（计算数学专业论文）交错群a4在k3曲面上的作用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要是以交错群a 4 在k 3 曲面上的作用为研究对象，从f e m a t 型k 3 曲面上 的特殊的也作用出发，得到了f e r m a t 型k 3 曲面上a 4 作用的不动点，利用不动点集 计算了群作用的一些不变量并得到了相关的拓扑性质，在此基础上进一步把其中的一些 结果推广到一般情形下的同伦3 曲面上 第一章介绍了该研究领域的发展状况，特别介绍了这方面一些国内外学者最近所取 得的研究成果，并在最后介绍了本文的主要工作。 第= 章主要介绍了一些预备知识第一节是关于四维流形的基本知识；第二节介绍 了有限群的表示；第三节介绍了交错群a a 的一些性质并给出了其特征标表格 第三章讨论了 在f e l a t 型k 3 曲面上的具体作用，计算了这类作用的群元素的 不动点个数，群作用的一些不变量并得到了相关的拓扑性质。 第四章从第三章的特定作用出发，得到了a 4 作用于4 f 拙( t ) = 6 的同伦k 3 曲面时 所具有的拓扑性质 第五章把上述结果进一步推广到一般情形下的同伦膏3 曲面上，并给出了其等变指 标的一些限制。 最后总结了本文的主要内容，并给出了作者将来研究工作的设想。 关键词：s p i n 四维流形；交错群作用；不动点； 耳3 曲面；s e i b e r g w i t t e n 理论 交错群a 4 在耳3 曲面上的作用 a l t e r n a t i n gg r o u pa 4a c t i o n so nk 3s u r f a c 郎 a b s t r a c t i nt h i 8p a p e r ，w em 缸n l ys t l l d yt h e8 1 t e m a t i n gg r o u pa 4a c t i o 工l so ns p i n4 - m a 刀谕l d 8 f i r s tw ed i s c l l s st h es p e c i a l 哦i o n0 fa 4o nk 38 u r f 如e so ff e 衄a tt y p e ，w ec o m p u t et h e 丑x e dp o 证t ss 武o ft h i sa c t i o n8 丑d8 0 m ei m 壤r i 锄七so ft h eg r d u p8 c t i o n ，a b ow eg e ts o m e t 叩o l o 舀c a lp r o p e r t i 髑t h e nw es t u d yt h e 也a c t i o n so g e n e r a lk 38 l l r f 如e sa n do b t 抽 8 0 n l es i i l a rr e s u l t s ， i n 也e 丘r s tc h a p t e r ，w e 百v ear 嘶e wo ft h i sr e s e a r 血丘e l d ，e s p e c i a l l ys o m eb e a u t i f 试 瑚l l l t sa b o u tt h i sr 铝e 茁c hi nr e c e n ty e a 船，s o m eg r e a ta u c 址e v e m e n t 8o nt h i s8 u b j e c ta r e 1 i 8 t e d ，w 1 1 i c hi n d u d ed o m e s t i ca n da b r o a d ht h ee n do ft h i sc h a p t e r ，t h em 越nr 嚣i l l t 8o f t h i sp a p e r 盯eg i v e n i nc h 8 p t e r2 ，w eg i v es o m ep r e p 缸a i o n 8o ft h i 8p 印e r i nt h e 基r 8 tp a r t ，t h e 缸n d 扣 e n t a l1 口1 0 w l e d g eo f4 m 锄1 i f o l di sm a i l yi n t r o d u c e d a 丑dt h e n ，i nt h es e c o n dp a nw e i n t r o d u c es o m ek n o w l e d g ea b o u tl i n e 8 rr 印r e s e n t a t i o so f 丑n i t eg r o u p s a t1 8 8 t ，i nt h e t m r dp a _ r tw ed i 8 c u 龉t h ea l t 唧a t i l l gg r o u p 4a n d 百v et h ec h a r a c t e rt a b l ef o ri t i nc h a 枇e r3 ，w em a i m yd i s c u s sas p e c i 丘ca c t i o no fa 4o nk 3s u r f 扯e so ff b r m a t t y p e i n 恤i 8p 疵，t h em 瑚1 b e r s0 f 矗x e dp o i n t sf o r ( ：0 n j u g a t ec l a s s e so fa 4 盯ec o m p u t e d 戤1 dr e l a t i v et o p o l o g yp r o p e r t i e sa r e _ d i s c l l 龉e d i nc h a p t e r4 ，w e g e ts o m et o p o l o 科p r o p 毁t i e 8w h e na 4a 航so nh o t o p yk 3s u r f a c e s w i t h4 f o ( t ) = 6f r o mt h es p e c i n ca c t i o no fa 4m e n t i o n e di nc h a p t e r3 i nc h a p t e r5 ，w eg of o r w 凹de x t e n dt h er e s 幽w eh a v eo b t a i n e dt oh o m o t o p yk 3 8 u r f a c e so fg e n e r a l 妙p ea d 西v es o m er e s t r i c t i o o fg e q u i v 盯i a n ti n d e x i nt h el a s tp a n ，w em 以【eac o n c l l l s i o no f t h i sp a p e ra 皿dg i v es o m ep r o b l e m so r c o j u c t 砒e 8w h i d hs h o l l l db es t u d i e di 工lt h eh 】t 1 1 r e k e yw b r d s ：s p i n4 一m 8 n i f 0 1 d s ；a l t e r n a t i n gg m u pa c t i o n s ；f i ) 【e dp o i n t s ；k 3 s u r f a c e s ；s e i b e r g - w i t t e nt h e o r y i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名巳甄t 递6 o6 一o |日期：挫二旦! ：驴 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解。大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，瓷许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编叁有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文 作者签名： 导师签名 淼 大连理工大学硕士学位论文 1 引言 四维流形的研究是当前国内外几何拓扑学的研究热点之一，而规范理论是研究四维 流形的重要工具，特另q 是s e i b e r 争w i t t e 理论的引入使匹l 维流形的研究取得了突破性进 展，例如解决了著名的t h o m 猜想f 16 1 对光滑、闭、连通的s p i 4 一流形x ，令6 2 ) 表示其s e c o n d b e t t i 数，口瞵) 表示 其符号差在【l7 中y m a t s l l m o t 0 猜想有6 z ( x ) 导i 口僻) i 成立，即著名的导猜想， 所有的复曲面及其连通和都满足该猜想。特别值得一提的是通过s e i b e 喈w i t t e n 方程的 有限维逼近的技巧，胁t a 证明了下面著名的訾定理： 定理1 1 1 ( f l l l r u t a 【3 】) 假设x 是一个具有6 1 僻) = o 且其符号差非正定的s p i n 4 - 流形令自= 一口( x ) 1 6 以及m = 时( x ) ，若m o 则有； 2 + l m 通过等复e 一不变量，n l r u t a 和k a m e t a n i 改进了上述警定理，得到了： 定理1 1 2 ( f 1 1 r u t a dk m e t a n i 【7 】) 假设x 是一个闭、有向的s p i n 乒流形。则 有： 若口( x ) 一 茁 畸 交错群山在k 3 曲面上的作用 定理1 1 3 ( b r y a j l 【4 1 ) 假设x 是一个具有6 1 ) = o 的光滑、闭、连通的s p i 垂 流形假定r ：x x 生成一个奇型的z 妒作用用鼍表示x 通过z 2 cz 2 p 作 用的商空间则有t 2 + 1 + p m 若m 2 奄+ 噬( x z ) 以及畸( 五) 6 ( 玛) o ，其中f j 在文 1 0 1 中，k i n l 运用类似的研究工具，对满足一些非退化条件的x 上的光滑、 s p i n 、偶的纠妒作用也给出了类似的结果 k i y o n o 和刘西民 5 】在s p i n4 - 流形具有交错群作用的情况下也得到了有趣的结果 他们对具有交错群作用的s p i n4 一流形，改进了上面f l l l r u t a 的1 0 8 定理，得到了一些比 较深入的几何和拓扑结果，并给出了一些应用其主要结果为： 定理1 1 4 ( 硷y o n 0a n dl i u 5 】) 假设x 是一个具有非正定符号差且6 1 僻) = 0 的光 滑s p i n4 - 流形令七= 一口( x ) 1 6 以及m = 螃( x ) 若x 具有一个s p i n 交错群a 4 作 用则有： 2 七+ 3 o 则称x 是可定向的微分流形 一般的，满足上述两个条件的( ；。：) ，( ；。) 称为是定向相符的 定义2 1 7 设x 是一个紧致、可定向的四维流形。对称双线性形式 q x ：日2 ( x ，a x ；z ) h 2 ( x ，a x ；z ) 一z 由q x 6 ) = = 8 - 6 z 定义q x 称为x 的相交形式由p 反n 州对 偶j 如( x ；z ) 望日2 ( x ，a x ；z ) ，q x 同样可定义于日2 ( x ；z ) 吼( x ；z ) 注意q x 的定义只需x 的拓扑结构明显当口或6 是挠元素时q x 6 ) = 0 故通 过选择岛何；z ) t o r 5 t d n 的一组基，可用一个对称矩阵表示q x 给定一个有限生成自由阿贝尔群a 上的一个对称双线性形式q q 的秩船旧) 定义为a 的维数对角化q 对应的矩阵，对角线上+ 1 的个数记为6 ，一1 的个数 记为啄，譬一啄的差值称为q 的符号差，记为一( 窜) q 称为正定( 负定) 的若 r 女( q ) = 口( q ) ( r 蔚( q ) = 一口( q ) ) ，其他情形称为不定的q 称为偶的，若q ( o ，o ) io ( o d2 ) ，a ；其他情形，称为奇的。q x 称为幺模，若d e 蝈= 1 若x 是一个闭 四维流形，则q x 为幺模。 若q 1 ，q 2 分别定义于a l ，a 2 上，令a = a 10a 2 ，设n ，6 a 且有分解n = 0 1 + 0 2 ，6 = 6 l + 6 2 ，其中毗，趣a ：若令； q ( 凸，6 ) = q 1 ( o l 、6 1 ) + q 2 ( 啦，6 2 ) 则可定义a 上的对称双线性形式0 = 0 1 0 q 2 若 o ，七q 表示o q ；对于 以及r 兰口( m o d2 ) 的( 盯，r ) z 可构造一个具有口= 口( 0 ) 以及r = r ( q ) 的幺模形式q = o 昆+ 橱 定理2 1 1 设q 是一个不定幺模形式若q 是奇的，则同构于6 0 6 _ ；若q 是偶的，则同构于平毋。型堕笋剑日。 定理2 1 2 ( r 0 h l i n ) 若q 五是偶的，则符号差口( x ) 可被1 6 整除。 通过对幺模的偶整二次形式分类以及r o 埘伽定理，具有定向且非正定符号差的闭 s 川n 四维流形x 的相交形式为； 一2 毋o m 日，七o 特别的，当= 1 以及m = 3 时，称x 为k 3 曲面。 可将四维欧几里得空间看作四元数空间y ，元素为复2 2 矩阵形式： q = ( ：iz ：”) 作为个实向量空间y 可由下面四个矩阵 ，= ( ：) ，t = ( ：1 1 ) ，= ( ；：) ，k = ( ：三) 生成一个四元数q 的行列式定义为： d e t q = t 2 + 岩2 + 嚣2 + f 2 = 其中 表示欧几里德空间定义的点积，特别的 虿q = ( 庐+ z 2 + z 2 + 2 ) 1 ， o 0 0 0 1 0 0 2 o 0 0 0 0 1 2 o 0 0 0 0 1 2 1 0 o o 0 1 2 l 0 1 0 0 l 2 1 0 0 0 0 1 2 1 0 o 0 0 l 2 l o 0 0 o o 2 l o 0 0 o o o 交错群山在m 3 曲面上的作用 故尉中的单位球等价于一个特殊的酉群； s u ( 2 ) = q y ： = 1 ) 单位四元数球s u ( 2 ) 形成了李群一个四维跏n 群是由2 个特殊酉群作直积生成的 却饥( 4 ) = s 巩( 2 ) s n ( 2 ) 一个典型的元素为( a + ，a 一) ，其中a s 畦( 2 ) 我们有一个表示 p ：s 埘竹( 4 ) 一g l ) = ( y 到自身的同构 定义为： p ( a + ，a 一) ( q ) = a q ( a + ) 一1 由于a + 和4 一行列式为1 ，故有t = d e ( a q ( a + ) 一1 ) = d e t q = 因而保持了欧几里德内积，即： p ：却饥( 4 ) 一s 0 ( 4 ) c g 三( y ) 设( x ， ) 是个有向四维黎曼流形黎曼度量可使t x 的结构从g l ( 4 ，r ) 约化 到s 0 ( 4 ) 因而可选择x 的个覆盖 ：n a ) 使得相应的转换函数： 9 b 口：c n + s 0 ( 4 ) g l ( 4 ，r ) 取值于s o ( 4 ) 定义2 1 8 ( x ， ) 上的一个开覆盖 ；a a ) 和一族转换函数 叩：n 一却讥( 4 ) 若满足po 豇口= g 叩以及余闭条件 。b 铆= 在 j 。n u 8 n u ，上 称其为一个跚n 结构具有s 埘n 结构的流形称为s 川n 流形 可将跚n ( 4 ) 看作一个( 4 4 ) 矩阵空间 伶量) ，址跚z ) 6 大连理工大学硬士学位论文 这个六维的李群包含于下面一个重要的七维李群中： 洲a 卜+ 。：一) ：扯s 从叫z 州) 更进一步表示； p 。：s p 伽( 4 ) 。+ g l ( v ) 定义为： 户。( a ：十 三一) e 。= c a a 一，q c a a + ， 定义2 1 9 ( x ， ) 上的一个印i n 。结构是指一个开覆盖 ；a a ) 以及族转 换函数 印：n 卢，跏打z ( 4 ) 。 满足po 弧口= 如口以及余闭条件。 设x 是一个具有却扎。结构的四维黎曼流形，“是s 讲n 丛o 工上的一个 s 彬n ( 4 ) 。联络。 定义2 1 1 0d 开口c 算子d ：r ( w 圆l ) 一r ( w o l ) 定义为： d ( 妒) = e 。如妒( e ；) = 掣v 盆妒 可将0 打a c 算子d 分成两部分： d + ：r ( w l ) + r ( 4 l l ) ，d 一：r ( m 7 二 l ) + r ( w ，+ o l ) 定理2 1 _ 3 ( m 匆曲一s m g e r 指标定理) 若d 是一个紧致、有向四维流形x 上的一 个系数在线性丛厶上的一个d r d c 算子，则有： 删叫。+ 一专( m i 胁驴 其中r ( x ) = 6 + 一6 一是x 的符号差。 若g 是一个紧致李群，x 为个有向黎曼流形，g 通过保持定向的转换变换作用 于x 上，通过取平均可构造一个保持g 作用的度量，从而可诱导一个g 在余切丛t 上 的作用g 的表示由 扎d e z g d + = 七e r d + 一南e r _ d 一 交错群山在k 3 曲面上的作用 给出同调群有分解h 晴( x ；c ) = h + + 日一，通过取平均可假设该分解是g 一不变的， 故有： n d e 茁d + = 出m 日+ 一d m 日一 在此情形下有： j n d g d + = 日+ 一日一兄( g ) 若x 是一个印锄四维流形，g 是个有限群作用于x 上且该作用是等距的由d 扣n c 算子是g 一不变的可定义g 一指标： s 叠i 乱( g ，x ) = 托r d + 一南e r d 一r ( g ) 当9 g 时可写成： l ( 9 ，v + ) = s p t n ( 9 ，x ) = o 飞l 七e r d + 一t r g l 七e r d 一 2 2 有限群的表示 定义2 2 1 设y 是复数域e 上的个向量空间，g l ( y ) 表示y 到自身的全体可 逆线性映射组成的群g 是一个有限群，g 在y 上的一个线性表示就是g 到g l ) 的一个群同态；j d ：g g l ( y ) 若y 是有限维向量空间，选定其一组基e 。，则可逆线性映射o ：y y 可由一个 n 阶可逆矩阵定义当p 给定时，称y 为表示空间若d i m ( y ) = n 是有限的，则称礼 为表示的度 定义2 2 2 设p 和p 分别是g 在向量空间y 和y 7 上的表示，p 和p 7 称为同构 的，若存在一个线性同构- r ：y 一矿将p 转换成p 且满足； r 。p ( s ) = p ( s ) 对所有s g 定义2 2 3 表示p ：g g l ( y ) 称为不可约的，如果y o 且除了矿和o 外y 中 无在g 下不变的子空间 定理2 2 1 每个表示都可表示成不可约表示的直和 定义2 2 4 令p ：g g 三( 矿) 是有限群g 在向量空间y 上的一个线性表示，对每 一个s g 令； 硒( s ) = t r ( 风) 这样得到的g 上一个复值函数称为表示p 的特征标 性质2 2 1 若x 是一个度为 的表示p 的特征标则有 8 大连理工大学硬士学位论文 ( 1 ) x ( 1 ) = n ， ( 2 ) x ( s 一1 ) = ) ( ( s ) + 对于s g ， ( 3 ) x o s t 一1 ) = x ( s ) 对于s ，t g f 若z = z + 珂是一个复数，用矿或i 表示其共轭茹一 g ) 性质2 2 2 具有相同特征标的两个表示是同构的 若咖和妒是g 上的两个复值函数，令： ( 毋i 妒) = ：咖( t 冲( t ) 其中9 是g 的阶 j 挺g 则该运算关于是线性的，关于妒是拟线性的，且对w o 有( i ) o 。 定理2 2 2 ( 1 ) x 是个不可约表示的特征标，则( x l x ) = l 。 ( 2 ) x 和x 7 是两个不同构的不可约表示的特征标，则有( xi x 7 ) = 0 ( 或称x 和) ( 7 是正交的1 ， g 上的一个函数，称为类函数，若，( 拈t 。) = ，( s ) 对所有s ，g g 上所有的 类函数可构成一个空间日。不可约特征标( 互不同构的) x 1 ，属于日且形成日 一组正交底。 定理2 2 3g 的不可约表示的个数( 同构意义下) 等于g 的共轭类的个数。 关于特征标还有以下两个性质，可用来验证和计算特征标 性质2 2 3 用x ， 表示g 的互不同构的不可约表示的特征标，他们的度分别 记为n l ，则有： ( 1 ) 度啦满足关系：雪n ；= 9 ( 2 ) 若s g ，s 1 贝0 ：三：n x ( s ) = o 性质2 2 4 若s g ，c ( s ) 表示8 所属共轭类元素的个数，则有： ( 1 ) 雪( s ) 砥( s ) = 9 c ( s ) ( 2 ) 若s g ，s l 贝4n t x 0 ) = o 对于n 阶循环群g ：= 1 ) n r 2 ，r ”1 ) ，由于c 二是阿贝尔群，故共轭类个数为 n ，由性质易知有n 个不可约表示且所有不可约表示的度为1 ，这样的一个不可约表示 对于r 和一分别对应复数：x p ) = u ，) ( ( r ) = u ，由于r “= 1 则有u ”= 1 因而得 到u = e 2 ”“加其中 = o ，1 ，n l ，从而得到n 个度为l 的不可约表示的特征标 g 交错群山在k 3 曲面上的作用 x o ，x l ，一，) ( 。1 分另4 由： x ( 一) = e ”“n 给出特别的，当n = 3 时，对应的特征表格如下： 2 3 交错群a 4 1rr 2 x 0 l11 x l 1uu 2 x 2 lu 2u 交错群a 。是具有4 个元素集合 o ，6 ，qd 的置换群可作为一个使重心在原点的 正四面体作不变的旋转所成的四面体群它有1 2 个元素t ( a ) 单位元1 ； ( b ) 3 个阶为2 的元素：= ( 0 6 ) ( 甜) ，g = ( n c ) ( 6 d ) 。= ( o d ) ( 6 c ) ； ( c ) 8 个阶为3 的元素；( 。6 ( = ) ，( o c d ) ，( 6 c d ) 令= ( d 6 c ) ，k = i ，t ，铲 以及好= ( 1 ，z ，g ，z ) 舅有； t z t l = 。，耐= ，t 9 t = z 更特别的h 和是a 4 的子群，日是正规子群且日n k = 1 ) a 4 的每个元素可唯 一表示成 其中 日，耳 a 4 有4 个共轭类： 1 ) ， 。，y ，z ) ，托缸，坷，z ) 以及 # 2 ，t 2 。，2 ，t 2 ：) 其中。= ( 1 2 ) ( 3 4 ) ，= ( 1 2 3 ) ，2 = ( 1 3 2 ) ，因而有4 个不可约特征标有3 个度为l 的特征标 分别对应于子群k 的x o ，x l 以及x 2 ，对于厅日以及r 通过池( - ) = x ( 七) ， 可将其扩张到 上，最后一个特征标是也在r 3 中的自然表示的特征标，由特征标性 质可计算也的特征标表格为； 其中u = 一+ 警。 1 2 x x o 111 l x 1 l u叫2 l x 2 1 u 2u 1 吐 3oo一1 1 0 大连理工大学硕士学位论文 令x 是一个光滑、闭、却伽四维流形。设x 有一个保持紧致李群( 或有限群) g 作用的s 伽n 结构，可以给出x 上的个在g 作用下是等距的黎曼度量g 一作用可被 提升为在旋丛上的0 作用，其中0 作用是下面的扩张： 1 - 邑_ 斗g _ g _ 1 若0 包含一个同构于g 的子群则称g 一作用是偶型的，否则为奇型的。对于交错群 j 4 4 ，通过邑的扩张同构于邑山，故任何一个却m 交错群a 4 作用于印讯四维流 形是偶型的， 交错群山在耳3 曲面上的作用 3 交错群a 4 在f e r m 口t 型k 3 曲面上的作用 本章用a 4 作用于f e r m 耐型的3 曲面，得到一些结果，再以此为基础在下 一章作进一步推广，得到了更一般性的结果 3 1 f e r m 。t 型3 曲面的定义 考虑复空间g ”1 ，设g = g o ) 是复数的乘法群它按法则 g ，。g “1 o ) 作甩于c ”1 o ) 因此( c ”1 o ) g 可看作过原点的所有复直线的集合 定义3 1 1 空间( g “1 o ) ) g 称为复射影空间，记为g p 定义3 1 2x 称为p r ”m t 型的3 曲面，若： 3 x = 玩z l ，z ：，毛 ) g p 3 l z ；= o ) 2 0 3 2 群作用不动点的个数 交错群山作用于f e r m 矾型3 曲面时，其作用为曲面坐标元素的置换由群元 素作用的特点知8 个3 阶元素分别作用时有相同的不动点数目同样3 个2 阶元素作用 时不动点的个数也相同进一步的讨论只需知道不动点的个数下面取出代表元进行计 算 ( 1 ) 当= ( 2 3 4 ) 也作用于【磊，五，毛，磊】g p 3 且：o 露= o 时 情形l 一当磊= o ，z l ，z 2 ，毛都不为。时，即元素具有【o ，l ，z ，鲥形式时 t 作用后得到 t 作用后得到 ， 1 一z 一 掣一z l0 = ： l 妒 p 大连理工大学硕士学位论文 若 0 ，1 ，z ，刎是不动点则应有 从而得到 叭，训 = m ；弓 隹| 即。! - 1 i = g 由上式可得z 3 = 1 ，再由3 曲面应满足：o 刃= o 可知此时有t 玲，1 ，。2 】和 o ，1 ，u 2 ，“j 两个不动点，其中u = 警。 情形2 一 当毛，z 1 ，邑，磊都不为o 时，即元素具有 1 ，z ，。】形式时 t 作用后得到； 若 l z ，9 ，z 】是不动点，则有 从而得到 即： 1 ，热名，z 1 1 ，z ，名】= 1 ，掣，= ，嚣j z = 警衬= zz = 2 o = 掣= 名 不动点可设为： f l ，。，。，茁】 再由应满足1 + 3 嚣4 = o 可知此时有4 个不动点。 其它情形：易验证无不动点 综上可知：当t = ( 2 3 4 ) 时共有2 + 4 = 6 个不动点 ( 2 ) 当t = ( 1 2 ) ( 3 4 ) a 4 作用于 磊，z - ，之，z 3 】c p 3 且岛翟= o 时 情形1 ： 当毛，z ，乞，磊都不为。时，即元素具有【1 ，z ，2 j 形式时 1 3 交错群 在3 曲面上的作用 作用后得到 若 1 ，置# ，z 】为不动点 则有 即得 ，钏】= 1 ，羟 0 = ”= z = z = 士1 j”= 士彳 当z = 1 时，由3 曲面的性质得t2 + 2 v 4 = 0易知此时有4 个解。 当z = 1 时，由3 曲面的性质得：2 + 2 4 = o易知此时有4 个解 情形2 ：当磊= o 时，五，邑，磊都不为0 时，即元素具有 0 ，1 ，。，纠时 t 作用后得t 1 ，o ，可，茁】 显然： 1 ，o ，掣，。 【o ，1 ，茹，”】 故无不动点 其它情形：易验证此时无不动点 综上可知：当= ( 1 2 ) ( 3 4 ) 时共有4 + 4 = 8 个不动点 ( 3 ) 当t = l a 4 作用于f e r m 武型3 曲面时，易知所有点都是不动点。 3 3 同调群的表示 设x 是f e r m n t 型3 曲面，下面计算表示： 马( x ；a ) = o o l + 6 0 + c o f 2 + d o 町r ( a 4 ) 的系数n o ，6 0 ，c o ，d o 1 4 大连理工大学硕士学位论文 用x 9 表示x 在g a 4 作用下的不动点集，x ( x ，) 表示不动点集的欧拉示性数 对于k 3 曲面有( x ；g ) = 日4 ( x ；a ) = g ，日1 ( x ；g ) = 月3 ( x ；g ) = o 由于k 3 曲面 的相交形式为一2 玩+ 3 日，故日2 僻；g ) = 2 2 g ，从而x ( k 3 ) = 2 4 单点集的欧拉示 性数为元素的个数。由于4 4 有四个共轭类，分别取代表元l ，2 ，z 可得： 9 l tt 2 z 1 ) ( ( x ，) 2 466 8 由于x ( x 9 ) = 打9 ( h o + 日2 + 日4 ) = 2 + t r f ( 日2 ) 从丽有 g 1t 2 打9 ( 日2 ) 2 244 6 结合交错群a 4 的特征标表格可得 故得 l 1 2 2 + 1 4 4 + l 4 4 + 1 3 6 一 o o2 1 r 一2 6 l 1 1 2 2 + u 4 4 + u 2 4 4 + l 3 6 o 。o2 百一22 一一1 l 2 2 + u 2 4 4 + u 4 4 + l 3 6 n c 0 。百一2 2 d n ：! 兰! 兰! ! ! ：! ：! ! 兰! ! ! f 二1 21111 ：4 4 02 1 r 1 2 24 岛( x ，g ) = 6 1 + 2 f + 2 铲+ 4 q r ( a 4 ) h 2 ( x ；g ) 有分解：日2 ( x ；g ) = h + ( x ；g ) o 何一( x ；g ) 为计算日+ 与h 一的表 示下面先计算f r 9 ( 日+ 一日一) ： 奎堂登垒垄丝! 些亘占塑堡旦 ( 1 ) ：当9 = 1 时： t r 9 ( 珂+ 一日一) = 6 一6 i = 3 1 9 = 一1 6 ( 2 ) ：当萝= ( 1 2 3 ) 时有6 个不动点且9 3 = 1 ，可得：互= u ，z 2 = 。2 其中u = 孥则 ( n 州= 嵩- 慧( 秘c o t 。= ；e = z ( 3 ) ：同上可得t t r 口( h + 一日一) = 2 ( 4 ) ：当g = ( 1 2 ) ( 3 4 ) 时有8 个不动点且9 2 = 1 ，可得：互= 一1 ，邑= 一1 则 吲n 州= 慧- 蔑一。 综上有 结合 可得 虬( 日+ 一日 ，- 一1 6 2 2 0 t勺c日+一日一，=打。c日2，= 季 g = l g = ( 1 2 3 ) g = ( 1 3 2 ) g = ( 1 2 ) ( 3 4 ) g 1tt 2 r 。( 口+ ) 3333 。( 日一) 1 911 3 对于h + ( x ；z ) 的表示的系数q 曲l ，c 1 d 1 计算如下t g = 1 g = ( 1 2 3 ) g = ( 1 3 2 ) g = ( 1 2 ) ( 3 4 ) 驴竖竖生竖竖等堕堕型塑塑：3 大连理工大学硕士学位论文 故得 b ，= 型翌竺坐连堕塑型= o 1 1 2 。 c t = 型卫坐旦旦型= o d 一! ! ! 兰! ! ! ! ：! ! 兰! 兰! ( 二1 2 兰! ：! ：o 1 口 时( x ；g ) = 3 1 r ( a 4 ) 对于日一( x ；g ) 的表示系数n 2 ，6 2 ，c 2 ，d 2 计算如下 故得 竖坚堡旦坐翌善型型兰型：3 1 2 。 6 2 = 型业坐兰岩竽坐型：2 吃= 型型坐塑号坐型：。 d 2 = 3 1 1 9 + 0 4 1 + o 4 1 + ( 一1 ) 3 3 啊( x ；g ) 盘3 1 + 2 + 2 2 + 4 叩兄( a 4 ) = 4 3 4 h 虬d 的表示 下面计算表示n d a 。d = n 0 1 + 6 0 + c o f 2 + d 0 1 的系数，6 0 ，c o ，d 0 。a 4 群有四个 共轭类，取代表元计算s 删n ( 9 ，x ) ； 窒壁登生查丝! 些亘尘塑堡旦 ( 1 ) ：当9 = 1 时 跚n 耻一学= 2 其中s i 鲫= 3 1 9 = 一1 6 为符号差 对于其它却 n ( g ，x ) = r 扫) 其中 口x 9 ( 2 ) 得： 7 ( p ) 2 磊 l1 z ：z i z ： 当9 ：( 1 2 3 ) 时有6 个不动点由9 3 = l 得：况= u ，z 2 = u 2 其中u = 扩警故 却伽( 9 ，x ) ：1 j 了 u2 一u2瓦磊6 ：士2 ( u 2 ) i 一( u 2 ) 一 ( 3 ) ：当g = ( 1 3 2 ) 时：同上可得跏咖( 9 ，x ) = 士2 ( 4 ) ：当9 = ( 1 2 ) ( 3 4 ) 时有8 个不动点由9 2 = 1 得t z 1 = 一l ，z 2 = 一l 。故得： 跏( 班) = 两南雨南s 。 上述值的正负号需要根据计算出的o o ，6 0 ，c o ，幽为整数来确定，经验证可知应全音5 取正 数故得 g 1t2z s 埘n ( g ，x ) 2222 结合也的特征标表格可计算系数口o ，h 0 ，c 0 ，d 0 如下 ：! ! ! 兰! ! 兰! 兰! 主! ：! ! ! ! ! ! 型：2 铀2 面一2 2 6 0 = 型旦坐鲨等字旦型= o= i f 一= u c o = 型墨坐翌号等竺型= oc 0 = 磊一2 u 1 8 大连理工大学硕士学位论文 d o =3 1 2 + 0 4 2 + 0 4 2 + ( 一1 ) 3 2 故得：，n d 。d = 2 - 1 r ( a 4 ) = o 交错群a 4 在粥曲面上的作用 4 交错群a 4 在同伦k 3 曲面上的特殊作用 4 1 ，n d 山d 不变部分的维数 示j n 屯d = 0 0 1 + 6 0 f + c 0 2 + 如即，结合a 4 的特征标表格有： h 一l h 一j 、7 ，o ” 一一j j c z 作用于t 乎等价于- ，u ，护，t 作用于”等价于( 1 “。：) c 3 弦2 作用于点e 2 等价于l 护，u ，萨作用于”等价于( 1u 。) 溜城为蝴价于( 1 - 1 一，) 子群作用于表示，通过上面的讨论可得不变部分的维数分别为 ( n 4 山d ) 4 = o o = 6 孝( j ， 4 ) ( ，n d 。d ) 2 = o o + + c o + d o = 6 ( x ) ( ，扎屯d ) “= 0 0 + d o = 磅( x ) 4 2 a 4 在同伦k 3 曲面上的特殊作用 先考虑毛作用于同伦3 曲面通过上节讨论可知，对于t = ( 1 2 3 ) ， = h 竺 2 0 大连理工大学硬士学位论文 磊；r = ( 1 2 ) ( 3 4 ) ， = g 竺邑有t j 州厝d = o o + d o ，州g d = n o + k + c o + d o 邑，毛为循环群且有； 出m ( j n d d ) 毛= ；( s _ 讲n o d ，x ) + - 跏饥( 一x ) ) ( 亡r n ( j n d d ) 函= ；( s 翻n od ，x ) + s 伽n x ) + s 州n 0 2 ，x ) ) 对于= ( 1 2 3 ) ，t 2 = ( 1 3 2 ) ，z 3 = ，弓兰g o g 分别对应z ，其中p 为不 动点。由t 3 = 1 知： 对于，$ = u ，g = 护其中u = e ；警有： 111 孺而2 士百 对于护，z = “2 ，= 。其中u = e 孥有： 1 1 一一牟兰 算 一茁一 掣一可一 一3 现在考虑a 4 作用于同伦耳3 曲面且对于t ( 亡2 ) 有6 个不动点。对于同伦3 曲面， 固定t 和t 2 的不动点有t l11 孺而3 士亏 由假设有6 个不动点，故s 讲n ( t ，x ) = 士2 ，跏机( t 2 ，x ) = 土2 而印汛0 d ，x ) = 一些萨= 一半= 2 ，故对磊作用时有； + d 0 = 去( s 讲n d ，x ) + s 机n ( t ，x ) + 却讯( 萨，x ) ) 由于跑n ，x ) 是一个代数整数，在该情形下是一个有理数，故必为整数。对于 或垆的不动点，有 或一j 两种情形。因为n o + d o 是一个整数，故印讯( t ，x ) = 2 ，却饥( 护，x ) = 2 此时得：o o + d o = 2 由于毛是a 4 的一个子群，d i m ( h d 血d ) = o o + + c 0 + 3 d o 墨一垡警墨= 2 从而得到： 定理：若交错群a 4 作用于同伦k 3 曲面且4 f 谊( t ) = 6 则有； o o + d o = 2 且，n 如。d = 2 r ( 且4 ) 2 1 交错群山在k 3 曲面上的作用 5 交错群a 4 作用于同伦k 3 曲面 5 1 s e i b e r g - w i 七t e n