（应用数学专业论文）hilbert空间上框架扰动的新结果.pdf

摘要 框架是二十世纪五十年代由r jd u f f i n 和a cs c h a e f f e r 在研究非调和f o u r i e r 分析时引入的概念框架是h i l b e r t 空间的“广义基”，用它可表示h i l b e r t 空间中 任意元，僵表示不准一小波分析诞生以来，框架理论得到了迅速发展，现已广泛 应用于信号处理、图像处理、数据压缩和抽样理论等方面，框架理论的研究内容主 要包括：框架性质的研究、对偶框架性质的研究及框架扰动的研究等本学位论文 主要针对框架的扰动问题进行讨论，它有五章内容组成 第一章简要介绍框架概念的由来，并简述论文的主要工作及论文结构 第二章列出全文用到的一些基本事实，并给出框架、r i e s z 基、n e a r - r i e s z 基和 r i e s z 框架的概念、性质及判定定理， 第三章是论文的一个主要内容首先列出关于框架扰动问题的两个经典结论， 然后在此基础上结合算子理论给出更为一般的框架扰动定理，并通过详细的论证说 明众多已知关于框架扰动的结果都是这个一般扰动结果的特殊情形，同时也给出例 子说明，定理对框架序列不成立但对r i e s z 基来说，这个扰动结果成立 第四章是论文的另一个主要内容，主要讨论n e a r r i e s z 基和r i e s z 框架的扰动， 并说明已有的一个r i e s z 框架扰动结论是我们结果的推论 最后一章给出b a n a d l 空间上框架和原子分解的概念及相关扰动结果 关键词：框架，前框架算子，r i e s z 基，u e a r r i e s z 基，r i e s z 框架，抚动 a b s t r a c t t h ec o n c e p to ff r a m ew a so r i g i n a l l yi n t r o d u c e dh yr j d u m i la n dac ，s c h a e f f e r w h e nt h e yw e l ew o i k i n g o nr 1 ( ) t l l l a r n l o n i ef o u li e rs e li e si nt i l ef i f t i e so ft i l et w e n t i e t h c e n t u r y af r a m ei sag e n e r a l i z e db a s i sf o ral l i l b e r ts p a c eh ，a n de v e r ye l e m e n ti nh c a n l i er e p r e s e n t a t e db yt h ef r a m e b u tt h em e t h o do fr e p r e s e n t a t i o ai sn o tu n i q u e p r a m e t h e o r yh a sp r o m p t l yd e v e l o p e da f t e rw a v e l e ta n a l y s i s sa p p e a r a n c e i th a sb e e nu s e d i usg n a ip i o c e s s i n g ，i m a g ep r o c e s s i n g ，d a t ac o m p r e s s i n g ，s a m p l i n gt h e o r e m s je t c t h e r e s e a tc hc o n t e n t so ff r a m et h e o r ym a i n l yi n c l u d e ：f r a n l ec h a r a c t e r s ，d u a if r a m ec h a r a c t e r s ， p e r t u r b a t i o no ff t a l n c s ，e r e t h i st l l e s i si sm a i n l yt od i s c u s sf r a m ep e r t u r b a t i o n ，a n d c o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s c h a p t e r o r l ei n t r o d u e e st i l eo r i g i no ff r a m ec o n c e p t ，a n ds k e t c h e st h em a i nw o r k sa n d t h es t r u c t u r eo ft i l et h e s i s ， c h a p t e rt w ol i s t ss o m eb a s i cf a c t st ob eu s e dt h r o u g h o u tt h et h e s i s ，a n dg i v e ss o m e c o n c e p t so nf r a m e ，r i e s zb a s i s ，n e a r - r i e s zb a s i sa n dr i e s zf r a m e f i n a l l yt h i sc h a p t e r p r o v i d e st h et h e o r e m so fjr i d g i n gt l m i n c h a p t e rt i n e ei so n eo fm a i nc o n t e n t s f i r s t ，w eq u o t et w oc l a s s i c a lr e s u l t so i ld a m e p e r t u r b a t i o n ，a n dt h e n ，w eo b t a i nt h eg e n e r a l i z e dr e s u l to ff r a m ep e r t u r b a t i o no nh a s i s o ft h e s ec l a s s i c a lr e s u l t s h e r ew ee x p r e s st h em a i np e r t u r b a t i o nt h e o r e mu s i n go p e r a t o r m e t h o d s ，a n di t i sa l s op l o v e dt h a ts o m ek n o w nr e s u l t sa r es p e c i a lc a s e so fo u rr e s u l t t h i sc h a p t e ra l s os h o w st h a tt i l ep e r t u r b a t i o nt h e o r e mi sn o tn e c e s s a r yt r u ei fw ed i s p l a c e t i l ef l , a l n ew i t ht h ef r a m es e q u e n c e b u tt i l er e s u l ti sv a l i di ff r a m ei sr e p l a c e db yr i e s z b s i s c h a p t e rf o u ri sa n o t h e rm a i nc o n t e n t ，a n di s d e v o t e dt ot h ep e r t u r b a t i o n so fn e a r - r i e s zb a s e sa n dr i e s zf r a m e sa tl a s t ，i ti ss h o w nt h a to u rr i e s zf r a m ep e r t u r b a t i o n t h e o r e mc o v e r st h ek n o w np e r t u r b a t i o nr e s u l t i i t h e 【“) l l c ( 、p t b ；o fb m k l c hf l ；u l l ea n da t o l n i cd e c o t l l t ) ( j s i t i o i lo i lb a n a c hs p a c e sa r ei n t 1 o d u c e di nt h el a s tc h a p t e r c o n s e q u e n t l y p e r t u r b a t i o nt h e o r e m sa n dc o r o l l a r i e so ft h e m k e yw o r d s ：f r a i i l e ，p i e - f r a m eo p e r a t o r ，r i e s zb a s i s ，i l e a r p d e s zb a s i s ，r i e s zf r a m e p e it m b a t i o n 第一章引言 小波分析足2 0 世纪8 0 年代兴起的一门应用数学学科，它是f o u r i e r 分析发展 史上里程碑式的进展，同时具有理论深刻与应用广泛的双重意义h i l b e r t 空间中 的框架概念是由rj d u f f i n 和acs e h a e i t e r 于1 9 5 2 年研究非调和f o u r i e r 分析时 引入的众所周知，框架具有类似于基的性质，h i t b e r t 空间中的任意元均可由空 间中的框架表示出来，但表示方法不唯一目，从而框架可看做是一个“广义基” 小波分析诞生以来，框架理论得到了迅速发展，尤其是平方可积空间中三种具体形 式的框架，即e x p o n e n t i a l ( f o r e i e i ) 框架、小波( a f f i n e ) 框架和g a b o r 框架，现在 它们已经具有十分丰富的内容a 】1 【5 】另外，框架理论已广泛应用于信号处理、图 像处理、数据压缩和抽样理论等方面7 ，且呈现出快速增长的趋势框架的研究 内容主要包括框架性质的研究、对偶框架性质的研究及框架扰动( p e r t u r b a t i o n ) 的研究等 框架扰动问题是框架理论中一个活跃的研究方向给定h i l b e r t 空间h 中的两 个序列 ，) 器和 毋) 臀，其中 ，) 器t 是空间h 的框架如果 ，j ) 墨。和 g 。o o = ， “接近”，这种“接近”通常用内积和范数来刻画，则锄 器。满足何种“接近”时， 也能成为空间h 的框架或框架序列( 定义见2 1 节) ? 这就是框架的扰动问题关 于框架扰动的文献很多，可参见 2 】、【3 】、 5 】、 9 】、【1 0 】、【1 2 和【1 3 】 本学位论文主要讨论框架的扰动问题在已有关于框架扰动结论，0 1 的基础 上，我们用算子的方法来描述框架 ，) 罂，和序列 毋 器，之间的“接近”关系，从 而得到了更为一般的框架扰动结果，也说明众多已知关于框架扰动的结果都是论文 所给扰动定理的特殊情形，同时给出例子说明结论对框架序列不成立，此外对r i e s z 基、n e a r r i e s z 基、r i e s z 框架以及b a n a c h 空间上的框架，本论文也给出了较为一 般的扰动结果 全文结构安排如下： 第二章列出论文用到得一些基本概念、性质以及一些基本事实 第三章是论文的一个主要内容首先列出关于框架扰动问题的两个经典结论， 然后在此基础上结合算子理论给出更为一般的框架扰动定理，并通过详细论证说明 众多已知关于框架扰动的结果都是论文所给扰动定理的特殊情形，同时也给出例子 说明，定理对框架序列不成立但对r i e s z 基来说，这个扰动结果成立 论文的另一个主要内容在第四章主要讨论z ，e a ，一r i e s z 基和r i c s z 框架的扰动， 并说明已有的一个r i e s z 框架扰动结论是我们所得结果的推论 最后一章介绍b a n a c h 空间上框架和原子分解的概念，并给出扰动结果 2 第二章基本事实及概念 本章列出贯穿全文所用到的框架、r i e s z 基、n e a r r i e s z 基及r i e s z 框架等概念 和性质，并给出相对应的判定定理在这篇论文中，指标集均指自然数集； z 表示整数集合；集合c 表示复数集；空闻、x 分别表示可分的h i l b e r t 空间和 b a n a c h 空间，用( ，) 表示h 上的连续内积，内的范数定义为”l l = ( ，) ；，而所 有满足 o o l i e l | 2 = e 蚓2 0 ， 使得对v f h 都有 o o m l l f l l 2 胍j ；j 1 2 ， ( 2 4 ) j = l 则称 ，j ) 器。是h 的一个框架，其中a 和b 称为框架 疗 器，的框架界；满足( 2 3 ) 式和( 24 ) 式的口的下确界和a 的上确界，分别称为最优框架上界和下界特别， 当a = b 时，称 ，j ) 器。为紧框架；当a = b = 1 时，称 f = l 为标准紧框架 ( 23 ) 式和( 24 ) 式分别称为框架的上、下界条件存在例子表明这两个条件互 不相关即存在只满足上界条件的序列，也存在只满足下界条件的序列显然， 框架一定是b e s s e l 序列如果 f 。】。o o = 1 是面赢蕊上的框架，则称 f ，。o a ：是框 架序列 注当 f ，。o o = 。是h 上的框架时，i f 一。o o = i 一定在h 中稠密事实上 对v ，( 丽可两吾) 1 ，j 暑。稠密 h = 面面葡酉0 ( s p a n f j 雾= 从( 2 4 ) 式立即可得f = 0 ，即日= s p a n f j 雾= 1 平方可积函数空间l 2 ( r ) 是典型的h i l b e r t 空间，其定义为 l 2 ( r ) = ，：r c ：，可测且厶1 ，( z ) 1 2 如 o 。) 其上的内积定义为 ( 加) = 厶m ) 瓣z ，v f , g 6 职黔 4 从而框架 小波框架和g a b o r 框架均是l 2 ( r ) 上特殊形式的框架 ( 1 ) 设函数驴e 2 ( j r ) ，令奶， ( ) = 2 0 妒( 2 ，一k ) ，其中j ，k z 如果函数族 似， ：，7 ， z 是l 2 ( r ) 上的框架，则称伸蛐j ，k z ) 为小波框架，小波框架也 称为仿射框架高维空间上同样叮定义小波框架 ( 2 ) ，给出g a b o r 框架定义之前，我们先给出两个算子：平移算子和调制算子 设a ，b r ，平移算子和调制算子分别定义为 ( 咒。) ( ) = ，( 一“) ，( e b f ) ( ，) = e 2 7 r i b ，( ) 从而对于g l 2 ( r ) 及7 n ，n z ，有日柚z 。9 ( ) = ：= = e m 6 9 ( 一h a ) 如果函数组 e m 。g ：m ，n z ) 是三2 ( r ) 上的框架，则称 e z 。g ：m ，n z 为g a b o r 框 架，g a b o r 框架也称为w e y l h e i s e n b c r g 框架，简称w h 框架 ( 3 ) 周期平方可积函数空间 工2 o ，1 = ，：r e ：，( ) = ，( 4 - 1 ) ，f 可测且f 1f f ( z ) f 2 d x 。l 、 j 0j 是另一个典型的h i l b e r t 空问假设 ，矗是l r 若函数族 e 2 丌认n 黑l 是l 2 0 ，1 】 上的框架，则称 e 2 r r i a , , - ) 巽。是f o u r i e r 框架，也称为指数框架 2 2 前框架算子及框架算子 研究框架对，人们总是把它和算子结合起来，与框架有关的算子主要是前框架 算子和框架算子本节将给出它们的定义和一些基本性质 定义2 2 - 1 设 f ，o o 1 是h 上的框架，下界为a ，上界为b 定义 f ，o o = 1 的 前框架算子t 为 o o t ：1 2 ( ) 一日， c j ) 罡1 一勺厶( 2 5 ) j = l 若序列 如 墨1 是h 上的一个框架，贝, l g - r - t 的定义是合理的，且t 线性有 界，l l t | is 佰，可参见引理2 2 2 由( 2 3 ) 式可知，对v g h 有 0 ，j ) 器1 f 2 ( ) ， 5 从而vn ) 器1 1 2 ( j v ) 及g h ( c j f j ，g ) = 勺( ，j ，9 ) = ( c j ) 暑- ， ( 9 ，厶) ) 墨) 7 = 1 j = l 因此，算子丁的共轭算子为 7 ：h f 2 ( ) ， 1 4 ，= i f ，乃) ) 器l ( 2 6 ) 显然，对于b e s s e l 序列也可同样定义其前框架算子实际上，还可以用算子t 来判断个序列足否是b e s s e l 序列或框架下面两个引理就说明了这些问题 引理2 2 2 1 3 】设 厶 器l h 则 f 一，。是h 中界为b 的b e s s e l 序列当且仅 当t ： c 3 ) 器。一曼勺乃是从f z ( ) 到h 有定义的算子在这种情况下，i i t i i 茎佃， 且算子丁的共轭算子r ：h 1 2 ( ) 、t + f = f ( f ，”。 引理2 2 3 1 1 3 i 疗 f - ，ch 为h 的框架当且仅当t ： 勺) 器1 一主c j 厶是从 1 2 ( ) 到h 上的算子 设 f 。 一，是h 上的框架，丁是对应的前框架算子复合t 和t 4 就得到框架 乃) 器。的框架算子 s ：h 一日，s f = ( ，厶) 厶 ( 2 9 ) j = 1 容易证明框架s 是有界、可逆、自共轭的正算子t 2 1 1 ，且v ，h 有 f = s s 一1 f( 2 1 0 ) ( 2 1 0 ) 式表明框架具有与基类似的性质，即h 中的元素可由框架来表示 性质2 2 4 f 2 】假设 0 ，对任意满足 ，) ，。线性无关的有限集n ， ，j ) j e 有下r i e s z 基常 数4 证明参见文献 1 5 _ 9 第三章框架及r i e s z 基的扰动结果 文献【9 和 1 0 】利用范数刻画了两序列的“接近”关系，并给出了两个框架扰 动结论本章在此基础上，结合算子理论给出更为一般的框架扰动定理，并举出例 子说明定理结论对框架序列不成立，同时说明众多已知的框架扰动结果都是定理的 特例最后，证明这个框架扰动定理对r i e s z 基也成立 3 i 已知结果 我们首先有经典的p a l e y - w i e n e r 定理 p a l e y w i e n e r 定理设 乃) 罂1 是b a l l a e l l 空间x 的基 存在常数a 0 ，1 ) ，对所有钆一，c 。( ，一1 、2 ，) 满足 崦t 细小x 睁办 锄) 2 _ - 1 x 如果 ( 3 1 ) 则 毋) 墨1 是x 的基 人们自然会想到，对于框架是否也有类似上述的扰动结论? 回答是肯定的在 文献 9j 中，oc l n i s t e n s e n 给出rh i l b e r t 空间中类似于p a l e y w i e n e r 定理的框架 扰动定理 定理3 1 1 设序列 f o ，o 。：是h i l b e r t 空间h 中界为a 、b 的框架，锄 器1c 日 如果存在常数a ，肛o ，满足a + 苏 1 ，且对所有c h 一，( n = 1 ，2 ，) 都有 i i 薹勺c 办一，i i 墨- i i 薹勺厶8 + 芦( 薹i 勺1 2 ) i ， c 。， 则 9 ， 器，是h 的框架，且下界为a ( 1 一 一齿) 2 ，上界为b ( 1 + a + 毙) 2 随后文献 1 0 】也给出一个关于框架扰动的定理，它是在定理3 1 1 的基础上， 将其主要条件( 32 ) 式进行推广而得到的较为般的框架扰动定理，即后者是前者 的推广形式 1 0 足王茔3 1 2 设 j j = l 是h i l b e r t 空i 司h 的框架，界为a 、b ，序夕0 切”o o ：1c h 一 如果存在常数a 1 ，a 2 ，l20 ，满足m a x a 1 + 苏，a 2 ) a ， j = l 其中u + 是u 的共轭算子若算子q 的逆存在，则锄) 罂。是日的框架，且框架上 界为忪悒下界为a i i q 啊1 旷2 证明要证明 毋) 罂。是框架，则需证明，存在常数c ，、c - 2 满足0 c ，sc ： 0 ，取n 2 ，使得嘉 a 取7 7 = e 。，则 a ) 1 2 = 缸) 卜翱n i l 2 小俨 故切 器，不是框架序列 上一节的两个定理均是定理3 21 的推论 推论3 2 2 设 厶) 墨1 是h 中界为j 4 、b 的框架，序列锄) o ，；o lch 如果 存在常数 ，p 0 ，满足a 十考 1 ，g x c f # 确- c 1 ，- - ，( n ) 有 0 势铲班- 隆4 = 1 ，f j ( 封2 ) 5 ， c s ， 则切 罡- 是空间h 的框架，且下界为a ( 1 一a 一苏) 2 ，上界为b ( 1 十入+ 靠) 2 1 3 推论3 2 3 设 厶) 鬻1 足h 中界为a 、b 的框架，序列 彤) 器，ch 如果 存在常数 l ，a 引。满足n 、a x a 1 + 告，a 2 ) l ，且对所有c h 。 i c n ( n ) 有 1 1 薹c 。c 乃一缈，l l 一- | | 薹q ，j | | + 一z 1 1 薹勺l l + p ( 薹l c j l 2 ) 5 ， c s s ， 则慨) 罡，足h 的框架，且框架界为 业譬1 a迦,2 1 2 + 口( ，+ 掣) 2 证明令算子u 、t 、q 与定理3 2 i 中的定义形式一样，s 是框架 疗) 器1 的框架算子对任意的 勺，罡l f 2 ( ) 简记为 c j ) ，由( 3 8 ) 式可得 从r a 自 t i t c _ 州 s 丁兰瓦( ( 1 + a 1 ) i j u c j 川+ ，上 勺川) 兰盟掣1 1 础 由于u 为框架 f ， 。o o 1 的前框架算子，故i i u i i 茎、面，从而t 有定义且 盟娑竽坠当竽， 即有 2 ( 警2 = t 7 ( + 等高等) 2 对v ，h ，取c o = ( f ，s 一1 厶) ( j n ) 代入( 3 9 ) 式，可得 川驯川圳帅p ( 扣芦1 州5 a l i l f l t + a 2 i i q i i i + 击i l y l l = ( a ，+ 击) + a 。l l q f l l 1 4 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 又由a x l + 苏，扎j l 及性质2 1 3 知，q 一1 存在且 旧1 i 可， ( 3 1 2 ) 从而 a i i q - 1 1 1 。2 a ( - 一业篙竽) 2 ( 3 1 3 ) 综上，推论满足定理3 2 1 的条件，从而 g ， 。o o = 1 是h 的框架，且由( 3 1 1 ) ( 3 1 3 ) 式 可知汶单所得到的椎架界孽优干推论所给出的框架界 1 1 1 3 2 2 应用 本节所说的应用是指已有一些框架扰动的结果都是定理3 2l 的特例，这里均 以推论的形式给1 1 1 由论证过程可知，定理3 2 1 得到的框架界要优于推论所给出 的框架界约定算子u 、r 及q 的定义同定理3 2 1 ，且u + 表示u 的共轭算子 推论3 2 4 假设 f o ，o ，灯是h 中界为a 、b 的框架，序列 鲫) 器1 h 如果 如一缈 器l 是界为m ( a ) 的b e s s e l 序列，则( g 。 。o o = 1 是h 的框架，且框架下 界为a ( 1 一、等) 2 ，上界为b ( i + 警) 2 证明由于( 疗一珊 器1 是界为m 的b e s s e l 序列，所以对v 勺) 器1 f 2 ( ) 有 i i t c j j ：一u c j ) 器1 | | s n f l i 勺) 器1 - 进而可得 1 丁 q ) 器1 1 1 i i u c j y = 1 1 1 + 、面f 1 勺) 墨l0 ( 、伍+ 砺) 1 i ( 勺) 罡1 “ 从而t l t i l 2 ( 佃+ 丽) 2 = ( 1 + 、等) 2 b 记s = u u + ，则对v ，h 有 q ，一，3 怕s “o ：p 1 i ( q f 一，9 ) l2 怕s u o ：p l j = 1 ，s 一1 疗) 锄一矗，g ) 仁1= l 一 i 气；糟。( 争一。( 磐制i 2 ) j a 、2 t i i f l ls l i p 何1 1 q l l = 仰i 由条件m a 及性质21 3 知，i i q 1 i i s ( 1 一等) ，所以由定理3 , 2 1 知锄) 罡1 也是h 的框架，且下界为a ( 1 等) 2 上界为b ( 1 + 、等) 2 口 推论3 2 5 设 凡 芦1 是日的框架，界为肖、b ，序列 g 一1 ，o o = 1 日如果 有m ：2 蓦| | 乃一2 a ，则 珊) 罡是的框架，且框架下界为( 瓶一 丽) 2 ，上 界为( 何+ 以汀) 2 证明由u 和t 的定义以及c d l y s c h w a r t z 不等式知，对 勺) 器1 f 2 ( ) 有 椎，叫啊墨。i i = 嵫幽钏国毋删小谍刈， l i7 1 勺) 墨，一u 勺 墨= f j 勺( 胁一，j ) | | i | 毋一办f 2 。j j 勺) 罡，j ， 又由已知m = 曼忱一仍限可得咿 q 墨。i i ( 拈+ 撕河) q ) 鬻。n 即算子t 有 定义且有界令s = u u + ，则对v 日有 1 1 q ，一州= l l 薹c ，s 一1 f a 毋州= | | 茎e ，s 一1 如，c 珊一矗，f | s 弹f , s1 f i ) 2 心蓦i l a - l l i 烨i 廊 由m a 及性质2 1 3 可得i i q 一1 i i ( 1 一僭) ，所以由定理3 2 1 知， g 。一。o o = 1 是 h 的框架，且下界为( v 呵一 丽) 2 ，上界为( 百+ 、，面) 2 口 推论3 2 6 设 f ，o o 1 h 是爿的框架，其框架界为以、丑；序列 乃) 罂1 是h 中界为m 的b e s s e l 序列设a c ，若 番，则 疗+ a 幻) 器1 是h 的框 架，且框架下界为( 以一丽) 2 ，上界为( 、，百+ 以西) 2 证明令7 0 = ，j + a g j ，由f 2 ( ) 空间中序列的三角不等式知，对v ，h 有 睁 n 州2 ) 5 = m 州1 2 ) 5 国1 州5 i 国( ，i 州6 i = 1 力) j 2 + 川珊) 1 2 2 1 = ，j s ( 拓+ i a i v 丽) l l f l l ， 所以) 器。是b e s s e l 序列，从而由引理2 2 2 知算子t 有定义且有界，并可推得 1 6 l i s 1 i f 、b - i l a f 吖记, f f = u u + ，! 1 1 0 对v ，i i 有 “叫- f l 铺s l i ：p ( c 4 f - 剧2fsupl m i = ，i ( 善( 舳1 删。- ，1 9 ) | | - f】 、= 。 。 2 属，u 1 1 = n j 伊j - 1 ( ”“脚删) f 锄s k 旧t 1 ) ( 争，彤- f ( 曼i = 1 铲) 5 曼肛万 由i , t l 、畚及性质2 ，13 知i i q 一1 l ls ( 1 - 1 x l 饵) ，故由定理3 2 1 可知， 南+ 卯) 器1 是日的框架，b t 界c j ( v 彳一i a l 4 面) 2 ，上界为( 百十 面) 2 口 以上足针对抽象的框架讨论的，对于小波框架和g a b o r 框架的一些扰动结论也 可包含在定理3 2 l 中 推论3 2 7 设函数妒工2 ( ) ，且慨+ f ) 一妒( ) l c l # l i n ，其中0 n 1 ： 今 6 ：= b z a c 2 女一门 j ， z d ，女= n 7 d 2 妒( 口t 一6 南) ， 蝣* = 2 | p ( n ，一b , x j ， ) j ，七z 若函数列西= f 场，t ：j ， z q 是h 中界为月、b 的框架，且满足6 a ，则 西1 。p 1 2 谚， ：j ，女z 4 ) 是h 的框架，且界为4 ( 1 两2 、b o + v 多2 证明首先对任意的，日有 i ( ，叻，一蝣，) 1 2 = | ( ，( ) ，妒( + 6 ，b 一6 k ) 一妒( ) ) j 2 j , k z “ j , k z a 剑州2 似一+ h a j , 一6 女) 一妒( 胛 k e z “ i l f l l 2 c 2 i b , b , 一b k l “：, f l l l t 2 ， i ，k e z d 所以 场，e 一蛾；：j ，z d ) 是b e s s e i 序列，再由引理2 2 、2 知，t 有定义且有界 并可推得i i t i 佃+ 怕，从而r | f 2 ( 佰十、动2 ：b ( 1 + 0 网2 1 7 另- 方面，记s - = u u + ，则对v ，h 有 q ，- 州铺s u 闰pi ( q f - f , g 炉怕s l 忙i p 。l 善州妒枷) l 气s 圳u “p 掣 , - 1 仍川】2 ) b ，k e z d 酬2 ) 6 墨廊 由6 a 及性质2 i3 知旧一- | | 曼( 1 一、戋) ，从而满足由定理3 2 1 的条件，故 m p ) ： 妒：k 7 zr 2 ) 是h 的框架，且界为a ( i 一岳) 2 、b ( 1 + 、去) 2 口 推论3 2 8 1 1 6 1 没，z l 2 ( r ) ，且( 9 ，“，。) 足一个g a b o r 框架，界为a 、b ，如 中( g ，n ，b ) = e 。b 矗。9 ：m ，n z 若存在常数r a 使得 i ( 一g ) ( 一r m ) 订f 二j t 巧。= = 。元i 丽i b r ，n e t r ( 31 6 ) e zn z 则( 7 。，。，b ) 是h 的g a l m 框架，且下界为a 0 一 等) 2 ，上界为b ( 1 + 鲁) 2 要验证这个结果需要用到一个引理，证明可参见【1 6 1 这里将它叙述如下： 引理3 2 9 设g 工2 ( r ) ，则对有界、紧支的，l 2 ( r ) 有 l s r 可o f ( t k 6 ) 9 ( t n n ) ；t i 二j i i i 二砑l “ 。5 2 “ “2 f 3 1 7 ) 兰i f t t ) 1 2 i g ( 。) 万五蕊而卜 。 k e z 。n z 证明推论3 2 8 对v ，l 2 ) ，若序列( g ，n ，6 ) 是一个g a b o r 框架，易证明有 如下( 1 a b o r 框架恒等式： ( ，。，蜘。) 1 2 ”2 ，n z 一f 一( t ) 。f ( t k e z 4 从而由引理3 2 9 及( 3 1 6 ) 式可得 i ( f ，g 。一 m ，) 1 2 m 。rb z k b ) g ( t h a ) i 巧。n 一女6 冲 n z i ( f ，( g h ) 。) 1 2 m ，l z b 。而巾一t ：b ) o k f z 。n e z 1 8 鲫几12薹i薹(川州乒而确卜zz k 。 。 b1 ( b t ) il fll 2 = r i i f ll 2 ， 即 9 。h 。m ，n z 足界为r 的b c s s c l 序列，再由引理2 22 可推得f i t 1 洒+ 佃，从而2 ( 何+ 佃) 2 = b ( 1 + 轳又因为 q ，一州= s l i pi ( q ，一，9 ) i 【g r = 1 一s l l pl ( f ，si 9 。) ( 。 = 1 l ，i 毳z 、r a i i f l l ， 所以由r 4 及性质2 13 知，旧一1 | | ( 1 一舞) ，因此由定理3 21 可知，( 7 ，6 ) 是g a b o r 框架，且下界为a ( 1 一、鲁) 2 ，上界为口( 1 + 鲁) 2 口 3 3r i e s z 基的扰动结果 讨论了框架的扰动，我们接着讨论r i e s z 基的扰动既然框架和r i e s z 基之间存 在着必然联系( 引理2 3 5 ) ，那么对于r i e s z 基是否也有类似的扰动结论呢? 答案 是肯定的，即在定理3 2 1 的条件下，将框架改为r i e s z 基扰动结论同样成立 定理3 3 1 设 力) 罡1 是h 中界为a 、b 的r i e s z 基，u 是其前框架算子； 给定序列锄) 鬻1 h ，使得算予弘 c j ) 鬻1 一墨勺毋是从f 2 ( ) 到h 有定义的算 子；引入算子 q ：h h ， q f = ( ，( u y + ) 。疗) 9 j ， j = l 其中u + 是u 的共轭算子若q _ 1 存在，则协) 瞿。是日的r i e s z 基，且下界为 a i i q _ 1 旷2 ，上界为i l t 限 证明由定理3 2 1 知，锄) 凳，是框架，且界为a i i q 一1 旷2 、 f t 旺又因为算 子u 是框架 乃) 器，的前框架算子，从而框架算子s = u 矿+ 是个正的、有界、可逆 1 9 算子由于 ，j 墨1 是r i e s z 基，且由定义2 32 知，r i e s z 基在有界可逆算子下的像 仍然是r i e s z 基，所以 ( u u + ) f 一、也是r i e s z 基，再由引理2 35 知， ，j j = l 与 ( u u 4 ) 一1 f j j 瞿1 互为双正交序列，即( ( u u + ) 。乃) = 略，从而对vk 有 q ，i = ( i ，( ( u “) 1 乃) 9 ，6 k j g j = g k ， ( 3 1 8 ) 由q 的有界可逆性立即可得 国) 瞿1 是r i e s z 基， 口 由定理条件可以看到，除了假设 j ) 罂1 是r , i e s z 基外，其它条件与定理3 2 1 一致，所以3 2 节中的应用对r i e s z 基同样成立 推论3 , 3 2 设 ，7 ) 暑。是h 的r i e s z 基，其框架界为a 、b ，序列 ) 器1c h 如果存在常数a 、，t 【) ，满足a + 拷 1 ，且对所有c 1 ， ，( n j v ) 有 4 薹勺t ，j s ，忙- 喜勺南”弘( 砉蚓2 ) 5 ， 则 野) 器，是h 的r i c s z 基，且下界为a ( 1 一a 一苏) 2 ，上界为b ( 1 + a + 括) 2 推论3 3 3 设 与 嚣。是h 中界为a 、b 的r i e s z 基，序列 岛) ，c o ：lc 日若 存在常数a 1 , a 2