（计算数学专业论文）drazin逆的扰动界和应用.pdf

中文摘要 摘要 本文利用简单不变子空间的分离度来估计矩阵d r a z i n 逆的扰动界，利用g s t e w a r t 给出的技巧并基于不变子空间的扰动理论，我们导出了方阵d r a z i n 逆 的一个扰动界它改进了魏和李在 n u m e r l i n e a ra l g e b r aa p p l ，1 0 ( 2 0 0 3 ) ，p p 5 6 3 _ 5 7 5 1 上给出的结果这是一个导出矩阵d r a z i n 逆扰动界的全新方法数值例子也 很好的说明了这是个很紧的界此外，还讨论了矩阵d r a z i n 逆在特征值的相对扰 动分析中的一些应用当矩阵为可对角化且奇异的情形下，我们导出了其特征值 相对误差的扰动界这是对以前矩阵为非奇异情况作的一个推广 关键词：o r a z i a l 芭，扰动界：分离度：可对兔化j 奇异：特，征值扰动 中图法分类号：0 1 5 1 2 1 ，0 2 4 1 1 英文摘要 a b s t r a c t ac o n s t r u c t i v ep e r t u r b a t i o nb o u n do ft h ed r a z i ni n v e r s eo fas q u a r em a t r i xi sd e - r i v e du s i n gat e c h n i q u ep r o p o s e db yg s t e w a r ta n db a s e do np e r t u r b a t i o nt h e o r yf o r i n v a f i a n ts u b s p a c e s t h i si sa l li m p r o v e m e n to f t h er e s u l tp u b l i s h e db yt h ea u t h o r sw e i a n dl i n u m e r l i n e a ra l g e b r aa p p l ，1 0 ( 2 0 0 3 ) ，p p 5 6 3 5 7 5 1 i ti sat o t a l l yn e wa p p r o a c ht od e v e l o pp e r t u r b a t i o nb o u n d sf o rt h ed r a z i ni n v e r s eo fam a t r i x a n u m e r i c a l e x a m p l ew h i c hi n d i c a t e st h es h a r p n e s so f t h ep e r t u r b a t i o nb o u n di sp r e s e n t e d f u r t h e r - m o r e ，w ed i s c u s ss o m ea p p l i c a t i o n so f t h ed r a z i ni n v e r s ei nt h ee i g e n v a l u ep e r t u r b a t i o n a n a l y s i s p e r t u r b a t i o nb o u n d sf o rt h er e l a t i v ee r r o ri nt h ee i g e n v a l u e so fad i a g o n a l i z a b l ea n ds i n g u l a rm a t r i xa r ed e v e l o p e d n l e ya r ee x t e n s i o n so ft h er e c e n tr e s u l t sa b o u t t h o s eb o u n d so fan o n s i n g u l a ra n dd i a g o n a l i z a b l em a t r i x k e yw o r d s ：d r a z i ni n v e r s e ；p e r t u r b a t i o nb o u n d ；s e p a r a t i o nf u n c t i o n ；d i a g o n a l i z - a b l e ；s i n g u l a r ；e i g e n v a l u ep e r t u r b a t i o n c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o nn u m b e r ：0 1 5 1 2 1 ，0 2 4 1 1 1 l 一 日u 置 d r a z i n 逆在很多领域都有非常广泛的应用，比如：奇异微分和差分方程 3 ， 马尔可夫链 1 9 ，迭代方法以及数值分析等 9 ，2 0 ，3 4 ，3 5 我们在本篇论文里主要 讨论的是d r a z i n 逆的扰动理论以及d r a z i n 逆在矩阵特征值的相对扰动分析中的 应用 s l c a m p b e l l 和c d m e y e r 在文献 3 中提到，矩阵a 的d r a z i n 逆的连续性 并不是标准意义下的连续性，而是相对于a 的一种特殊结构的扰动e 的连续性 对于一列矩阵的d r a z i n 逆的收敛性也是如此就在这个文章中作者提出了建立 d r a z i n 逆扰动界的两个难点 荣f 2 4 在1 9 8 2 年基于m o o r e p e n r o s e 逆给出了d r a z i n 逆的一个扰动上界然 而，那里的假设很难得到满足魏和王 3 0 后来在1 9 9 7 年用双边条件给出了 d r a z i n 逆的一个简单表示形式再后来，魏 3 2 】又放松到单边条件此外也有一些 作者 5 ，9 ，1 7 ，1 8 ，3 1 研究了d r a z i n 逆在一些限制下的特殊扰动问题 在2 0 0 0 年，魏和吴 3 3 导出- f d r a z i n 逆的一个一般上界，k o t i h a 【t 5 也从矩阵 和它们的特征投影的角度获得了d r a z i n 逆的扰动上界魏和李f 3 6 最近又改进了 这个扰动界但是，这个上界有可能由于使用矩阵g = f a + e ) l 一而扩大，其 中2 = m a x i n d ( a + e ) ，i n d ( a ) 在本论文的第一章节里，我们采用g s t e w a r t 提出的技巧并基于不变子空间 的扰动理论导出了d r a z i n 逆的扰动上界在这里，矩阵g 不再出现，取而代之的 是一个全新的方法，从而足 3 6 中结果的一个改进从与先前的结果比较来看，我 们的扰动上界是很好的 同时，我们给出了斜投影a a d 的一阶扰动上界，并将它与孙于2 0 0 4 年在 l i n e a r a l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s 中【2 8 给出的结果作比较，我们看到两个上界 基本上是一致的这是因为孙用的技巧本质上和我们是一致的并且，我们也把这 个上界与魏于2 0 0 0 年在a p p l m a t h l e t t 中给出的结果相比较，我们发现我们的 上界要好很多 此外，在本论文的第二章里，主要讨论了矩阵特征值的相对扰动理论我们把 s c e i s e n s t a t 和i c fi p s e n 在s i a mj m a t r i xa n a l a p p l 中 1 0 给出的结果推 广到奇异的情况 一v 一 主要符号对照表 c m 。“ r m x “ c + c 一 主要符号对照表 所有m n 复元素矩阵的全体 所有m 礼实元素矩阵的全体 开的右半复平面 开的左半复平面 k x o n e c k e r 乘积 矩阵a 的谱范数 矩阵4 的f r o b e n i u s 范数 矩阵a 的所有特征值的全体 矩阵x 的条件数 矩阵a 的谱半径 矩阵a 的秩 矩阵a 的指标 矩阵a 的转置 矩阵a 的共轭转置 矩阵a 的逆 矩阵a 的d r a z i n 逆 矩阵a 的群逆 矩阵a 的值域 矩阵a 的零空间 一i v 一 够删删呲郴矿胪俨舻删删 第一章d r a i n 逆的扰动界 1 1 介绍 第一章d r a z i n 逆的扰动界 对每个矩阵a c “，a 的指标是满足r a n k ( a ) = r a n k ( a 。+ 1 ) 的最小非负 整数，记作i n d ( a ) 如果a 是奇异的话，i n d ( a ) 等于它的j o r d a n 标准型中幂零块 的晟大阶数一个方阵a 的d r a z i n 逆，记作a 。，是满足如下三个方程的矩阵： a + 1 x = a ，x a x = x ，a x = x a ，( 1 1 ) 其中k = i n d ( a ) 对任意方阵a 来说，它的d r a z i n 逆存在且唯一 3 】特别地，若 i n d ( a ) 1 ，称为a 的群逆，记作a 社为方便起见，从现在开始我们令k = i n d ( a ) 我们称一系列属于c “的矩阵 冯 收敛到一个矩阵a ，若当j 一。的时 候，有| l 如一a 一0 ，记作 一a ，其中| j | | 是矩阵范数这里我们介绍两种很 重要的矩阵范数：f r o b e m u s 范数和谱范数定义如下： 其中a = a l ，】 a l l = = 挑2 恻t n a 。：x 1 1 l 。 其中2 = = i 1 三矛在1 9 7 5 年，c a m p b e l l 和m e y e r 【3 】建立了关于d r a z i n 逆 连续性的充分必要条件即：如果a 3 收敛到a ，那么衅收敛到a d 当且仅当 r 龇l k ( 膨) = r a n k ( a ) ( 1 2 ) 其中对所有充分大的j ，岛= i n d ( a a 在文献 3 中作者提到，矩阵a 的d r a z i n 逆 的这种连续性并不是标准意义下的连续性，而是相对于a 的一种特殊结构的扰动 e 的连续性对于一列矩阵的d r a z i n 逆的收敛性也是如此就在这个文章中，作 者提出了建立d r a z i n 逆扰动界的两个难点 我们在这一章里，首先导出矩阵d r a z i n 逆的扰动界，然后再讨论斜投影4 a 。 的扰动界，并与以前的结果作比较 1 2 预备知识 令a c ”n 由s c h u r # f 删 2 7 ，我们知道存在一个酉矩阵 x ，蚝 一l 一 第一章d r a i n 逆的扰动界 使得 h k h a x 1 如眯期， 其中c c 7 。7 是非奇的，n c ( ”一7 ) 。( ”7 ) 是指标为k 的幂零阵由 2 7 中的定 理515 ，我们知道，存在矩阵x 2 和h 使得 捣 - 1 = hk h 且 脚 五尥 = 醐0n 【蟛j o 1 【j 由( 1 ，1 ) ，容易验证，矩阵a 的d r a z i n 逆a 。由下式给出【3 ： 肚h 弱临习 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 令e 为a 的扰动矩阵，满足r a n k ( a ) = r a n k ( ( a + e ) ) ，其中j = i n d ( a + e ) 这 个假设对于d r a z i n 逆的连续性是非常重要的假设： 那么 由此我们得到 阱 墨而 = 臣 ( a 删 x ，娲 ：g ：f 1 1。 l ，2 1 ( 1 5 ) x i y ，= a a d ，x 2 y = j a a 。d ， g 。1 = 蟛a 。x 1 ， 只j = y i e x j ， ，j = l ，2 ( 1 。6 ) 回想一下 托k 是一酉阵，于是我们有 x 1 ，1 l l f = 1 1 w l l l fa n d1 1 1 h ，2 y i i f = 1 1 w 2 l l f 一2 1ll钊 o b 一十 第一章d r a z i n 逆的扰动界 其中x l h ，】和y 罗是可以相乘的众所周知，如果a b 是可相乘的话，那么 a b t i fsm i n l l a l l f i i b l h ，f a i l 2 1 1 b i i p 下列的关系式是很明显的 a a d l l 2 = i i ，一a f 4 d l l 2 若4 是一个非零奇异阵， x t l ：= l i k i l 2 = l ， i c “怯= i l x ，印a d 墨f i i d 。慨 f 1 1 1 fs1 i a a d e i i f 1 1 e 1 1 f i i a a 。1 2 ， 1 lf 1 2 1 1 f 墨i i a a 。e ( i a a d ) i i f 墨l i e i i f i i a a d l l ；， f 2 1 1 i f l i e i i f ， 1 】f 2 2 l | fsi 】e ( ，一a a d ) i i f l i e i i f i i a a d ( 1 7 ) 现在我们来介绍下矩阵的简单不变子空间由( 1 3 ) 我们得到 a x l = x 1 e 和a 尥= x 2 n 记盯( m ) n ；y nm 所有特征值的集合由于a ( g ) n a ( ) = 0 ，x 1 和x 2 的值域， 分别记为n ( x 1 ) 和冗( 尥) ，称为a 的简单不变子空间 2 7 类似的，a + e 可以 表示为 卧， 弛 = 酬， 其中百是非异阵并且是幂零阵，此外我们还有 豆 一= 圈 条件l i m l ，。o ( a + e ) d = a 。等价于r a n k ( c ) = r a n k ( c ) 注意到n ( x 1 ) 和 n ( 2 1 ) 分别是a 和a + e 的相应于非零特征值的简单不变子空间这就蕴涵 了一个矩阵d r a z i n 逆连续性的充分必要条件，即当l i e i i f 趋向于零的时候，a 和a + e 的的相应于非零特征值的简单不变子空间的维数相等换句话说， d i m ( t o ( x 1 ) ) = d i ( 冗( x 0 ) 一3 一 第一章d r a z i n 逆的扰动界 两个矩阵a 和b 的分离度定义为【2 6 】 s e p 舢) = 卜恬- l “a ，州引k 黧脚仰卜线 事实上，s e p f ，b ) 是矩阵圆a b 丁 的最小奇异值，其中0 是k r o n e c k e r 乘 积我们知道s e p f ( a ，b ) 墨m i n f 一川：a o ( a ) ，p 口( 口) ) 然而，同样应该注 意，即使a 和b 的特征值有大的分离的话，s e p f ( a ，b ) 也有可能很小、 下面的分离度函数s e p 的稳定性在建立简单不变子空间的扰动界时是非常 重要的 s e p f ( c ，) 一 l g l f i5 p f $ e p f ( c + c 1 ，+ 1 ) ss e p f ( g ，) + 1 1 e 1 i f + l l l l f 这里我们给出一个命题，将对我们的讨论很有帮助 如果 删e 酬= 旧引 s e p f ( l l ，l 2 ) 一 lf l 。i l ，一l | f 2 ：l i f 2 、币i i 孤j t 旺i 而 那么，存在唯一的矩阵p ，满足 i i p i i ， 葡瓢篙监可丽 并使得 和 x 1 = x 1 + x 2 p 羁= k m p “ 的列向量张成五= a + e 的右简单不变子空间和左简单不变予空间的基 一4 一 的如有 a 定暇 严如 陬、_二 = o k 列h h y = 且 秘 阱 五 阵 脚 酉 r 为 蚝 令 吲 陬 若 畔 l | 令 m 武 打 n ( i 题解 中 命分 其 第一章d r a z i n 逆的扰动界 1 3 ( a + e ) d 的表达式 在这一小节，我们对( 1 3 ) 和( 1 5 ) 中的a 和e 应用命题1 1 中陈述的关于简 单不变子空间的扰动界，从而导出+ e ) d 的一个表达式 定理1 h 令a 和e 分别由( 1 3 ) 和( 1 5 ) 给出，满足r a n k ( a ) = r a n k ( ( a + e ) ) 其中j 是a + e 的指标若lj e i i f 充分小，那么( a + e ) d 由下式给出： ( a + e ) 。= i x 。恐 嚣1嚣用：篱引，-(c+fu+f12。p即)-1。qp(c f l l2 p ) q p - p ( cf 1 f i 。旧s ， l + 十f l 一1 ( j +) + l + 2 p ) 一1 0 l1 y l 、 。 其中p 和印分别满足： i i p i i ， 而丽哿， ( 1 9 ) 和 q i i f 2 噼习百幡习f( 1 11 ) 那么，根据命题1 1 ，存在唯一的矩阵p 满足 j i p i i ， 而丽嚣茎丽丽哿砸 使得 i x 。+ x 2 px 2 = 陬k h 叫日 和 蟛甲- p 坪 c a + 司k + 尥p 托 = r + r ：+ f 1 2 p + 毒= _ p 日。 第一章d r a z i n 逆的扰动界 因此 匕爿y h l ( a + e ) 陋t 拖 酗 ：r + f 1 1 + f 1 2 p f 1 2 1 ( 1 1 2 ) 【0n + f 2 2 一p f l 2 j 、 7 很明显，对于充分小的i i e 】b 和 p i i f 0 ( 1 t s ) 注意到s e p f ( g ，n ) = s e p f ( ，g ) 因此，用类似的办法，由命题1 1 和( 1 7 ) ，存在 唯一的矩阵0 ，满足 使得 q i f 2 1 lf l d l f ，2 1 1 e i i f i i a a d 惦 一s e p t ( c , n ) 一2 l l f l i f l i a a d | 1 2 2 t el f i i a a d i i p l l f 瞄卅匕0 圈m 吣恐 叫阳 = c + 蜀l + 且2 p + 易。0 0n p r 。 c - - s ， + 易2 一p r 2 i 、 关系式( 1 8 ) 可以从( 1 1 6 ) 得到 现在我们来看j i er f 需要多小才能使( 1 11 ) ，( 1 1 3 ) 一( 1 1 5 ) 成立 一6 一 第一章d r a z i n 逆的扰动界 定理i 2 ：下列结论成立 ( i ) 若 r 2 v 幡i 际币i 面 刊俐k 蕊( 到 ( i i ) 若 那么e + f 1 1 + f 1 2 p 是非异阵 ( i i i ) 若( 1 1 7 ) 成立，那么 l 0 证明：关系式( i 7 ) 将会在下面的证明中用到 ( i ) 由( 1 7 ) ，我们得到 日， l f + l if 2 2 i l f + 2 、珏i 孤i 丌f i 聒s4 l e f l ，i i a a 。i i z s e p f ( e ，) 最后一个不等式是因为( 1 1 7 ) 此外，由( 1 9 ) 和( 1 1 7 ) ，我们有 i i p i f ， 丽丽哿 赢 那么 ( i i ) 假设 l f 骊 ( 1 1 7 ) ( 11 8 ) c _ 1 ( f l l + f 1 2 p ) l l f 剑掣胪x l 掣e x l 脸+ i l 铲a d x i 铲e x 2 p i f i a d e | 1 f + l i a 。e i i f i i a a d i l 2 i i p l l f 2j l e i f h a d 1 2 1 ( 1 1 9 ) 因此，+ e 。( 日l + f 1 2 尸) 是非异阵，所以e + f l l + f a 2 p 也是 一7 一 第一章d r a z i n 逆的扰动界 ( i i i ) 假定( 1 1 7 ) 成立，由( i ) 我们知道p f 1 i i a a d 怯那么我们有 1 日l + 丑2 p | | f + l | f 2 2 一p f l 2 i f l i e i i f i a a d 1 2 + 2 1 1 e h f i i a a 。 l p i i f + l i e h f i a a d f l 2 4 1 1 e l i f ij a a 。| | 2 s e p p ( g ，) 这就完成了证明 1 4d r a z i n 逆的扰动界 接下来，我们利用( 1 8 ) 中( a + e ) 。的显式表达式来导出a d 的一个扰动界 这也是这一章的主要结果 定理1 3 ：令a 和e 由定理1 1 给出若i i e i i f 满足( 1 1 7 ) 和( 1 1 8 ) ，那么 其中 生! 铲g l l e i i ，i i a 。i i z + p i i e i f ，i i a 。i i 。i i a a 。j l 。 - 4 - q + 2 p q l i a a d l l 5 + p i i a a 。似1 + p q i i a a 。1 1 2 ) ，( 1 2 0 ) 。：到到墨 s e p f ( e ，n ) 一2 1 1 e i i f i i a a d 。：! ! ! 墨! ! ! ! ! 生墨! 蝗 1 s e p f ( c ，n ) 一2 f l e i i f i i a a 。1 1 5 2 p i i e i i f i i a a d l 92 丁= 可瓢而研f i 网闭万丽丽( 1 2 1 ) 证明：由( 1 4 ) 和( 1 8 ) ，我们记 其中 ( 且+ e ) d 以 x 。恐憾7 ：t u 7 1 l = ( c - 4 - f 1 1 + f 1 2 p ) 一1 ( j + q p ) 一g _ 1 丑2 = 一( e + f u + f 1 2 p ) - 1 q ， 疋l = p ( c + f l l + f 1 2 p ) 一1 ( j - 4 - q p ) ， t 2 2 = - p ( c + f l l + f 1 2 p ) q 一8 一 第一章d r a z i n 逆的扰动界 那么 + e ) d a 。= x i 矸l 邗+ x 1 t 1 2 蟛+ 恐正l 掣+ x 2 t 2 2 蟛( 1 2 2 ) ( 1 2 2 ) 右边的第一项x l 丑1 y ，可以拆分为两项 x i 乃l 铲= x 1 ( c + f l l + f , 2 p ) 一1 q p y l g + 托( ( g + f 1 1 + f 1 2 p ) 一g 一1 ) 甲 ( 1 2 3 ) 我们首先来估计】l ( c + f 1 1 + f 1 2 p ) - 1 f 由非异矩阵的扰动理论，我们有 ( c + f l i + f 1 2 p ) - 1 1 ( f + c _ 1 ( f 1 l + f 1 2 p ) ) 一1 f 1 2 i i c 一1 j l f 研喾 日丽丽剞笫赢丽 这是因为定理1 2 中证明( i i ) 的时候，( 1 1 9 ) 成立用( 1 2 0 中定义的记号p 和9 加上不等式( 1 9 ) ，我们知道i i pl i f p 和 眦e 十f 1 - + 只。尸) 一f 丁二1 互i i i 而五百靛兰 蓦口辆2s i i a 。2 ：。， 此外，我们还有 ( ，+ g 一1 ( 日，+ 日。p ) ) 一l 一，2s 丁当；忑釜；丢器 现在f f x l ( ( a + f 1 l + f 1 2 p ) 一c - 1 ) 甲川f 可以这样来估计 x l ( ( e + f 1 l + f 1 2 p ) 一1 一c 一1 ) y ，1 f = l f 【( ，+ c 一1 ( f 1 1 + f 1 2 p ) ) 一1 一i c 一1 】| l f ，1 i a d i i f i i c 。( f n + f 1 2 p ) 1 1 2 1 一i l g _ 1 ( f 1 1 - 4 - f 1 2 p ) 1 1 2 曼黯1i e 螋i i f i a 涨d 黑p f i e 皑i i ，q i a 业。 i d l a 勰a d ( 1 2 5 ) ：一ij ：一忖 ”7 类似的，我们由( 1 1 0 ) 和( 1 2 0 n 道i | 0 f r n k ( a ) 的时候，我们给出一个例子假定 和e = s00 080 00 8 0 s 1 哟酬a ) 气矿_ 1 + d 1 因此，下面研究特征值的相对扰动误差界一般是假设r a n k ( a + e ) r a n k ( a ) 成 定理2 - 4 ：令a 为可对角化的，并且令e 是扰动矩阵且满足r a n k ( a + e ) s r a n k ( a ) 如果1 a # e i i l ，那么对a + e 的任何非零特征值p 我们有 m i n 。i a i - l p l 一( x ) ( 1 i a 带e 1 l + i i 垒兰墨! = 三箫舞掣) ( z 。) 证明：假定a = x a ： x ，其中a = a t a s t a t ，a 。，是非奇的p sn ， 另外假定e = xe ，e - 。1x _ ，其中毋。耵由i i a 桦f | | 1 知道 l 岛- 岛。j 一1 6 一 一 x 1j o 0 r o _。，。l x = 带 a o 0 0 1 0 0 0 一 l0 0 o 第二章特征值的相对扰动界 + a # e 是非奇异的，所以a + 且l 也非奇所以r a n k ( a + e ) r a n k ( a ) 由 假定r a n k ( a + e ) r a n k ( a ) ，我们得到r a n k ( a + e ) = r a n k ( a ) 因此，e 2 2 = e 2 i ( a + e 1 1 ) e 1 2 3 1 1 接下来， a 麓e 1 2 e t l ) e 1 。卜 易1 e 2 ，( a +_。2l ， o 易l ( a + e 1 1 ) 一1 j 容易看出，a + e 相似于矩阵 a + e l i j l 。 牛1 a _ e “：2 易。a 二e 。，一。； = a + e 1 l + e 垤? “a + e l 】) _ 1 ：2 所以a + e 的任何非零特征值卢都是矩阵a + e u + e 1 2 e 2 l ( a + e 1 1 ) 一1 的特征 嘲与面丛- 1 1 a _ 1 ( e - - + e 1 ：e 2 ，( a + 局) 。) l l i l a 一1 e n l l + j i a 一1 e 1 2 l ( a + e 1 1 ) 一1 m( 2 5 ) 为了估计( 2 5 ) 的右边，我们对x 和x 一。分别作如下分化 x = f p lp 2 】和x - 1( 2 6 ) 所以a a # = p 1 0 1 ，一a a # 一p 2 q 2 此外，由( 2 3 ) 和( 2 6 ) ，我们得到如下等式 a = q 1 4 p 1 ，a 一1 = q l a # p 1 ， e 1 1 = q 1 e 只，e 1 2 = q 1 e 马，易l = q 2 e p l ， ( a + e 1 1 ) 一1 = q 1 a 带( j + e a # ：) 一1p i ， a 释( + e a 带) 一= ( j + a 带e ) 一1 a # ( 2 7 ) 一1 7 一 _，l_，l x x = = 曰 + a 第二章特征值的相对扰动界 由 1 3 知道l i p x l l l l 尸lp 2 = i i x l i 和1 l q - | | l i x _ 1 m 因此，由( 2 7 ) 我们得到 和 a 一1 e u | | = l i q l a ”p l q l e p l | | k ( 。y ) i i j 4 串e l l ，( 2 8 ) l a _ 1 e 1 2 e 2 1 ( a + e n ) 。1 | | = l i q l a 孝p 1 0 l e p 2 q 2 e a 群( ，+ e a 带) 一1 p d i sm x ) i i a # e ( i a a 带) e ( + a 带e ) 一1 a # i i ( 29 ) 不等式( 2 4 ) 直接由( 2 5 ) ，( 2 8 ) 和( 2 9 ) 得到这是因为 这样我们就完成了证明 代 ( ，+ a # e )f 楠 注意到，定理2 4 是定理2 1 的一个推广另外，( 2 4 ) 中的上界容易被下式替 m 埘i n 。帮纠锄酬+ 螋芈铲) 仁埘 x c q = d , 的l i e i i 和l i j a 4 社上界( 2 4 ) 由，c ( x ) i i a # e i l 所主导若仅考虑i e | | 的一阶项，我们认为相对扰动界中的放大因子k ( x ) 为a 的特征值的近似条件数 这和非奇异的情况是不同的，因为咿一a a # i i 同样对上界也有影响 如果我们用第一章里的思想来做特征值的相对扰动分析的话，那么我们有如 下的结果 定理2 5 ：令a 为可对角化的，并且令e 是扰动矩阵且满足r a n k ( a + e ) j = r a n k ( a ) ，其中j 是a + e 的指标如果i i e i i 充分小，那么对a + e 的任何非零特 征值“我们有 贻掣s 一( x ) l l 舻e 1 1 ( 1 刊 ( 2 1 1 ) p = 瓦丽哿丽硼 ( 2 1 2 ) 证明：假定a = x a ：1 x ，其中a = a t 踞t a ，a 。，k ，是非奇的p n ， 第二章特征值的相对扰动界 r 另外假定e ：x 局i i 局1 x ，其中e “c ”由定理1 1 证明过程中的 ( 1 1 6 ) 知道，a + e 的非零特征值肛即为a + e i l + e 1 2 p 的特征值其中p 满足 i p l l 远丽艄蒜厕= p 而且我们知道a 是一个非奇异的对角阵由定理2 1 我们得到 嬲掣s i a - i ( e t l + e 1 2 p ) l l i i a e 1 l l | + a e 1 2 p i l 一( x ) | j a 带e i i ( 1 + p ) ( 2 1 3 ) 其中得到最后一个不等式用的技巧与定理2 4 证明过程中的一致 接下来，我们给出当可对角化矩阵是两个可交换的且群逆存在的矩阵之积时的特 征值的相对扰动误差界这是【10 中推论2 4 的一个推广事实上，若a = x a x 一， 其中a 是一个对角矩阵，我们总可以选取a 1 和a 2 使得a = a 1 a 2 = a 2 a 1 那么 a = a l a 2 = a 2 a l ，其中a l = x a l x ，a 2 = x a 2 x 定理2 6 ：令a = a i a 2 = a 2 a l 为可对角化的，且令e 是扰动矩阵满足r a n k ( a + e ) r a n k ( a ) 若i i a 拌e i l ，且a 尹和a t 存在，则对a + e 的任何非零特征 值“有 嘴钭纠啦咖业峰幂学哟) 坪 证明：既然a 是可对角化的，我们有 a = x ：； x ，a 社= x 1 ： x ， 其中a = d i a g a l ，是一个非奇异的对角阵 1lllj 如 第二章特征值的相对扰动界 外，x 。a x 有形式d i a g i ，o ) ，这里a 非奇异，我们