（粒子物理与原子核物理专业论文）工业ct图像重建算法的计算机模拟研究.pdf

工业殴图像重建算法的计算机模拟研究 粒子物理与服子核物理专业 研究生刘晓指导教师杨朝文 本文硬究了c t 成像的常用算法：滤波反投影爨法和代数迭代算法。详细分 析了影响滤波反投影算法图像熏建质鬃的基本因素( 滤波硝数的选取，投影数，抽 样闽薤，曝鸯懿大，j 、) 稻代数重建算法强豫薰建震繁熬咒令嚣素( 橙整萼| 孑我选 择，数据访问方式，基函数的选择，墩优迭代次数的估计) 。在此基础上通过多 点平均法改进了r l 滤波函数，发现改进后的r l 滤波函数眈原滤波函数的抗嗓 音熬缝力提瓷了；程实黪中，为了在重建强擞质量秘残本之闽有一个合理熬乎缀 点，本文对投影数和抽样间距对滤波反投影算法重建的图像质量的影响进行了详 细的研究，发现在裔嗓音的情况下，重建霞像藤量霹射线的糖样阉距交纯狠敏感， 运对投影数变化的反应搬对较弱，在嗓音较大的情况下，抽样间距过小，重建魁 像的质量反而有所下降；为了提高滤波反投影算法图像的蓬建效率，本文和jj t j 参 数表的方法对程滓佟了撬位，便重建逮度提离了近t 0 0 绪。 在代数迭代算法中，通过模拟图像的重建发现，a r t 算法和s i r t 算法松池 因子的选择有很大的不同，s i r t 的松弛因予选择范围偏小，而a r t 的松弛阂了 选择菠垂要寰褥多：数掇谤超方式豹不嗣，霹萋建款鹫豫蠢一定黪影嚷；提出了 最优迭代次数的判据，避免了程迭代时迭代次数选取的盲目性。 本文利用m c n p 程序模拟了在有屏蔽和没有屏蔽的情况一f8 c oy 射线穿过 ： 馋矮在搽测嚣中靛沉歌能谱，详细分摄了能谱各部分的数摄终为投影数损到避 后重建图像的影响情况，发现利用a r t 重硪算法对最后的重建结果没有多大的 彩确；在用m c n p 程序遴行粒子摘榉辩，在不影桶捶祥耩度的情况下，幂l 埔 羟 恧源卡代替放射源的方式，大大缩短了粒子的抽样时间。 摄后本文对图像重蟪时出王兕的伪影进行了初步分析，利用m a t , i a b 的图像处 理技零尝试瓣t 蓬建鹜像作了些磷楚理静探索，对重建蚕像中静镄影俸了郝 分消减。 t 述结柴是通过计算机模拟计算褥到的，为此用c 谬占和m a t l a b 语言编制 了大繁翟黟蒡调试成功，慰实黪豹工渡c t 设诗及其溷攥羹建寿一定豹参考徐馕。 关键词：c t图像重建滤波反投影算法代数迭代算法 蒙特卡洛模撅 t h es t u d yo nt h ei m a g er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mo fi n d u s t r i a lc t b yc o m p u t e rs i m u l a t i o n m a j o r ：p a r t i c l ea n dn u c l e a rp h y s i c s g r a d u a t es t u d e n t ：l l # x l a o t u t o r ：y a n gc h a o w e n i nt h i sp a p e rw es t u d i e df i l t e rb a c k p r o j e c t i o na l g o r i t h ma n da l g e b r aj t e r a c t i v e a l g o r i t h mo fi n d u s t r i a lc ti m a g er e c o n s t r u c t i o n w ea n a l y z e dt h em a i nf a c t o r st h a t i n f i u e n c eo nt h eq u a i l t vo fr e c o n s t r u c t i o ni m a g e 。伯e s ef a c t o r sa r ef i l t e rf u n c t i o n p r o j e c t i o nd a t a , s a m p l i n gs p a c ea n dn o i s el e v e li nf i l t e rb a c k p r o j e e t i o n ，a n dt h ec h o i c e o fr e l a x a t i o np a r a m e t e r , t h ef a s h i o no fd a t aa c c e s s ，t h ec h o i c eo fb a s i sf u n c t i o na n d t h ee s t i m a t eo fo p t i m u mi t e r a t i v et i m e si na l g e b r ai t e r a t i v ea l g o r i t h m t h e nw c m o d i f i e dt h er lf i l t e rf u n o t i o nb ym u l t i - p o i n ta v e r a g em e t h o d t l l a ti s m r lf i l t e r f u n c t i o n i ti sf o u n dt h a tm r lf i l t e rf u n c t i o ni sb e t t e rt h a nr lf i l t e rf u n c t i o ni n r e s t r a i n i n gn o i s ea n de l i m i n a t i n gf a i s et r a c e i n0 r d e rt ol o o kf o rab a l a n c eb e t w e e n m a t e r i a lc o s ta n dt h eq u a l i t yo f r e c o n s t r u c t i o ni m a g e ，w es i m u l a t e dh o ws a m p l es p a c e a n dp r o j e c t i o nd a t ai n f l u e n c eo nt h eq u a l i t yo fr e c o n s t r u c t i o ni m a g e t h e nw ed r a wa c o n c l u s i o n ：t h eq u a l i t yo f r e c o n s t r u c t i o ni sm o r es e n s i t i v et os a m p l es p a c et h a nt ot h e n u m b e ro fp l e c t i o ni nn o i s el e v e l ；t h eq u a l i t yo fr e c o n s t r u c t i o nw o u l dd r o pi ft h e s a m p l es p a c ei st o on a r r o wi nh i g hn o i s el e v e l f o rt h es a k eo ft h ei m a g e r e c o n s t r u c t i o ne f f i c i e n c yw es h o g e n e dt h er e c o n s t r u c t i o nt i m ea l m o s t10 0t i m e sb y p a r a m e t e rt a b l em e t h o d i na l g e b r ai t e r a t i v ea l g o r i t h mw ef o u n d t h cr a n g eo f r e l a x a t i o np a r a m e t e ri sv e r yd i f f e r e n t 蕈沁r a n g eo fr e l a x a t i o np a r a m e t e ro fa r tw a s n a r r o w e rt h a nt h a to fs l r td i f r e n tm e t h o d so fd a t aa c c e s sw i l li n f i u e n c eo nt h e q u a l i t yo fr e c o n s t r u c t i o ni m a g e w ep r e s e n t e dac r i t e r i o nf o r t h ee s t i m a t eo fo p t i m u m i t e r a t i v et i m e s i tc a nh e l pu st oa v i o du n u s e f u l i t e r a t i v e i nt h i sp a p e rw es i m u l a t e dh o wt h ed i f f e r e n tp a r to fe n e r g ys p e c t r u mi n f l u e n c e0 1 1 t h eq u a l i t yo f r e c o n s t r u c t i o ni m a g eb ym c n p 4 bp r o g r a mw i 氇o u ts h i e l da n dw i t hp b m a t e r i a ls h i e l d i ti sf o u n dt h a tt h e r ei 8l i t t l ei n f l u e n c eo nt h eq u a l i t yo f r e c o n s t r u c t i o n i m a g ew h e nt h ed i f f e r e n tp a r to fe n e r g ys p e c t r u mi su s e da sp r o j e c t i o nd a t a w eu s e s u r f a c es o u r c ec a r dt os a m p l ej n s t e a do fs p h e r es o u r c e ，a sar e s u l tt h es a m p l et i m ei s m u c hs h o r t e n 舞，a tl a s tw ea n a l y z e dt h ei m a g ef a l s et r a c ed u r i n g 氆ec o u r s eo f r e c o n s t r u c t i o n t h ef a l s et r a c ec a l lb ed e p r e s s e db ym a t l a bi m a g e t e c h n i q u e w ep r o g r a ms o f t w a r ea n dm a k es i m u l a t i v ee x p e r i m e n t s w ec o m p a r et h ef i l t e r b a c k p 叫e c t i o na l g o r i t h mw i t ha l g e b r ai t e r a t i v ea l g o r i t h ma n dd r a ws o m eu s e f u l e x p e r i e n c e 。i tw o u l dh e 垴u 6m a k eb e t t e ri nc t k e yw o r d s ：c t , i m a g i n gr e c o n s t r u c t i o n ， f i t e r b a c k p r o j e c t i o na l g o r i t h m ， a l g e b r ai t e r a t i v ea l g o r i t h m ，m c n p 第一章序论 1 1c t 的历史回顾 自从1 8 9 5 年伦琴发现x 射线之日起，人们很快地意识到x 射线在医学成像 中的应用前景。在发现x 射线后的几十年中，x 射线摄影技术有了很大的进步 与发展，包括使用影像增强管，旋转阳极x 射线管及采用运动断层摄影等。但 是，由于这种常规的x 射线成像技术是将人体三维结构投影到一个维平厕j i 来显示，因此产生了图像重叠，并由此带来读片困难等问题。此外，投影x 射 线成像对软组织的分辨能力较差，使其在临床中的应用也受到了一定的限制( 1 】。 如何克服在投影x 射线成像技术中出现的影像重叠问题，一直是当时医学 界迫切希望解决的问题。这个问题的数学描述应该是如何根据接收到的投影数掘 构造出人体内的断层图像( 而不是结构重叠的图像) 。x 射线计算机断层成像 f x r a y c o m p u t e d t o m o g r a p h y , 简称x c t ) 成功地解决了这一问题。 实现x c t 技术的数学基础是投影重建图像的理论。图像重建技术应用j 。x 射线放射医学是一一个重大的突破，对头颅，心肺，腹部及肿瘤的渗断均具有深远 的影响，因而受到普遍的重视。投影重建图像的理论起源于1 9 1 7 年奥地利数学 家j r a d o n 所发表的论文 2 1 ，文中证明二维、三维物体的图像能够通过无限多个 射线投影值来确定。r a d o n 变换及其逆变换理论奠定了x c t 成像的理论基础， 但是限于当时的技术条件而未能实现。1 9 5 6 年美国科学家r n b r a c e w e l l 将幽像 重建原理应用于射线天文学，用以重建太阳微波发射的图像p 】。到了二十世纪六 十年代，由于科学技术的巨大进步，特别是计算机科学的迅速发展，图像重建问 题重新引起人们的重视，相继有不少的学者进行了卓有成效的创造性的研究。对 图像重建理论的主要的贡献者之一是英国的物理学家a m c o r m a c k ，自五十年代 以来，他发表了一系列论文，不仅证明了医学领域中从x 射线投影数据重建例 像的可能性，而且提出了相应的实现办法并完成了仿真实验研究”】。 最初把投影图像重建技术应用于医学领域的是o l d e n d o r f , 他在1 9 6 1 年 , j f sr j 了伽马射线进行透射型成像的初级装置。k u h l 与e d w a r d s 在1 9 6 3 年独立地研制 了发射型成像装置。这些装置均用类似于反投影的算法进行图像重建，所得图 像不够清晰。 由于7 0 年代以前尚未发现r a n d o n 的论文，当代投影图像精确重建的数学 方法是由美国物理学家r n b r a c e w e l l 与a m c o r m a c k 分别于1 9 5 6 、1 9 6 3 及1 9 6 7 年确立的。a m c o r m a c k 于1 9 6 3 年9 月及1 9 6 4 年1 0 月在“j o u r n a lo fa p p l i e d p h y s i c s ”上发表了两篇题为：“用线积分表示一函数的方法及其在放射学：的应 用”的系列文章，并将这一方法成功地应用于简单的模拟装置。a m c o r m a c k 是从1 9 5 7 年起在南非开普敦大学为了解决放射治疗计划中剂量的正确分布而研 究这个问题。 第一台临床用的计算机断层成像扫描装置( c t ) 与1 9 6 7 年至1 9 7 0 年间由英国 e m i 公司的工程师g h o u s f i e l d 研制成功，并于1 9 7 1 年9 月f 式安装在伦敦的 a t k i n s o nm o r l e y 医院5 1 。1 9 7 2 年利用第一台c t 首次为一名妇女渗断出脑部的囊 肿，并取得了世界上第一张c t 照片。同年，g h o u s f i e l d 与医生j a m b r o s e 在英 国放射学会上发表了第一篇c t 论文。 从这之后，人们才真正实现了人体断层成像。x - c t 断层摄影装置的研究成 功可以说是在x 射线被发现后的七八十年中放射医学领域中最重要的突破性进 展，它是二十世纪科学技术的重大成就之一。由于g h o u s e f i e l d 和a m c o r m a c k 在放射医学中的划时代贡献，1 9 7 9 年的诺贝尔生理与医学奖破例的授给了这位 没有专门医学资历的科学家。1 9 8 0 年，g t h e r m a n 在他的专著i m a g e r e c o n s t r u c t i o nf r o mv r o j e c f i o n ) ) 中系统的阐述了c t 理论基础。 从此，放射诊断学进入了c t 时代，c t 装置很快得到推广，并在短期内获 得极大发展。1 9 7 3 年美国m a y oc l i n i c 和麻省总医院相继安装了颅脑c t ；1 9 7 4 年美国研制成第一代全身c t 。1 9 8 3 年我国研制成了第一台颅脑c t 扫描装置； 1 9 8 5 年国产第二代c t 研制成功；1 9 8 9 年9 月，东大阿尔派数字医疗公司成功 地开发出我国第一台全身常规c t c t 2 0 0 0 ，1 9 9 0 年国产第三代全身c t 通过鉴 定；1 9 9 2 年，我国又推出了第一台螺旋c t 扫描系统( c t _ c 3 0 0 0 ) 。 2 0 世纪8 0 年代初期，对三维物体重建的研究取得了突破性迸展。1 9 8 4 年 f e l d k a m p 提出了近似的三维重建方法【6 】。在三维物体精确重建方面，1 9 8 3 年， h k t u y 提出了一个充分条件，回答了从何种源点轨迹能得到完全的投影数据这 。问题| 7 j 。随后b d s m i t h 在此基础上发现了三种不同的重建方法。e g r a n g e a t 发 现了锥束投影与r a n d o n 变换导数之间的关系，给出了基于r a n d o n 变换导数的 精确重建方法【8 】。1 9 9 4 年，m d e f r i s e 和r c l a c k 概括了各种精确方法的数学一 致性，同时给出了基于三维加权反投影的精确重建方法，h k u d o 和t s a i t o 也发 现了类似的方法。但是这些方法要求源轨迹为球面或两个相互垂直的圆因此实 现起来比较困难。1 9 9 7 年，毛希平采用“r a d o n 壳图解法”1 9 】，系统地分析了各种 原点轨迹的精确重建域，使精确重建方法更加面向实际应用。1 9 9 8 年，k c t a m 等提出了一种螺旋扫描精确方法，对于很长的试件可以采用较小的面阵屏实现i 维精确重建【m 1 。 1 2 工业c t 应用研究现状” 工业c t ( i c t ) 的全称是工业计算机层析扫描成像，这门技术是放射学和i 讨+ 算机科学结合而产生的一门新的成像技术。在工业应用方面特别是在无损检测 ( n d t ) 与无损评价( n d e ) 领域更加显示出了独特的优点。工业c t 是在无损伤 状态下得到被检测断层二维狄度图像，它以图像的扶度来分辨被检测断面的内部 结构组成、装配情况、材质状况、有无缺陷、缺陷的性质和大小等。只需沿扫描 线扫得足够多的断层二维图像就可以得到被检测物体的三维图像。国际无损检测 界把c t 称为最先进的无损检测手段。 目前，世界上一些科技发达的国家都在竞相研究c t 技术，在8 0 年代术期 已经完成了第五代c t 的研制工作，已经发展出近千种c t 产品，适用于航天航 空、材料科学与工程、核科学与工程、生物医学与工程、物理化学、控制工程、 计算机科学与工程、应用数学、微电子学、机械工业、冶会、石油化工、建筑等 行业。 c t 技术在航空航天领域可以用来检测精密铸件的内部缺陷、评价烧结什的 多孔性、检测复合材料件的结构并控制其制造工艺。近年来已经将射线c t 技术 引入更高层次的探测对象。如美国肯尼迪空间中心研究所得射线c t 装置，可以 用束检测火箭发动机中的电子束焊缝、飞机机翼的铝焊缝，可发现涡轮叶片内 o 2 5 m m 的气孔和夹杂物，也可以用来检测航天飞机出口锥等。 c t 技术的应用r 益增多，例如用来检测反应堆元件的精密和缺陷，确定包 壳内芯体的位置，检测核动力装置及其零件部件的质量，并用于设备的故障诊断 和运行检测。中子c t 还可以用来检查燃料棒中铀分布的均匀性和废物容器中铀 屑的位置。 c t 技术在钢铁工业中的应用也十分广泛，从分析矿石含量到冶炼过程中各 项技术标准的实现，以及各种钢材的质量程度，都可以通过c t 扫描进行检测。 美国和德国用中子c t 装置进行钢管在线质量检测，每隔l c m 给出一组层析数据 和图像。当发现偏心，厚度不均匀和缺陷时，由计算机自动调整生产工艺参数。 陶瓷是新一代耐热、耐腐蚀并具有良好的化学稳定性的材料，但其中的微小 缺陷会严重影响其使用，因此需要检测其中微米级的缺陷，并需要确定其所在位 置。采用射线c t 技术显得非常必要。目前在检测三氧化铝、碳化硅等陶瓷材料 时可以准确地检出1 0 u m 到1 0 0 u m 的缺陷和极其微小的密度分布。 在机械工业上，c t 技术常用来检测和评价铸件和焊接结构的质量。可以检 测微小气孔、缩孔、夹杂和裂缝等缺陷。在电子工业方面，可以采用c t 装置检 测多层印刷电路板的内部裂纹，测量同轴和带状电缆的金属线空间分布，检查电 子附件箱中缺损的组件和检查封装的微机芯片中的断裂线等。 可以肯定，随着c t 理论研究与计算机技术的发展，c t 必将对国民经济和 圈防现代化建设作出越来越大的贡献。 1 3 工业c t 存在的主要问题 工业c t 与医用c t 的主要差别在于检测高密度和大尺寸物体，应用高能量 x 射线源，需要更高的系统分辨力等。工业c t 在许多技术方面借鉴于医用c t ， 然而由于工业检测对象的特殊性，可以认为实际遇到的问题要比医用c t 多。 a 射线的硬化“3 1 c t 重建理论假设投影数据与衰减系数沿投影方向的线积分成正比，这在单 能x 射线情况下是成正比的。实际应用中，往往只具有连续光谱的x 射线源。 由于低能射线比高能射线更易被物质吸收，因此在射线穿透物质的过程中平均能 量逐渐变高，从而表现出衰减系数逐渐变小，这必然影响重建图象的质量。医用 c t 系统中的这个问题已经在一定程度上得到了解决，对组织或类似组纵的物质， 硬化的影响已经可以减少到千分之几，然而工业零件经常由高密度材料组成。如 金属和陶瓷等，硬化的影响要严重的多。采用单能源( 同步辐射或同位数源) 是 一种办法，但应用范围有限。用水袋或预先硬化的办法压缩x 射线谱的宽度有 一定的效果。还可用类似医用c t 中水模校正的方法，在一定条件下可以收到良 好的效果。目前研究较多且具有最大潜力的方法是双能法，即利用两套不同能量 的x 射线光谱，经一系列处理后得到衰减系数的分布。这种方法的缺点是成本 高、设备复杂、处理数据的时间长。 b 有限角度不完全数据成像技术 经典的c t 重建技术要求投影数据是完备的。然而在实际条件下，山于x 射 线在某些方向不能透过样品或由于某些方向样品尺寸过大，不能得到该方向的投 影数据。这些实际问题要求人们对有限角度不完备的数据的重建技术进行研究。 c 伪影对图像质量的影响 影响图像质量的因素很多，有重建的算法，噪音的大小，伪影等。其中伪影 即影像失真，它是指经过扫描重建后，图像中因为某些特殊原因所带入的影响n i 常诊断的伪像，它常常表现为环状，条状，放射状，以及其它不规则的形状。 1 4 本论文的主要工作 如何克服工业c t 应用中存在的一些问题，提高图像重建的质量，一直是人 们关心和研究的问题。本文以研究如何提高图像的重建质量和有限角度不完全数 据成像为研究重点，通过计算机模拟产生的是实验数据，实现常用的两种算法滤 波反投影算法和代数迭代算法的图像重建，作了以下工作： a 通过计算机模拟，较详细地研究了影响滤波反投影算法的基本因素：如 抽样间距、噪音的大小、滤波函数的选取等。并在此基础上通过三点平均法改进 了i l l 滤波函数，发现改进后的r l 滤波函数比r l 滤波函数的抗噪音的能力高 得多。通过模拟计算发现，在有噪音的情况下，重建图像质量对射线的抽样问距 变化很敏感，而对角间距的变化反应相对较弱。在角间距为1 度的情况下，所能 区分杂质的最小限度接近于射线的抽样间距。在噪音较大的情况下，抽样间距过 小，重建图像的质量反而有所下降。 b 通过计算机模拟，较详细地研究了代数重建算法的几个因素如松弛凶子 的选择、数据访问方式、基函数的选择等对图像重建质量的影响。通过模拟图像 重建发现，a r t 和s i r t 算法的松弛因子选取有很大的不同，s i r t 的松弛因子 选择范围比较小，而a r t 的松弛因子选择范围较宽；提出了最优判据，避免了 迭代次数的盲目性。 c 利用参数表的方法对程序作了优化，使重建速度提高了近1 0 0 倍。 d 利用m c n p 程序模拟了在不同条件下，”c o 射线穿过被研究物体后，探 测器探测到的能谱。研究了能谱的各部分数据作为投影数据对最后重建图像的影 响情况，结果发现无论利用能谱哪部分的数据作为投影数据，都对最后的重建结 果没有多大的影响。 e 对图像重建时出现的伪影作了一些分析，利用m a t l a b 图像的处理技术， 对重建图像的伪影有很大的消减。 该文把这些算法编制成软件进行了模拟，通过比较这两种常用算法的特点， 得出了一些有建设性的建议，对实际的图像重建有一定的参考价值。 第二章滤波函数、抽样间距和投影数 对滤波反投影算法重建图像质量的影响 2 1 滤波反投影算法的基本原理”町“” 投影图像重建简称图像重建，它是一个基于图像重建理论和相应的图像重建 方法，并按照一定的算法对检测所得的投影数据进行数学运算处理的过程。在 研究滤波反投影算法之前，我们先介绍一下它的基本原理。 对于重建物体的某一层切片，由投影值可以重建该界面中各点对应射线的衰 减系数。以，。表示射线贯穿物体前的强度，i 表示贯穿物体后的强度，“似y ) 表示 点伍，订处物质对射线的线性衰减系数。以单色射线为例，则有： i = 1 0e x p ( 一i h ( y ) d l )( 2 1 ) l 两边取对数得： i u ( x ，y ) d l = i n ，o l n ，( 2 2 ) ， 令肌，目) = 产( w ) 以= l n 争 ( 2 3 ) p j 心 公心 图2 1图像重建原理示意图 如图2 1 所示【1 6 】，( 2 3 ) 式式中 p ( t ，目) 的物理意义为函数u ( x ，y ) 沿射 线( f ，口) 的线积分，射线( f ，口) 称为投影 线，并满足j c o s 口+ ys i n 0 ：t 。 对于平行射束，通过在全空f b j 的投 影数据p ( t ，0 ) 可以得到原物体衰减密 度的二维分布“阮圳。 设待建图像“化川的二维傅立叶变换为f ( q ，m ：) ，投影数据p ( t ，0 ) 的傅立u 变换为p ( p ，们，则由投影定理可得： “( z ，y ) = f 2 f ( t o l ，。2 ) 】 = 古f ( q ，：) 枷圳d e o , d e 0 2 = p p ( p ，o ) e i 2 x a i p 眇 ( 2 4 ) 实际上由于投影采样的间距为d ，根据奈奎斯特定律，信号的截止频率 p ，= 1 ( 2 d ) ，所以可以近似用l p l 的函数h ( p ) 来代替h ，且日( ，) 满足： 鼢h ( p 2 ：1 ；i掣譬畿(2_510l j v ( p ) = 其它情况 ”。 所以( 2 4 ) 式的内部积分尸( n 0 ) d t m l p 眇可以写为： q ( t ，曰) = 广p ( p ，o ) h ( p ) e 2 ”和 ( 2 6 ) 则由卷积定理可知频域上的乘积等效于时域上的卷积，上式变为： q ( t , o ) 2 瓦1 ( t k , o j m 一“) ( 2 7 ) 其中t = k d ，k = 0 ，1 ，2 ，代表射线的条数，d 为射线间距，所以式( 2 7 ) 可写为： 吣川= 警薹套m ，0 s ) h ( 瑚s 口# + y s i n 0 ， ) ( 28 ) 其中o ，= a o ，n 是投影总数，h 是滤波函数，p 是投影数据，模拟时随接 用，u d l 代替真实的投影数据。 这样我们就得到了( 2 4 ) 式的离散表达式( 2 8 ) 式，因此利用( 2 4 ) 式为基础构造 的算法又称“滤波反投影算法”或“卷积反投影算法”。本文的滤波反投影算法 就是h a ( 2 8 ) 为基础的。 2 2 滤波反投影算法的实现和存在的问题 滤波反投影算法从理论上解决了由投影重建图像的问题，但是该算法还存在 下列问题： ( 1 ) 如果不是理想系统，滤波函数该如何选取? ( 工程中通常称作如何选 取卷积核) ； ( 2 ) 滤波反投影的图像质量如何? ( 3 ) 图像质量有哪些因素决定? ( 4 ) 如何加快运算速度? 下面将针对这些问题分别进行研究。 2 3 滤波函数的选取和r l 滤波函数的改进对图像质量的影响 2 3 1 实际的常用的滤波函数 滤波反投影理论上要求滤波器的系统函数( p ) = h ，这是一个频带无限的滤 波函数，因为广i h p l 2 和：广k id p - 一，m ，这一理想滤波器是不可能实现的。 在实际的图像重建中，滤波函数的选取如果一味追求理想函数，则是达小到 的。下面我们先分析一下在实际中常用的滤波函数。 ( 1 1 r l 滤波函数 印度学者r a m a c h a n d r m a 和l a k s h m i n a r a y a n a n 提出了一种滤波器m 】，该滤波 函数为 h r ( f ) = 2 8 2s i n c ( 2 t b ) - b 2s i n c 2 ( ， ( 2 9 ) f 1 ( 4 d2 1 n = 0 h m ( 耐) = 0 n = 偶数 ( 2 1 0 ) l l 2 疗2 d2 ) h = 奇数 幽2 , 2r l 滤波函数的连续空域图 函数( 2 1 0 ) 的形式简单、实用，用它重建图像，轮廓清楚，但是有明显得 振荡现象，另外，如果投影数据含有噪音，重建质量也不够满意，其原因是在于 当p = 1 ( 2 d ) 时，( p ) = h ，理想的矩形窗是产生振荡现象的根源所在。 ( 2 ) 为了缓解r l 滤波函数的振荡，s l 滤波函数s h e p p l a 平l o g a n bf 提出 了s l 滤波函数”驯 ( f ) = ( 警) 2 i - 4 b i s t n ( j 4竺bil_(4bt)2 ( 2 】) 可i 了4 b ) 2 竿字， y = 4 b t 其离散形式为 h s l ( 呻2 ，2 巾- 2 。：一l 】，”；0 , ：k l ，2 ” 该函数图像为： ( 2 1 2 ) 幽2 3 s l 滤波酌数的连续空域图 用s l 滤波函数重建图像，其振荡响应减小，对含有噪音的投影数据，它的 重建质量也比r l 滤波函数情况要好，但在低频段不及r l 滤波函数的重建质量 高。这是由于。( p ) 在低频段也偏离了i d 的缘故。 ( 3 ) k w o h 在不影响图像重建精度的情况下，增加了s l 滤波器的阻尼，他 定义的p a r a b o l i c 滤波滤波函数m 1 。 其离散表达式为： f 厅f 3 d2 1 ：0 k w o h o 们2 1 1 括：z )：1 圾 ( 2 - ”) 泼函数图像为： 、 ( 图2 4p a r a b o l i c 滤波函数的连续空域图 由于此滤波函数的阻尼较大，使得重建图像的高频部分损失也较大。 2 3 2 常用滤波函数的重建图像比较 ( 1 )样品模型韵建立 摸羧潜豫辩为了麓擎起霓，我稻采嗣豹模鍪为一强形工 每，该工赞是+ 圜形 铁块其内含有一些圆形杂质，如碳、气泡、雅等。工件及杂质的大小、位鹫和 对1 3 m e vr 射线的线性吸收系数 2 0 】等参见表2 ，1 。 表2 1j ：件和工件内的杂质参数表 l褒称 誓经( c m 圆心坐括( x y )设收系数( 1 e r a ) | l铁5 o ( 0 0 ，o o ) 0 4 3 5 碳2 o ( 0 0 ，2 5 ) o 1 1 5 i空气 0 5 ( o o ，* i ，o ) 0 , 0 0 0 锥 l 。o 国。0 ，一3 ，铀 0 8 0 0 ( 2 ) 不同滤波函数薰建图像质量的比较 图2 5 为模型的吸收系数二维灰度分布图( a ) 及在y 轴上的维分布图( b ) 。 ( a ) 图 c o ) 巨 幽2 5 模型吸收系数的二维灰度分布及在y 轴上的维分布图 重建强稼豹大小为2 0 0 x 2 0 0 个像素点，熬建测距为o 1 c m ，投影数为 8 e 个，蚕建的吸收系数瓣二维获度分布图( a ) 及在y 辘上馥一维分奄圈( b ) 如一f p a r a b o l i c 滤波函数重建的图像： x 舡b t e f幻翻(b)翻 醚2 6利j = l p a r a b o l i c 滤波幽数重建的刚像 聃 ” t 亭、 s l 滤波溺数重建的图像 ( a ) 酗( b ) 图 圈2 7剩胡s l 滤波螬数重建的嬲像 r l 滤波函数重建的图像： x x i st e 穗) 鹫疆) 整 蹦2 , 8利用r l 滤波函数重建的图像 出土霭豹重建图像2 6 2 + 8 魄较可鞋看出，巍没青噪音豹憾况下，r l 滤波 函数重建的蘑像震荡簸大，s l 存掰菠迸，p a r a b o l i c 最小，餐楚它在两种物蔟交 界处的图像则不十分令人满意。 ( 3 ) 噤声误差系数为3 时的重熊圈像比较 舞了模攘嗓音霹熏建霾缳矮繁豹彰醺，我翻在模援投影数撵翻太为建 冬：每令 投影数据中加进随机的高斯噪音f 2 l l ，有噪音时的投影数据可以写为： p ( “，韩) = 只厶，a j ) 0 十，z )( 2 1 4 ) 其每e ( t 。，毛) 是没蠢嗓啻辩豹投影数豢，疑舞聚分袁翁夔辍蘩，其乎均毽为 0 ，方藏为1 ，z 是噪膏误差系数，它是噪音幅度与无噪音时的投影幅度的比值。 n p a r a b o l i c 滤波溺数重建豹圈像： ( a ) 幽 ( b ) 图 圈2 9稠翔p a r a b o l i c 滤波蘧数重建弱翻像 s l 滤波函数冀建的图像： 一64202 46 ( a ) 隧 ( b ) 幽 潮2 + 1 0裁搀= | s l 滤波遁数耋建躲錾缘 r l 滤波函数藏建的图像： a ) 翻 翻 醴2 1 1利j = ir l 滤波函数重建的刚像 覆一 ，一夏她 1 一 ，一 川。嘲卅川刊越 由上图2 9 - - 2 1 1 比较可以看出，在同等噪音的情况下，r l 和s l 的重建效 果差不多，p a r a b o l i c 滤波函数稍好一点，但在物质交界处又比前两者差。 2 3 3r l 滤波函数的改进及其对重建图像质量的影响 ( 1 ) r l 滤波函数的改进 从前面的图像比较可以看出，滤波函数的选取对图像的重建质量影响较大。 r l 滤波函数形式简单、实用，用它重建图像，轮廓清晰。但是该滤波函数的缺 点是重建图像有明显的振荡现象，另外，若投影数据含有噪音，重建质量也不满 意。 近年来，不少学者提出了许多滤波函数，并对一些滤波函数做了分析和改进 【2 ”。本文利用平均效应把r l 滤波函数作了改进，通过对改进后的滤波函数( 简 称m r l 滤波函数) 与原滤波函数的对比分析，发现m r l 滤波函数可提高图像 的重建质量。 2 点平均法： = o 跗+ 0 5 h ( x + 力 ( 21 5 ) 3 点平均法： 且= 0 5 h ( x ) + 0 25 r ( x + 田+ 0 2 5 h r ( x 一田 ( 2 1 6 ) 5 点平均法： 皿( 力= 0 2 ( h ( x 一2 c o + h ( x 一回+ k 砷+ 厶b + 力+ 以x + 2 ( d ) ( 2 1 7 ) 其中脚为原滤波函数( 2 1 0 ) 式，上述滤波函数的曲线如下图2 1 3 。 3 遗 图2 1 2r l 滤波函数和m r l 滤波函数的曲线圈 1 代表r l 的原函数( 2 + 1 0 ) 式，2 代表( 2 1 5 ) 式，3 代表( 2 1 6 ) 式，4 代表( 2 1 7 ) x 式 由图2 1 2 可以看出，( 2 1 0 ) 式的起伏最为明显，( 2 1 5 ) 式的起伏最小。 ( 2 ) 出悲秘m r l 滤波函数蘸建銎豫鹣魄较 ( a )飘和m r l 在无嗓音时韵重逶图像阮较 我们利用计算机模拟1 3 m e vy 射线穿过模型后的吸收情况。平行射束的1 、日j 蹲为o 2 c m ，掰增加5 度为一组投影数据，在1 8 0 度范闰内共有3 6 组投影数据。 图2 。1 3 楚剿用r l 滤波灞数重建的二维图像f a ) 以及在y 轴上懿一维分套( b ) 。 从强2 1 3 焉觅胡受熬振荡，帮秘逮。 ( a ) 图( b ) 图 圈2 ，1 4剥磁2 点平均法的m i l l 滤波溅数重建的斟像 图2 1 5 题利用3 点平均法改进后的滤波函数，( 并) 重建的图像，由圈可见 熏建图像的质嫩比图2 1 4 商明显提高。不仅二维荻废分稚的伪逊被基本消除， 蠢豆在y 毒睦| 上懿分专与模爨渤台褥较好e 缀建 阁像 ( a ) 图 ( b ) 酬 幽2 ，1 6 利_ l _ | j5 五点平均法的m r l 滤波函数照建的图像 献图2 1 3 2 1 6 懿毙较可以看出，平均效应对囊建霪像起蓉光漆馋爆，但翔 采平均效采太强，会使重建圈像的边缘必真丽交褥模糊不清( 如图2 1 6 ) 。只有 阔2 1 5 的效果最好，即由3 点平均法改进的r l 滤波函数重建的图像质最最佳。 b 在有噪誊时零l 用r l 和m r l 滤波函数蔗建的图像比较 鸯了摸撅臻声懿影翡，嚣2 。1 7 ，2 。1 8 ，2 。1 9 ，2 2 0 楚误差系数为 0 时剩弼 r l 滤波函数和改进后的滤波函数重建的图像。 ( a ) 图 c o ) 图 图2 1 9噪音误著系数为1 0 时利用3 点平均法的m r l 滤波函数重建的幽像 ( a ) 幽 c o ) 期 酗2 , 2 0 襟曹误萋系数斑t 游6 箨| 聱l 耀5 点平均法鹃m r l 滤波磷数蠡速麓鹜像 敞嚣2 + l 彳一2 。勰可以簧爨，萋2 。l 爨为模赣，分瓣本领最差。嚣2 。 8 、2 + 1 9 、 2 2 0 要清晰褥多，说明m r l 滤波函数比r l 滤波函数鼹能抑制噪街。阁2 2 0 出 鼹了诲多絮毒跫豹镑迹，熬个强像也变褥魄较离教，疆爨选缘弥漫。 从图2 1 3 至豳2 2 0 可以罨出：m r l 滤波函数不仪抑制利用r l 滤波函数 黧遴溪豫辩黪摄蘧，磊黩畿骞潦誊豹祷瀵下，m r l 滤波避数跑r l 滤渡交数熬 抗嗓音能力遮魄r l 滤波函数商得多。我们所用的m r l 滤波函数当中，3 点平 均法的效果最好。 0 尊， 2 + 4 援彩数灏季囊撵间藐粼阉豫耋逡蒺鳖麓影璃 在实际中利用滤波反投影算法进行图像獯建时。除了滤波函数对图像的霞她 臻：鏊蠢影鹅辨t 投影数秘熬榉翊题对嚣豫豹霪建矮整瞧蠢较丈黪澎嘲。缀据撼样 定理，为了挺蕊圈像的黧建旗灏，应增加投辫数和减小抽样闽躐，这榉就会燃规l 实瓣靛或本，辑以要在冀建攀僚爨矮最嚣实际藏本之瘸遨毒亍平鬻，黧秘选联合避 酾投影数和桶样间距就驻褥很关键，下酾我们将针对这目题进行研究。 “) 样品模鏊 舞了攒羧工传内不鹈彩获鹣杂溪，我们憋懿瑟淄糠形工馋竣为方形杂质。】： 臀及杂凄熟截蕊大小、戳鬟鞠对i + 3 m e v ￥懿线斡线穰壤救系鼗等参见表2 2 、裘 2 3 。 表2 2 鹭形_ ：镁参数表 1名称半径f c m l 戮心坐振( x ，y ) 嗷收系数( i t e m l l镶5 。0 溉毽0 j 。 0 4 3 5 表2 , 31 ：4 - 1 ：内的方形杂质参数表 名称璎点坐标 吸牧燕数( 1 c m ) | i碳 ( t s ，3 0 )( 1 5 ，矗( * 1 5 _ 3 5 )( 1 s ，- 3 + 5 ) o 1 1 5l l镑 ( - t 5 ，- 2 秘l 。5 ，- 2 ，0 ( - 1 。5 ，一1 稀 l + 5 + 一l 。蛰 o 。t 5 6 f铅 ( 一t 5 ，1 o )f l ，5 ，1 o ( * i ，s ，3 o )( 1 ，5 ，3 ， 0 8 0 0 j 0 8 6 2 0 ； d i “ j n 毫醇 图2 。2 1 为模型的吸收系数的二维敷度分布图及在y 轴的一维分布。 6420246 y ( c u l ) a 鹫b 强 穗2 。2 模凝豹吸收系数的二维灰度分东潮及在y 轴上的一维分布 ( 2 ) 抽样间距对图像质量的影响 闺2 。2 2 爨糖糕阏距为0 0 2 e m ，投影数荧1 8 0 懿羹建斡二维瑟鬣懿及在y 辜囊 的分句。从图可以看出重建圈像t e 较模糊，尽管此时的抽样频率更符合n y q u i s t 抽样定理。但由于噪音比较大，重建图像在真实值上下的起伏很剧烈，这是由于 根攒( 2 1 5 ) 式所得的模拟数据总