（计算数学专业论文）偏微分方程过渡面构造与曲面控制问题的研究.pdf

摘要 曲面造型是计算机辅助几何设计和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算 机图象系统环境下对曲面的表示、设计、显示和分析所谓偏微分方程曲面，简称为p d e 曲面，是指将所求曲面看作某个偏微分方程边值问题的解的曲面造型方法由此方法构 造的曲面更加光顺美观，且更适合于计算机交互系统 将p d e 方法引入曲面造型领域的思想主要源于几何造型中过渡面的构造问题这 一造型方法是英国l e e d s 大学的m i j b l o o r 和j w i l s o n 率先提出的，从提出之日起就 受到了广泛的关注。十几年来，这方面的研究取得了一定的成果，然而也还有很多不足。 如解析方法可解问题的范围受到限制，而现有的数值方法又十分繁琐，而如何有效地控 制曲面形状也一直是待解决的问题随着计算机技术的日益进步，寻求高效的数值方法 是必然趋势。 本文提出了一种构造p d e 过渡面的数值方法，即基于边界元法的p d e 过渡曲面构 造，详细介绍了边界元法求解过渡哇i l 面的过程。边界元法求解偏微分方程具有几何上的 广泛适应性，输入数据的简单性以及在数值上的准确性等优点。因而在解决过渡面的构 造问题上有很好的效果此外本文提出用三次样条插值构造未知边界条件，从而通过控 制边界曲线控制曲面形状的新的曲面控制方式，并借助实例进行了验证。 论文按以下方式布局；我们将在第一章回顾曲面造型的发展历程，并给出p d e 曲面 造型的介绍以及几种典型的构造方法。第二章中介绍了边界元的基本原理文章的重点 在第三章到第五章，在这三章详细描述了边界元法构造曲面的基本过程，数值实验的结 果，以及如何通过设计边界瞌线来决定构造曲面的形状。最后是所做工作的总结以及对 今后工作的一个设想 关键词：偏微分方程p d e ；曲面造型；光滑拼接；边界元；样条插值 s o m er e s e a r c ho nt h eg e n e r a t i n ga n dm a n i p u l a t i n g o fp d et r a n s i t i o ns u r f a c e a b s t r a c t s u r f a c em o d e l i n gi so n eo ft h eu p p e r m o s tc o n t e n ti nc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e - s i g na n dc o m p u t e rg r a p h i c s i t sc e n t r a li st h er e p r e s e n t a t i o n ，d e s i g n ，s h o wa n da n a l y s i s o ft h es u r f a c ei nt h ec o m p u t e re n v i r o n m e n t t h ep d es u r f a c eg e n e r a t i o ni sam e t h o df o r g e n e r a t i n gs u r f a c eb yr e g a r d i n gt h e ma st h es o l u t i o nt os o m ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h em e t h o dw a si n i t i a l l yp r o p o s e db ym ijb l o o ra n dj w i l s o na n dh a sb e e ne n h a n c e d a n da p p l i e dw i d e l yf r o mt h e no n w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ec o m p u t e rs c i e n c e ，i ti sn e c e s s a r yt os e e ka ne f f e c t i v e n u m e r i c a lm e t h o d i nt h i sp a p e r ，an u m e r i c a lm e t h o dt og e n e r a t ea n dm a n i p u l a t et r a n s i t i o ns u r f a c eb e t w e e nt w os u r f a c e sb yu s i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sp r e s e n t e d t h e b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o di si n t r o d u c e dt os o l v ep a r t i a ld i f f e r a n t i a le q u a t i o nf o rs o l v i n g s u r f a c e sb l e n d i n gp r o b l e mi nt h i sp a p e ri ti sc o n v e n i e n tt ou s et h eb o u n d a r ye l e m e n t m e t h o di nt h ea p p l i c a t i o n m o r e o v e r ，s p l i n ei n t e r p o l a t i o ni sm a d eu s eo fs u p p l y i n gu n - k n o w nb o u n d a r yc o n d i t i o n ，f r o mw h i c ht h es u r f a c ec a nb em a n i p u l a t ee f f e c t i v e l y t h e m e t h o dp r e s e n t e di nt h i sp a p e rh a se x c e l l e n ts u c c i n c t n e s s ，p r a c t i c a l i t ya n da d a p tt oi n - t e r a c t i v ed e s i g n ： t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i ns e c t i o n1 t h ec o u r s eo fs u r f a c em o d e l i n gi s r e t r o s p e c t e da n dt h eb a s i st h e o r ya n ds o m et y p i c a lm e t h o d so fp d e s u r f a c ei si n t r o d u c e d i ns e c t i o n2 ，t h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o di si n t r o d u c e di nb r i e f t h ec o n t e n tf r o ms e c t i o n 3t os e c t i o n5i st h em a i np a r to ft h ep a p e r ，i nw h i c ht h ep r o c e s so fp d es u r f a c eg e n e r a t i n g b yb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o di sd e s c r i b e da n ds o m et y p i c a ln u m e r i c a le x a m p l e sa r es h o w n f u r t h e r m o r e ，t h ew a yh o wt om a n i p u l a t es u r f a c eb yd e s i g n i n gt h e i ru n k n o w nb o u n d a r y c o n d i t i o n si sb r o u g h tf o r t h f i n a l l y , i ns e c t i o n6 ，as u m m a r yf o ro u rw o r ka n dat e n t a t i v e i d e ai sg i v e n k e yw o r d s ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；b o u n d a r ye l e m e n t ； t r a n s i t i o ns u r f a c e ；s p l i n ef u n c t i o n 1 1 独创性说明 作者郑重声明：本硬士学位论文是我个人在导师指导下进行的 研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也 不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明 确的说明并表示了谢意。 作者签名：塑塑至全日期：墨业垒! ! 旦 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名： 美5 塞至玺 导师签名 堕年堡月竖日 1 绪论 1 1 曲面造型发展概况 曲面造型( s u r f a c em o d e l i n g ) 是计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i c d e s i g n ，c a g d ) 和计算机图形学( c o m p u t e rg r a p h i c s ) 的一项重要内容，主要研究在计 算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、 叶轮等实体的外形放样工艺，由c o o n s 、b e z i e r 等大师于二十世纪六十年代奠定其理论 基础。如今经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理b 样条益面( r a t i o n a l b s p l i n es u r f a c e ) 参数化特征设计和隐式代数曲面( i m p l i c i ta l g e b r a i cs u r f a c e ) 表示这两 类方法为主体，以插值( i n t e r p o l a t i o n ) 、拟合( f i t t i n g ) 、逼近( a p p r o x i m a t i o n ) 这三种手 段为骨架的几何理论体系 形状信息的核心问题是计算机表示，即要求既适合计算机处理，且有效地满足形状 表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法1 9 6 3 年美国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先提出将曲线曲面表示为参数的矢函数方法，并引入 参数三次曲线从此曲线曲面的参数化形式成为彤状数学描述的标准形式1 9 6 4 年美国 麻省理工学院的c o o n s 提出一种具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四条 边界就可定义一块曲面但这种方法存在形状控制与连接问题1 9 7 1 年法国雷诺汽车公 司的b e z i e r 提出一种由控制多边形设计曲线的新方法这种方法不仅简单易行，而且漂 亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进 一步发展奠定了坚实的基础。但b e z i e r 方法仍存在连接问题和局部修改问题。到1 9 7 2 年，d e - b o o r 总结、给出了关于b 样条的一套标准算法，1 9 7 4 年g o r d o n 和r i e s e n f e l d 又 把b 样条理论应用于形状描述，最终提出了b 样条方法这种方法继承了b e z i e r 方法的 一切优点，克服了b e z i e r 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举 地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较 好解决。但随着生产的发展，b 样条方法显示出明显不足，如不能精确表示圆锥截线及初 等解析曲面这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式， 容易造成生产管理混乱。为了满足工业界进一步的要求，1 9 7 5 年美国s y r a c u s e 大学的 v c r s p r i l l e 首次提出有理b 样条方法。后来由于p i e g i 和t i l l e r 等人的功绩与努力，终于 使非均匀有理b 样条( n u r b s ) 方法成为现代曲面造型中最为广泛流行的技术。n u r b s 方法的提出和广泛流行是生产发展的必然结果n u r b s 方法的突出优点是：( a ) ，可以精 郑彩玲偏微分方程过渡面构造及曲面控制问题的研究 确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其 它非有理方法无法做到这一点；( b ) ，具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更易于 控制和实现；( c ) ，n u r b s 方法是非有理b 样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理 b 样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于n u r b s 曲线曲面；( d ) ，便于继承和发展。 由于n u p 、b s 方法的这些突出优点，国际标准化组织( i s o ) 于1 9 9 1 年颁布了关于工业产 品数据交换的s t e p 国际标准，将n u r b s 方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学 描述方法，从而使n u r b s 方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。 随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着几何设计 对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这一趋势的日益明显，随着图形工业和 制造工业迈向一体化、集成化和网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据 采样技术和硬件设备的日益完善，曲面造型近几年得到了长足的发展，这主要表现在研 究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新。 ( 1 ) 从研究领域来看，曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接扩充 到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面等距性等； ( 2 ) 从表示方法来看，以网格细分( s u b d i v i s i o n ) 为特征的离散造型与传统的连续造型相 比，大有后来居上的创新之势，； ( 3 ) 几种新的曲面造型方法出现 a 基于物理模型的曲瑟造型方法； b 基于偏微分方程( p d e ) 的曲面造型方法； c 流曲线曲面造型。 本文把关注点放在曲面拼接、过渡面构造方面，关注的方法是基于偏微分方程的曲 面造型方法本章将重点介绍目前这方面研究的发展动态，做一个已有研究成果的总结 1 2 p d e 曲面造型方法概述 定义1 ：一个包含未知数及其偏导数的方程式称为偏微分方程，下面的文章中简记 为p d e ，如果方程式不止一个，就称为偏微分方程组；偏微分方程组中的未知函数的最高 阶偏导数的阶数称为偏微分方程( 组) 的阶 定义2 ：设函数，在区域q 内具有p d e 中所出现的各阶连续偏导数，如果将， 代入此方程后能使它在区域q 内称为恒等式，就称，为此p d e 在q 中的解，= f ( x l ：x 2 ，z 。) 在n + l 维空间 ，l ，茁2 p z 。) 中是个曲面，称为此p d e 的积分曲 面( 简称为p d e 曲面) 。 实际应用中，通常在三维欧氏空间构造一张曲面x = x ( o ( u ，u ) ，( u ， ) ，。( ，u ) ) 表 示曲面上的点，o = z ( u ，v ) 是参数u ，u 的函数，参数( “，u ) 可以视作平面区域n 中的 点。x 可以视作由q 到三维空间r 3 中的映射。x ：q 一印，当u ，u 分别为常数时的 线，u 线就定义为曲面上的坐标系。p d e 曲面造型方法的基本思想是：假设所求参数曲 2 大连理工大学硕士学位论文 面x = x ( 。( u ，u ) ，y ( u ， ) ，。( u ，u ) ) 满足偏微分方程l 乳) = f ( u ， ) ，其中二品表示以 “，”为自变量的m 阶偏微分算子，f ( “，o ) 表示以乱，u 为自变量的向量函数，然后给定 一定的边界条件通过求解p d e 的解来构造曲面。偏微分方程主要分三类；双曲型、抛物 型、椭圆型。偏微分方程需要加上定解条件才能求解，求偏微分方程在定解条件下解的问 题称为定解问题，微分方程的定解有三类：1 ) 初值，2 ) 边值，3 ) 混合型边界由于构造曲 面只关心边值条件，椭圆型方程解有很好的连续性，所以采用椭圆型偏微分方程。对偏微 分方程的选取无特殊限制，但目前为止主要采用 ( 熹材导归( 砘叩吨 为了确定曲面x ，必须指定x 及其方向导数譬冬沿a n 的值x 的边界条件确定 了曲面片曲线的形状及其参数化过程，晕冬的边界条件确定了曲面离开边界曲线的方向 uj b 和速度。 研究者通过研究得出结论：上述方程中的偏微分算子表示一种光滑化过程，用此方 法所得曲面是边界曲线之间的光滑过渡，参数n 控制着u ， 两个参数方向的相对光顺 率。 在1 9 8 9 ，1 9 9 0 年前后，b l o o r 等人探索了该方法在过渡面构造，边域曲面，自由曲 面设计及功能曲面设计中的应用，研究了p d e 曲面的b 样条表示 1 】 2 】 3 1 4 。p d e 曲面 造型方法简单，所得的曲面光顺，因而马上引起了人们的广泛注意。此后b l o o r 等人通过 实例探讨了参数设计( 如法向导数，参数o ) 对p d e 曲面的影响，边界条件选取和p d e 方程求解等问题。 我们知道2 z ( z ，y ) = f 是有力学背景的，它反映了平面弹性薄膜在法向压力作用 下发生位移时，薄膜位移和法向压力之间的关系。上式中，z 表示位移，z ，y 为笛卡尔坐 标系，( z ，y ) 为法向压力。利用f ( x ，y ) 可直观改变薄膜形状，在此基础上，我们也不难 理解n 如何影响形状，我们在构造曲面时之所以引进参数u ，u ，是为了能够构造多值曲 面，也可以通过引进形状因子来对各个坐标分量进行调整j jz h a n g ，和l i h u ay o u 乖j 用此方程来进行曲面拼接的工作，我们将在1 3 节具体介绍到他们的方法 1 3 p d e 过渡面构造 工程设计中，根据某些给定的条件来生成曲面是一个基本的任务。在具体的问题中， 这些条件可以是下面三类中的一类或几类：1 ) 功能上的限制；2 ) 实际生产上的限制；3 ) 美 学角度。 我们可以称构造出来的满足既定条件的曲面为过渡面。当然这种对过渡面的定义是 很粗糙的。数学上，过渡曲面的构造可以视为如下问题的求解：给定边界为a q 的有界区 域q ，求解该区域上满足给定边界条件的函数曲面x ( u ， ) ，典型的边界条件是以x 及 其偏导数在a q 上的值的形式给出的，偏导数的阶数取决于过渡面和被连接益面间连续 3 郑彩玲偏微分方程过渡面构造及曲面控制问题的研究 阶的要求。此外，在某些指定的意义下，对过渡面还可能有更进一步的要求，如：光滑、 不振荡、与原实体不相交等 讨论过渡面的构造之前我们需要先了解一个问题，即参数曲面的几何连续性的定义。 。1 3 1 参数曲厩的几何连续性 当且仅当两曲面p ( s ，t ) ，g ( “，v ) 沿它们的公共连接线p ( r ) = g ( r ) 处处具有直到n 阶 的连续偏导矢时，称它们沿该连接线具有n 阶参数连续性，记成伊连续性或是伊的 即： + 雒柏 百v 丽- p ( r ) 5 矗丽g ( r ) ，i + j = 1 ，2 ，m 这里的公共连接线p ( r ) = q ( r ) 应理解为曲面上的曲线，它不一定是曲面上的等参数线， 后者只是它的特殊情况。我们有如下的拼接条件： c 1 ：p 。( r ) = 乳( r ) ，肌( r ) = q v ( r ) c ：p 如p ) = 吼m p ) ，p u ( r ) = 口w p ) ，p s t ( r j = j 特别的，若两曲面p ，q 都定义在单位正方形域且公共连接线就是两曲面的公共边界线 p ( s ，0 ) = g ( u ，1 ) 则他们沿该公共边界的c “连续性就成为 s c o t 7 p ( 8 ，o ) 2 否而口博，1 j ，。十，21 ，2 ，” 其中两曲面沿公共边界的所有直到n 阶跨界导矢一致，则 是p ( s ，。) ：熹札1 ) 胪1 ，2 ，n 丽p ( 8 ，。j = 丽g l ”，1 j ，j21 ，2 ，“ 自然满足。g “取决于公共边界所有直到n 阶的跨界导矢与混合导矢是否一致。 下面具体给出参数曲面几何连续性定义。几何连续性我们用g c n 表示，g c o 与c o 一致。g c l 连续性又称为切平面连续，定义如下：两曲面沿他们的公共连接线处处具有 g c l 当且仅当他们沿该公共连接线处处具有公共的切平面或公共的曲面法线设两平面 为p ( s ，t ) 与q ( “，口) ，有公共连接线p ( r ) = g ( r ) ，当该公共连接线不是曲面的等参数线时， 则沿公共连接线上每一点处有不相重合的4 个切矢p 。( r ) ，p t ( r ) ，( r ) ，钆( r ) 根据公共切 平面要求，这4 个切矢应共面，则 ( p 。p t ) ( 钆铷) = 扫。，g u ，q o ) p 一( 执，乳，乳) 乳= 0 特别地，当公共连接线为两曲面的等参数线时p ( s ，t o ) = q ( u ， o ) ，u = u ( s ) 时，在公 共等参数线上任一点处p 。与吼平行，于是公共切平面要求就成为仇，钆，舶三矢共面条 件，即t ，钆，) = 0 或p = ( u ) 舶+ 9 ( u ) 吼，h ( u ) 0 。其中，假设两跨界切矢p t 与吼 之一的方向指向公共等参数线，另一背离公共等参数线， ( u ) 0 保证两曲面在公共等 4 大连理工大学硕士学位论文 参数线处不形成尖棱特别地，若9 ( “) = 0 表明曲面p 的t 线与曲面q 的v 线跨公共等 参数线是g g l 的。 g c 2 连续性又称曲率连续性g c 2 连续要求沿公共连接线处处具有公共切平面，且 具有公共的法曲率，定义如下：两曲面沿他们的公共连接线具有g c 2 当且仅当沿公共连 接线处处具有公共切平面，且具有公共的法曲率或在两个曲率不相等时有公共的主方向。 此部分内容详见f 5 1 1 3 2 p d e 过渡面构造方法回顾 过渡面的设计在c a d c a m 中具有重要的地位，其目的是在相关曲面之间生成光 滑的过渡面，p 。o s s i g n a c 和r e q u i c h a 把过渡面分为四类：由强函数的约束支配的过渡面， 艺术过渡面，光顺过渡面和圆钢与圆角过渡面f 6 1 过渡面的设计有许多方法，如：t i l l e r 提出用有理b s p l i n e 来表示曲面 7 】，w o o d w a r d 用b s p ! i n e 及截面线技术来生成自由曲 面 8 9 等。 将p d e 方法引入曲面造型领域的思想主要源于几何造型中过渡面的构造问题，数 学上，构造过渡面可以通过求解椭圆偏微分方程的边值问题来实现。以构造一阶连续的 过渡面为例。只要给定边界曲线及其上的法向导向量，就可构造出一张光滑的过渡面。与 其他方法比较，p d e 方法具有如下特点： 1 ) 构造曲面简单易行。给定边界及跨界导矢，便可生成一张光滑的曲面； 2 ) 曲面由其参数的超越函数表示而非简单多项式，因此生成的曲面自然光顺； 3 ) 除曲面边界和跨界导矢外，还可以通过引入其它办法来调整曲面形状。 p d e 方法的具体步骤如下： 1 ) 根据过渡面与原出面之间连接的光滑阶数来确定合适的椭圆型偏微分方程，例 如，g c l 拼接，需要四阶椭圆偏微分方程，g c 2 拼接，需要六阶椭圆偏微分方程； 2 ) 确定所需的过渡线，将过渡线作为过渡曲面的边界，然后根据偏微分方程的阶数 以及原曲面来确定应采用什么样的边界条件； 3 ) 解偏微分方程。 下面我们回顾一下已有的一些p d e 过渡面的造型方法。 首先看解析方法。b l o o r 和w i l s o n 初期主要研究的是有闭形式解的情况，如一个半径 为r ，球心在( 0 ，0 ，加) 的球与下方平面一个半径r 的圆之间的零阶过渡面构造，如图1l ， 只需要求解方程a x ( u ，u ) = 0 = 嚣+ 茹其中x ( u ，u ) = x ( z ( ，u ) ，y ( u ，u ) ，z ( u ，u ) ) ， z ，z 独立求解，( u ，u ) n = 【0 ，1 【0 ，2 ” ，u 为周期性边界条件，即我们所求为管状 拓扑曲面，“= 0 ，”= 1 作为拼接边界线， 由图11 容易看出边界条件可分别选为圆本身，记为 fz = r c o s 扣) ：r s i n ( v ) i z = o ； a 郑彩玲偏微分方程过渡面构造及曲面控制问题的研究 圈11 ：图示 f i g u r e l1 以及一平面z = c 截这个球所得的圆 iz = 棚f 1 矿巧酽c o s ( ”) ； = 棚可气矿乏酽s i n ( v ) ； 1 名= e ； 这个方程在这种边界条件下有解析解 f 。= ps i n h u 仁可可s i n h ( u 一1 ) ) c o s ( v ) s i n h l ； y = ( rs i n h u 可可s i n h ( u 1 ) ) s i n ( v ) s i n h l l lz = c ( i u ) ； 所得过渡面如图1 2 所示。这是最简单的情况，但0 阶过渡显然并不能满足要求，而 要构造满足一阶连续的过渡面则至少要选用四阶椭圆偏微分方程。b l o o r 等选用双调和 方程( 筹+ 。2 筹) x ( “，u ) = o ，这时方程的求解难度就增加了，无法求出精确解析解， 于是他们提出了一些求近似闭形式解的方法，如拟谱分析方法【1 0 】，我们设边界条件为 x ( o ，w ) = o ( v ) ，x ( 1 ，7 2 ) = 如) ，五；( o ，口) = s o ( 口) ，五。( 1 ，v ) = s t 如) ，借助分离变量法，解 可以写成如下形式： x ( 叩) = a q ( u ) + ( u ) c o s ( n ”) + 晶( u ) 8 i n ( 一) 】 其中 i a o ( u ) = a o o + 1 u + a 0 2 u 2 + a 0 3 “3 a n ( 乱) = a n le x p 伽+ 盘n 2 ue x p a n “+ o 3e x p 圳+ 口州 e x p 一吼u l 既( u ) = b n le x p ”+ b , t 2 u e x p ”+ 6 们e x p 一+ 6 。4 u e x p 一“。 6 大连理工大学硕士学位论文 ( a ) 图l2 ：图示 f i g u r e l2 o 。，o 幽。，k 2 ，是常数，只要知道这些常数的值，就得到了方程的解。为 此，代入边界条件并将边界条件写成f o u r i e r 级数的形式，如下： x ( o ， ) = 山( o ) 十丝。i a 。( o ) c o s ( 一) + b 。( o ) 8 i n ( ) = o ( v ) = 伽+ 甚l 口。c o s ( n v ) 十b 。s i n ( n v ) 则比较两端c o s ( m ) ，s i n ( n v ) 前的系数即可若f o u r i e r 展开是有限项，则得到结论，若不 是，采用近似方法，忽略f o u r i e r 影响较小的高频部分，即取n 值截断。我们可如下操 作，设 x ( 刚) = a 。( u ) + 心( “) e o s ( n v ) + 风s i n ( n u ) + r l ( u ，”) = 。+ c o s ( n ) + b ns i n ( n u ) + r 2 m ，u ) 比较系数有 l 磊( 珏) = k 这样代入四个边界条件则有1 2xn 个方程，受4 可得到所有系数的值。设 f ( u ，“) = a 。( 札) + m 。( “) c o s ( n w ) + b 。( u ) s i n ( n v ) 这样的解不能满足拼接要求，兄( u ，”) ，以使边界条件严格满足。设 r ( u ，u ) = r 1 ( u ) e “+ r 2 ( ) “e ”“+ r a ( v ) e 一”+ r 4 ( v ) u e 一”“ 7 则 郑彩玲偏微分方程过渡面构造及曲面控制问题的研究 f ( o ，u ) 解此方程组，得到r 1 ( ”) ，r 2 ( ) ，r 3 ( 口) ，r 4 ( v ) 的值即有r ( u ，u ) ，则方程的解为x ( u ，u ) = l 、( “，u ) + r ( u ，”) 。若在两个圆之间构造一个醢面，用此方法可得曲面如图1 3 此后b l o o r 等人用这样的解析方法讨论了许多实际问题，并探讨了交互设计的问题，见 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 ( a ) 图13 ：图示 f i g u r e l 3 j jz h a n g 和l i h u ay o u 在2 0 0 0 2 0 0 4 年间发表了一系列文章 1 6 1 7 】【1 8 3 1 9 】 2 0 2 1 来阐述他们的做法。选用方程 jz ( o ，u ) = 9 1 ( u ) ，z 。( o ，u ) = 9 2 ( u ) 【。( 1 ，u ) = 9 3 ( ) ，。( 1 ，u ) = 9 4v ) 向 | l = 卜卜 吣町巾巾 仉l q 瞰取r 凰 ，-llijl【 似 吣净 兰掰羔竺掰 大连理工大学硕士学位论文 他们将边界条件分成两部分，一部分有闭形式解，另一部分边界条件下没有闭形式解即 z ( o ，口) = q t 易( ”) + 抓任 ) i = 1 k = 1 j 嚣 z 。( 0 ，”) = 。西任”) + 6 艟氨 。) 。( 1 ，v ) o 。( 1 ，v ) t = 1 女= 1 3k 吻3 身嬉。) + b k s 甄g 。) t = 1 k = l j耳 吩a 毋( u ) + 6 。氨( f ”) t = 1k = 1 在边界条件 j a j 西( 和) ( t = 1 ，2 ，3 ，4 ) j = l 下，偏微分方程有闭形式解，我们在，( u ，v ) = 0 的情形下考虑，我们设解的形式为 牙( 酬) 一岛( “) 野洳) 当掣= 掣= o 时g 小) = 苎，哪( ，乩2 ，) 当型d v 2 = 枨咄掣掣非州有 。 黝 q l e 。1 ”+ q 2 e 勺2 “+ c 如e 哪“+ c j 4 e 7 j 4 ” ( q 1 十q 2 u ) e r ，“+ ( 0 3 + c j 4 “) e t m “ r = = = = = _ 其中勺，班小2 土鑫( 1 士、1 一警) 当鱼d 盟：f z 自( 。) v 2 _ 一 、j ，、。， 粤掣：t易(o)时有d 4 口 如性“，”u7 闩 4 b d c 2 4 b d = e 2 4 b d c 2 4 b d = c 2 其中巧，= 去( 1 + 癣) , r j 2e l f ( i - 僻) 第二部分边界条件下没有闭形式解，设这时的近似解为岔( u ，w ) 。我们利用方程的 力学背景，将( “，u ) 看作是薄板在垂直力f 作用下的形变，作者借助力学中成熟的 n a v i e r ，l e v y s e r i e s 两种比较有代表性的方法，提出了拟n a v i e r ，拟l e v y s e r i e s 方法，我们仅介绍拟n a v i e r 算法作为这种解决方式的代表 9 嘞 + 彬裂 劫旧 + r q + 妇她 + 州脚污回 + | j | | 岛岛 郑彩玲偏微分方程过渡面构造及益面控制问题的研究 j 设在边界条件a j 。爵( o ) o = 1 ，2 ，3 ，4 ) 下，方程的解为 j ；1 代入边界条件，则有 fc k o = b k l jc k l = b k 2 ic k 2 = 一3 b k l 2 6 k 2 + 3 b k 3 6 m 【 3 = 2 b i ：t + b k e 一2 b k a + 6 k 4k = 1 ，2 ，一k 将i ( u ，u ) 带入方程，所得余项如下 这里 脚，u ) = 蛾k 2 “) + 2 c 可0 2 9 k ( v ) + 砒2 型0 v 4 1 ( - 3 6 k l - - 2 6 k 2 + 3 6 旷 _ 6 m 掣+ d u 3 可o g k ( v ) 2 地。确时) s ( u ，m ，礼) = 6 【一1 2 ( 3 u 一2 ) + “一1 ) 2 7 n 2 m 2 + c 一2 ( 3 u 一2 ) + “( u 一1 ) 2 m 2 n 2 + d u ( u 一1 ) 2 n 4 s i n ( n u ) + b 2 4 4 ( u 一1 ) ( 3 u 一1 ) m 2 】m 一 2 c ( 3 u 一1 ) 一1 ) r a n 2 ) c 。s ( m u ) 这里只要对r ( “， ) 使用最小二乘法，即选择l 个点，使得 l = 1 ，l 。令b 7 b a = b7 d 解出未知数a 则 f ( u l ，) 即是方程的解。用此方法构造过渡面例子见图1 4 。 上述是一些解析方法。可以看到，b l o o r 的方法尽管非常简单易行但是解决问题的范 围有限，且精度较差。如相贯圆柱面的光滑过渡问题就无法用他们的方法解决z h a n g 和 y o u 的方法看起来很好，但实际操作过程中需要人为参与的太多，不利于在工业上的应 1 0 咖 s砌 呱 8 k 。日m u 畎 + 靠扎， 弘瓯+ 铲 2q+ 弘吼 + 仉、 。随 | | u z u 八 一 m巩 。眦 +舢 呱 n 札mub 。m m 一 l 札r 钉ud 。 + nns m a 哟 mu吕 。r l 。一 = 口u 以 大连理工大学硕士学位论文 ( a ) 图l4 ：图示 f i g u r e l 4 用，很难形成应用软件包。由于电子计算机的出现，发展数值方法是必要的，b l o o r 和马 领，朱心雄等分别讨论了差分法，直接利用1 3 点差分格式来解偏微分方程组这里不再叙 述 2 2 。而后，l iz i c a i 提出了边界惩罚有限元法【2 3 2 4 2 5 。这里简述这一方法，以便和 我们的方法做一比较。考虑两个曲面u ，边界为a m 和a k ，假设a 和a 坞不相交， 我们设参数为n t ，则我们有参数方程。= x ( t ，t ) ，y = ( n ) ，z = 。( r ，t ) ，( r ，t ) q 表示曲 面，q = ( r ，t ) ，0 r 1 ，0 t 1 ) 我们不妨设r 一0 时边界为o v z ，r = 1 时边界为 0 k ，没边界为d q f 1 u f 2 ，f 2 = a u a k 。 边界条件如下：ul r 。= u o ，器h = ，另外的边界r z 上有 矿( r ，0 ) = u ( r ，1 ) ，( r ，0 ) = c k ( r ，1 ) ，0 r l 并设在r 2 上，有y 。= b z x 。，z n = b 2 x 。 边界惩罚有限元解法思想如下：我们设 日= 0 是惩罚幂指数于是我们有 a ( u m ) + d ( 以m ) = f ( 以 f ) 以下遵循有限元法的步骤求解即可。边界惩罚有限元解法的虽然有效，但它的解题范围 并没有扩大，解法也非常繁琐，而从中我们得到启发，想到了如下的边界元法。 1 2 2 边界元法简介 工程物理问题的数学模型一般有几种不同的形状，它可以直接表示成偏微分方程的形 式，也可以表示成区域上的变分形式，或者归结为边界上某个积分方程的形式。这些不同 的数学形式在理论上是等价的，但在实践中不等效，它们分别导致有限差分法，有限元法 和边界元法等不同的数值方法我们称之为边界元的方法是在经典的积分方程法和有限元 法的基础上发展起来的一种求偏微分方程的数值解的计算方法。由于它在几何上的广泛适 应性，输入数据的简单性以及在数值上的准街陛，这种方法已广泛地应用于各种工程技术 问题以及不同学科领域里的数值计算，并且成为一种重要的工程计算方法。把边值问题的 解用积分形式来表示的这种思想产生于i o o 年前，例如h e l m h o l t z ( 1 8 5 9 ) ，k i r c h h o f f ( 1 8 8 2 ) ， r a y l e i g h ( 1 8 8 7 ) ，f r e d h o l m ( 1 9 0 5 ) ，但把积分方程应用于数值计算，却是在上个世纪6 0 年 代开始的，例如f r i e d m a n 和s h a w ( 1 9 6 2 ) ，j a s w o n ( 1 9 6 3 ) ，s y m m ( 1 9 6 3 ) 等，这与电子计 算机的迅速发展和广泛使用密切相关，也与近代数学理论的迅速发展密切相关。这些工 作使我们能够克服由于积分方程的奇异性所造成的分析上和数值上的困难。 把边值问题规划为边界积分方程的途径多种多样，我们可以从同一边值问题得到几 个不同形式的边界积分方程。由于边界规划的方式不同，得到的边界积分方程会有不同 的特点，因而也使得求解这些方程的离散方法有所不同此外，边界单元的构成也存在多 种选择，收敛性和误差分析也有基于强制性变分形式或基于拟微分算子方程这两种不同 的理论系统，因而目前对边界元方法的研究角度，所走的路径以及具体的技巧无论解析 上的或数值方法上的差异都很大。我们仅介绍我们采用的这种边界元法。 2 1 预备知识 1 外边值问题：在应用中，我们经常遇到在无限域q7 = r 2 q 提出的边值问题，所 谓d i r i e h l e t 外问题。即：求u ( 甄，。2 ) n 7 = n + f ，满足 2 g r e e n 公式：把一个区域上的积分转化为区域边界上的积分从根本上说是基于 g r e e n 公式的应用，它是线、面积分中0c t p0r pa ck hh g a u s s 公式的推论 1 3 o 幻9三扣 衅蜘熟乩 ，、k 郑形玲偏微分方程过渡面构造及曲面控制问题的研究 对于在矗中连续且在q 内有连续偏导数的任一向量函数w ( 记为w ( c 1 ( n ) m c o ( 而) ) 2 ) 下式成立 ：咖删一：w 一船，j 2j 2 其中d z = d x l d x 2 ，d s 表示i 、上的长度元素，n 是r 的单位外法线向量 设函数“( ) ， ( 。) 以及他们的所有一阶连续偏导数在闭区域晚上连续，并且他们在q 内有连续的所有二阶偏导数( 记为u ，”c 2 ( n ) n c l ( 晓) ) 。在上面的公式中令w = v v u 就得到g r e e n 第一公式 小删。+ z v u v v d x = z 唰o u s 式中v 称为h a m i l t 。n 算子，v u = ( 器，患) ，且 当：n v u a n 在上式中交换，”的位置，并把所得的式子与上面的g r e e n 第一公式相减，得到g r e e n 第二公式 f a ( v n u - u a v ) 虻f r ( ”丽o u u 是) a s 假若上面所考虑的函数u 或者”在评上有紧支集( 在平面上一有界闭区域以外函 数值为零) 。则上述g r e e n 公式对无限区域q 7 也是成立的。 3 基本解 把物理现象所对应的微分方程转化为积分方程或者把物理量满足的规律直接表述为 积分方程形式，基本解起着重要的作用。我们在此简要的介绍基本解的概念及其物理意 义，为此首先要粗略地引入与基本解密切相关的d 函数， 在物理学、力学中的集中量，如点电荷、单位脉冲、集中质量等很难用经典概念下的 函数来表述。为了描述这些集中作用的物理量，采用5 函数作为它们的密度函数。这样 的函数首先由d i r a c 引入量子力学中，因而又称为d i r a c d 函数。从工程或物理学的观 点看，所谓d 函数是定义在剧( d 表示空间的维数) 中并且有以下性质的函数： 1 ) 淝刊= ；篓 2 ) j 知一y ) d x = 1 例如单位质量集中在区域n 中的