（计算数学专业论文）hausdorff测度的规范化处理.pdf

y 1 8 0 5 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导 下独立进行研究工作所取得的成果。据我所知，除了特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：j 盘曰期： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：3 盘 日 期：坠! 煎必 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：狃 日期：垄! ：, 3 o 电话： 邮编： 肌 7 3 8 坶 毒 i 目录 中文摘要 英文摘要 甚录。 摘要一： a b s t r a c t 引言1 一、l e b e s g u e 测度与约化h a u s d o r f f 测度3 二、规范h a u s d o r f f 测度及其性质1 l 三、规范h a u s d o r f f 测度与l e b e s g u e 测度的相容性2 l 结语3 1 参考文献3 5 后记：3 7 ! 一， 东北师范大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了规范h a u s d o r f f 测度与任意超平面中的l e b e s g u e 测度在数 值上的联系，并且给出了不同条件下一( f ) 与，( f ) 的对应关系。首先引入了普通球 覆盖和广义球覆盖的概念，接着介绍了在球覆盖下的l e b e s g u e 测度的定义及球 覆盖下经典h a u s d o r f f 测度的定义。提出了可数覆盖拒零性的概念，并在形式上 统一了维数为零与维数大于零时h a u s d o r f f 测度的定义。更进一步引入了普通和 广义球与球覆盖的标准和约化s 一维覆盖体积的概念，定义了球覆盖下的规范 h a u s d o r f f 测度，在形式上统一了球覆盖l e b e s g u e 测度与球覆盖h a u s d o r f f 测 度。并在一定条件下，获得了在整数维时，规范h a u s d o r f f 测度与任意超平面中 的l e b e s g u e 测度在数值上保持相容性。 关键词：l e b e s g u e 测度；h a u s d o r f f 测度；覆盖体积；相容性 东北师范大学硕士学位论文 2 飞 东北师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t l l i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h ec o n t a c tb e t w e e nr e v i s e dh a u s d o r f fs t a n d a r d i z e d m e a s u r ea n dl e b e s g u em e a s u r eo na r b i t r a r yh y p e r p l a n e ，a n ds h o w st h er a l a t i o n s h i p b e t w e e nh k ( f ) a n d 产( f ) i nd i f f r e n e t c o n d i t i o n s f i r s t , g i v e nt h em e a n i n go ft h e u n i v e r s a la n dg e n e r a l i z e db a l l c o v e r ，a n dt h e ni n t r o d u c e dt h e d e f i n i t i o no ft h e u n i v e r s a la n dg e n e r a l i z e db a l l c o v e rl e b e s g u em e a s u r ea n db a l l c o v e rh a u s d o r f f m e a s u r e p r o p o s e dt h ed e f i n i t i o no fn o n - z e r on a t u r eo fc o u n t a b l ec o v e r ，a n du n i f i e dt h e d e f i n i t i o n so fh a u s d o r f fm e a s u r ew i t ht h ed i m e n s i o ne q u a lt oz e r oa n do v e rz e r o f u r t h e ri n t r o d u c e ds t a n d a r da n dr e d u c t i o nt h ed e f i n i t i o no fb a l la n db a l lc o v e rb yt h e s - d i m e n s i o n a lv o l u m e d e f i n i t i o no ft h eb a l l c o v e rr e v i s e dh a u s d o r f fs t a n d a r d i z e d m e a s u r e ，a n du n i f i e dt h ed e f i n i t i o n so fb a l l - c o v e rl e b e s g u em e a s u r ea n db a l l c o v e r h a u s d o r f fm e a s u r e t h e na m e n dh a u s d o r f fs t a n d a r d i z e dm e a s u r et om a k ei tc o n s i s t e n t 、析t l ll e b e s g u em e a s u r eo na r b i t r a r yh y p e r p l a n e k e yw o r d s ：l e b e s g u em e a s u r e ：h a u s d o r f fm e a s u r e ；b a l l c o v e rv o l u m e ：c o m p a t i b i l i t y 东北师范大学硕士学位论文 2 东北师范大学硕士学位论文 引言 人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何，最早的“几何”来源于古 希腊，表示的是“测地术”。而最早的“几何学”则是由埃及人开创的，由于尼 罗河常年洪水泛滥，经常把埃及人划定的土地界线冲掉，于是他们每年都要重新 作土地测量、划分界线。为了避免反复的工作，埃及人逐渐形成一种专门的测地 技术，随后这种技术传到希腊，逐步演变成现在狭义的几何学。早在公元前三百 年左右，古希腊数学家欧几里德将公元前七世纪以来古希腊几何积累起来的庞杂 结果整理在一个严密统一的体系中，从原始公理开始，列出5 条公理，通过一系 列逻辑推理，演绎出一整套定理和推论，从而建立了欧几里德几何学的公理化数 学体系，写成了巨著几何原本。 随着科学技术的发展，人们的研究范围已经不再是简单的规则图形，更多的 是生活中一些极其复杂的不规则图形。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山 脉、粗糙不平的断面、变幻无常的浮云、九曲回肠的河流、纵横交错的血管、令 人眼花缭乱的繁星等，这些不规则的图形用欧几里德几何学去更进一步的了解是 无能为力的，于是诞生了一门新的理论分形几何学。 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则 现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何学又称为描述大自然的几何学， 分形( f r a c t a l ) 这个名词是由数学家m a n d e l b r o t 为描述所有尺度上复杂结构的 不规则、破碎形状而创造的。美国数学家b b m a n d e l b o r t 在1 9 7 5 年出版的自 然界中的分形几何中首次引入了分形( f r a c t a l ) 这一概念，认为分形有以下几个 特点：( 1 ) 具有无限精细的结构；( 2 ) 比例自相似性；( 3 ) 一般它的分数维大于 它的拓扑维数；( 4 ) 可以由非常简单的方法定义，并由递归、迭代产生等。1 9 8 2 年，t h ef r a c t a lg e o m e t r yo fn a t u r e ( 大自然的分形几何) 第二版 在欧美社会得到广泛关注，并迅速形成了“分形热”。 1 9 8 5 年，f a l c o n e rk j 在t h eg e o m e t r yo ff r a c t a ls e t s 。一书中详细 地介绍了分形几何的基本理论，包括分形维数陋3 的定义与计算技巧，更广泛地 介绍了分形理论口h 2 1 在数学与物理上的应用，其中介绍了测度的定义与简单的 性质，并提及了球覆盖下的h a u s d o r f f 测度n 6 侧，但未给出准确的定义。随着测 度理论晗7 。2 州的发展，1 9 9 7 年，中山大学耿祥义教授给出了h a u s d o r f f 2 测度的一 个等价形式h 1 j ，通过这个等价形式可以明显看出h a u s d o r f f 测度与填充测度的关 系，使两者建立了一定的联系。1 9 9 8 年，周作领教授发表了自相似集的h a u s d o r f f 测度k o c h 曲线m 1 的文章讨论了关于满足开集条件的自相似集的h a u s d o r f f 测度的性质，这给出了一个具体集合的h a u s d o r f f 测度的定理与性质。2 0 0 0 年， 文志英在分形几何的数学基础瞳1 一书中，提到了球覆盖下的h a u s d o r f f 测度，并 给出了准确的定义形式，同年，贾保国在文章本原代换的非周期不动点的 h a u s d o r f f 维数函数。”中从非周期瞳们的角度来研究h a u s d o r f f 维数的性质，此时 h a u s d o r f f 维数的研究进入了一个新的研究领域，2 0 0 1 年，文胜友与许绍元教授 在周作领文章的基础上做了个进一步的研究，发表了自相似集的h a u s d o r f f 测度 东北师范大学硕士学位论文 的文章，得到了h a u s d o r f f 容度与h a u s d o r f f 测度相等的充分必要条件是满足 开集条件的自相似集，验证了它的h a u s d o r f f 容度与h a u s d o r f f 测度相等并给出 了它的h a u s d o r f f 测度的一个便于应用的公式。作为例子，给出了均匀康托集的 h a u s d o r f f 测度的一种新的计算方法，对于k o c h 曲线的h a u s d o r f f 测度的上限 也作了讨论，对h a u s d o r f f 测度的研究进入了更深的层次，深入探讨了h a u s d o r f f 容度心4 吨副与h a u s d o r f f 测度相等时的充分必要条件，并且给出了一个具体应用。 2 0 0 3 年，罗俊与周作领教授发表了自相似集的h a u s d o r f f 测度与连续性的文章 u 制，讨论了自相似集的h a u s d o r f f 测度性质并给出了连续性的证明，同年，瞿成 勤和周作领教授写了关于广义齐次自相似集上h a u s d o r f f 测度的一个特征的文 章聃1 ，在原有自相似集的理论基础上讨论了广义齐次自相似集的性质，证明了s 维h a u s d o r f f 测度是e 上唯一的非扩张概率测度，2 0 0 5 年，许绍元教授发表了 关于h a u s d o r f f 维数与局部维数的一个注记h 1 ，该文在度量空间中得到了下局部 维数晗跚与h a u s d o r f f 维数的一个关系，从而改进和推广了有关文献的相应结果。 在2 0 0 7 年，盛中平给出了广义球覆盖的思想，提出了计数测度的定义，就此指 导了零三级本科生的毕业论文。 本文主要对规范h a u s d o r f f 测度与任意超平面中的l e b e s g u e 测度在数值上 的对应关系进行了研究，并且对于，分别满足任意集合、开集条件的自相似集和 有界集时所对应的h 与产( 尸) 的对应关系。构造出球覆盖l e b e s g u e 测度与球覆 盖h a u s d o r f f 测度的联系，这对我们在以后研究它们的性质是非常有帮助的，文 章的第一节中，介绍了普通和广义球覆盖的含义，接着给出了普通和广义万一球 覆盖的定义，并且提出了可数覆盖拒零性的概念以及球覆盖l e b e s g u e 测度、球 覆盖h a u s d o r f f 测度的定义，同时分析了l e b e s g u e 测度与h a u s d o r f f 测度在定 义上的区别，在定义l e b e s g u e 测度时，维数恰好为n ，则此时覆盖的体积就是 球体积之和。而在定义h a u s d o r f f 测度时，需要给出s 一维“覆盖体积的概念， 这点包含在定义之中，在第二节中，给出了普通和广义球与球覆盖下的标准和约 化s 一维覆盖体积的概念，并且引入了球覆盖下的规范l q a u s d o r f f 测度以及s 一维 规范h a u s d o r f f 万一测度的定义。对于规范h a u s d o r f f 万一测度蝶与规范h a u s d o r f f 测度h 5 也给出了相应的结论和性质并且给出了相应的说明和证明。在第三节中， 首先给出了压缩相似映像的定义，接着引入了压缩迭代函数系及相似压缩迭代函 数系的概念，在形式上统一了球覆盖l e b e s g u e 测度与球覆盖h a u s d o r f f 测度。 并在一定条件下，获得了在整数维时，规范h a u s d o r f f 测度与任意超平面中的 l e b e s g u e 测度在数值上保持一致。 东北师范大学硕士学位论文 一、l e b e s g u e 测度与约化h a u s d o r f f 、狈1 度 测度是分形几何的核心部分，在分形的数学中是一个主要工具。h a u s d o r f f 测度可以看成是l e b e s g u e 测度的推广。传统的l e b e s g u e 测度采用的是开矩体覆 盖如1 ，通常的h a u s d o r f f 测度是采用任意集合覆盖。由于在采用不同覆盖时，仍 可使所得h a u s d o r f f 维数是一致的n 2 | ，所以在仅讨论维数时如何定义测度都是 合适的。但是，就测度本身来说，将上述两种测度在量纲上统一，使其在量上保 持一致，就很有意义了。为实现这一目的，在定义中均采用闭球覆盖n 1 。并将闭 球覆盖l e b e s g u e 测度、闭球覆盖h a u s d o r f f 测度，仍简称为l e b e s g u e 测度、 h a u s d o r f f 测度。下面首先给出一些概念与记号。 普通的n 维欧氏空间为r “( n 之1 ) 。另外，当刀= 0 时，r o = 0 ) 是单点集合； 其子集只有两种情况，或者为空集，或者为全集 0 。因此，当刀= 0 时属于平 凡情况。因此只需考虑n 1 的情况。 任意口，b r ”，ea ，b 两点的欧氏距离为以( 口，6 ) 。对任意集合acr ”，定义 集合么的直径为j 么| _ s u p a 丘, ( 口，6 ) ：口，b 么) ：易见，单点集的直径为零，即 x ) | _ 0 ，( v x 尺”) 。另外，约定空集的直径为- - 0 0 ，即l 矽i - - - 0 0 。 对意x o r ”及0 ， + o 。，称集合b ( x o ，) = x r ”：ix - - x 0i ，) 是半径为r 的 闭球；并约定空集是直径与半径都为一的闭球( ，= 一o o ) ，r ”是直径与半径都 为+ o o 的闭球( ，= + o o ) 。称半径满足0 ， 为普通球覆盖 量) 二。的半径。对任意满足 o 万佃的艿。如果艿，则称 e ：。为普通万一球覆盖、第一类万一琏覆盖。 在定义1 1 之( 2 ) 中，当占= 蜘时。对任意普通球覆盖 b 川m ：。，其半径都满 足万= + o o 。故任意普通球覆盖也可以看作是普通( 悃) - 球覆盖、第一类( + ) - 球覆盖。显然普通球覆盖既可以是有限覆盖，也可以是可列无穷覆盖。 定义1 2 ( 广义球覆盖) 任意给定fc r ”。 ( 1 ) 如果 b o ：o ，为可列个广义闭球构成的闭球族，并且它能覆盖集合f ，即 f c 闰ub ，。则称 e ：。为，的一个广义闭球覆盖，简称为第二类球覆盖，或简称 为广义球覆盖。 ( 2 ) 称= s u p 掣：1 f + 为广义球覆盖 e ) ：。的半径。对任意满足 0 万佃的艿。如果万，则称 e ：。为r - y a - 球覆盖、第二类万一球覆盖。 在定义1 2 之( 2 ) 中，当万= 悯时。对任意广义球覆盖 b ：。，其半径都满 足万= 佃。故任意广义球覆盖也可以看作是广义( 棚) 一球覆盖、第二类( 佃) - 球覆盖。 并且广义球覆盖 e ) ：。中的e 可以为空集，因此广义球覆盖本质上也包括有 限覆盖。例如，若f = 矽，令所有e = ，则有fc 些e 成立。因此一个空集也 可以看做是空集的广义球覆盖。 注意，在上述两个定义中，万为半径而不是直径。事实上，对于任意集合 f cr ”，当0 6 栅时f 一定存在万球覆盖；但是，当万= 0 时，则f 未必存 在万球覆盖。因为直径为零的球只有单点集，且球覆盖要求是至多可列的，而 不可数集合是不能用可列个单点集盖住的。故对于不可数集合，其不存在万= 0 的 万球覆盖。我们称这一性质为可数覆盖的拒零性。当然，具体覆盖的半径是可 以为零的。 4 东北师范大学硕士学位论文 现在，给出球覆盖下的以维l e b e s g u e 测度r 的定义。其可以认为是规则几 何体的挖维体积在一般集合上的推广。 定义1 3 ( 球覆盖刀维l e b e s g u e 测度) ，对v fc r “。 ( 1 ) ( 按普通球覆盖定义) 记 r ( d = i i l f 喜y ”( 掣) ： e ：。为f 的任意n 维普通球覆盖) ， ( 1 1 ) 称其为集合，的n 维l e b e s g u e 测度。并称芝i = ly ”( 掣) 为关于普通球覆盖 e ) ：，的规范覆盖体积，记为k ( e 墨，) = 善掣) 。 ( 2 ) ( 按广义球覆盖定义) 记 r ( ，) = i n “喜y ”( 掣) ： e ) 昌为f 的任意n 维广义球覆盖) ， ( 1 2 ) 称其为集合f 的n 维l e b e s g u e 测度。并称喜矿”( 掣) 为关于广义球覆盖 e 玛的规范覆盖体积，记为( e ) ：，) = 喜y ”掣) 。 事实上，定义1 3 中的两个定义形式( 1 1 ) ( 1 2 ) 等价。亦即，将按普 通球覆盖定义之( 1 1 ) 式中的r ( f ) 记为葺( f ) ，将按广义球覆盖定义之( 1 2 ) 式中的r ( f ) 记为骂( f ) ，则有如下命题成立。 定理1 1 对任意f c r “，有耳( ，) = 簟( f ) 。 证明：若f = ，易见都有置( ，) = 骂( ，) 。下面设f 矽。 首先，对任意fcr “，由于普通球覆盖都是广义球覆盖，所以f 的广义 球覆盖要多于其普通球覆盖，故由( 1 1 ) ( 1 2 ) 式知片( f ) 置( f ) 。 其次，证明反向不等式。前提还是f 矽；若鬈( f ) = + ，则片( f ) 置( f ) 显然成立。不妨设置( f ) 佃。 东北师范大学硕士学位论文 a 对f 的任意广义球覆盖 e 二，若某e 的半径为+ o 。，则其覆盖体积 为+ o o 。由置( f ) 0 时，对v ，cr ”，有弼( f ) ，= 硪( f ) 2 ，h 3 ( f ) l = h 3 ( ，) 2 。 证明：若碟( f ) 。= 圳( f ) ：，令6 0 + 则得h 5 ( f ) 。= h 5 ( f ) ：。故只需证 7 东北师范大学硕士学位论文 明硪( ，) ，= ( f ) 2 ( o 0 ，若，= ，易见都有月苫( ，) l = 硪( ，) 2 = 0 ( o 艿佃) 。下面设 f 妒。 首先，对任意fcr “，由于普通球覆盖都是广义球覆盖，所以，的广义 球覆盖要多于其普通球覆盖，故由( 1 4 ) ( 1 6 ) 式知硪( ，) 。硪( f ) ：。 其次，证明反向不等式。前提还是f 矽；若蟛( ，) 2 = 4 - 0 0 ，则 硪( f ) ，e ( f ) 2 显然成立。不妨设蟛( ，) 2 4 - 0 0 。 a 对，的任意广义球覆盖 e ) 二。，若某e 的半径为佃，则其覆盖体积 为+ 。由骂( f ) o ) ，定义联( f ) 为集合，的全体6 一球覆盖的简 f - l 单s 一维覆盖体积的下确界。由于定义中的s 是非负实数，包括正整数，所以 h a u s d o r f f 测度的适用范围比l e b e s g u e 测度广泛得多。h a u s d o r f f 5 一测度定义 8 东北师范大学硕士学位论文 中对简单s 一维覆盖体积取下确界，这与l e b e s g u e 测度是对n 维覆盖体积取下确 界的定义是相似的。最后，由于鹾( ，) 关于6 是递减函数，令万一0 + ，则得到 h a u s d o r f f 测度日5 ( f ) 的定义。这一步与l e b e s g u e 测度的定义是不同的。当 6 _ 0 + 时，l e b e s g u e 测度覆盖体积的下确界保持不变，而h a u s d o r f f 测度中覆 盖体积的下确界磁( f ) 有可能会变大。这也是取极限的本质原因。 通过对两种测度定义及构造过程可见，欧几里德空间r ”子集上的球覆盖s 维h a u s d o r f f 测度日5 ( ) ( o s n ) 是球覆盖l e b e s g u e 测度在维数是非负实数时 的一种推广。但是对于r ”中子集，如此定义的当s = n 时的h a u s d o r f f 测度，与 其n 维l e b e s g u e 测度在数值上一般并不一致。那么可否对h a u s d o r f f ；! 贝j j 度的定义 进行规范化处理，使规范化后的h a u s d o r f f 测度对于r ”的子集进行1 1 维度量时与 n 维l e b e s g u e 测度在数值上保持一致? 文献 1 q h ，指出r ”中任何子集的n 维 h a u s d o m 测度与n 维l e b e s g u e 测度相差一常数倍，更精确的对于尺”中的波雷尔 集a 有：q 日一( 彳) ：r ( 4 ) ，其中乞：单，即：直径为1 的n 维球的体积。 2 ”r ( 兰+ 1 ) 这一点，也正是我们引入球及球覆盖的“s 维规范覆盖体积的概念来替代定义 中的球及球覆盖的“s 一维约化覆盖体积的原因。在下一节中，将对球覆盖 h a u s d o r f f 测度定义做规范化处理，并证明规范化后的h a u s d o r f f 钡1 度仍满足外测 度的基本性质。 9 东北师范大学硕士学位论文 1 0 东北师范大学硕士学位论文 二、规范h a u s d o r f f 测度及其性质 在文献 1 中，给出了第一类球覆盖下的h a u s d o r f f 测度，并证明了由球覆 盖测度导出的h a u s d o r f f 维数与由任意覆盖测度导出的h a u s d o r f f 维数乜1 是一致 的。本节将对球覆盖h a u s d o r f f 测度定义做进一步的规范化处理，引入规范 h a u s d o r f f 测度，使得球覆盖l e b e s g u e 测度与球覆盖h a u s d o r f f 测度在测度上 达成一致。 由于球覆盖测度，是用球覆盖的体积来逼近的。所以必须引入球覆盖的 s ( o s 刀) 维覆盖体积的概念，因此必须首先给出r ”中半径为r 的球的 s ( o s y ) 维覆盖体积的定义。n 维球覆盖的s 维覆盖体积在建立球覆盖测度中 的意义，将在本节最后一部分进行讨论。已知g a m m a 函数r ( x ) = f f 川p 一7 d te ( o ，佃) 上有定义并且连续，现给出如下覆盖体积的定义。 定义2 1 对于r ”中半径为r ( 0 ，+ 或，= 一0 0 ) 的任意1 3 维广义闭球，记 叭巾毒 邮一嘞= 叫删卜 ( 2 1 ) 称矿5 ( r ) 为半径为r 的1 3 维球的规范s 一维覆盖体积。记 矿3 ( ，) = l2 r1 3 ，( o ，十或r = 一o o ；s o ) 。 称矿( ，) 为半径为r 的n 维球的约化s 一维覆盖体积。 上述定义中，当s = k 为正整数时，半径为r 的n 维球的s 一维覆盖体积，就转 化为半径为r 的k 维球的k 维体积公式。利用约定( 1 3 ) 可知如下s 一维覆盖体积 公式成立。下面，就刀1 ；s = o ，l ，2 ，3 时，给出规范s 一维覆盖体积的几个实例。 当0 r + 。o 时，有y 。( r ) = ，= 1 ，( r ( 1 ) = 1 ) ；矿1 ( ，) = 2 r 1 = 2 r ，( r ( 号) = 年) ； 吹咖，( r ( 2 ) = 1 ) 暇咖；，( 嘴) = 孚) 。 东北师范大学硕士学位论文 当，= 0 时，有y o ( ，) = 0 0 = 1 ；矿( ，) = 0 ，( 扛1 ，2 ，3 ) 。 当，= + 时，有矿o ( 厂) = ( + ) o = 1 ；y ( ，) = + 。o ，( f = 1 ，2 ，3 ) 。 勤一州一驴卜志卜叫7 _ 0 ，睁0 ，l ，2 ，3 ) o r ( + 1 ) 易见如下命题成立。 命题2 1 如上定义2 1 中n 维球的规范5 一维覆盖体积矿5 ( ，) ，当半径r 固定 时，关于s 在( 0 ，佃) 连续。 接着，利用1 1 维球的两类s 一维覆盖体积的概念，给出n 维球覆盖的两类s 维覆盖体积的概念。 定义2 2 给定fcr ”。 ( 1 ) ( 按普通球覆盖定义) 对f 的任意1 3 维普通球覆盖 e ) ：。，对任意固定 的非负实数s ，称 暇曲( b m ；。) = y 5 ( 孕) 为l q 维普通球覆盖 e ) ：。的规范s 一维覆盖体积。称 两n m ：，) ：兰l 跗 为f i 维普通球覆盖 b 。m ；。的约化s 一维覆盖体积。 ( 2 ) ( 按广义球覆盖定义) 对f 的任意n 维广义球覆盖 e ：。，对任意固定 的非负实数s ，称 暇趵( n o ：o 。) = i 3 ( 孚) 为n 维广义球覆盖 e 器的规范s 一维覆盖体积。称 1 2 东北师范大学硕士学位论文 两量 二) ：主l 跗 为n 维广义球覆盖 b ：1 。的约化s 一维覆盖体积。 现在，由上述定义可以给出规范h a u s d o r f f 测度的定义了。 定义2 3 设，为足”中的任何子集，s 为一非负数。 ( 1 ) ( 按普通球覆盖定义) 对任意v 万( 0 0 时，对v fcr ”，有蝶( ，) l = 缮( f ) 2 ，办5 ( f ) 1 = h s ( f ) 2 。 证明：若( f ) 。= h i ( f ) ：，令6 哼o + 则可推出矿( f ) 。= ( f ) ：。故只需 证明蝶( f ) ，= 劣( f ) ：即可。 设s 0 ，若f = ，易见都有蝶( f ) ，= 绣( f ) ：，下面设f 矽。 首先，对任意fcr “，由于普通球覆盖都是广义球覆盖，所以f 的广义 球覆盖要多于其普通球覆盖，故由( 2 2 ) ( 2 4 ) 式知缮( ，) 蝶( ，) ：。 其次，证明反向不等式。前提还是f 驴；若绣( ，) ：= 佃，则 ( f ) l 蝶( ，) 2 显然成立。不妨设( f ) ： + o o 。 a 对，的任意广义球覆盖 e ) ：。，若某e 的半径为佃，则其覆盖体积 为+ o o 。由磁( ，) 十o o ，知道从右端去掉此覆盖后，对( 2 4 ) 式右端的下确界 无影响。 b 由f ，知对其任意广义球覆盖 e ：。，其中必有某e 不为空集。 进而， e ) ：。去掉为空集的e 后仍为f 的广义球覆盖，因此换为去掉空集的 覆盖后，对( 2 4 ) 式下确界无影响。 综合a 与b 知，( 2 4 ) 式右端可以转换为关于普通球覆盖的下确界。而 ( 2 2 ) 为关于全部普通球覆盖的下确界。因此有缮( ，) 。缮( f ) ：。 最后，总之有蝶( f ) = 缮( f ) 2 成立。证毕。 注2 1 利用n 维球的规范s 维覆盖体积的记号y 5 ( ) ，则缮( f ) 、( ，) 还 可表示如下。 ( ，) = i n f v 3 ( 孚) ： 鸟) 三为f 的任意n 维艿一球覆盖) ， 办”( f ) = i n g v 5 ( 掣) ： e ) ：。为，的任意n 维球覆盖) 。 ，= 1 1 4 东北师范大学硕士学位论文 进而，可知心( ，) 与f ( ，) 的关系如下。 命题2 2 对于任意fcr ”，有虼( f ) = i f ( f ) 。 证明：由定义2 3 及定理2 1 知， 虼( f ) = i n f v c ”( e 咒) ： e 三为瑚任意普通( n 维) 球覆盖) - - i n f v c ：5 ( e ：。) ： e ：。为确任意广义( n 维) 球覆盖 。 再由定义1 3 及定理1 1 知， f ( f ) = i 嵋 f 霉1 = 础 1 = 1 以及注2 1 可知 b ：，为f 的任意n 维普通球覆盖) 忍 ：，为肭任意n 维广义球覆盖 广义球褴哗( 峨= 耖( 拳； 普通球覆盖：唆1 e ) 乌) ：芝y ”( 掣) ， 进而知命题成立。证毕。 由定义易知，对于规范h a u s d o r f f 8 一测度绣与规范h a u s d o r f f 测度乃8 ，类 似于文献 6 ，7 ，可有如下结论成立。注意，当s = o 时，对于普通球覆盖，劈与乃。 虽不是外测度但有定义。此时如下定理2 2 中的结论还是成立的。 定理2 2 对于0 s 刀及fcr ”，有 ( 1 ) ( f ) 憾( f ) ，( o 点 疋) 。 ( 2 ) h s ( ，) 蟛( f ) 虼( f ) ，( o 万 + ) 。 ( 3 ) 舰缮( f ) = 蜢( f ) ，( 注意当万一佃时万+ ) 。 ( 4 ) ，i m 缮( ，) = 矿( f ) ( 定义式，注意当万一0 + 时占0 ) 。 d u 证明：方法i 普通球覆盖。 ( 1 ) 由定义知 ( f ) = i i 蛾吲5 ( e ：，) ： e ) 为肭任意普通反一球覆盖 ，= l 1 5 e 一2 e 一2 矿 矿 东北师范大学硕士学位论文 憾( f ) = i n f 暇”( b m ：。) ： e ) 为f 的任思- 。a 日l z 通 盈一球覆盖) # l 又由于0 4 疋+ o o ，则f 的普通4 一球覆盖，一定也是f 的普通嘎一球覆 盖。所以，磁( f ) 吆( f ) ( 2 ) 由上述结论( 1 ) 及定义2 3 之( 2 3 ) 式知结论( 2 ) 成立。 ( 3 ) 一方面，由于蟛( ，) 随万的增加而减小，故舰蝶( f ) 有意义。再由上述 ( 2 ) 成立，知有j i m 蝶( ，) 虼( ，) 。 另一方面，对于f 的任意普通球覆盖 鼠) 是，( 亦即普通( 佃) 一球覆盖) 。若 暇”( e 渤= 栩，则舰蟛( ，) 暇趵( e 渤；若暇( b 。：t ) 0 ，使得覆盖半径s u pi 忍l 6 ) ，进而里恐( f ) 暇列( b m ：t ) 。于是 。l i r a 蝶( ，) 虼( ，) 。总之，。l i m 蝶( f ) = 蜢( ，) 。 d + o 口o ( 4 ) 即定义2 3 之( 2 3 ) 式，不需要证明。 方法i i 广义球覆盖。 。 ( 1 ) 由定义知 ( ，) = i n f 蟛3 ( e ：，) ： e ) ：。为瑚任意广义磊一球覆盖 镌( ，) = i i l f 嘲3 1 ( b ：。) ： e ：。为，的任意广义岛一球覆盖 l = l 又由于0 磊 0 ) 都是外测度，见如下定理2 3 。 在如下统一约定下，下面定理2 3 的证明，既可以看作是用普通球覆盖给出 的证明，也可以看作是用广义球覆盖给出的证明。 注2 2 ：统一约定“球覆盖”，或者都表不“普通球覆盖”，或者都表不“广 义球覆盖”；并用“球覆盖”的一般形式 e ) 二( m 为有限或为+ ) ，统一表示普 通球覆盖 e 竺。与广义球覆盖 b 。lo - 1 ，o其s 维覆盖体积亦统一记为v c 。s m ：。) 。 定理2 3 对任意的s o 及o 0 时。 ( 1 ) 根据定义可知i ) 式显然成立； ( 2 ) 对任意的0 6 + o o 。如果acb ，则任意集合b 的万一球覆盖都是a 的万一 球覆盖，所以蝶( 彳) 绣( 召) 。进而牌( 彳) 3 骢蝶( b ) ，亦即h s ( 彳) 办3 ( b ) 。 ( 3 ) 已知 4 ) ：，是一个集列，任意给定占( o 0 时相同；下面只需证明次可列可加性： 已知 4 ) ：。是一个集列，任意给定万( o 万+ ) 。首先，当劈( 4 ) = + o 。时， 醒( u 4 ) 劈( 4 ) = + o o 显然成立。其次，当堞( 4 ) + o o i t 寸。0 维覆盖体积显 ，= l 然都是整数，所以碟( ) 中的下确界定义这时就是最小值，因而是可达的。故对个 m i 自然数i ，存在- i 的广义万一球覆盖 e n ) 叠，使得4cu 髟”，且有 j = l 暇( 矽订) 名) = 劈( 4 ) 。由此可知型 巧“ j 2 是集合_ 4 的广义万一球覆盖，并有 东北师范大学硕士学位论文 暇。( 鱼 e7 凳。) = 暇。( e ) 名，) = - o ( 4 ) 。又醒( u 4 ) 暇( 些 e o ) 嘉t ) ， # 1 i = l i = 1i = l 进而有醒( u 4 ) 醒( 4 ) 。至此知醒( ) 是外测度。 由定理2 2 之( 2 ) 知醒( 4 ) 矿( 4 ) ，( f - 1 ，2 ，3 ，) ，故有镤( 4 ) h 。( 4 ) ， 进而碟( u 4 ) 矿( 4 ) 。再令万一o + ，则有( u 4 ) - - e h 。( 4 ) 。至此知办。( 。) 是外测度。 最后，劈显然不