 入) m ) qe x p 一( 弘2 + 入) m ( 九+ j d ) 0 这里出现矛盾所以，对于所有的t 【t l ，t 2 】有i ( t ) o t e x p 一( p 2 + a ) m ( + j 9 ) 因此 t 里臻1 n f i ( t ) a e x p 一( p 2 + 入) m ( + j d ) 】= am 2 0 引理2 2 3 证毕 通过系统( 2 1 1 ) 的第三个方程和引理2 2 3 ，我们很容易得到： 。里1 n 吲蛇m 2 ( 熹) l = m 3 。 因此，根据引理2 2 1 2 2 3 可知系统( 2 1 1 ) 是永久持续生存的定理2 2 1 证毕 接下来，我们将要用下面的引理证明疾病的绝灭性 引理2 2 4 考虑一个具有时滞的微分方程 老= a l x ( t h ) 一a 2 x ( t )( 2 2 1 0 ) 其中a l ，a 2 是两个常数假如0 a l t 时， j = p ( ) s ( ) ，( 亡一h ) 一p 2 ( ) ，( ) 一a ( t ) i ( t ) ( p 2 + 入) m ( 石氅) m ( ( ( 者) m + ) ) ，( 一九) 一，( 亡) 利用泛函微分方程比较定理和引理( 2 2 4 ) ，可以得到l i m ，( 亡) = 0 + 十o 。 1 7 第三章具有双周期时滞捕食被捕食模型的周期解 第三章具有双周期时滞捕食被捕食模型的周期解 本章研究了一类双周期时滞和基于比率的h o l l i n gi i 型功能性反应的三种群食物链 系统，利用重合度理论建立了这类系统的正周期解存在的一个充分性判据 3 1 模型的建立与描述 捕食一被捕食模型中存在着各式各样的功能反应函数，其中常见的是h o l l i n gi 、 h o l l i n gi i 、h o l l i n gm 型，很多文献都已经对此作了研究例如 2 3 - 2 5 】这些研究主要针 对带有单一功能反应函数的模型而近年来很多学者开始研究具有多种混合功能反应函数 和时滞的模型 2 6 - 2 8 ，这样的模型更具有实际的意义 最近徐和陈 2 9 】研究了如下具有时滞的三种群基于比率和h o u i n g 型的食物链系 统： z 1 ( )= z 1 ( ) ( n 1 一a l lf o k i ( s ) z 1 ( 七一s ) d s 一鬲再a 磊1 2 可x 再2 ( ：t 丽) ) z 2 ( 亡) = z 2 ( ) ( 一。2 - - a 2 1f ( s ) 翥) ( 3 工1 ) 叠3 ( t ) = z 3 ( ) ( 一n 3 4 - a 3 2 伊甄( s ，m 2 3 z 。( x 汹2 ( t - ) 慨s ) ( h ) 一d s ) 系统( 3 1 1 ) 的生态学意义，可以参考文献 2 9 】 然而，有些情况下季节性的变动会使一些参数呈现周期性变化，此时系数依赖于时间 的模型更符合实际，因此我们讨论系数依赖于时间模型是很有必要的很多学者已经研究 了此系统并且证明了周期解的存在性，如文献 3 0 ，3 1 】 1 9 三类非自治模型的数学分析 在本文中我们研究了如下具有双周期时滞的非自治模型 z 1 ( t ) = z 1 ( t ) ( n 1 ( ) 一五q ( 1 t ) i t + ) x b 2 z c 。t ) 两) z 2 ( ) = z 2 ( ) ( 。z ( t ) + 而黜群淼一锱搿) ( 3 土2 ) z 3 ( t ) = z 3 ( t ) ( 一。3 ( ) + 释糊篝擗) 其中，x i ( t ) ( i = 1 ，2 ，3 ) 分别代表食饵密度，捕食者密度和最高捕食者密度a l ( t ) ，n 2 ( ) ，a a ( t ) ， q a ( t ) ，q 2 ( t ) ，q l ( t ) ，q 2 ( ) 是正的连续的u 周期函数，n ( t ) ，r 2 ( t ) 是非负连续的u 周期函数， b ，b 都是正常数 3 2 周期解的存在性 为了得到系统( 3 1 2 ) 周期解的存在性，我们根据g a i n s 和m a w h i n 重合度理论中的 连续性定理给出下面的结果 设x ，z 是两个b a n a c h 空间，l ：d o m lcx _ z 是个线性算子，n ：x _ z 是 个连续算子假如l 在z 中是闭的并且核l 的维数等于像l 的余维并且有界，那么l 是一个零指标f r e d h o l m 算子 假如l 是一个零指标f r e d h o l m 算子，那么存在投影算子p ：x _ x ，q ：z _ z 使 得，m 尸= k e rl ，i m l = k e rq = i m ( i q ) 我们有l i d o m ln k e rp ：( i p ) x _ i m l 是可逆的，用郧表示它的逆 假如q 是x 上的有界开集，那么算子在q 上是l 紧的，如果满足( q ) ( q ) 是有界 的而且k p ( i q ) n ：q _ x 是紧的q 的像与l 的核是同构的，记为j ：i m q _ k e rl 引理3 2 1 a 2 1 设x ，z 是两个b a n a c h 空间，l 是一个零指标f r e d h o l m 算子，算 子在q 上是己紧的假定： 2 0 第三章具有双周期时滞捕食被捕食模型的周期解 ( a ) 对每一个a ( 0 ，1 ) ，z a qnd o t a l ，l x 入z ； ( b ) 对每一个z a qn k e rl ，q n x o ； ( c ) d e g ( j q n ，f tn k e rl ，0 ) o ； 那么l x = n x 在d o t a lnq 上至少有一个解 为方便起见，我们将采用如下定义 】，- u 忙言z 让( 。) 出 其中u 是一个严格正连续u 周期函数 定理3 2 1 假设 q 2 a 3 b ，甄 西b 成立，那么系统( 3 1 2 ) 至少存在一个正u 周期解 证明：因为系统的解对于所有t 0 都是正的，令让1 ( 亡) = l n 陋( t ) 】，u 2 ( t ) = h l 【z 2 ( ) ，u 3 ( t ) = 1 n z 3 ( 亡) 】，则系统( 3 1 2 ) 变成 心1 ( ) = n 1 ( ) 一e x p 卫( u l 监( t ) ) + 型b 亟e x p 业( u 2 一( t ) ) 心2 ( ) = n 2 ( ) + 葡毒蒜胖器怨而一鬻渊 ( 3 2 1 ) 讧3 ( t ) = - a 3 ( ) + 盟l + b 塑e x p 出( u 2 幽( t - v 2 ( t ) ) ) 为了应用引理3 2 1 于系统( 3 2 1 ) ，我们取 和 x = z = 让+ ( t ) = u 1 ( ) ，u 2 ( ) ，u 3 ( t ) t c ( r ，r 3 ) ：u i ( 亡- i - u ) = u ( ) ，i = l ，2 ，3 ) u + i | = i i ( u ( 牝( 帆( ) ) t i i = e ：。吲m a x 1 u t ( ) ( 3 2 2 ) 2 1 三类非自治模型的数学分析 这里”i i 代表欧几里得范数，容易看出x ，z 都是b a n a c h 空间 令 l ：d o m ln x _ x ，l ( u 1 ( ) ，u 2 ( t ) ，让3 ( t ) ) 丁= ( 1 ，吐2 ，缸3 ) t 其中d o m l = ( ( u 1 ( ) ，u 2 ( ) ，札3 ( t ) ) t ) c 1 ( 冗，r 3 ) 和n ：x x u l u 3 a l ( t ) 口2 ( 亡) + 葡可q h l ( t ) ( t ) e x ) p ) + ( u b l ( e x p t - r ( 1 u ( 。t ) o ) ) 习丽一篙嬲 定义两个投影p 和q 为 明显的 p 仳1 u 3 k e rl = = q u l n 3 ( t ) + 锷舞 五1l ：u l ( t ) d t j 1 姥u 2 ( t ) d t 毛诺u 3 ( t ) d t u l u 3 x = z u + i u + x ，u + = 萨】，j m l = 矿i z + z ，u z + ( t ) 出 在z 中是闭的并且d i m k e rl = c o d i m l m l = 3 = o ) ( 3 2 3 ) 因此，l 是一个零指标f r e d h o l m 算子更进一步，容易证明到l 的广义逆郧： i m l _ k e rpnd o t a l 有如下形式 2 2 因此 脚艳) ) _ ( s ) d s _ ：1 o uf o tz * ( s ) 捌t ( 3 2 4 ) 第三章具有双周期时滞捕食被捕食模型的周期解 和 q + = 石1 眉 q 1 ( ) 一而q l ( t ) e x p ( u 2 ( t ) ) ， d t 当刖n 2 ( ) + e x p ( j u l ( t 幽- - i 1 ( 塑t ) ) ) + 呲be 垫x p ( u 鱼2 l ( t -