（计算数学专业论文）三维小波构造及其应用.pdf

摘要 本文首先介绍了多维小波一些性质，在此基础上构造了三维非张量 积形式的d a u b e c h i e s l j 、波函数，然后给出了三维张量积形式的小波基并 把它应用到求微分方程的数值解中，进行一些新的尝试，得到一些结 果。本文分为以下3 个部分： 1 准备知识； 2 三维小波函数的构造； 首先利用共轭滤波器公式构造了共轭滤波器和频率响应，并且具体 计算出当时，频率响应的值；然后构造了尺度函数和小波函数；最后利 用尺度函数和小波函数的关系构造了系数鲂 3 三维小波基在微分方程数值解中的应用。 首先给出了三维张量积形式的小波基，并尝试应用在微分方程的数 值解中。以三维p o i s s o n 方程为例，进行了数值求解，并给出了一个具 体的数值例子。 a b s t r a c t t h i sp a p e ra tf i r s ti n t r o d u c e ss o m ec h a r a c t e ro fm u l t i d i m e n s i o n o nt h e b a s i so fi t ，i ti sm a i n l ya b o u tt h ec o n s t u c t i o no ft h r e ed i m e n s i o n a l n o nt e n - s o tp o w e rf o r m a ld a n b e c h i e sw a v e l e t t h e ng i v i n go u tt h r e ed i m e n s i o n a l t e n s o rp o w e rf o r m a lw a v e l e tb a s ea n da p p l y i n gt h r e ed i m e n s i o n a lt e n s o r p o w e rf o r m a l w a v e l e ti nf i n d i n gn u m e r i c a ls o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w eh a v eo b t a i n e ds o m er e s u l t s t h ep a p e rh a v et h r e ep a r t s ： 1 p r e l i m i n a r y ； 2 t h ec o n s t r u c t i o no ft h r e ed i m e n s i o n a lo r t h o n o m a lw a v e l e t sf u n c t i o n ； a t f i r s t ，u s i n gt h ef o r m u l a o fc o n j u g a t ew a v ef i l t e rc o n s t r u c t sc o n j u g a t e w a v ef i l t e ra n df r e q u e n c yr e s p o n s e a n dc a l c u l a t et h ev a l u eo ff r e q u e n c y r e s p o n s ew h e n ；t h e nc o n s t r u c ts c a l ef u n c t i o na n d w a v e l e t sf u n c t i o n ；f i n a l l y t h ec o e f f i c i e n tg nc o n s t r u c t su s i n gt h er e l a t i o n s h i po fs c a l ef u n c t i o na n d w a v e l e t sf u n c t i o n 3 t h r e ed i m e n s i o n a lt e n s o rp r o d u c tf o r m a lw a v e l e tb a s eh a v ea p p h e d i nf i n d i n gn u m e r i c a ls o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n g i v i n go u tt h r e ed i m e n s i o n a lt e n s o rp o w e rf o r m a lw a v e l e tb a s ea n d f i n d i n gn u m e r i c a ls o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h ee x a m p l e o fp o i s s o n e q u a t i o ni sg i v e no u tn u m e r i c a ls o l u t i o n ，t h e ng i v eo u ta n a c t u a ln u m e r i c a l e x a m p l e 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：糊日期：匝月4 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保 密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：生瓷盈目导师签名：垄划一日期- - 兰堕年上月型日 l j - - 月l j 吾 2 0 世纪8 0 年代初，m o r l e t 和a r e n s 等人首次提出了”小波”的概念。与 传统的f o u r i e r 变换相比较小波变换具有良好的局部化特征与逼近性。作 为一种数学工具，小波分析已广泛地应用于声学、量子场论、信号分 析、图像处理、逼近论、微分方程数值解、地震勘探、医学等方面，而 在这些方面取得了重要成果，它的理论发展与应用在各个科学领域正方 兴未艾，由此，带来了小波分析的迅速发展。 因为我是学习和研究微分方程数值解问题，利用小波函数求解微分 方程数值解是一种新的尝试。在研究微分方程、积分方程等需要利用小 波函数。一维正交小波函数已经由d a u b e c h i e s 构造而成，二维正交小波 函数已由我的导师金坚明教授构造完成，在他们完成的基础上，经过导 师金老师的指导，本文主要构造了三维正交小波函数，并利用三维张量 积形式的小波函数在三维微分方程：p o i s s o n 方程求解数值解，做了新 的尝试，得到一些结果。 这篇论文主要分为三章：第一章是准备知识，主要介绍多维小波函 数的性质；第二章是三维正交小波函数的构造，首先利用共轭滤波器公 式构造频率响应，然后构造尺度函数、小波函数，最后利用尺度函数与 小波函数的关系构造鲰；第三章主要是三维张量积形式的小波基在微分 方程- - p o i s s o n 方程中的应用及数值例子。 第一章准备知识 本节我们给出一些与本文相关的基本概念和引理，本节的所有内容均为引录读者可 参考所列文献以获得更为详细的内容 定义1 1多尺度分析 设 巧b z 是空间口( r ) 中的一审闭子空间，f 巧b z 被称 为是的一个二进多尺度分析，如果 ( 1 ) ce lc 砺cmc ( 2 ) n 巧= o ) ；u 巧= l 2 ( r ) j s z e z ( 3 ) ，( y j 车 i ( 2 x ) y j + 1 ( v j z ) ( 4 ) ，( 。) 嵋静，( z n ) 嵋( n z ) ( 5 ) 存在函数庐，使得 毋忙一呐) 。z 构成的一组r i e s z 基，即存在两个正常 数a 和日，对于任意的 ) 。z 有 a f c n f 2 8 龟毋( z 一乱) f f 2 b l 岛f 2 n e zn e z n c z 多维小波性质简介： 设k 是d 维r 次尺度函数空间，西( 。) 是d 维r 次尺度函数， y j b 。z 是口( 驶d ) 上的多 尺度分析，w ，0 是在中的正交补由文献【2 ，4 ，6 1 ，有 巧= s p a n 2 # 2 , ( 2 j x 一托) ) 扎z d( 1 1 ) 2 一；西( ；) = k 西 一礼) k r n z d 鑫( ) = m 。( ) 玉( ) f 掣 慨( f ) = 2 一；k e 一坼 n z d w o = s p a n 妒r ( x n ) n z 诉( ) = g ( ；) a ( i ) ff ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 ，4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 第一章准备知识 g ( ) = 2 一 如e - 嵋 n e z a 衣( o ) = ( 去) 4 m o ( f ) 1 ，m o ( o ) = 1 ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) f ”岫g + z , 0 1 2 + i m o ( f ) 1 2 + 乏二 l 岫嬉- i - 丌) 1 2 i 鑫任- i - 女”) 1 2 = 1( 1 1 0 ) a ：e z 一1 2 2 4 + ( 旺o + j ) 】 其中嘞 和k 分别称为由多尺度分析 巧h 口导出的传递函数和频率响应，( z ) 称为 相对于尺度函数“( 。) 的小波函数，2 - 办( 掣z n ) n z d 构成砖的一组规范正交基 m ( 1 4 ) ，( 1 ，6 ) 式知 ( 9 ，g ( ) 是以2 霄f 为周期的函数，是d 维单位向量。我们也将满足 条件( 1 1 0 ) 的 ( ) 称为共轭滤波器。 定理1 1投影定理 设u 是r i t z g a l e r k i n 意义下的广义解，b n 是用r i t z g a l e r k i n 方法得到的近似解，则当鼬是日的子空间时，有 沁一也， 】= 0 ，p s n i i “一u 9 甘。吉睡h i | 让一t o n i i st w j 其中表示能量内积，即 阻，叫= d ， ) l l 耳是能量模，即1 1 “瞻= m ，词 3 第二章三维小波函数的构造 文献【4 】已经研究了一维d a u b e c h i e s 小波的具体构造，但是自然界存在着大量问题 是多维问题，因此研究多维d a u b e c h i e s 小波的具体构造是十分必要的，我的导师在文 献【9 ，1 0 ，1 1 】已经对二维d a u b e c h b s 小波的具体构造作了大量的工作，在他研究的基础 上，我将对三维d a u b e c h i e s t j 、波作具体的构造。 2 1 构造三维共轭滤波器m o 构造三维d b u b e c h i 髑小波首先需要构造三维共轭滤波器”_ i o ，下面主要讨论一下如何 构造三维共轭滤波器“o 。当d = 3 时，即三维时( 1 i o ) 削b i m o ( f + i ”) 1 2 + i 伽( f ) 1 2 + i 伽心+ ( 6 ) ”) 1 2 + | 衲嬉+ ( 6 0 ) 霄) 1 2 + l 伽心+ ( i ) - ) t 2 + i r a 。( + ( d 霄) 1 2 + i m ( + ( d ”) 1 2 + i 佻( f + ( 9 丌) 1 2 = l ( 2 1 ) 假定只有有限个k 0 ，k r ，且当= ( j ) 时是m o ( f ) = o 的重根，那么 伽( ) 2 磬+ e “n ) i ( 1 + e 嘶) i ( 1 + e 喝) 】q ( e - u 5 ) 这里q ( e h ) 是实系数多项式，令y l = c 0 8 2 ( 譬) ，抛= c 0 8 2 ( 鲁) ，舶= c o s 2 ( 譬) ，则( 2 1 ) 式l i i l p ( 1 一y 1 ) ( 1 一啦) ( 1 一! ，3 ) j + ( 1 一”1 ) ( 1 一抛) ( 1 一，3 ) p 0 1 抛骗) + ( 1 一轨) ( 1 一! 2 ) p h 抛( 1 一拈) 】+ ( 1 一y 1 ) ( 1 一加) p y 1 ( 1 一耽) 蜘】 + ”f ( 1 一抛) ( 1 一驰) p 【( 1 一y 1 ) 伽铀】+ ( 1 y 1 ) y v y f p l , , a ( 1 一讹) ( 1 一驰) 】 + 9 ，( 1 一址) 罅p 【( 1 一y 1 ) y 2 ( 1 一! j 3 ) l4 - 卵礤( 1 3 b ) p 【( 1 一y 1 ) ( 1 一枷) 钠j ；1 ( 2 2 ) 其中 p 【8 i n 2 ( 萼) 8 i n 2 ( 等) s i n 2 ( 导) 】= i o ( e 一诳) 1 2 引理2 1 设a 是一个正的仅含余弦的三角多项式， nnn a ( f ) = 。，c o s ? t 。矗c o s n 。6 c o s r b 6 ，a n 。，。r h i = = 0 m 罨o “3 = 0 4 第二章三维小漩函数的构造 nnn 那么存在一个双阶多项式占( f ) = 6 t l 。m e 州，b n 。m 。r ，n z 3 ，f n i 2 0 m = o n 3 - - - - - o r 3 ，使得l b ( ) 1 2 = a 售) 证明因为 a ( ) = a s m + 口1 c o b 6 + a o l o c 0 8 6 + a o o lc o s 6 + 。c 0 8 n - 6 c 0 8 伽岛c 0 8 珊6 = 咖+ ；口1 ( e 一婚+ e 婚) + ；n 0 加( e - 咯+ e 妇) + 去咖le - 响+ e 咯) + ；口i l o ( e 一姬+ e 啦) ( e 一也+ e 晒) + ；a l o l ( e - 峨+ e 她) ( e 一响+ e 响) + 互1 嘶1 l ( e 一咯+ e 电) ( e 一咄+ e 妇) + ；，。( e “ 1 + e h 埔) ( e “嘶+ e “z 6 ) ( e 而a 矗j r e n 3 c s ) = e i n l l ；。m n 3 ( e 。( + ，+ e q - t - n m t ) ( e 。( + - 2 ) b + 一似_ ) 如) ( e 一( + ”) 妇+ e ( n 3 - n ) 6 ) = e w 雎唁。- 一m 一。，e “畦+ 百1 ，e 。( 圳q “l - 0 n 2 = 0 r z 3 = 0 ”n l = 0 n l = 0 n 3 2 1 0 + 。州( 莒) 咭壹妻萎蛳。舻州，。嘲( 藿1 ) + i i n n n ，码。- q ：v + n ) ( 营) 】 。n l = 0 n 2 2 0 b 。o。n ，o o n ：五 + 。州l 副* h 唁n 量n 壹 ，。嘶( 鲁) + ；n n n 。叫肌 ，( 虽) 】 n l 等0 n 2 = o n 3 = 0 v n = 0 忙0 n t ；m + 。洲l 鼍x 健h n 妻妻。卅。一。一如( 曼) + ；妻壹妻。叫n ，( 量) 】 n i = 0 n 2 = o n 3 - - - - - o v n 1 = d 枇0 n t = 0 令历= 8 一嘞，磊= e 一”，磊= e 一咯，则有 a ( z , z 2 z 。) = 万写写【；n ，一，刃t z 刃。 。h i = 0 n 2 ；0 n 3 = 0 nn n + 孬1 。掣”- 霉”，z 扩n a l 5 第二章三雏小波函数的构造 + z f 写冒【i 0 , n 。，一。研肛”刃2 刃3 。n l = 0 n 2 = 0 n 3 = 0 nn + i ，掣“1 z 少”召慨】 t t l = o n 3 = 0 n 3 = 0 nnn + 彳写冒唁1 n h - n z 。一。露1 霹_ ”才 。n t = 0 n 2 - - - - - 0 n 3 - - - - 0 nn + ；。z p l 管1 苍“3 l 。h i = 0 抛= 0 n ：5 = 0 nnn + 彳冒石咭a n 。一。一。刃1 刃2 z 1 。 r , i = 0 r i g = 0 t q 3 = 0 ，nn + 画j - ，。掣扣1 霉怕掣”a 】 因为 段( 五磊磊) = e - i n 5 a ( z l z 2 磊) 所以 nnn z 1 1 2 l q 一5 t ，2 z ；n p a ( z r l 万1 写1 ) = 赢i 口n - n l 。一。研t 掣一穿一m 。n z = 0 n 2 = 0 n 3 = 0 1 nnn + i 。掣”1 z 少”硝一 。n z - - - - - 0 n 2 ：= 0 n 3 = 0 nhn + ； ，。一。刃- 霹m - - n - j 霉肌m 。n l = o n 2 = 0n 3 = 0 nnn + i 。，。掣机硝1 掣一 。h i = 0 n 2 = 0 n 3 = 0 nnn + ；晰，。一。留n - h i 霉露。m 。n l = 0 n 2 = 0 n a = 0 nn + ；，。掣1 掣抽省一 。n l = 0 n = 0 n 3 - - 0 n + i 口，。- 一霉一霹m 露s 。n l - - 0 “2 ；o n 3 = 0 nnn + 百1 n 。掣“1 掣1 硝柄 6 第二章三雏小波函数的构造 = p a ( 蜀历磊) 即研霹露n p a ( 彳1 z 1 z 1 ) 与r ( z 1 磊毛) 有相同的根，即：若r ( 五忍蜀) = 0 ， 贝u p a ( z f l z 1 z 1 ) = 0 ，另一方面由于口n 是实数，所以有 万沲z 2 2 3 ) = p ( 芴夏磊) 这表明：若r ( 五磊磊) = 0 ，则r ( 夏磊磊) = 0 ，这样必然得出：若，纫， 磊，是f _ ( z l 面磊) 韵复零点，则乏l ，虿巧，乏；互，z ；，z 矛；乏若，髫，茗也就是它 的复零点，同样可知：若r l k ，r 2 k ，r 雏是r ( 五易磊) 的实零点，那么r 菇，r 象，也同样 是段( 磊忍磊) 的实零点于是有 耳 如( 磊z 2 2 3 ) = ；口f ( z 1 2 2 磊一r 1 r 2 您) ( z 1 磊z 3 一嚷) 】 k = l j 【( z 1 历z 3 一蜀j z 苟z ”) ( z l z 2 磊一乏1 j 毛艺封) j = l 涵忍z 3 一z s z 云1 留) ( z 1 磊磊一胃哥哥) 1 对于z 1 = e m ，易= e - 妇，磊= e - 铂上的点，成立 i b 一响e 一也e 一妇一z 1 0 2 2 0 历o l i e 一z e 一咯e 一嘞一牙0 右乏：i = i 五。磊o z 蛳i - 1 l ( e 一迮1 e 一心e 。6 一z l o 邑o z 3 0 ) 口l o 易届岛一e 一吒- e 一妇e 一婚i = l z l o z 如互i - 1 l i e 一l e 一自e 一碡3 一蜀。易o z a o l 2 因此有 a ( 历磊z 3 ) = i a ( 历邑磊) l = l p ( 历忍忍) l ，x j k = 噎卿ni r l k 恤r 3 i 。l 毛锄钿| - 1 ji i ( e 一讯e - i , a e - 埒, 一m t g k t 3 ) = 1 j = 1k = 1 j ( e 一螗e 一响e 一曲一毛z 舀) ( e 叫- e 一妇e 一妇一乏巧砀瓦) 1 2 皇1 日 ) 1 2 j = l 这里 kj o 任) = i b , l - i i t i k t 2 t t 3 t i 一1 h i z ，z v z v l 一1 j = l t = 1 j i i ( e - i 地e - e 一婚一2 e 嘶e 一电e 一婚r e ( 毛纫如) + f 毛舀舀1 2 ) 一 j = l 显然b ( f ) 是双阶实系数多项式。 将 一1 一l n - 1 p ( 札抛，y a ) = ( 掣1 ) ( 护) ( 妒) 馥1 谚毋 j l - - - - 0 血= 0 血= o 7 第二章三维小波函数的构造 代入方程( 2 2 ) ，得 皇j 芝；譬( 絮i ) ( 妒) ( 吉墙) 蹭静静( 1 一n ) ( 1 一驰) ( 1 一蜘) j l = o 南= ：o j a - - o + 矗1 诸( 1 一舶严( 1 一孰) ( i 一驰) + 衍1 ( 1 一轮p 诸f l 一搬) ( 1 一弱) + ( 1 一玑) h 胡? 馥( 1 一珈) ( 1 一蜘) + ( 1 一9 1 ) 1 ( 1 一啦) 妇谙d ( i 一弧) + ( 1 一讥) 5 ，谚( 1 一驰) 五口f ( 1 一驰) 祥+ 毋1 ( 1 一y 2 ) j 2 ( 1 一钠) 矗( 1 一讥) 诺 + ( 1 一虮) 7 ( 1 一g ) 出( 1 如) 矗g f r g 如果能够证明上式的值等于1 ，则p 知( y l ，驰，地) 是方程( 2 2 ) 的解。 引理2 2 ( ”尹) = ( “t + 1 ) 证明 ( n 唯“) 雌) 十姥 ) = ( “扔+ p 芒i 1 ) + ( “芒i 1 ) = ( ”玄“) + ( n + 苎i 1 ) + - - p 芒i ) = ( “夕) g i 理2 3 nnn ? ( 等t ) ( 訾) ( n h + j a ) 【讲1 话毋( 1 一y 。) 1 ( 卜! 2 ) + 1 ( 1 一班) m ，l j o 矗= d - - - - - 0 + 讲1 诸( 1 一驰) 矗( 1 一y i ) + 1 ( 1 一! 2 ) 1 + 1 鳄+ + ( i 一现y 1 谤露扩1 ( 1 一娩) + 1 ( 1 一驰) + + ( 1 一靴) 血管( 1 一孙) j 3 p 1 ( 1 一j b ) + 1 鹾+ 讲( 1 3 b ) 矗毋( 1 一! 1 ) + 1 + 1 ( 1 一9 3 ) + 1 ( 1 一玑) 1 ( 1 一班) 如瞎r 1 掣+ 1 ( 1 一曲) + 1 辞( 1 一钝( 1 一船) 盎( 1 一饥) + 1 + 1 蛰+ 1 + ( 1 一玑) 血( 1 一挑户( 1 一! 3 ) 。f ，+ 1 谚十1 + 1 l = 1( 2 3 ) 有 证明 由引理2 2 定义a n = ( n + j ) “= l ，2 ，3 ) ，令s n 枷) 为上式的左端，显然 岛0 l 口2 0 3 ) = ( 1 一a i ) ( 1 口2 ) ( 1 ) 十0 1 0 2 4 - ( 1 一n 1 ) ( 1 一a 2 ) a 3 + ( 1 一a 1 ) 0 2 ( 1 一0 3 ) + a l ( 1 现) ( 1 一曲+ ( 1 一1 ) b 2 a 3 + 口l ( 1 a 2 ) a a + a 1 8 2 ( 1 a 3 ) = 1 进一步有 8 第二章三维小波函数的构造 岛r 一1 ( 口1 0 2 d 3 ) = a n 一1 j 。a 一l 加a n l j 3 j l = o = o j s = o 【a i 砖毋( 1 一a i ) ( 1 一口2 ) ( 1 一啦) + 1 砖( 1 一) j 3 ( 1 一a 1 ) ( 1 0 2 ) + 1 ( 1 一咖) 血砖( 1 一a 1 ) 硝( 1 一a 3 ) + ( 1 一0 1 ) t 口! 睡 ( 1 一啦) n ( 1 一幻) + ( 1 一n 1 ) 1 ( 1 一0 2 ) 知毋8 ，口( 1 一0 3 ) + ( 1 一口1 ) 1 毋( 1 一a 8 ) j 3 n ，( 1 一a 2 ) + 砰( 1 一a 口) 矗( 1 一a 3 ) j ( 1 一0 1 ) ：= 知一1 ，。如一l ，o a n l ，o i ( i a 1 ) ”+ 1 ( 1 一劬) + 1 ( 1 一铅) + 1 + a f + 1 毋+ 1 + 1 + ( 1 一0 1 ) + 1 ( 1 一n 2 ) + 1 + 1 + ( 1 口1 ) + 1 0 + 1 ( 1 一铂) + 1 + 口p 1 ( 1 一a 2 ) + 1 ( 1 一q 3 ) + 1 + ( 1 一0 1 ) + 1 n + 1 罐件1 + n ，+ 1 ( 1 一口2 ) + 1 n 多+ 1 + 8 ，+ 1 + 1 ( 1 一a 3 ) n + 1 】 + ( a 一l ，o a n l ，o a n 一1 ，0 + a 一i ，1 a , v 一1 ，o a n 一1 ，o ) f ( 1 一口1 ) 。( 1 一铅) + 1 ( 1 一口3 ) + 1 口i + o ，o + 1 0 f + 1 ( 1 一a 1 ) + ( 1 一口1 ) ( 1 一啦) + 1 0 + 1 0 l + ( 1 一n 1 ) + 1 0 + 1 ( 1 一a 3 ) 。+ 1 + + ( a 2 v 一1 o a u 一1 ，o a n 一1 o + a 一1 ，1 a 一l ，o a n 一1 ，o + a 一l ，o a n 一1 ，1 a n l ，o + a _ 一l ，o a 一1 ，o a 一l ，1 + 4 一1 ，l 且l ，l 如一l ，1 ) f ( 1 8 1 ) ( 1 一现) v ( 1 一a 3 ) 口l 口2 8 3 + 8 ，毋毋( 1 6 q ) ( 1 8 2 ) ( 1 一幻) + ( 1 a 1 ) ( 1 一啦) n 争d 1 屯( 1 一口3 ) + ( 1 一a 1 ) 口( 1 一口3 ) 口l ( 1 一口2 ) 口3 + ； a n - i , k ：a ，b a ，b , 1 = 0 _ f a - - = 0 i s = 0k l = ob = 0b = 0 ( n _ i l 砖砖( 1 一n - ) + 1 ( 1 一) + 1 ( 1 一n 3 ) + 1 + 1 砖( 1 一铂) 如( 1 一a 1 ) + ( 1 一a 2 ) + + l + 砰( 1 一啦) 妇毋( 1 一0 1 ) 脚1 n + 1 ( 1 一船) + 1 + ( 1 一口i ) y l 毋牙口+ 1 ( 1 一口2 ) + 1 ( 1 一0 3 ) + + ( 1 a 1 ) 且( 1 一啦) 血毋n + 1 0 i 2 r + 1 ( 1 一a s ) + 1 + ( 1 一m ) y t 毋( 1 一衄) 如口f + - ( 1 一0 2 ) + 1 + j n - 1n - i - i 砰( i 一0 2 ) 如( 1 0 3 ) 血( 1 一口1 ) + 1 掣+ 1 + 1 】+ 8 【a x _ 1 ，a n - 1 , m a _ “幻 七l = o 乜= o b = 0 【( 1 一口1 ) ( 1 一a 2 ) ( 1 一0 3 ) n ：，口，】 = s k ( 口1 n 2 铂) 因为( 2 由t 从l = a n , u ) ，这样引理2 3 得证 于是得出 h - 1 n - 1 n - 1 p ( y 2 ，v 3 ) = ( 1 ) ( n - - 出l + 1 ) ( 妒) 讲- 谚塘 = 0 如= 0 j 3 = 0 第二章三维小波函数的构造 是方程( 2 2 1 的麓。因此可设 f q ( e 一增) 1 2 = p n s i n 2 k f 百 l ，xs l n 2 ( 警) s i 2 ( 譬) 】 则当p 【s n l 2 ( 警) 8 i n 2 ( 譬) s i n 2 ( 譬) j 已知时，由引理2 1 可求得q e t 雎) ，进而求 得竹如( f ) 及k 不失一般性，仅以n = 2 为例，下求解k ，则有 111 1 q 2 ( e 咄) 1 2 = ( 2 絮1 ) ( 2 一妒) ( 2 苫矗) ( s i n 2 鲁p ( s 辞鲁) 矗( s i n 2 誓) 矗 1 卸j 4 - - - o i 3 = 0 。 。 令 11l q 2 ( e - i i ) = 田，协e - i ( j 怕妇+ 3 6 南= o j 2 = 0 南薯0 得 f q 2 ( e 一艇) 1 2 = q 2e 。碍) 话( e 1 艇) = q j 。j 2 j s e 一忱缸锄自+ j 3 劬。j 2 矗e 矗岫缸+ 矗如) = ( 梳。十口+ 醯1 0 + 菇0 1 + 商o + 蟊l + c l 一2 1 1 + 鳍1 1 ) + ( q l o o q o o s + q l i o q o l o + q l o i q o o i + q l i l q o l i ) e 1 1 + ( q l o o q o o o + 甄l o 铷l 。+ 9 1 d 1 0 1 + g n i 缅1 1 ) l + ( 咖1 0 9 0 0 0 + q l l o q l o o + q o l l q 0 0 1 + q l l i q l 0 1 ) e 一咄+ ( q o l o q 0 0 0 + q i l o q l + 铀l l q 0 0 1 + q l l l q l 0 1 ) e 臼 + ( q o o l q o o o + q l o i q l o o + q o l i q o l o + q l i l q l l o ) e 一键3 + ( q o m q s o o + q l o l q i o o + q 0 1 1 q o l o + q n l q l l oe 咯 + ( q n o q o o o + 驰l l q o o d e - 慨+ 缸) + ( q i l o q 0 0 0 + q x i l 9 0 0 1 ) ( e i _ 乜 + ( q l o i q o c o + q l n q o l o ) e 一佳l + 矗) + ( q i o l q o o o + q l l l q 0 1 0 ) ( 缸+ 如 + ( q o i l q o o o + q l l l q l o o ) e 一( 矗+ 臼) + ( q o l l 口0 0 0 + q l t i q l ) e 池+ 6 ) + ( q l o o q o l o + q l o l q o n ) e 一代l 一6 ) + ( q i o o q 0 1 0 + q i 0 1 q 0 1 1 ) 一妇) + ( q o o i q i o o + q l m q o l l ) e 一( f l 一6 ) + ( q o o l 驰0 0 + 窜1 1 0 q o l l ) e i ( h 缸) + ( q o l o q o o l + q l l o q l 0 1 ) e 一晒一f a ) + ( q o l o q 0 0 1 + q i l 0 9 1 0 1 ) e i ( e 2 一矗 + q i l i q o o o e 一1 + 白+ 轴) + q i l l 咖( f l + 缸+ b ) + 口1 0 l 口0 l o e 一( f l 一矗+ 6 ) + q l o l q 0 1 0 e 慨吨娟) + q 0 1 l 口l o o e 一1 + 自+ 釉+ q 0 1 l q i e ( 一n 均+ 蠹) + q i l o q 0 0 1 e i ( 6 1 + 缸一矗) + q l l o q o o l e 婚+ 缸一6 ) = 8 2 【e 一嬉1 + e 1 + e i 白+ e 妇+ e 一6 + e 妇】+ 【e 一( l + o + 陬+ 妇+ e i 陡i + 5 + e t ( 缸+ 缸j + e 一( 6 + 白) + ( 缸+ 矗) + e - i ( 1 6 ) + 传l 一6 ) + e - 怕一矗) + e i ( f z 一6 ) + e - i ( 6 一曲) + e i c 一6 ) 1 一；f e 一豫+ 矗+ 缸+ e i ( 6 l + o + 3 + e - ( ( 1 一缸+ 矗+ e i ( i l 一妇+ f 3 + e - i ( 一i + 妇+ 扫+ e t ( 一f l + 矗+ 矗) + e 一( f 1 + 6 2 一如+ e 心1 + 6 一妇j 可得下列方程组： 第二章三雏小波函数的构造 氏+ 如+ + 霹砒+ 氐+ 爵o l4 - 磕1 4 - 妃1 = 8 啦咖4 - q l l o q 0 1 04 - q l o l q l + q m q o n = - 2 q m o q o o a 士q n o q m o4 - q o l l q 0 0 14 - q m o l = 2 q o o l q o4 - o l q l o o + q o t t q o t o + q l l l q t t o = - 2 q n o q o o o + q 1 1 1 q o o l = q l o l q o o o4 - q l n q o l o = j 1 q o l l q 0 0 04 - q l l l q l 0 0 。 q l o o q o i o4 - q l o l q 0 1 1 = ； q o m q l o o - 4 - q l l o q 0 1 12 i 1 q m o q o o l4 - q l l o q l o l = i 1 q m q o 2 一i 1 q m l q o l t ) = 一 q o n q l o o2 一i 1 q n o q o m = 一i 1 求解上面的方程组，可得： q 0 0 0 = - - 0 0 4 9 0 3 8 1 q i o o ：0 1 8 3 0 1 2 7 q o l o = 0 1 8 3 0 1 2 7 q o m = 0 1 8 3 0 1 2 7 q n o = - - 0 6 8 3 0 1 2 7 9 1 d 1 = - 0 6 8 3 0 1 2 7 q n o = - 0 6 8 3 0 1 2 7 q l l l = 2 5 4 9 0 3 8 由于选择确定了0 ，那么对应的竹如心) 应为 m ( f ) = 【；( 1 + e - 1 6 ) l ( 14 - e 一妇) ；( 1 + e 一啪) 】。q 2 ( e - i l ) = 壶( 1 + e - i 1 ) 2 ( 1 + e 一钷) 2 ( 1 + e 一沿) 2 ( 。0 + g ，e 一t + 和，。e 一电+ q 0 0 1 e - 响 4 - q l l o e 一啦e 一心4 - q l o l e m e 一响+ q o n e 一她e 一怕+ q 1 1 1 e 一稚e 一电e 一婚) 1 1 第二章三雏小波函数的构造 又由于 竹硒( ) = 2 - l k ，。e 一n - 乱e 一佃。6 e 一m 矗 ( 2 4 ) n t = o 啦= o 哟= o 通过具体计算得到： h o o o = - 0 0 0 2 1 6 7 1 9h m = 0 0 1 1 2 6 1 0 6 2 5 4 9 1 8 7 h 2 = = 0 5 8 5 3 5 8 7 4 1 4 3 = 0 1 1 2 6 5 2 h l o o = l o = b o o ：= 0 ，0 0 3 7 5 3 6 9 = o = ，岫= 0 0 1 4 0 0 8 9 6 h 3 0 0 = k = h 0 3 0 = 0 0 0 8 0 8 8 0 7 h l o l h o n = u o = - 0 0 0 6 5 0 1 5 8 h 2 1 0 = h 1 2 0 = h o l 2 = ，阳2 1 = 2 0 l = h 1 0 2 = - 0 0 2 4 2 6 4 2 2 7 l = 1 3 0 = h 0 1 3 = h 3 0 l = 1 0 3 = h 3 1 0 = - 0 0 1 4 0 0 9 2 = 圯= h 0 2 2 = - 0 0 9 0 5 5 5 3 h 0 2 s = 3 0 2 = 危2 3 0 = 0 3 = = h a 2 0 = 一o 0 5 2 2 8 2 1 3 3 0 = h s 0 3 = h d 3 3 = - 0 0 3 0 1 8 5 1 0 5 9 5 2 h 2 1 1 = h 1 2 1 = h l l 2 = 0 0 4 2 0 2 6 9 h 3 n = h i s ：= h l l 3 = 0 0 2 4 2 6 4 2 1 9 6 8 7 7 如2 l = h 1 2 2 = h 2 1 2 = 0 1 5 6 8 4 6 3 9 3 9 1 = l 船= h 2 1 s = 3 1 = h i s 2 = h a l 2 = o 0 9 0 5 5 5 3 0 9 1 = 1 3 3 = h s l a = 0 0 5 2 2 8 2 1 3 2 7 8 2 = ，咖= h 2 2 0 = - 0 0 9 0 5 5 5 3 1 7 8 5 6 b 鸵= 啦= h z 2 s = o 3 3 7 9 5 7 h 3 3 2 = 啦8 = h 2 韶；0 1 9 5 1 1 9 5 8 3 4 由( 1 9 ) 式知