（等离子体物理专业论文）利用矢量有限元法求微波多端口网络的s参数.pdf

摘要 摘要 微波管是微波毫米波电真空器件中最重要的器件之一，它具有高功率、高增 益、高效率、宽频带等优点，在通信、雷达、电子对抗等领域中得到了广泛的应 用，是国家重大专项的核心电子器件。“宽带大功率行波管c a d 技术研究 是我国 独立提出的，是一项长期的国家级高科技课题，是行波管由设计到制管的关键环 节。电子科大从2 0 0 3 年起主动承担了该课题中最重要五个模块( 电子枪、螺旋线 高频电路、互作用、收集极、聚焦系统) 的研究任务，并开发了基于w i n d o w s 系统 的“宽带大功率行波管c a d 集成环境软件。本学位论文在“宽带大功率行波管 c a d 技术研究”课题项目的指导下，基于许多前辈研究学者们辛勤研究成果的基础 上进行矢量有限元本征值及模式激励方面的研究工作。课题的目的在于实现任意 截面多端口网络s 参数计算。 第一章简要介绍了微波管的c a d 发展状况及有限元在微波c a d 中的应用。 第二章介绍了矢量有限元理论及任意结构、任意介质加载二维、三维本征模 式计算。该章后部分介绍了有限元最常用的匹配手段各向异性介质完全匹配层及 其相关理论。最后，本章详细介绍了求解激励问题的端口边界条件。 第三章分析了h e h n h o l t z 方程弱形式与端口模式展开结合求解任意结构端口 微波网络s 参数方案，并对在此理论基础下的g a l e r k i n 加权余量法、广义散射矩 阵法及j i n - f al e e 方法进行分析。本章最后还针对g s m 方法进行了解析激励和数 值激励的离散化工作。 第四章简要介绍了模型网格划分、节点编号及矩阵求解相关理论。 第五章对介质加载二维、三维本征值问题及s 参数程序计算结果进行分析并 利用h f s s 计算结果对比验证算法正确性。在求解二维本征值问题过程中，论文计 算了有耗、各向异性介质加载的任意结构波导模式传输系数、色散曲线和模式电 场分布。由于三维本征值问题和二维本征值问题理论很近似，论文仅对槽结构及 各向异性介质填充的谐振腔模型进行计算。对于s 参数求解模块，论文采用广义 散射矩阵法。该方法通过归一化电压和归一化电流直接求解出归一化的导纳矩阵， 进而求解出微波网络的s 参数矩阵。和其它采用模式展开的方法相比，g s m 方法矩 阵求解过程简单，且能直接求解出任意微波网络的s 参数。通过结果对比发现， 程序计算结果和h f s s 计算非常接近。 摘要 第六章对全文进行了概括性的总结，指出了本文的主要工作。同时给出了下 一步研究工作的建议。 关键词：s 参数，有限元模式展开，完全匹配层，广义散射矩阵，h e l m h o l t z 弱形 式 i i a b s t r a ( 了r a b s t r a c t m i c r o w a v ew a v et u bi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n te q u i p m e n t s ，w h i c hi so n ek i n d o f1 l i g hp o w e r , h i 曲g a i na n db r o a d - b a n dm i c r o w a v em i l l i m e t e rw a v ea m p l i f i e r s t h e ya r ew i d e l yu s e di nc o m m u n i c a t i o n , r a d a rs y s t e ma n de l e c t r o n i cw a r f a r e ，t a k i n g a l li r r e p l a c e a b l er o l ei nm o d e m m i l i t a r ye l e c t r o n i ce q u i p m e n t sa n dc o m m u n i c a t i o n t h e s u b j e c to f ”c a dt e c h n o l o g yr e s e a r c ho fw i d eb a n dp o w e rt w t 什i si n d e p e n d e n t l yp u t f o r w a r db yc h i n aw h i c hi sal o n g - t e r mh i g h t e c h n o l o g ys u b j e c t ”c a dt e c h n o l o g y r e s e a r c ho fw i d e b a n dp o w e rt w t ”i st h ek e ys t e pf r o mt h ed e s i g nt om a n u f a c t u r ef o r 册i n2 0 0 3 ，t h eu e s t ct o o ki nh a n dt h er e s e a r c ho ft h ef i v em o s ti m p o r t a n t m o d u l e s i n c l u d i n gu e s t c g u nm o d u l e , u e s t c h e l i xm o d u l e ，u e s t c b w t m o d u l e , u e s t c m d cm o d u l ea n du e s t c f p p mm o d u l e w i t ht h eg u i d eo ft h e r e s e a r c hg r o u pi n ”c a dt e c h n o l o g yr e s e a r c ho fw i d eb a n dp o w e rt t ，t h ep a p e rd i d $ o m er e s e a r c hi nt h esp a r a m e t e ra n de i g e n v a l u es i m u l a t i o nw h i c hb a s e do nv e c t o r f i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h eg o a li st oa c h i e v ea r b i t r a r yc r o s s - s e c t i o nm u l t i - p o r tn e t w o r k sp a r a m e t e r ss i m u l a t i o n c h a p t e rib r i e f l yi n t r o d u c e d t h ed e v e l o p m e n to fm i c r o w a v et u b ec a da n d a p p l i c a t i o no f f i n i t ee l e m e n ti nm i c r o w a v ec a d c h a p t e ri ii n t r o d u c e dt h ev e c t o rf i n i t ee l e m e n tm e t h o dt h e o r ya n d t h es i m u l a t i o no f t h ea r b i t r a r ys h a p e dw a v e g u i d ef i l l e dw i t ha n i s o t r o p i cd i e l e c t r i ca n dt h ec a l c u l a t i o no f t h et h r e e d i m e n s i o n a lr e s o n a n tc a v i t ye i g e n v a l u e t h el a t t e rp a r to ft h e c h a p t e r d e s c r i b e st h ep e r f e c t l ym a t c h e da n i s o t r o p i cl a y e rw h i c hi sa s s u m e dt or e a l i z et h e u n l i m i t e db o u n d a r yc u t o f f f i n a l l y , t h i sc h a p t e rd e s c r i b e dt h ew a v ep o r tb o u n d a r y c o n d i t i o nw h i c hi sw i d e l yu s e di nsp a r a m e t e rs i m u l a t i o n c h a p t e ri l la n a l y z e dt h ew e a kf o r mo fh e l m h o l t ze q u a t i o na n dt h ep o r tm o d e m a t c hm e t h o di nsp a r a m e t e rs i m u l a t i o nw h i c hc o n t a i n st h eg a l e r k i nw e i g h t e dr e s i d u a l m e t h o d ，t h eg e n e r a l i z e ds c a t t e r i n gm a r xm e t h o da n dt h ej i n - f al e em e t h o d l a t t e r p a r t so f t h i sc h a p t e ri n t r o d u c e dt h eg s m f o r m u l a t i o nd i s c r e t i z a t i o n c h a p t e ri vb r i e f l yi n t r o d u c e dm e s h i n g ，e d g el a b e l i n ga n dm a t r i xs o l v i n g c h a p t e rve m p h a s i z e do nt h ea n a l y s i so ft h er e s u l t sa b o u tt h ea l g o r i t h m sw h i c h m a b s t r a c t i n c l u d e st w o - - d i m e n s i o na n dt h r e e - - d i m e n s i o ne i g e n v a l u ec o m p u t a t i o nm o d u l ea n ds p a r a m e t e r sc o m p u t a t i o nm o d u l e i nt h et w o d i m e n s i o ne i g e n v a l u ep r o b l e m s ，t h e p r o p a g a t i o nc o n s t a n t , t h ed i s p e r s i o na n dt h ee l e c t r o m a g n e t i c f i e l dd i s t r i b u t i o no f d i f f e r e n tm o d e si nw a v e g u i d ew e r ec a l c u l a t e da n da n a l y z e di nd i f f e r e n tm e s hd e n s i t y a l s o ，t h ee i g e nf r e q u e n c yo ft r o u g hs t n 】曲】r er e s o n a n tc a v i t ya n da n i s o t r o p i cm e d i a l o a d e dr e s o n a n tc a v i t yw a sc a l c u l a t e d i nt h esp a r a m e t e r sc o m p u t a t i o nm o d u l e , g e n e r a l i z e ds c a t t e r i n gm a t r i xm e t h o dw a su s e d t h r o u g ht h ec o m p u t a t i o no ft h e n o r m a l i z e da d m i t t a n c em a t r i xw i t ht h en o r m a l i z e dv o l t a g ea n dt h en o r m a l i z e de u r r e n t , t h em i c r o w a v en e t w o r ks - p a r a m e t e rm a t r i xc a nb eg o te a s i l y a c c o r d i n gt ot h e c o m p a r i s o nw i n lt h ec a l c u l a t i o nr e s u l tf r o mh f s s ，t h ea c c u r a c yo fs u c ha l g o r i t h m s m e n t i o n e di nt h i sp a p e rh a sb e e nv e r i f i e d c h a p t e rv is u m m a r i z e da n dc o n c l u d e dt h ew h o l ed i s s e r t a t i o n f u r t h e rr e s e a r c h i s s u e sa n dp o s s i b l er e s e a r c hd i r e c t i o n sw e r ep o i n t e do u t k e y w o r d s ：sp a r a m e t e r , f e m m m ，p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r , g e n e r a l i z e ds c a t t e r i n g m a t r i x ，h e l m h o l t zw e a kf o r m i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特- 另j d i l 以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 签名： 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名： 隘捆 导师签名：趣 日期： 。0 7 年中月阳日 第一章引言 1 1研究背景及意义 第一章引言 真空电子学领域国际资深科学家v i c t o rl g r a n a t s t e i n 提出【l 】：“现代微波电真 空器件的设计，极大地依赖于精确而强大的建模和模拟技术 ；“最近，建模和模 拟软件在精度、速度和计算能力上有了显著的进步；在集成环境中已经达到通过 模拟设计一次制管成功的水平，从而节约了硬件实验的时间和费用 。近四十年以 来，计算机模拟已经广泛应用于微波管的设计与生产中【2 一。 大型通用电磁分析软件在用于具体管型设计时，使用较为复杂，部分情况下 计算精度难以胜任工程设计需要，在微波管行业一般的方法是将大型通用电磁分 析软件结合自己开发的相关软件用于实际制管，或者使用大型通用电磁分析软件 结合实验数据修正自己开发的软件。因此，开发一个能够计算从电子发射、能量 交换及至电子被收集的集成环境，成为微波管c a d 新的发展趋势。 由于大型通用电磁分析软件往往经过长时间的研究和完善，得到的模拟结果 和实际测试结果误差较小，因此，在微波管c a d 的局部设计我们可以借鉴大型软 件设计的思路和方法，并将大型通用电磁分析软件的结果作为具体程序的检验标 准。目前，大型通用电磁分析软件常用的算法有：有限差分法、有限积分法、有 限元法等。其中，有限差分和有限元算法构成了当前电磁计算软件的主流算法。 其原因在于这两种算法易于形成具有较高计算精度的三维矢量场解，可对任意结 构形状、材料分布的电磁问题进行模拟，尤其是有限差分方法还可以比较容易地 对电磁场中的运动粒子进行模拟。 在“宽带大功率行波管c a d 集成环境 项目的框架下，课题组朱小刊8 9 】已 经开展了利用有限积分法对行波管高频结构进行研究，在有限积分法中实现了电 边界、磁边界以及周期结构的准周期边界的加载。但是，对于复杂的模型结构， 采用有限积分法的阶梯近似需要比较多的网格，导致有限积分方程系数矩阵的维 数急剧增加，从而对计算机性能要求增加。利用有限元的四面体网格划分，能有 效解决复杂结构的离散化问题和边界条件加载问题，因而成为课题组新的研究方 向。最近，课题组在有限元的无源加载模型研究方面取得巨大进展。但在微波管 输入输出窗的设计及仿真中，急需计算模型在模式激励情况下的匹配和电磁波反 电子科技大学硕士学位论文 射情况。因此，开展利用有限元计算模式激励下s 参数计算研究工作势在必行。 1 2国内外微波管c a d 技术的发展 在c a d 研究的初期阶段，主要通过研究人员编写微波管计算程序致力于某个 具体单元的模拟。随着计算机技术的飞速发展，微波管c a d 技术在三个方向上同 步交织发展，同时每个方向又正由低级向高级阶段发展。这三个发展方向分别是： 1 ) 微波管各部件c a d 软件由一、二维向三维发展，计算精度逐步提高、易用性 不断增强、图形化的数据表现方式更加直观；2 ) 由初期致力于各部件模拟软件的 开发，发展到开发一整套能模拟电子从发射、能量交换、直至电子被收集的集成 环境；3 ) 基于各种数值算法的大型通用电磁计算软件在微波管行业得到更加广泛 的应用和持续的开发。微波管c a d 技术的目标是：“f i r s t - p a s sd e s i g ns u c c e s s 即通 过模拟一次制管成功。针对特定管型这一目标已经在部分公司实现【4 】。 目前微波管c a d 技术离“f i r s t - p a s sd e s i g ns u c c e s s 这一目标还有一定的距离， 国外正在加大投资和开发力度。如美国国防部资助的m m a c e 项目正在开展3 个 新的项目计划，力争使软件的计算精度达到一个新的高度【5 】。美国国防部1 9 9 1 年 启动的m m a c e 项目，其成果已经开始在美国微波管行业推广使用。美国的休斯 公司开发的一套c a d 软件已经成功用于螺旋线行波管整管设计。乌克兰o r i o n 研 究所开发的一套耦合腔行波管c a d 软件在我国七七二厂得到应用。 同时，大型的商用电磁场分析软件如：h f s s 、a n s y s 、m a g i c 、m a f i a 等 都是从国外进口，国内还没有具有自主知识产权的大型商用电磁场分析软件。对 于军事意义重大的微波管仿真软件，国外更是对中国采取禁运手段。因此，开发 具有独立知识产权的微波管c a d 软件不仅关系着国家的安全，也是突破国外技术 封锁的唯一手段。迄今，我国微波管c a d 技术也经历了近4 0 年的发展，特别是 近十几年来国家对微波管c a d 软件开发的大力资助，使我国的微波管c a d 技术 有了很大的进步。如我国自主开发的“宽带大功率行波管c a d 集成环境 软件已 经在我国微波管行业中推广使用。为了使我国的微波管c a d 技术能够紧跟国际发 展步伐，我们还有很多工作要做，前路任重而道远。 1 3 有限元法的在微波c a d 中的应用 目前国际上已有多个大型电磁分析软件，这些软件可以对复杂的几何结构、 2 第一章引言 复杂的媒质分布、各种初始条件下的各种电磁现象进行数值计算。表1 - 1 为目前国 际上部分电磁计算软件的名称、算法和相关应用领域。 表1 - i国际上主要电磁计算软件的名称、算法及应用领域 作为电磁计算软件主流算法之一的有限元，最早由c o u r a n t 于1 9 4 3 年提出。 五十年代初期，由于工程分析的需要，有限元法在复杂的航空结构分析中最先得 到应用，而有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 这个名称则由c l o u g h 于1 9 6 0 年在其著 作中首先提出。1 9 6 5 年，w i n s f o w 首先将有限元法应用于电气工程问题，其后， 1 9 6 9 年s i l v e s t e r 将有限元法推广应用于时谐电磁场问题。发展至今，对于电气工 程领域，有限元法己经成为各类电磁场、电磁波工程问题定量分析与优化设计的 主导数值计算方法，并且无一例外地是构成各种先进、实用计算包的基础。 传统的有限元法以变分原理为基础，把所要求解的微分方程型数学模型一边 值问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后，利用剖分插值， 离散，化变分问题为普遍多元函数的极值问题，即最后归结为一组多元的代数方 程组，解之即得待求边值问题的数值解。可以看出，有限元法的核心在于剖分插 值，它是将所研究的连续场分割为有限个单元，然后用比较简单的插值函数来表 示每个单元的解，但是它并不要求每个单元的试探解都满足边界条件，而是在全 部单元总体合成后再引入边界条件。这样，就有可能对于内部和边界上的单元采 用同样的插值函数，使算法得到极大的简化。此外，由于变分原理的应用，使第 二、第三及不同媒质分界面上的边界条件作为自然边界条件在总体合成时将隐含 地得到满足，也就是说，自然边界条件将被包含在泛函达到极值的要求之中，不 必单独列出，而唯一需考虑的仅是强制边界条件( 如第一类边界条件) 的处理，这就 进一步简化了方法的构造。 电子科技大学硕士学位论文 前 处 理 数 据 处 理 后 处 理 座黧。j 图1 - 1f e m 工程分析流程 传统的有限元也被称为标量有限元，它在求解电磁场边值问题时，先将场域 划分成有限的m 个单元，然后按这些单元的结点进行插值，并不考虑每个单元棱 边上的切向场分布的连续性。利用插值结点的结点基单元来表示矢量电场或磁场 时，往往会出现以下问题： ( 1 ) 由于未强加散度条件而所引起有非物理的伪解出现； ( 2 ) 由于结构相关的场的奇异性造成处理导体和介质边缘及角的困难性； ( 3 ) 缺少通用的处理方法； 为了处理以上问题，人们引入了矢量基，该方法其实是将自由度赋予了棱边 4 第一章引言 而不是单元节点，将场离散到每个离散单元的棱边上，并考虑棱边上场的方向， 因而它体现了棱边上切向场的连续，保证了解的唯一性【卸。 图1 1 为利用有限元法进行工程分析的整体流程，主要包括：( 1 ) 有限元模型 的建立和数据输入( 前处理) ；( 2 ) 用有限元法分析软件包进行工程计算( 数据处理) ； ( 3 ) 有限元分析结果的判读和评定( 后处理) ； 1 4 s 参数仿真理论及发展 对于实际电路s 参数的测量，通常采用匹配网络实现端口匹配并利用网络分 析仪测量匹配情况下s 参数。与实际电路测试相似，在微波c a d 的s 参数仿真中 需要同时实现端口激励和剩余端口匹配。 对于激励源加载，f d t d 采用强迫激励源和总场散射场体系，而f e m 则采用 与f d t d 类似的线电流激励、面电流激励和场激励。 为实现端口匹配，需要在微波端口处给出相应的吸收边界条件。吸收边界条 件从开始简单的插值边界到后来广泛采用的m u r 吸收边界条件，以至近几年发展 的完全匹配层吸收边界条件，吸收效果越来越好。插值边界和m u r 吸收边界条件 是令截断边界处满足一定的数学条件，从而使得电磁波在该处无反射波。1 9 9 4 年， 由b e r e n g e t l l 2 】提出的完全匹配层( p m l ) 采取另一种思路：即用一种假想的有耗介质 涂敷于截断边界表面来“物理地 吸收电磁波并使电磁波无反射，从而使截断边 界处的边界条件简化，这就相当于在有限空间实验室内的墙壁上涂以吸波材料来 模拟电磁波在无界情况下的传输过程。此后，p m l 被广泛地应用于时域有限差分 法( f d t d ) 中。1 9 9 5 年，z s s a c k s 提出了适用于有限元法的p m l 的理论解释，随 后，j o y u w u 1 3 】等将p m l 应用于有限元法分析电磁辐射、散射问题中。 同时，利用模式场的正交性也能实现端口匹配。模式正交性的基本思路是微 波端口上任意场都可以表示成无限多模式场按不同比例叠加而成。1 9 6 7 年，w e x l e r 在该理论基础下最先提出基于模式展开的场匹配法。1 9 8 5 年，c h c h e r t 和 r u e y - b e e iw u 将其用于求解二维平面m m i c 问题。19 9 6 年，r u e y - b e e iw i u 将其用 于求解三维波导不连续性问题，其计算结果与实际测试结果相当吻合。 在s 参数数值模拟过程中，模型端口激励和匹配方法决定了s 参数的计算精 度和通用性。鉴于通用性方面的考虑，文章在求解s 参数中采用基于h e l m h o l t z 方程弱形式与模式展开法相结合的数值仿真方法。 5 电子科技大学硕士学位论文 1 5 本课题的工作内容 本课题立足通用软件开发，目的在于计算微波多端口网络的s 参数计算。在 设计过程中，参考了商业电磁仿真软件h f s s 的设计思路，在前处理阶段对实际问 题进行假设并利用建模软件设计系统模型，并确定系统的定解条件。根据定解条 件构造具体的离散化矩阵，并利用矩阵求解器求解，进而获得多端口网络的s 参 数矩阵。最后，将h f s s 软件的计算结果作为有限元程序设计的参考标准，检验程 序设计的正确性。 主要研究内容： ( 1 ) 推导并分析二维波导、三维谐振器本征值及本征场问题，编写本征值问题 通用求解模块。 ( 2 ) 分析完全匹配层理论并实现矢量有限元中开放结构的完全匹配层截断。 ( 3 ) 进行有限元s 参数求解方案分析及确定。 ( 4 ) 推导三维问题中h d m h o l t z 方程的弱形式及模式展开相关理论，并对公式 离散化和编程实现。 ( 5 ) 模型处理，网格划分及相关编号，构建模型有限元计算矩阵，并利用广义 散射矩阵法求解任意模型s 参数。 ( 6 ) 学习h f s s 软件，利用h f s s 软件仿真结果验证算法正确性。 本论文的主要创新点如下： ( 1 ) 对于本征值问题，论文实现了有耗、无耗、各向异性介质加载谐振腔本征 值及本征模式场计算的通用程序编写。对于开放性结构，论文采用各向异性介质 完全匹配层实现截断。 ( 2 ) 对于s 参数求解，作者仅发现国内东南大学毫米波国家重点实验室在从事 采用模式匹配法进行s 参数计算工作。从发表的文章上看，其理论基础与本论文 一致，都是采用h d m h o l t z 方程的弱形式和模式匹配相结合的方法。但是，其计算 的模型仅局限于规则结构微波端口，涉及的端口模式为解析模式。论文通过先求 解微波端口的本征场，再将模式场进行归一化并代入s 参数求解模块，实现了任 意结构端口微波网络s 参数求解。在s 参数求解模块中，论文采用的是广义散射 矩阵法。该方法与国内相关文献采用的g a l e r k i n 加权余量法相比，无需先求出总 场而是通过直接求解归一化导纳矩阵进而求s 参数，大大的降低了程序的复杂度。 在结果分析中，论文通过分析介质加载模型、不规则端口模型及多端口模型验证 算法的通用性及正确性。 6 第二章有限元方法的原理 第二章有限元方法的原理 2 1 电磁场矢量有限元法 在用有限元法求解电磁场边值问题时，经典的方法是用由插值结点数值而获 得的结点基单元来表示矢量电场或磁场。当采用经典的方法时，会遇到几个严重 的问题。首先，在求解结果中含有一系列不易辨别的非物理解或伪解( s p u r i o u s s o l u t i o n s ) 。其次，在材料界面和导体表面强加边界条件很不方便。再次，处理导 体和介质边缘及角等奇异边界时存在很大的困难。对于上述的几个问题人们经历 了很多年的探索，提出了一系列的处理方法。特别是如何消除伪解是上世纪八十 年代以来人们努力探索的课题，十几年来人们提出了很多消除伪解的方法，大致 可以分成两类：一类是如何强加条件v 曰= 0 的思路下发展出来的，另一类是在保 证构造的有限元空间在旋度协调，同时各分量插值多项式的阶次要合理匹配的思 路下发展出来的，前者是从经验出发的，以泛函的伪解不满足条件v h = 0 的事实 为依据的，后者是以有限元方法的收敛理论为依据的。边棱元法( e d g e e l e m e n t m e t h o d ) 又称切向矢量有限元法，就是在后一种思路下发展出来的。这种方法使用 矢量基或矢量元，它将自由度赋予棱边而不是单元结点。 虽然w h i t n e y 早在1 9 5 7 年就描述过这些类型的单元，但它们在电磁学中的应 用及重要性直到上世纪8 0 年代才被认识到，首先n e d e l e c 讨论了四面体和矩形块 棱边元的构造，b o s s a v i t 和v e r i t e 将四面体棱边元应用于三维涡流问题。h a n 独立 地导出了基于矩形棱边元的有限元法，并用于介质加载波导的数值分析。后来m u r 和d eh o o p 考虑了非均匀媒质中的电磁场问题，v a nw e l i j 和k a m e a r i 应用六面体 棱边元进一步实现了棱边元在涡流计算中的应用。1 9 8 7 年，b a r t o n 和c e n d e 、将 四面体棱边元用于三维磁场计算，同时c r o w l e y 提出了一种更复杂的单元类型， 即协变( c o v a r i a n t ) 投影单元，它允许单元带有弯曲的棱边。在国内，周乐柱教授对 四面体单元进行了介绍，并将之用于谐振腔的分析。徐善驾教授应用矢量有限元 对各种微波器件及毫米波器件辅助设计进行分析研究。另外，饶忠明、章文勋教 授等也做了一些工作。在所有这些工作中已经证明：比较起利用强加条件v h = 0 的思路发展的罚函数，边棱元法不仅能有效的消除伪解而且具有易于强加边界条 件、易于处理奇异边界、变量少、使用方便等优点。由于边棱元法的这些诱人的 7 电子科技大学硕士学位论文 优点，近年来得到了广泛的应用，被用来求解三维介电负载电磁谐振腔的问题和 具有非线性材料的谐振腔问题，二维三维波导问题，周期性结构问题，导波结构 不连续问题，半导体器件问题，辐射散射问题等，很多工作与经典的有限元法应 用在高频场的工作相仿，大有取而代之之势。 表2 1 列出了电磁场中每种问题典型的处理方法和文献，对不同的具体问题， 泛函的表达式可以化简，至于泛函表达式的化简，针对性和技巧性都很强，具体 技巧可以参考每种问题的代表文献。 表2 1 电磁学中各类问题的有限元处理方法 问题处理方法 不含介质的金属波导 用e z 或h z 泛函表达式求解 无耗各向同性介质填充波导全磁( 电) 场的矢量泛函 导波结构 有耗各向同性介质填充波导全磁( 电) 场的矢量泛函 本征值 无耗各向异性介质填充波导全磁( 电) 场的矢量泛函 有耗各向异性介质填充波导全磁( 电) 场的矢量泛函 手征媒质填充波导全磁( 电) 场的矢量泛函 传输型谐振腔与导波结构本征值求解相同 谐振腔 非传输型谐振腔三维有限元方法 不连续阶梯型不连续 1 、有限元、鼍三燃相结合2 、 问题 非阶梯型不连续三维有限元方法 周期性结构 l 、有限元、模匹配及多模网络相结合2 、 三维有限元方法 1 、吸收边界条件2 、有限元法与矩量法 散射问题 相结合3 、m e i 方法 将矢量有限元与其他方法的结合成为近几年研究热点。s i l v e s t e r 和h s i e h 以及 m c d o n a l 和w e x l e r 首先将有限元与边界积分方程相结合对电磁问题进行分析，经 过多年的发展，有限元与边界积分方程法己发展为有限元应用领域的一个非常活 跃的研究方向；s t u p f e l 将矢量有限元与区域分裂技术相结合讨论了二维及三维柱 体的散射问题；南京航空航天大学的丁卫平将矢量有限元与物理光学及物理绕射 理论相结合对各种电磁问题作了非常广泛的研究：南京航空航天大学的何小祥将 超松弛重叠及非重叠区域分裂法( d d m ) 与矢量有限元法( f e m ) 、边界积分方程( b i e ) 第二章有限元方法的原理 法相结合对三维电大尺寸开口腔体的电磁散射特性进行分析。 2 2 变分原理 变分方法是通常用于建立有限元法的方法之一。变分方法具有几个优点。主 要优点在于它有牢固的数理基础，其公式也有明确的物理解释。另一个优点在于： 通过变分过程，能够清楚地说明必要边界条件和自然边界条件之间的区别。 应用变分法建立有限元，传统的方式是采用标准的变分原理。标准变分原理 中，微分方程的算符必须是自伴的。对一个自伴算符，算符本身以及边界算符必 须是实数或实函数。另外，边界条件必须是齐次的。然而，在许多电磁学问题中， 算符通常是复数或复函数，且边界条件也常常是非齐次的。因此，去掉这两个条 件十分重要，否则，它们将严重限制变分方法的应用。 美国u i u c 大学的金建铭教授在标准变分原理的基础上提出了一种基于希尔 伯特( h i l b c r t ) 空间中内积的广义变分原理。该变分原理中边界条件可以为非齐次， 自伴算符也可以是复数或复函数。在这种变分原理下得出的泛函表达式可以求解 任意有耗媒质的电磁场问题。广义变分原理可以写成： 对于下式定义的微分方程边值问题： 竺2 ( 2 - 1 ) = p 彳为微分算符，p 为在边界上的值。 可以通过求解下列泛函的变分问题得出( 2 1 ) 的解： f ( ) = ：1 ，( a o ，) 一寺( 4 ，) + 毒( ，舢) ( ，厂) ( 2 - 2 ) 是满足给定非齐次边界条件的任意函数。上式中的内积定义如下： ( ，) = l q ( 2 - 3 ) 2 3 全电( 磁) 场泛函表达式 经过国内外学者的大量理论和实践证明，全电( 磁) 场泛函表达式种适用面 很广的泛函形式，能够求解电磁场中各种复杂的本征值问题，并且能获得较高的 计算效率。本专题研究就采用这种泛函，下面给出在广义变分原理下，全电( 磁) 9 电子科技大学硕士学位论文 场泛函的推导。从频域m a x w e l l 方程出发，利用两个旋度方程可以推出电磁场的 矢量波动方程。 对电场： v ( 去v 后卜班一j k o z o y 对磁场： v ( 吉v 豆) 一碍以厅= v ( 毒歹 经常出现的边界条件是应用于导电面上的边界条件： 磊豆：0 h x v 膏：0 以及应用于导磁面上的对偶条件： h x v x 云：0 菇膏：0 去五( v 豆) 切( 抛) = 痧 i 1 螽( v 膏) + 以蠢( 五疗) = 矿 ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 其它可能会出现的边界条件( 尽管不经常出现) 是第三类边界条件，可表示成式( 2 - 1 0 ) 和式( 2 - 1 1 ) 。其中，以和九是已知参数，疗和矿是已知矢量。显然，这两个方程可 用来表达阻抗边界条件和索末菲辐射条件。两种不同媒质分界而上的连续性条件 为： 】；豆+ ：五雷一 五疗+ ：而膏一 也可以写成： 专n x ( 一v x 雷+ ) = 去n “x ( 一v x 营一) i 丘i = 一i 厶i 疋 、 峨 ) 1 0 ( 2 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) ( 2 1 4 ) 第二章有限元方法的原理 专五( v 百+ ) = 当而( v 厅一) ( 2 - 1 5 ) f ( 雷三2 三c 丢( v 豆) ( v ? 一瑶豆豆 y 。2 。6 ， + 皿l 孥( 五后) ，( 五豆) + 营衫p + 风z 0m 雷沈矿 f ( 豆) = 三f f c l 考( v 膏) 。( v 膏) 一铂豆膏p 矿 + j ：c 2 譬( 五石弓( 五豆) + 霄旷 舔一m 豆( g 毒了 矿2 - 1 7 2 4 棱边元的空间构造方法 边棱元法在消除伪解方面取得了巨大的成功，国内外不少学者相继提出了各 种形状、阶次的棱边元空间构造方法。但是边棱元法的成功原因一直比较模糊， 1 9 9 5 年，北京理工大学的盛新庆教授在其博士论文中，提出了两条构造棱边元空 间的准则：首先要保证单元在旋度空间里协调；其次要能正确的模拟旋度算子的 零空间。下面介绍满足两条准则的常用的两种棱边元。 2 4 1 三角形棱边元 3 x l 图2 1 三角形棱边元 2 电子科技大学硕士学位论文 厶2 芝1 、a ，+ 6 f x + q y ) f = 1 ，2 ，3( 2 - 1 8 ) = 1 1 引 协 a i ，勿，c i 是三角形三个顶点的坐标函数 式中的f 为棱边的编号，为棱边初始点编号，之为棱边末点编号，具体编号如图 = 厶一v l , ( 2 - 2 1 ) 得到三角形单兀的矢量基函数： 面= 厩：= ( 厶一厶) 或= 厩，乞= ( 厶一厶) 乞 见= 厩。毛= ( 厶一厶) 厶 其中，为三角形单元三条边的长度。 在三角形单元内，矢量场可展开为 云= t 互 i = l e 为展开系数，表示沿第i 条棱边的切向场。 1 2 ( 2 - 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 第二章有限元方法的原理 2 4 2 四面体棱边元 图2 - 2 四面体棱边元 在四面体单元内任意一点的体积坐标的记为厶 2 = 石1 a ，+ 舡+ c f y + 中) f = l ，2 ，3 ，4 其中v 为四面体单元的体积： 矿：1 6 五吒 m 儿 z i z 2 屯五 y 3y i z 3z | 其中a i ，勿，q ，4 的表达式可由下列等式得出： 办改 五 屯 hy 2 毛z 2 11 办唬 ky 2 z l乞 l1 五 屯 破 欢 z l z 2 唬织 毛 y 3y 4 z 3z 4 11 唬织 y 3y 4 z 3z 4 11 为 五 唬九 z 3z 4 3 ( 2 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) = ( 口l 破+ 口：欢+ a 3 3 + 么) ( 2 2 8 ) = ( 2 5 i 磊+ 6 2 政+ 岛珐+ 6 4 么) = ( c i 办+ c 2 欢+ c 3 唬+ c 4 么) 1 3 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 电子科技大学硕士学位论文 l1 五 恐 毛乞 办唬 l1 恐 毛 毛z 4 珐么 = ( 珥办+ 也欢+ 以绝+ 反么) ( 2 - 3 1 ) 与三角形棱边元构造的过程一样，通过构造矢量函数唬= l , x 7 l j 一与得到四面 体单元的矢量基函数： t = 唬如= ( 乞一乞) 2 ： 其中棱边数i 与相关节点，之的定义在表2 - 2 中。 表2 - 2 四面体单元各边局部编号与各个顶点局部编号之间的关系表 ( 2 - 3 2 ) 在每一个四面体单元内利用线性插值函数，矢量场可展开为： 6 雷= 厦互 ( 2 - 3 3 ) i = l 巨为展开系数，表示沿第i 条棱边的切向场。 2 5 任意复杂结构谐振腔的三维边棱元分析 近年来，随着材料科学和加工技术的不断进步，微波电路越来越受到人们的 重视。特别是空间技术和军事电子技术的发展，更是对微波电路的小型化，集成 化和高可靠性提出了越来越高的要求。在各种微波器件中，微波谐振腔由于性能 良好，加工方便，价格便宜，在微波电路中得到了非常广泛的应用。但是简单形 状和简单介质填充的谐振腔越来越无法满足实际电路的需要。因此，对于复杂形 状和复杂介质填充的谐振腔体的分析显得尤为必要。在众多的数值方法中，边棱 元对于分析此类问题具有独到的优势。 1 4 第二章有限元方法的原理 对一个被相对介电常数为毒和相对磁导率为尾的各向同性的介质填充的任意 p ，) _ o ( 2 - 3 4 ) i h x 雷= 0理想导体边界 ，( 云) 毛m ( 去帆云卜云) 一梅觚卜 ；，= 言丢量 ，互，= 言丢墨 豆。= 6 研耳= f r 8 ) = 矿 r ) ( 2 - 3 6 ) ，( 云) = 圭姜( 蝌m 一钟帆弦) ) ( 2 - 3 7 ) 4 。 = 胍圳1 v 。贾。) rd 圪 口8 = 啦零 霄。) 霄。) r d z , 1 5 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 电子科技大学硕士学位论文 进行求和并使用全局标记后( 集成离散矩阵) 上式司以写成： f ( 豆) = 吉( r