（计算数学专业论文）两维数值微分与期权标的资产波动率的重构.pdf

摘要 本文首先对正问题以及期权市场波动率的反演做了一些总结回顾，并对性形 化方法做了一些尝试，得到了一些结果另外，提出了一种对两维散乱数据求解 两阶数值微分的方法对于散乱数据点，通过t i k h o n o v 正则化，可以重构原函 数，以及它的一阶和两阶导数因为d u p i r e 形式是期权价格对时间t 和敲定价 格k 的一阶和两阶导数的组合，因此，这种方法可以很容易的应用到通过d u p i r e 形式重构市场波动率另外，证明了这种数值微分的方法的收敛性，并且给出了 一些数值例子，结果表明，这种反演方法是有效而且稳定的 在本文的第一章中，简单推导了b l a c k - s c h o l e s 方程，给出了正问题的数值解 法，并对期权市场波动率的反演做了一些总结和回顾特别对线性化重构方法做 了一些推广和尝试 在本文的第二章中，通过t i k h o n o v 正则化给出了求一种两维两阶数值微分 的方法，并给出了唯一性证明、误差估计以及一些数值例子，将这种微分方法应 用到d u p i r e 形式，重构了标的资产波动率 关键词：b l a , c k - s c h o l e s 方程，波动率，线性化，d u p i r e ，两维数值微分 t i k h o n o v 正则化、误差估计 中图分类号：0 2 4 1 5 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，d i r e c tp r o b l e m so fo p t i o np r i c i n ga n ds o m em e t h o d si ns o l v i n g i n v e r s ep r o b l e m sa b o u tt h ev o l a t i l i t yo fu n d e r l y i n ga s 8 e t sa r es u m m a r i z e ds o m e r e s u l t so fl i n e a r i z e dm e t h o da r ep r o v i d e d i na d d i t i o n ，an e wm e t h o do fr e c o v e r i n g t h el o c a lv o l a t i l i t yb yn u m e r i c a ld e r i v a t i v e so f2 - d i m e n s i o n si sp r o p o s e d w i t h i n t h ef r a m eo fo u rm e t h o d ，w ec a na c h i e v et h er e a lf u n c t i o n ，f i r s ta n ds e c o n dd e r i v - a t i v e s t h ec o n v e r g e n tr a t ea n dn u m e r i c a le x a m p l e sa r ea l s og i v e n t h et h e s i sf a l l si n t ot w oc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，b l a c k s c h o l e se q u a t i o ni s p r o v i d e d ，a n dan u m e r i c a lm e t h o do ft h ee q u a t i o ni si n t r o d u c e d w ea l s os n m u l & - r i z es o n d eo t h e rm e t h o d si nt h i sc h a p t e r ，w h i c ha r ew i d e l yu s e dt os o l v ei n v e r s e p r o b l e ma b o u tt h ev o l a t i l i t y e s p e c i a l l y ，t h el i n e a r i z e dm e t h o da r ea t t e m p t e d i nc h a p t e r2 ，am e t h o do fn m n e r i c a ld e r i v a t i v e so f2 - d i m e n s i o n si sp r o p o s e d t h ef i r s ta n ds e c o n dd e r i v a t i v e so fa2 - d i m e n s i o n ss m o o t hf u n c t i o na r ea p p r o x i m a t e db yu s i n gt h et i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d i ti sp r o v e dt h a tt h e a p p r o x i m a t ef u n c t i o nc a nb ec h o s e na sam i n i m i z e rt oac o s lf u n c t i o n a l t h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s st h e o r yo ft h em i n i m i z e ri se s t a b l i s h e d w i t ht h ek n o w ns m o o t h h e s so fa2 - d i m e n s i o n sf u n c t i o n ，c o n v e r g e n c er e s u l ti sa l s op r o v e d t h en u m e r i c a l r e s u l t sa r ep r o v i d e dt os u p p o r tt h et h e o r e t i c a la n a l ? , s i 8o ft h i sw o r k k e y w o r d s ：b l a c k s e h o l e se q u a t i o n ，v o l a t i l i t y ，l i n e a r i z a t i o n ，d u p i r e n u m e r i c a ld e r i v a t i v eo f2 - d i m e n s i o n ，t i k h o n o vr e g u l a t i o n ，e r r o re s t i m a t i o n mrs u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：0 2 4 1 5 l l 第一章正问题的介绍与期权标的资产市场波动率的反演 1 1 背景介绍 在金融市场，商品市场上，风险无处不在：资产风险( 股票，债券) ，利率风 险，货币风险( 汇率) ，信用风险，商品风险等风险是什么? 风险就是结果的不 确定性，它可以使人们以外获益，也可以使人们意外受损，甚至带来灾难 金融衍生物( f i n a n c i a ld e r i v a t i v e s ) 是一种风险管理工具，它的价值依赖于其 他更基本的标的资产( u n d e r t y i n ga s s e t s ) 的变化。在金融市场、商品市场有很多 形式的金融衍生工具，其中远期( f o r w a r d ) 、期货( f u t u r e ) 和期权( o p t i o n s ) 是三种最基本的金融衍生工具，期权是其中非常重要的一种 期权是一种标准化合约，它给定持有人在将来某个确定的时间按照确定的价 格买入或者卖出一定数量标的资产的权利，但他不承担义务看涨期权的持有者 可在某一确定的时间以某确定的价格购买标的资产，看跌期权的持有者可在某 一确定的时间以某一确定的价格出售标的资产期权合约中事先确定的价格被称 为执行价格或敲定价格，合约中的交易日期为执行日期只能在到期日执行的期 权称为欧式期权，可在有效期内任何时候执行的期权称为美式期权我们研究的 重点是欧式期权 期权价格矿有很多因素决定，包括标的资产的价格s ，当前时间t ，到期 日t ，敲定价格k ，无风险利率r ，资产红利率q ，和表示标的资产风险大小 的波动率o 在b l a c k s c h o l e s 公式中，波动率有着非常重要的地位期权价格对它的变化 十分敏感它是对资产价格变动情况的度量，是种对随机波动的定量方法实 际的定价模型应用中，波动率是唯一一个不可直接观察到的变量在标的资产的 交易市场中，人们往往希望知道标的资产未来价格的波动率，一般来论，由于事 件还没有发生，人们对口的未来走向很难预测但是期权市场并不因此而变得无 所作为事实上我们每天可以从期权市场获取对于同一个原生资产在不同敲定价 和不同到期日的期权价格的各种报价如果我们认为b l a c k - s c h o l e s 的期权定价理 论是正确的，那么在期权市场中获得的有关期权价格的报价，它应该蕴含了关于 标的资产价格的未来波动辜的信息。人们把由单个期权价格所导出的标的资产的 波动率称为隐含波动率( i m p l i e dv o l a t i l i t y ) ；把由整个市场上所有期权价格所导 出的原生资产的波动率称为局部波动率( 1 0 c a lv o l a t i l i t y ) 我们主要研究如何运用b l a c k s c h o l e s 理论框架，从期权市场获取的信息去 重构( r e c o v e r i n g ) 标的资产的局部波动率 1 复旦大学硕士学位论文 1 2b l a c k s c h o l e s 方程推导以及数值解法 设s ( t ) 表示期权标的资产的价格，它是一个随机变量，通常假设满足随机微 分方程 d s f ( t ) ：( r q ) d r + 盯d w ( t )( 1 21 ) r 是该资产的期望收益率， q 为该资产红利率，a 通常称为该资产的波动率 而d w 显示了标的资产未来价格行为的随机因素，称之为w i e n e r 过程推导 b l a c k s c h o l e s 过程中需要用到下面的i t b 定理 定理1 _ 2 1 ( i t 5 定理) 如果f p ( ) ，t 是一个对变量s 和t 两阶可微的函数， s ( t ) 是一个扩散过程： d s ( t ) = 。【s ( ) ，t d t + 仃 s ( t ) ，t l d w ( t ) 则在随机等价意义上，有： d f ( s ，归丽o f m 和+ 互1 狰0 2 f 嘲f 或者，代入s ( ) 满足的随机微分方程，有： d f ( s = 丽o f 。+ 警+ ；等胡d h 筹a d w 设欧式看涨期权的价值v = v ( s ，z ；k ，正口) ，( s ，t ) ( 0 ，+ 。) ( 0 ，t ) 其中 表示敲定价格，丁表示期权到期日利用对冲技巧，下面给出b l a c k s c h o l e s 方程的推导 设投资组合为i i = v 一s ( 是标的资产的份额) ，选取适当的使得在 ( t ，t 十d f ) 时段内，是无风险的，即不含有随机项d w ( t ) 由无套利原理知： d i i = ( r ( s ，t ) 一q ( s ，t ) ) i d t 这里s ( f ) 是随机微分方程( 1 2 1 ) 确定的随机过程，由i t 5 定理可以马上得到 d v = ( 面o v + ( 巾，pg ( s ) s 筹+ 互1 d 2 s 2 篆膨+ a s 丽o v d w 将其带入d r i = ( r ( s ，t ) 一q ( s ，t ) ) i l a t ，并使得d w ( t ) 前面的系数为0 ，得到； = 筹 2 复旦大学硕士学位论文 将重新带入d i = ( r ( s ，t ) 一q ( s ，t ) ) i l d t ，再根据欧式看涨期权的性质添加边界 和终值条件，我们可以得带著名的b l a c k - s c h o l e s 定价公式 瓦o v 竹( s 】旷如，啪s 豢+ z 等州= 。 v ( s 丁；k ，t ，盯) = m a x ( s k ，0 ) ( 1 2 2 ) v ( o ，；k ，t ，口) = o 恕豢( 剐；阳，= e - q ( t - t ) 当盯和r 、g 是常数时，可以将b l a c k - s c h o l e s 转换成热方程，然后就能够 得到关于偏微分方程的( 1 22 ) 的解析解，即著名的b l a c k - s c h o l e s 公式 y = v ( s ，；k ，t ，盯) = s e 一。( t 一。) j v ( 五) 一k e 一7 ( r 一2 ( 五)( 12 3 ) 其中 珏盟与o - 铲t ( 1 。n ) 、【一j d 2 = d l 一盯t t ( 1 25 ) 这里n ( x ) 是标准正态分布的累积概率分布函数 但本文讨论的是广义的b l a c k s c h o l e s 方程，即o - 不仅是时间t 的函数，还 与标的资产价格s 有关，a = a ( s ，t ) 这时往往得不到解析解，需要使用微分 方程数值解 由于b l a c k - s c h o l e s 方程中s 的取值范围为( 0 ，+ o o ) ，因此，不能直接用差 分法对其离散，通过下面的变换可以将无界区域转化为有界区域上的问题： f ：乏 l + ，) 三r ：t 一 1 上q ” 通过这个变化，可以得到( 0 ，1 ) ，原方程变为： 酉o w 一争文1 卅2 砸0 2 w 却刊鲫叫警竹( 1 卅+ = 。 初边值条件为： 彤( ，0 ) = k ( 2 一1 ) + w ( o ，7 - ) = 0 ， w ( 1 ，7 _ ) = k e 一。7 这里 o 1 】r 0 ，t 3 复旦大学硕士学位论文 对这个方程，采用c r a n k - n i c h o l s o n 差分格式，就可以得到数值解，将原来 的变量带回，可以得到正问题的数值解具体的c r a n k n i c h o l s o n 差分过程如图 1 所示，用图中标以+ 号点的值构成差商，以代替标以。号点( j ，+ 1 2 ) 上的 导数值，在u ，k + 1 2 ) 点差分有 、， () o ，k + t 2 ) 、， 0 ，k ) 图l 咝；瞪：吲o wk ，十l z + p ( 囝 d 下u 、 = 一o w j，卜102w。ko-r2c - 2 + 。( 2 ) l ” 一。， 1 ， j 冉，一 州；一。， 吲髯：一 j 笠：、 2 、2 h2 h 7 = 丽o w j ，k + l 2 十o ( 2 ) = 面o wj j + 互t 【耐o 丽o w 儿k + o ( t 2 + h 2 ) 4 其中： 表示括号内函数在网点( j ，k ) 处的值，t 为时间轴7 _ 上的步长，h 为s 轴方向的步长 令：磅【w 砖= 【w 垮+ - 一2 阻垮+ m ；一，则： 刍碍( m 一嗍= 鬻 y + o ( t 2 + h 2 ) = r 0 2 w k + 互t i 丽0 ( 0 a 2 2 w s 圳s l k + o ( t 2 + h 2 lo - 5 零- s j ； ) 2 十互【丽la 2 s ，- ，十 ) 将上面三式带入变换后的方程，整理就可以得到方程的c r a n k n i c h o l s o n 差分格 式，从推导过程也可以看出，这种差分格式的截断误差为； o ( t 2 十h 2 ) 1 3i p o p 问题的提出 在b l a c k s c h o l e s 公式的推导中，我们假定了在整个期权的有效期内，标的资 产的波动率是常数盯，设某一标的资产的欧氏期权是价格为： v = v ( s ，t ；盯，k ，t ) 复旦大学硕士学位论文 从期权市场获知：当t = t o ，s = 岛时，对于一张敲定价为硒期限为丁0 的期 权，它的价格为那么由b l a c k s c h o l e s 公式得 v o = y ( 岛，t o ；以k o ，t o )( 1 3 1 ) 5 这是一个包含o - 的方程式由于 f o v 0 o o - 因此方程( 1 31 ) 存在唯一解，o - = g o 。这样我们从一张特定的期权( 敲定价为 凰，期限为死) 导出了标的资产的隐含波动率盯= o - o 按照b l a c k - s c h o l e s 公式的假设，o - 是常数，因此从这一张特定期权求出的 隐含波动率印应该与凰与死无关，即对于不同的敲定价格，不同的有效期限 的期权，由相应的期权定价决定出的标的资产的隐含波动率应该都是相同的但 事实并非如此，由不同敲定价格和不同到期日的期权定价得到的标的资产的隐含 波动率o - ，一些关于实证结果表明，隐含波动率不仅依赖于敲定价格，并且依赖 于到期时间，它是，丁的2 元函数o - = 口( ，t ) ，因此，我们通过整个市场上 某一标的资产的所有信息，即不同敲定价格和不同到期日的所有期权的定价，利 用b l a c k - s c h o l e s 方程重构期权的局部波动率，得到的结果也应该是k ，r 的2 元 函数盯= 盯( k ，t ) 以前的研究表明：对于固定的t ，局部波动率盯与敲定价格k 的关系是以 下两种典型的图像( 见 2 【4 1 2 ) 0 l i i 1k s ， 0 、一 足s t 图2 微笑曲线图3 偏斜曲线 这里s 0 是t = t o 时刻的原生资产的价格图2 一称为波动率的微笑( v o l a t i l i t y s m i l e ) 曲线，图3 称为波动率的偏斜( v o l a t i l i t ys k r e w ) 曲线 对于固定的，隐含波动率a 与期限丁的关系一般是图4 图像 复旦大学硕士学位论文 0 、 - 一 r 丁 6 图4 局部波动率与t 关系图 这些图像显示，在推导b l a c k - s c h o l e s 公式中有关原生资产波动率口是常数 的假设与实际由较大差异因此比较合理的假设应该认为： 矿是时间t 和原生资 产价格s 的函数，即把原生资产价格演化的随机过程修改为 一q 等= # d t + 口( s ，) d m o 其中d 眠服从w i e n e r 过程，它反映了资产价格的随机波动性运用i t 5 引理以 及无套利原理，我们同样可以得到b l a c k - s c h o l e s 方程 瓦o v + ；盯( s ，) 2 s 2 丽0 2 v + ( r q ) s 丽o v r y = 。( s ，t ) r + n 丁) ( 1 舳) 对于欧式看涨期权v ( s ，t ) ，我们有下面的边界条件以及终值条件； m 。) 一 3 1 v ( s ，t ) = ( s 一巧) + 对于它的定解问题一般不可能获得解的显式表达式，只有求助数值方法 经过对原生资产价格模型的修改，我们提出这样的问题：如何运用期权市场期 权的报价，获取有关未来原生资产波动率的信息? 在数学上：即当= t o ，s = s o 时，若已知 v ( s o ，t o ；口，k k ，丑) = k ，l ( 七= 1 ，m ，f = 1 ，一，礼) 如何求 盯= 盯( s ，) 由看涨一看跌期权的平价关系，因此不论用看涨期权的市场报价，还是用看 跌期权的市场报价所得到的a = 盯( s ，t ) 应该是相同的，因此以下为确定计，无妨 以看涨期权为例 复旦大学硕士学位论文 问题p 若v = v ( s ，；口k ) 是看涨期权的定价，即它适合 酉o v + 互1 口2 ( s ，t ) s 2 丽8 2 v + ( r q ) s 丽o v r y = 。( 。s 。，。5 丁) v ( s ，t ) = ( s k ) + ( 0 茎s 。) 假设当t = + ( o 曼t + ，) ，s = s 时，已知 v ( s + ，曩盯，k ，t ) = v o ( ，t )( 0 k o 。) 7 问如何确定口= 口( s ，t ) ? 关于这个问题，已经有很多人做过工作，比较经典的就是d u p i r e 在( 【2 ) 中 提出的d u p i r e 形式，下面一章给出具体的推导过程 1 4d u p i r e 方法 设 v = v ( s ，t ；k ，t ) 是欧式看涨期权的定价，令 丽0 2 v = c ( s ，t ；k ，t ) ( 1 41 ) 由问题p 知，g 适合 雾+ 料0 邮2 舞+ ( r 叫) s o 。g 。一g = o ( 1 4 2 ) la ( s ，t ) = d ( 厅一s ) 因6 ( z ) = d ( 一z ) ，因此c ( s ，；k ，t ) 是方程( 1 4 2 ) 的基本解并且可以证 明，当c ( s ，t ；k ，t ) 作为1 4 ，t 的函数( s ，t 为参数) 它是定解问题( 142 ) 的共轭 问题的基本解，即 f 一筹+ 茄( 盯2 ( ，t ) k 2 g ) 一p q ) 壶( g ) 一r g = 0 ( 0sk 0 0 ，t t ) ( 1 4 3 ) 【c ( s ，；，t ) = 5 ( k s ) ( 0 茎k ) 把( 1 4 1 ) 代入上面的方程( 1 4 3 ) 并对k 在【k ，。) 上求两次积分，由于 ( 1 ) 当s 固定，k o 。时 v k 丽8 v ，口2 ( k ) k 2 g ，k 筹，嘉( 仃2 ( k ) k 2 g ) _ 。 复旦大学硕士学位论文 ，。武 。d ( rs ) 咖 j k j r 。 = ( ? 7 一k ) d 一s ) d 研 jk = ( q r e ) + d ( 叩一s ) d 町 j o = ( s k ) + 疋g 喊斌耿= j ：鼍武= 一豢 ( 4 1 f 妻啉点t 肛叫跗；即) ( 5 ) f 吲州焉? 赋= f f 等一k k 篆一y g ( z ，t ；，? ) d = f ；击= 一丢；一y j kju t u h ( 6 ) f 武z 0 。嘉p t 舻嘞甜( 阳躺 从而定解问题( 1 4 3 ) 转化为 f 一券+ j k 2 a 2 ( k ，丁) 筹苫一( r g ) 器一q v = 0 ( osk o 。，tst )( 1 4 4 ) 【y i t ：t = ( s k ) + ( 0sk 。) 由( 1 4 4 ) 解出口( ，t ) ，得到d u p i r e 公式 盯( 符，t ) = 因此假如当t = t + ，s = s 4 时，已知我们能从期权市场获取对于不同敲定价 格，不同期限的期权报价，也就是 y ( z + ，r ；k ，t ) = f ( k ，t ) ( 1 4 5 ) 那么我们可以从d u p i r e 公式求得盯( k ，t ) 但是，这个算法存在以下的缺点： ( 1 ) 算法对数据的变化异常敏感 给定了f ( k ，t ) ，为了用d u p i r e 公式计算口( k ，t ) ，需要计算微商；取w ，忍， 以及毋，f 的微小变化可能引起它的微商，特别是二阶微商的极大的变化，因 此这种确定盯( k ，t ) 的算法是不适定的( f i l p o s e d ) 8 复旦大学硕士学位论文 特别，正如我们在前面所指出的：一般来说，f ( ，丁) 只在一个离散点集 ( k k ，丑) ) ( = 1 ，观f = 1 ，n ) 上是确定的，而f ( k ，t ) 在区域( 0 k o o ，丁lst t 2 ) 上的值是由离散点上的值，通过插值( i n t e r p o l a t i o n ) 或外推 ( e x t r a p o l a t i o n ) 而得到的，所以由此必然带来误差这个误差将由于上述原因使 得口( k ，t ) 的值严重失真 ( 2 ) 当期权处于虚位时( o u to fm o n e y ) ，坛，坛k 相对都比较小，这样口2 表示为两个小量之比，从而盯的精度将受到影响。 因此，d e p i r e 解法虽然很简单，但在在以前是无法实际使用的 但是通过d e p i r e 的工作，已经把问题p 转化为一个典型终端控制问题。即： 问题p o 设v = v ( s ，下；k ，t ，盯) 是c a u c h y 问题的解 祥2 双即) k 2 丽 2 v 卟- q ) 器一q yf 1 4 6 ) lv ( k ，0 ) = ( s 一) + ， 、 其中r = t t 若当t = 下+ = t t + 时，v ( k ，t ) 的值为已知，即 y ( s + ，r 4 ；k ，t ，盯) = f ( k ，t )( 0 k o 。) 问如何确定口= 盯( ，t ) ? 对于问题岛，有大量的文献进行了研究，在后面的章节里面，我们将对以前 的工作做一个综述下面给出一种线性化方法，以及我们对这种方法做的一些尝 试和改进 1 5 线性化方法 这种方法最早由i s a k o v 在( 【7 】) 中提出，下面我们给出了这种方法的详细推 导以及一些推广首先，对方程( 1 4 6 ) 做下面的变量变换： = l n 了k ，7 - = r t ，i z = r - q , f 丽o u7 1 锄) 影十( 知m ) 器邶= 。 u ( ，o ) = s + ( 1 一e ”) + ，r ( 1 5 1 ) iu ( g ，r + ) = u + ( ) ，y 。 9 复旦大学硕士学位论文 1 0 这里u 为u 变换过来的区间( w + 为已知条件( 1 4 5 ) 中k 的定义域) ，r + = t 一矿 1 5 1 在一个常数附近线性化 首先，假设 ；0 2 ( ) = ；靠+ ，( 9 ) ( 1 5 2 ) 其中，o 0 是个常数，f 为g ( 。) 小量，且在区间u 以外，假设f = 0 下面给出线性化的推倒过程：因为，为g ( o ) 小量，所以可以假设 ；口2 ( f ) = ；萌+ 印( ) 同时假设： u = + e v + o ( 2 ) 将以上两个变换带入( 1 5 1 ) 得到： o v 面o + _ e v 一( ；拈咖) ) 鹄笋+ ( 吲州笋竹刊( 肌仆。 整理得到，e 的0 次项为： 警一；a 。2 0 却2 v 。o + ( 扣p ) o 万v o 十( r p ) v o ( 1 5 3 ) 的1 次项为： s 丽o v s 互1 。2 面0 2 v 州；碚刊茜州r 刊y 一印可0 2 v o + 印面o v o ( 1 5 4 ) 因为( 1 5 1 ) 等于0 ，所以( 1 5 3 ) 、( 1 5 4 ) 均为0 由此，在假设( 1 5 2 ) 下， u = + v + 口 u 是相对于，( ) 的二阶小量，其中， 满足下面的方程； 筹可1 。：可0 ：v o + ( 警竹刊删 ( 1 。脚 ik ( 可，0 ) = s + ( 1 一e y ) + ，y r v 满足下面的方程： f 而o v 甲1a 酽0 2 v 十( 脚面o v 巾刊y 训雾一筹) y ( 可，o ) = o ， 可冗 ( 1 - 5 _ 6 ) l 、旷f 可，7 _ 。) = y ( 可)u 复旦大学硕士学位论文 飙护雾一筹，通过( 1 5 司可以求得 岫扣雾一筹“积翥e 岳均拙 c = 芝1 + 豢d = 一上2 0 2 f 重2 刊2 + p r 燕d w 焉i2 。2 w 奠 ”， 其中： ( ，r ) = 而e 一磊，+ ( ) ：e 一甜一护y ( 口) 可以将( 1 5 7 ) 表示 现在的问题转化为通过( 1 5 8 ) 求解，这个问题可以通过积分方程求解 主要结果：1 a f ( x ) = b ( z ，翟；下+ ) ，( 口) d y = w + ( ) 其中： 啪，2 翥岛e 一打 2 假设u = ( 一b ，b ) ，为2 口一e “8 = 3 的解如果 b 2 而 0 0 那么问题( 1 5 8 ) 存在唯一解，l o 。) ，因此可以得到问题( 1 5 6 ) 的解唯一 结果2 的证明主要是利用结果1 ，对积分方程( 1 5 8 ) 做一些变换，通过具 体的计算得到，证明过程可以从( 【7 】) 中找到 对方程( 1 5 5 ) 运用差分方法( c r a n k n i c h o l s o n 格式) ，然后对结果l 得到 的积分方程离散化，就可以对这个问题进行数值求解 1 1 复旦大学硕士学位论文 1 2 1 5 2 问题的改进：在一个函数附近线性化 在这里，不再假设c r 0 是常数，而是假设它为个函数，即： ；0 2 ( 可) = ；盯3 ( v ) + ，( ) ( 1 5 9 ) 其中，为c ( 1 = ) 小量，且在区间u 以外，假设，= 0 通过与前面完全类似的推倒，在假设( 1 5 9 ) 下，可以得到： = 十y + u 是相对于f ( y ) 的二阶小量，其中，满足下面的方程： 愕o v o7 1 咖) 2 学+ ( 知筹+ ( r 刊删( 1 。加) 1 ( ，0 ) = s 4 ( 1 一眇) + ，y r y 满足下面的方程； f 而o v7 1 弛, ，面8 2 v + ( 知m ) 面8 v + ( r 刊y 训雾一筹) j 1y ( 口，0 ) = 0 ，y 兄 i ly ( ，7 _ ) = v + ( g ) y “ ( 1 5 1 1 ) 问题的难点集中在如何求得方程( 1 5 1 0 ) 的基本解，如果基本解能够具体的 给出，可以采用与前面完全类似的方法，用积分方程计算但是由于方程为变系 数的，不能采用与前面类似的变换对方程简化，基本解比较复杂 一些尝试： 将( 1 5 1 0 ) 记为肌= 0 ，采用拟基本解法，可以构造基本解为： r ( g ，1 - ；专，s ) = z ，丁；，s ) + z ，丁；町，盯) 圣妇，盯；，s ) d 卵c l a 其中， z ( 可，r ；，s ) = 2 ：j i i ；i ：；= 1 ：= ：i i ：i 百8 一9 一2 7 2 7 5 。2 5 、“、一。一， 垂通过r 满足方程( 1 5 1 0 ) 来得到，可以证明： 西( ；，s ) = ( 三z ) 。( ；f ，s ) n = l 其中( l z h = l z ，且 ( 幽州( 怎s ) = ，7 正眦( 禹训( 姻如，出d 矿 复旦大学硕士学位论文 通过计算可以得到 l z ( 剪，7 - ；f ，s ) + ( 卵一) 2 一s ) 靠( f ) 】z ( y ，f ；叩， 一1 ) ) z ( q ，( ；，s ) d o d q 如果再计算下去，得到的结果将非常繁琐，记r 为： r ( y ，7 - ；，s ) = z ( v ，t ；，s ) + l z ( y ，r ；f ，s ) + z + ( 可，7 ；，s )( 1 5 1 2 ) 可以证明，当7 - 一s 时，有： z + ( y ，r ；f ，8 ) 一0 通过基本解( 1 5 1 2 ) ，可以得到( 1 5 1 0 ) 的解为： v o ( y ，r ) = r 白，r ；f ，o ) s + ( 1 一e ”) + 蟛 r o 。【z ( ，r ；，o ) + l z ( y ，r ；f ，o ) + z + ( 口，_ r ；，o ) s 4 ( 1 一e ”) d 因为，当7 - 一0 时，有：z + ( g ，7 - ；，0 ) 一0 ，所以可以得到； 厂0 娲( ，r ) 2 z ( f ，r ；，o ) 十l z ( y ，7 - ；，o ) 】d + o ( 7 - )( 1 5 1 3 ) 其中。( r ) 表示 】i m 业。0 至此，给出了的具体表达式 对于( 1 5 1 1 ) ，同理可以得到 v b ，下) = 一r ，r ；，s ) a 健，s ) ，( ) d d s j 0j 尺 = 一7 - 厂。【z ( 口，f ；，s ) + l z ( 口，r ；，5 ) + z + 白，；，s ) 】q 嬉，s ) ，( ) d d s 。0j 一 +。 同样可以说明，当7 - 一0 时，有： 一z 7 仁m ，r 汜s ) 】眯，s ) ，( 刚油一。 所以可以得到： r r ， y ( 可，丁) = 一f 【z ( 可，7 ；f ，s ) + l z ( y ，7 ；，s ) o 幢，s ) ，僖) 蝤d s + o ( 7 - ) ( 1 5 1 4 ) 0j o o 如果r 一0 ，就可以近似得到： v ( y ，r + ) = z ( 9 ，7 - ； ，s ) + l z ( y ，r ；，s ) 】。嬉，s ) ，膳) 必如= v + ( 可) 0 j 一。 ( 1 5 1 5 ) 对( 1 5 1 5 ) 离散，就可以得到f ( y ) 的数值结果 对于这样做法的稳定性和唯一性还没什么结果 1 3 毽 i逊。 复旦大学硕士学位论文 1 6i p o p 问题的其他方法 1 4 l _ 6 1 最优控制方法 这种方法是由j i e n g ，ls 在 8 【9 】中提出来的 为了简单起见，假定一( s ，t ) 三一( s ) ，即a 只依赖s 而与t 无关问题p 类似 于一个”终端”控制问题：即对一个抛物型方程的”初值”问题，如果”终端” 的值为已知，问如何确定它的首项系数但问题p 又不是一个典型的终端控制问 题，因为我们在”终端”t = t + 给出的不是函数值的全体v ( s ，t + ) ( o s 0 0 ) 但是d e p i r e 的工作，已经把问题p 转化为一个典型终端控制问题p 0 ( 这里终端是 r = 丁+ ) 对问题尸。作变换 川扎菩，”= y 问题( 1 4 6 ) 转化为 f 一并o v = 。( ) ( 酽0 2 v 一鸶) 一p g ) 甏 ( f 尺，0 r 丁4 ) ( 16 1 ) 【y ( g ，0 ) = ( 1 一e y ) + 这里 a ( 可) = 妄盯2 ( ) 问题q o 求丘( 可) a ，使得 l ，( a ) 2 尝m ) ( 1 6 2 ) t 这里口= v ( y ，7 - ；a ) 是c a u c h y 问题( 1 6 1 ) 的解， j ( 。) = ；( ”( ”，r + ；。) 一”4 ( ，) 1 2 d y + 苦乞 v a l 2 d v 口+ ( g ) = 去e g - r * f ( k ) ( f ( k ) 的定义见问题局) 4 是变分问题( 1 6 2 ) 的允许函数类( a d m i s s b es e t ) ，这个函数类的选取要 使得定解问题( 1 6 1 ) 有解，为此取 a = = o ( 掣) i o 。osn ( 可) n l ，i v 1 2 d y 0 0 是常数其中j ( a ) 称为代价泛函( c o s tf u n c t i o n a l ) ，= o ( 可) 称为控制变量 ( c o n t r o lv a r i a b l e ) ，a ( g ) 称为最佳控制( o p t i m a lc o n t r 0 1 ) 或极小元( m i n i m i z e r ) 变分问题q o 称为最佳控制问题( o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m ) 复旦大学硕士学位论文 1 5 利用偏微分方程理论，可以证明 定理i 变分问题q o ( 1 6 2 ) 至少存在一个极小元a ( ) 定理2 若a ( 可) a 是变分问题q o ( 1 6 2 ) 的极小元，则存在三元组 a ( g ) ，o ( 可，r ) ，雪( ，r ) ) 它们在区域 r ，0 rsr + ) 上是以下偏微分方程组的定解问题的解： 筹一a ( 。) 塑o y 2 + 面( 。) 鬻+ 寸一。) 鬻= 。 一筹一番似蛳h ) 雾= 。 口( ，0 ) = ( 1 一e 。) + 驴( f ，_ r ) = 厅( 可，_ r + ) 一口+ ( g ) 通过求解这几个方程组就可以得到数值结果 1 6 2 积分方程法 这种方法是由b o u c h o u e v 和i s k o v 在 5 】 6 中提出来的这一部分不考虑盯 与时间的关系，假定a = 盯( s ) 直接从问题尸入手，对方程( 1 3 2 ) 做下面的变 换：7 _ = 丁一t ，y = m 嘉令u ( ，r ；k ) = v ( s ，；) ，n ( ) = 盯( s ) 则( 1 3 2 ) 转换为： 筹12 ( 券一a 咧u ) 十( r 刊面o u 卅= 啪，r 旧( o ( 1 6 1 ) 函数v = 而o u 也满足( 1 6 1 ) ，且初值条件为： v ( y ，o ；k ) = k ( 去a 2 ( ) 6 ( g ) + r h ( y ) 一d h ( y ) e 。)( 1 6 2 ) 通过函数v ( v ，r ；k ) 的积分表达形式，可以得到： u ( y ， ；k ) = u ( y ，o ；k ) + y ( f ，r ；k ) d r = k m a x ( o ，一一1 ) + ；n 2 ( o ) r ( y ，r ；0 ，o ) d r + r k r ( ，丁；，0 ) d d r d 上上r ( g ，r 焉o ) e e d d 7 - ( 1 矗3 ) 这里r ( v ，7 _ ；，s ) 为方程( 1 6 1 ) 的基本解 上面的方程可以通过迭代法计算 尽管在反演市场波动率方面，已经有了很多尝试b o u c h o u e v 和i s k o v 在 5 【6 】6 里面将这个问题转化为知道终值条件的抛物方程反问题，并且在一定的假设条 复旦大学硕士学位论文 1 6 件下，给出了一些唯一性和稳定性结果对于抛物方程反问题，他们将问题转化 成非线性f r e d h o h n 积分方程，并且运用迭代法得到了方程的近似解实际上， 这种方法是对b l a c k - s c h o l e s 方程的一个两阶近似这种近似缺乏严格的理论支 持，并且计算上面也不是非常有效的j i a n g ，ls 在 8 9 里面通过最优控制 方法重构了波动率，但是这种方法计算量还是非常庞大，而且不能给出一个很好 的误差估计l a g n a d o 和o s h e r 在【3 里面尝试直接对这个反问题的解进行标准 近似这个过程包含了大量的数值计算，而且收敛性不好通过这些简单的比较 可以看出，以往的这些方法计算过程都极其繁琐，而且收敛性、稳定性不好，这 也是一般的抛物方程反问题的一个典型特征 下面，首先给出了一种很好的通过散乱数据求解两维两阶数值微分的方法， 然后通过d u p i r e 公式，运用我们给出的数值微分方法，重构市场局部波动率这 种方法快速而且非常有效 第二章两维散乱数据点的数值微分 2 1 背景介绍 众所周知，数值微分是一个典型的不适定问题，在许多的工程和科学研究中 都出现了这样的问题，例如：图像处理中的不连续点的确定问题；化学分析中的 试验数据的波峰分离问题；数学物理反问题等等由于这个问题的不适定性，即： 任何测量中小的误差都可能导致最后计算结果的严重失真，因此，在数据处理和 实际应用中有着很大的困难很久以来，许多学者都进行了这方面的一些研究 通常采用的是用有限差分来作为导函数的一种近似但是这个方法有个缺陷，如 果测量数据含有误差，那么测量点之间的距离不能太小或者测量点的数目不能太 多如果距离太小或者数目太多的话，最后结果的误差反而会增大，即：多的测 量数据反而不能得到好的结果对于一维问题，已经有很多学者做了尝试，包括 使用插值方法，正则化方法等等( 见( 1 1 3 ) ) 两维数值微分，也有人做过一些尝 试( 1 4 】) ，但是只局限在两维一阶微分，对于两阶或者两阶以上的数值微分，至 今没有一个好的结果 下面给出了一种通过散乱数据求解两维两阶数值微分的方法，并且给出了两 阶导数的误差估计，这种方法可以推广到无穷阶导数，只是误差估计比较困难 2 2