（计算数学专业论文）依赖时间问题的无反射人工边界条件.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果 5 。其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名：盗缝照 日期。巡垦i2 ： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进人 学校圉书馆被查阅；有权将学位论文的内容编人有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用 本规定 作者签名；堡垒蠹 日 期：童妇6 ：生：盘21 硕士学位论文 2 0 0 6 年4 月 摘要 本文研究两类依赖时间问题的无反射人工边界条件及其数值方法 第一部分，研究求解无界区域上二维双曲型方程初边值问题的数值方法 采用构造法，给出了圆形人工边界上三类等价的精确及近似的人工边界条件 先引入一条人工边界，将原无界区域问题归化为等价的一个有界区域上的初边 值问题，其次获得了人工边界上的三个等价的精确及近似的人工边界条件， 最后借助所获得的人工边界条件，用有限差分方法及有限元的方法来数值求 解数值结果表明文中提出的方法是有效的 第二部分，研究求解无界区域上三维抛物型方程初边值问题的数值方法 同样，采用构造法在球面上获得了精确的无反射人工边界条件先引入一条人 工边界( 球面) ，将原无界区域问题归化为等价的有界区域上的初边值问题，并 获得了人工边界条件最后给出了一个数值例子，以示所用边界条件的可行性 与有效性 关键词；外问题。人工边界。人工边界条件，双曲型方程，抛物型方程， 有限元，有限差分 2 汤t 霞 硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h en o n r e f l e c t i n ga r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i - t i o n s ( n r a b c s ) a n dt h e i rn u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h et i m e - d e p e n d e n tp r o b l e m s p a r ti ，ah y p e r b o l i ci n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nu n b o u n d e dd o m a i n s i nt w od i m e n s i o n si ss t u d i e d t h r e ek i n d so fe q u i v a l e n te x a c ta n da p p r o x i m a t e a r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa l eo b t a i n e do nc i r c u l a rb o u n d a r yb yac o n s t r u c t i v e m e t h o d a f t e rw ei n t r o d u c ea na r t i f i c i a lb o u n d a r y , w eg e t 蛆i n i t i a l - b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ，w h i c hi se q u i v a l e n tt ot h eo r i 百i l 以p r o b l e mi nab o u n d e dd o m a i n i na d d i t i o nw eo b t a i nt h r e ee x a c ta n da p p r o x i m a t ea r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s f i n a l l y , s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a to u r m e t h o di se f l l c i e n t p a r ti i ，ap a r a b o l i ci n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nu n b o u n d e dd o m a i n si n t h r e ed i m e n s i o n si ss t u d i e d a ne x a c ta r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o ni so b t a i n e do n as p h e r i c a lb o u n d a r yb yac o n s t r u c t i v em e t h o d a f t e rw ei n t r o d u c ea na r t i f i c i a l b o u n d a r y , w eg e ta l li n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，w h i c hi se q u i v a l e n tt ot h e o r i g i n a lp r o b l e mi nab o u n d e dd o m a i n f i n a l l y , an u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e d t os h o wt h ep e r f o r m a n c eo ft h em e t h o d k e yw o r d s ：e x t e r i o rp r o b l e m ；a r t i f i c i a lb o u n d a r y ；a r t i f i c i a lb o u n d a r y c o n d i t i o n ( a b c ) ；h y p e r b o l i ce q u a t i o n ；p a r a b o f i ce q u a t i o n ；f i n i t ed e m e n tm e t h o d ( f e m ) ；f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ( f d m ) 硕士学位论文 2 0 0 6 年4 月 前言 科学和工程计算中的许多问题都可以归结为无界区域上的偏微分方程 的边值( 或初边值) 问题，其中依赖时问的发展问题更是有着极其重要的应 用例如，波的传导和扩散问题可以归结为无界区域上的波动方程，热的 传导问题可以归结为无界区域上的热传导问题正是由于区域的无界性， 这给数值计算或模拟带来了一定的困难 在过去的二十多年里，如何处理无界区域上依赖时间的发展方程初边 值问题。通常的方法可归结为以下三步 ( 1 ) 引入一个人工边界8 ，将原无界区域分为两个不重叠的予区域，一 个有界区域n l m 和一个具有典型内边界的无界区域q “； ( 2 ) 通过分析无界区域上的问题，获得人工边界上精确的或是近似的边 界条件； ( 3 ) 用有限元方法或其它数值方法求解有界区域n 耐上的初边值问题 在上述三步中。最关键的一步就是第二步为了保证方法的可行性和 有效性。在人工边界上得到的人工边界条件必须是精确或是足够精确的。 且较为简单，易实现我们称此边界条件为人工边界条件。或是无反射人 工边界条件无反射人工边界条件这个名字来源于此类边界条件在人工边 界口上无能量损失的性质1 6 , 1 0 , 1 2 1 此类边界条件可表示为如下形式 窘：瓦t + “【，】 d p 。 ( 0 1 ) 其中貉是函数t 在b 上的外法向导数，是自然积分算子1 1 8 2 日l 或称为 d i r c h l e t - t o - n e u m a n n ( d t n ) 映射 1 0 , 1 2 1 我们称( 0 1 ) 为自然积分方程l l s , 2 6 l ，或 是d t n 边界条件【1 0 ” 对于无界区域上的椭圆型方程。很多研究者已经给出了建立人工边 界条件的方法 1 2 , 1 8 , 2 6 ，对于双曲型和抛物型发展方程同样也有许多方法 1 6 , 7 , 9 , 1 0 , 2 0 , 2 1 1 因为涉及到时间变量，所以有的研究者是先对时间进行离散 3 西t 霞焉士孥位论史 化。得到半离散化问题，然后获得人工边界条件，再用有限元或其它方法 来求解，如f 1 ，2 ，2 0 ，2 l 】另一途径就是先不对时间进行离散化，直接获得人 工边界条件g r o t e 和k e l l e r 1 0 】通过把函数分解为一系列球面调和函数的 和，并对每个球面调和函数在人工边界上取得精确的人工边界条件，给出了 三维空间中波动问题的无反射边界条件，从而得到数值解h a n 和z h e n g 在文【9 | 中采用不同于g r o t e 和k e l l e r 1 0 l 的方法，而是利用球面调和函数的 正交傅立叶分解方法，获得了波动问题的三类等价的精确人工边界条件 h a n 和h u a n g 在文【6 l 中给出了一维热传导问题的无反射人工边界条件，接 着h a n 和h u a n g 又在文【7 】给出了二维热传导问题精确的及近似的人工边 界条件。此外，对无界区域上发展方程的初边值问题，还有很多研究者作 出了相应的研究 1 3 , 1 7 , 1 0 1 本文主要研究的是二维波动方程精确的和近似的人工边界条件。以及 三维热传导方程的精确的人工边界条件 第一部分，研究无界区域上二维波动方程的初边值问题数值方法采 用构造法，给出了圆形人工边界上三类等价的精确的和近似的人工边界条 件先引入一条人工边界，将原无界区域问题归化为有界区域上的问题， 并获得了三个等价的人工边界条件( 精确的及近似的) 最后，借助此获得的 人工边界条件，用有限差分方法及有限元方法来给出数值例子，数值结果 表明文中提出的方法是有效的 第二部分，研究无界区域上三维热传导方程初边值问题的数值方法 采用构造法获得在球型人工边界上的无反射人工边界条件先引入一条人 工边界。将原无界区域问题归化为有界区域的问题，并获得人工边界条件 最后给出了一个数值例子，以示所得的边界条件的可行性与有效性 硕士学位论文 2 0 0 6 年4 月 第一章二维波动方程的无反射人工边界条件 1 1 问题的描述 考虑如图1 1 所示的区域设q o 为平面上一声源，a q o = r ，渺= r 2 蕊 为无界区域在区域伴中，考虑下面的初边值问题 舶 器= c 2 & u + ，( z ，t ) ， ( z ，t ) q 。( o ，7 1 ，( 1 1 1 ) 缸= a c x ，t ) ，( z ，t ) i ( 0 ，刁，( 1 1 2 ) 筹( 茁，0 ) = 锄( ) ，“( 霉，0 ) = u o c * ) ， 窝， ( 1 1 3 ) u 在无穷远处有界 ( 1 1 4 ) 其中= ，可) ，吲= 孑干_ ，a 为l a p l a c e 算子，即a 三器+ 器= 器+ ；暑+ 专茄，u 为声波在区域n 。中传播时的位移，c 表示声波在媒介中 传播的速度为了简单起见，我们不妨假定c = 1 函数，( ，t ) ，g ( ，t ) ，锄( ) 和伽( ) 均为已知的光滑函数，且，临，t ) ，6 0 ( x ) 和( ) 具有紧支集。即 f ( x ，t ) = 0 ，锄( z ) = 0 ，t 幻( ) = 0 ，1 2 i 口 本章先对问题( 1 1 1 ) - ( 1 1 4 ) 引入一条人工边界，将原无界区域问题归 化为一个有界区域上的问题，通过详细地分析具有典型内边界的无界区域 问题。获得了三对等价的精确的及近似的人工边界条件最后借助此获得 的人工边界条件。用有限差分方法及有限元的方法来给出数值例子，数值 结果表明文中提出的方法是有效的 1 2 精确与近似的无反射人工边界条件 我们引入一条人工边界8 = t 霉ih = 8 ，则b 将区域舻分成两个子 区域( 参见图1 1 ) q = 霉l n 。，且陋i o ) 5 6 涛t 矗 爱士学位论文 若能获得8 上的边界条件，我们可以将问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) 归化为有界区域 q 上的问题为此，我们先考虑如下初边值问题。 否0 2 万1 l = t ， 忙，力。( 。，刁， ( 1 2 1 ) 象( 圳) 叫则) _ 0 i 霉d 让在无穷远处有界 或在极坐标的形式下。问题( 1 2 1 ) - ( 1 2 3 ) 即为 等；等+ ；丝o r + 去翥，( r 印) d x ( o ，刁 出2a r 2 r r 2 舻、。1 。，、”1 象以o ) = 世以o ) = o ， ( r ，缈d ， t 在无穷远处有界 d r n 圉1 1 披动问题的区域圈 假设在人工边界8 上u ( a ，护，力已知，利用变量分离法，可得 ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 1 ，) ( 1 2 2 7 ) ( 1 2 3 ，) - u ( a ，口，t ) = 知( d ，f ) + ( u k ( a ，t ) c o s k 8 + v k ( a ，t ) s i n k o ) ， ( 1 2 4 ) 。 k = l u k ( 口，t ) v k ( a ，t ) “( b ，p ，t ) c 七日始，k = 0 ，1 ，2 ，- u ( a ，以t ) s i n k o d o ，k = 1 ，2 ， ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) r f 1一丌l一霄 = = 第一章 = 维波动方程的无反射人工边界条件 7 u ( r ，目，) = ；蛳( r ，) + ( u ( r t ) c o s k 口+ v k ( r ，t ) s i n k 目) ( 1 2 7 ) r = 1 将( 1 2 7 ) 代入( 1 2 1 7 ) 式，可得 警一拿一；1 石0 + f l ，k 塾& 2 一万a 2 2 j , k i 1 百o u k + 筹缸t c o s 加 + ( 警一警一；警+ 箬) 如卅乩 或 妻 ( 警一铬一；警+ 知c 0 8 后川 + 妻 ( 等一而0 6 2 , 0 k 一；警+ k 2 ) 鼬川= o 因此，我们有 ， ( i ) 函数u s , ( r ，t ) ，= 0 ，1 ，2 ，满足 繁= 警+ ；警一知八t 正 ( 1 - 。8 ) t k ( r 川斓= 警( 州) i 脚乩 r 吼 ( 1 2 1 0 ) ( i i ) 函数v k ( r ，t ) ，七= 1 ，2 ，- ，满足 等= 繁+ ；警一孙r 。 o 0 ，令g ( r t ) = w ( r ) 8 i p t ，则w ( r ) 满足 器+ 1 石w + p 一箬) - o ( 1 。伽) 这是七阶的b e s s e l 方程，易知它有两个线性无关的解矾( 妒) 和矸，2 ( p r ) ( 可 见1 2 5 1 ) 肌( r ) = 以( r ) ，w j ( r ) = k ( r ) ， 其中 ( r ) 和k ( r ) 分别是第一类和第二类的b e s s e l 函数因此，对任意固 定的p 0 ， s i n 皿w l ( u r ) 啊w 2 伍( u a 再) - 两w l 而( u a 广) w 2 ( u r ) 是方程( 1 2 1 6 ) 的解取 g w ) = ；厂s i n # tw 1 c # r ) 州w 2 ( 删p a ) 堋- w l ( l u 俐a ) w 2 0 z r ) d # ( 1 2 2 1 ) 可以直接验证g 满足方程( 1 2 1 6 ) - 此外 ， 等( 叫) ：o ，t e 【o ，卅， g + ( r ，0 ) = 0 ， r 【d ，+ o o ) ， 警( r o ) = l i m 等( r ，d = 昙z 佃丢坠锶券铲咖2 ；上面1 矿 石历j - ；了谚霾互萄_ 掣 = ；z 佃丢坐鬻崧糌趔咖。；上石瓦面瓢瓦r 叩 = 一( 垆r ( 口i + o o ) 上述最后一个等式的由来可参见【1 1 】中p 啪中的有关内容设 g ( 小) = g + ( r i t ) + ( ；) 。t ( 1 2 2 2 ) 第一章 = 雏波动方程的无反射人工边界条件 9 动刘u ( r ，纠悬【l2 l s ) 一【l 2 1 9 ) 耵】眸利用d u h a m e l 原理，( 1 2 8 j 一【1 2 1 1 ) 的 任一解满足 州叫，= z 。掣掣打 =厂刿_oa(rr,t-r)+(；)drjo o r 【 疣。r ( 口，t ) ( 争z 掣g + ( r , t - - r 胁 因此，我们有 警( 口t ) - 一知渤+ z 伊u 折k ( a ：, r ) 0 0 ( r 撕, t - r ) d r ( 1 2 2 3 ) 另一方面，由( 1 2 2 1 ) 可得 等牡；z 佃警坐鬻券铲b = ；z 佃警望甓霸糍掣b 丌厶p 2露( 舯) 十瑶( 肛) i r = o ” 4，佃丁sin#t丽丽1丽叩,7r2gj o p 2 露( 肛) + 瑶( 肛) 上式中最后一个等式用到了以( r ) 和k ( r ) 如下的w r o n s k y 关系 五( r ) k ( r ) 一以( r ) 砭( r ) = 一熹 若令 删牡嘉z 佃7 s i n # t 丽瓣砒 ( 1 z 以) 等h 牡一删知 由( 1 2 2 3 ) ，( 1 2 2 4 ) 及( 1 2 2 5 ) 式，可得 警“归一知国一o 笋咧字肌 此外，( 1 2 2 4 ) 式可改写为 删忙砉厂7 s i n # t ( 骊1 一彩咖+ - ( 1 2 2 5 ) ( 1 2 2 7 ) 1 0 汤t i t 焉士学位论文 这里我们利用了如下积分 ，+ ”s i n 髫 丌 上了出2 2 可知，函数h z k ( t ) 具有连续的一阶、二阶导数日乏( t ) 和日z 譬( t ) ，且 嘲归砉z ”了c o s p t ( 赢一三p ) 砒( 1 2 2 8 ， 日z z c 。= 一砉z + 。酝n p t ( j 南一；p ) 舡， 月r z k ( o + ) = i ， 日况( o + ) = 一七+ 去 二 ( 1 2 2 9 ) ( 1 2 3 0 ) ( 1 2 3 1 ) 这里的( 1 2 3 1 ) 式仍是一个猜测，但我们可以用数值结果加以验证 下面我们给出函数日磊( t ) ，日乏( t ) 和日刃( t ) ，七= 1 ，2 ，3 的图象，分别 由图1 2 ，图1 3 和图1 4 表示记y = 日露( t ) ，七= l ，2 ，3 ；i = 0 ，1 ，2 t 囝1 2 2 i ( ) 的图像 t 豳1 3 - 五( t ) 的图像 四两 11i_一-7 ，r；弘一j 一 一 一 ， 嬲 一 一 一 f 跹 ， 第一章 = 维最动方程曲无反射人工边界条件1 1 j 0 鼍删 叶 叶、 中j 一y - i 一盲r 一6 ： 兮、， ，一 、 j j 刀( t )： l 一 圈1 4 日刃o ) 的图像 警力= 一知卅z 笋删等) 抚 ( i 。瑚) 警池力= 一知舻警( o ，沪：z 掣嘲字溉( 1 z 御) 等( 口，t ) = 一去( q t ) 一等“力一刍f ( 口 r ) 日彳( 字) 机( 1 2 3 3 ) 警( 删= 一知，铲z 笋日磊( 警溉 ( 1 z 舶) 警h t ) = 一沁牡缸沪m 掣咧字) 以( 1 2 3 5 ) 警( 刚) = 一五1 ( n 一一警( 口一刍z 锹( 口疗刃( 警) 机( 1 2 3 6 ) 其中( r ，t ) 是( 1 2 1 2 ) 一( 1 2 1 5 ) 的解， ( r ) = z o v l , 卯( a , r ) a g ( r 扰, t - r ) d r t o v ( a , r ) o g ( r , t - r ) + ( 绷打。k r f 叫蛳) ( 势f 掣g ( r , t - - t ) 缸 由( 1 2 7 ) 及 ( 喇) ：；( 知仳( 删，) e c 。k o 棚，七：o ，1 ，2 ， ( 1 2 3 7 ) 1 2 汤t 霞 磺士学位论文 毗归喜z 斯让( 帼蛐n 脚，七= l ，2 ， ( 1 2 3 8 ) 我们可以得到 型i ，。= ；警l ，。+ 砉( 警i ，。c o s 够+ 鲁i ，。咖七一) ( 1 2 3 。) 把( 1 2 2 6 ) 和( 1 2 3 4 ) 代入( 1 2 3 9 ) ，可以得到 骂笋l 。= a r i r = ，2 t k “( n ，t ) c o s k ( o 一口，) d j o s tz z 2 。! ! ；! ! - ! ! ；j ! 生c 。s 七 ( 。) x ( e - 矿) 日磊( 字) 打 三飑( ( 口。，) 嚣( 。，) ，h z k ( 咖，力 其中靠满足。当k = 0 时，靠= l ；当k i 时，“= 2 类似的，我们可以得到 型磐| 一；一土，t g 尹k = l 七z 知心功c o s 即一即 一土2 霄尹k = o “o h 掣嘲础一 一去薹靠o f 掣c o s m ( 口一矿) 日乏( 等) 打 三砧，) 象( 。，a 日乏( 咖力， ( 1 2 4 1 ) m脚 一仰 一斯 一 一 第一章 = 维浚动方程的无反射人工边界条件 掣卜一丽1p o o 小n ，怖酬川加 一去薹“z 孙掣c o s 即一 一土2 1 r a 2 k = m 靠0 2 z 新吣刖c o s 七 1 2 。4 2 x ( e - ) 日耀( 字) d e 7 打 三磕( ( 口，) ，瓦8 u ( ，) ，h z z ( ) ) ( 目，t ) 据上述各式。我们可得人工边界口上三类等价的精确人工边界条件 丝掣l = ，) ，鼢，) 孙，) 1 日妣) t ) ，( 1 i 。4 3 1 分别称之为第i 类的人工边界条件通常情况下。在计算过程中我们只取 ( 1 2 4 3 ) 前几项的和来代替，i = o ，1 因此，我们可得8 上三类等价 的近似人工边界条件 堡竺掣l = ( u ( n ，) ，象( ”，) 象( 口，) ，日帮( ) ) ( 即) i ( 1 2 = 0 ，1 ，2 由边界条件( 1 2 4 4 ) ，问题( 1 。1 1 ) - ( 1 - 1 4 ) 可归化为近似问题 象= 雾+ ；等嘉象+ ，( r 即) ( 柏拈q ( o m ( 1 。局) t = g ( r ，口，t ) ，( r ，口，t ) r ( o ，刁， ( 1 2 4 6 ) 等l = 砾。0 ( 。，) 象( n ，) ，嘉( ”) ，日硝) ( ) ) ， ( 1 2 4 7 ) 象( n 以o ) = 吐o ( r ，口) ，t ( r ，以o ) = t 幻( r ，口) ， ( r 口) q ( 1 2 4 8 ) 1 3 数值例子 为了验证文中所给的人工边界条件的有效性，本节中我们给出一些数 值例子 1 4 西t 霞磺士学位论文 现在我们来求解问题( 1 1 1 ) ( 1 1 4 ) 为简单起见，假定f ( x ，t ) = 0 ， 锄( z ) = 咖 ) 兰0 ，且r 为中心在原点的单位圆，即r = 伽| i i = l 引入 人工边界b 后，我们仅需求解如下问题 象：象+ ；妻+ 刍象，1 ， n 0 口2 1 r , 0 t 正( 1 3 1 ) 否万。瓦万+ ；丽+ 瓦西， l n o 口 o 2 ： 【1 3 1 ) n ( 1 ，0 ，t ) = g ( o ，t ) ，0 口2 1 r ，0 t 正( 1 3 2 ) 雾l ，i ( 。，) 象( 。，) 等( d ，) 日露) ( ) ) ( 即) ，趾，( 1 3 3 ) 丢；( 口，0 ) = ”( r ，口，o ) = 0 ， 1 r 口，0 口2 霄 ( 1 3 4 ) 其中口= 6 ，t = 4 我们应用标准的二阶中心差分格式求解问题( 1 3 1 ) - ( 1 3 4 ) 我们将区间【o 卅等分等份 0 = t o t 2 t n 2 t ( 1 3 5 ) 然后，沿r - 轴方向将区间f i ，0 1 分成肼等份和区间【o ，圳分成厂等份t 1 = r o r l t m = o ，0 = 岛 0 1 0 j = 2 1 r ( 1 3 6 ) 设r 三t = 吾，h 三r = 鲁，及盯兰a o = 等在本章中，我们取7 = h 由 中心差分格式，我们有如下计算公式 t , n + 1 n 一n - i = 血奠挚 + 去血号笋堑+ 去蛐2 h ， ( 1 。7 ) 。嚷 盯2 r m 1 m m ，1 竹n 一1 ，1 歹z t 也= g ( o j ，) ，1 行h r , 1 j z 缸：l j = 0 ，0 m m + l ，1 j z 丛n+譬l n ；。，。m 肘+ l ，l n 一l ， 堕! 曼二堕= 1 4 ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) ( 1 3 1 0 ) 睁) ，雾( ) 啡她蚺o 3 1 1 材 r u ，、 d铣砖 = 第一章 = 维波动方程的无反射人工边界条件 1 5 对于算子1 e l y d ，i = 0 ，1 ，2 ，在每一时间步我们需要计算积分 ? 0 2 ”等掣c o s 鹕日五( 警) 舭 。加， k = 0 ，1 ，2 ，一，n d ， ，2 f u ( n ，目7 ，t 。) c o s k ( e ，一) ，k = 0 ，1 ，2 ，i v d j 0 j ( k 小啊胁鹕棚日刃( 譬) 舳， k = 0 ，1 ，2 ，n d ( 1 3 1 3 ) ( 1 3 1 4 ) z k z 新掣c 酬如川日磊( 字) 龇 。朋， k = 0 ，1 ，2 ，n d ， f 业盟等型型酬如( 1 3 1 6 ) k = 0 ，1 ，2 ，n d 容易计算( 1 3 1 3 ) 式中的积分。 知“( 。，矿，k ) c 0 8 惫( 岛一矿) 7 “( o ，矿，k )惫( 岛一矿) d j o = 姜f “卜轨+ 塑业二掣】c o s 七c 易一，c s - 7 ， = 南砉u 轨f 2 c o s 限一易) 一c o s ( 一毋) 一c o s ( 一- 一圳 ( 1 3 1 2 ) 式中的积分可由如下近似计算 ? o 知笺笋c o s 鹕卅日乏( 孚) 打 = 静害门华+ 啦堕学 华) c o s k ( o ，川日乏( 竿) d 打 场t 羹磺士学位论文 = 手若萎( 睨一钍：f 一) 2 c 0 8 ( 一易) 一c o s ( t 一已) 一c o s ( 铀训】f ”乏( 字) 缸 由数值积分，我们容易计算( 1 3 1 8 ) 式中的积分 类似地，我们可近似计算( 1 3 1 4 ) ，( 1 3 1 5 ) 和( 1 3 1 6 ) 中的积分。 去 再者。我们应用有限元方法数值计算问题( 1 3 1 ) 一( 1 3 4 ) ： 求t 以使得弘a - ( t ，t ，) 嘶+ 口( t ，口) = o ， v t ，v 其中 s 埽：= t 【r ，0 ，t ) i1 r d ，0 0 2 7 r ，0 d ) ，e 把眈分成两部分 研= zi d c ，且l z i 6 ) 分别记 q = 联x ( o ，刁，= 磁( o ，刁 如果我们能在e 获得一个精确的人工边界条件，则问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 4 ) 可归 化为q 内的问题 西tt 磺士学位论文 先考虑理。上的辅助问题； 筹= u ，( 州) ， ( 2 2 1 ) u ( 茁，t ) l = g ( b ，口，妒，f ) ，0 0 ，令g ( r ，t ) = e 一矿( r ) ，则w ( r ) 满足 警+ ；2 石d w + p 一掣) 一o ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) 这是球b e s s e l 方程。易知它的两个线住尢天日可解刀w l 【j 和w 2 ( u r ) ( 廿j 见 【2 5 】) ， i n ( r ) = 寺以+ i ( r ) ，w i ( r ) = 、嘉k - l ( r ) ， 其中以( r ) 和k ( r ) 分别是第一类和第二类的b e s s e l 函数( 即n e u m a n n 函数) 取 j g v 力= ；厂等p 2 t 坠谢券铲中 可以证明g l 满足方程( 2 2 1 2 ) 此外 g + ( 6 ，t ) = 0 ，t 【o ，刁， g ( r ，o ) 2 躲g ( r ，t ) = 昙厂0 ：业瑞拳铲舡 2 i ：石可而矿而丽万一叩 = ；钙z 佃五1 业掣筹嬲型咖 = 一( ；) + 1 ， r i 。，+ o o ) 上述最后一个等式是利用如下的等式( 见【1 1 1 中r 7 9 ) 佃三地甓糯粥掣出= 2 “k a o 写 刀( 妇) + 瑶( 妇) 一 。 两t 麓 磺士学位论文 g 归g v 国l ( 圹。 易知，g ( r ，t ) 是( 2 2 1 2 ) 一( 2 2 1 4 ) 的解， 利用d u h a m e l 原理，( 2 2 1 0 ) - ( 2 2 1 1 ) 的解满足 蜘= z 挈g 州打 ：z 掣卜叫+ ( 圹卜 “( 州圹+ z 。掣g ( r 阳肌 因此 警( ) = 一字以( 6 t ) + z 掣箜掣j 商缸 因为 和归昙厂字坐揣端型b 圳 i fj o 佃字竺鞘铲i 商咖 p o 五l i p o j 十。矗w o ， o 4 4 ，佃e - - p = t 1 一而j o 下瓦厕研m 上述最后一个等式用到了山( r ) 和k ( r ) 的关系p 为非整数时) 。聊) = 型罐辛盟 以及 z ( r ) ，( r ) 一以( r ) l ( 小= 一2 s i 孑n 阿一 令 聊) = 筹z 佃了。- - i a 2 t 而南丽砒 ( 2 z ) 第= 章兰维热传导方程的无反射人工边界条件 则 等 牡一筹 所以 警 牡一字珊国一去z 毪掣掣札( 2 2 1 6 ， ( 2 2 1 6 ) 式简记为 氅掣：局( 以( 6 ，t ) ) 卯 其中 ( 2 2 i z ) 硒c 啪，啪：= 一半蜘一击z 挈掣掣打( 2 2 1 8 ) 因此，我们得到如下精确的人工边界条件 筹( 6 ，s ，f ) = k ( u l m ( b ，t ) ) 甲( s ) ( 2 2 1 9 ) 一 l = o m f f i - i 2 3 数值例子 下面我们给出一个数值例子来检验所构造的人工边界条件的可行性和 有效性 妻：鬲0 2 , + ；妻+ ，( r ，t ) ，( r i t ) q 蚕， 疣阶2 。r 西”7 “ ( r ，0 ) = t 0 ( r ) ，口r + o o ， u ( o ，力= 9 ( t ) ，0 t s 正 t ( r ，t ) _ 0 ，r _ + o o 其中 t = i ，口= 2 ，= ( r ，t ) l a r + o o ，0 t 2 ) ，t 幻( r ) = 0 ， 竹一三帅= 互i 咖丽1 ) e r ，c = 嘉厂e 搿趴 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 西t 蠢磺士学位论文 此问题的精确解为 ( 州) = ；e r ，c 丽r - 1 ) ( 2 3 5 ) 此时z = 0 取b = 3 ，贝( 2 2 1 6 ) 式为 警( 6 归一；娜一击z 下o u 。( b , r ) 而1 打 ( 2 3 6 ) 首先，我们给出求解上述问题的差分格式。先把区域【o ，卅分成n 等份，即 0 t o t l t n = z 引入人工边界得到有界区域n ，并把区域陋，6 1 分成m 等份。即 d = r o n 啊= 乱 记r = t n ，h = 1 m ，接下来我们用c r a n k - n i c h o l s o n 差分格式( 记呓= 札，知) ) ： 妒1 + 哼1 2 嘭+ 丐i + 一1 1 + 吩t - 一1 l 一2 哆一1 2 t 矿1 一哼1 + 嵋j u j i - 一i l 2 h 2 r t 4 h 一挚- o ，l s m ，l js ， 仳；= 0 ，0 曼i m 矽2 互1 e 巾( 疠) ，1 j ， 望之竺= 一；妒一去薹堡字望z ( 蠢五一佩， 1 j 此处我们取r = h 对于不同的m 和n ，图2 1 给出了在边界上用中心 差分得到的解和精确解之间的误差图，即i 让( 6 ，f ) 一u h ( b ，t ) 1 第二章 三维热传导方程的无反射人工边界条件 l 围2 1 f d m 的误差图 再次，我们用有限兀方法采